MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce BRNO 2016 KATEŘINA REBENDOVÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Interaktivní výukové materiály v PDF formátu Diplomová práce Kateřina Rebendová Vedoucí práce: RNDr. Roman Plch, Ph.D. Brno 2016 Bibliografický záznam Autor: Bc. Kateřina Rebendová Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Interaktivní výukové materiály v PDF formátu Studijní program: Matematika Studijní obor: Učitelství matematiky pro střední školy Učitelství deskriptivní geometrie pro střední školy Učitelství geografie a kartografie pro střední školy Vedoucí práce: RNDr. Roman Plch, Ph.D. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: vii + 56 Klíčová slova: kombinatorika; pravděpodobnost; statistika; AcroTEX; dps; jeopardy; ocgx; pdfscreen; interaktivní výukové ma- teriály Bibliographic Entry Author: Bc. Kateřina Rebendová Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Interactive teaching materials in PDF format Degree Programme: Mathematics Field of Study: Upper Secondary School Teacher Training in Mathema- tics Secondary School Teacher Training in Descriptive Upper Secondary School Teacher Training in Geography and Cartography Supervisor: RNDr. Roman Plch, Ph.D. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: vii + 56 Keywords: combinatorics; probability; statistics; AcroTEX; dps; jeopardy; ocgx; pdfscreen; interactive teaching materials Abstrakt V této diplomové práci se věnujeme tvorbě interaktivních výukových materiálů v PDF formátu pomocí pdfLATEXu a jeho balíčků (AcroTEX, dps, jeopardy, ocgx a pdfscreen). Interaktivní výukové materiály se věnují kombinatorice, pravděpodobnosti a statistice v gymnaziálním rozsahu učiva. Součástí práce jsou výukové prezentace, interaktivní testy, párovací hry, hry Riskuj! a Poznej!, které jsou k dispozici na přiložením CD. Abstract In this thesis, we study the design of interactive teaching materials in PDF format using pdfLATEXand its packages (AcroTEX, dps, jeopardy, ocgx, and pdfscreen). The interactive teaching materials are dedicated to Combinatorics, Probability, and Statistics for the grammar school. It includes teaching presentations, interactive tests, matching games, games Riskuj! and Poznej!, which are to be found on the attached CD. Poděkování Na tomto místě bych chtěla především poděkovat vedoucímu mé diplomové práce RNDr. Romanovi Plchovi, Ph.D. za ochotu, připomínky, rady, odborné vedení, pevné nervy a čas, který mi věnoval při zpracování této práce. Děkuji paní Mgr. Haně Ondrouchové a jejím žákům, se kterými jsem si vyzkoušela výuku s interaktivními výukovými materiály. Velké díky patří mé rodině a přátelům, kteří mne po celou dobu mých studií podporovali a pomáhali mi. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 11. května 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kateřina Rebendová Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 AcroTEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Dps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Jeopardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Ocgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Formátování vzhledu prezentací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Kapitola 2. Interaktivní výukové materiály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1 Interaktivní osnova na Schoology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kapitola 3. Metodický návod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Rámcový vzdělávací program pro gymnázia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Doporučený tematický plán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kapitola 4. Výsledky z praxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kapitola 5. Klíč správných řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1 Kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3 Statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Příklady pro hlavy mazané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.5 Statistický výzkum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Příloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 – vii – Úvod Cílem této diplomové práce je připravit interaktivní materiály pro podporu výuky kombinatoriky, pravděpodobnosti a statistiky na střední škole. Vybranými interaktivními materiály jsou výukové prezentace, interaktivní testy, párovací hry, hry Riskuj! a Poznej! Text práce je dělen do pěti kapitol s přílohou. První kapitola se věnuje tvorbě interaktivních výukových materiálů. Jsou zde uvedeny technologie, kterých bylo použito. K tvorbě materiálů v pdfLaTEXu byly využity balíčky AcroTEX, dps, jeopardy, ocgx, pdfscreen a beamer. Jednotlivé balíčky nejsou nijak blíže popisovány, neboť o nich již existují podrobné práce v českém jazyce. Každý balíček je krátce představen a jsou uvedeny vlastní zkušenosti s jejich použitím. Součástí absolventské práce [17] jsou vzorové kódy s komentáři, které předně doporučujeme začátečníkům. Ve druhé kapitole uvádíme přehled všech vytvořených výukových materiálů a interaktivní osnovu v systému Schoology, která byla zřízena z důvodu lepší dostupnosti výukových materiálů pro všechny zájemce. V další kapitole je zmíněn Rámcový vzdělávací plán pro gymnázia a revidovaná Bloomova taxonomie, podle kterých byly interaktivní materiály tvořeny. Zmiňují se zde možnosti používání interaktivních materiálů ve vyučování a v procesu učení žáků. Stěžejní částí této kapitoly je doporučený tematicky plán, který nabízí časové rozvržení učiva, seřazení interaktivních výukových materiálů a jejich charakterizaci. Čtvrtá kapitola se zabývá výsledky z dotazníkového šetření, které proběhlo po výuce s interaktivními materiály v septimě gymnázia Hodonín. Byla odučena pouze jedna vyučovací hodina na novou látku úvod do kombinatoriky a základní kombinatorická pravidla. Cílem dotazníkového šetření bylo zjistit poptávku žáků po výuce matematiky s interaktivními materiály. V závěru kapitoly zmiňujeme používání interaktivních materiálů na interaktivních tabulích. Poslední kapitola obsahuje správná řešení ke všem vytvořeným materiálům. Příloha obsahuje zdrojový kód navigačního panelu balíčku pdfscreen a evaluační dotazník pro výuku s interaktivními výukovými materiály. Všechny vytvořené interaktivní výukové materiály jsou k dipozici na přiloženém CD nebo v interaktivní osnově (viz kapitola 2). Obsahem přiloženého CD jsou i ukázkové zdrojové dokumenty pro práci s balíčkem ocgx a pdfscreen. – 8 – Kapitola 1 Tvorba interaktivních výukových materiálů Tato práce i interaktivní výukové materiály byly vytvořeny v systému TEX, resp. v jeho nadstavbě LATEX. Základní instalaci LATEXu lze doplňovat o další balíčky maker. Zde byly použity balíčky AcroTEX, dps, jeopardy, ocgx, pdfscreen a beamer, kterým se věnujeme níže. Vytvořené materiály jsou ve formátu PDF, který byl v systému LaTEX získán přímým překladem zdrojového souboru pdfLATEXem. Formát PDF1 vyvinula firma Adobe. Existuje nepřeberné množství programů, jimiž lze formát PDF otevírat, např. Adobe Reader, Foxit Reader, PDF-XChange Viewer, Sumatra PDF, Nitro PDF Reader a jiné. Dokumenty PDF formátu uchovávají text, grafické objekty i aktivní obsah. Dokumenty s aktivním obsahem je doporučováno otevírat v oficiálním prohlížeči firmy Adobe – nejnovější verze Adobe Acrobat Reader DC, neboť ostatní prohlížeče plně nepodporují aktivní obsah. Adobe Reader je volně šiřitelný a je možno jej získat na https://get.adobe.com/cz/reader/. Dokumenty PDF formátu s aktivním obsahem nejsou zatím podporovány mobilními operačními systémy, ale jsou plně podporovány operačním systémem Windows. 1.1 AcroTEX Název balíčku AcroTEX vznikl složením slov Acrobat a TEX. Tento systém LaTEXových maker v kombinaci s programem Adobe Reader umožňuje vytvářet interaktivní PDF soubory. Tvůrcem balíčku je profesor D. P. Story z Ohia (University of Akron, USA). AcroTEX se skládá ze dvou nezávislých systémů: AcroTEX Presentation Bundle a AcroTEX eDucation Bundle. K vytvoření interaktivních výukových materiálů byl využit druhý uvedený systém, jemuž se budeme dále věnovat. Balíček AcroTEX umožňuje vytvářet interaktivní testy a vyhodnocuje správně zadané odpovědi bez nutnosti posílat vyplněný test k dalšímu zpracování. Vše se tedy odehrává na lokálním počítači bez nutnosti připojení k internetu. Balíček 1 Specifikace PDF formátu http://www.computerhope.com/jargon/p/pdf.htmhttps: //acrobat.adobe.com/us/en/products/about-adobe-pdf.html – 9 – Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 10 je volně dostupný na adrese http://www.AcroTeX.net. K dispozici je zde podrobný manuál a vzorové ukázky. Instalace balíčku a základní tvorba testů je popsána v několika příručkách i v češtině, např. [17] a [20]. Vytváříme-li interaktivní testy systémem AcroTEX, načítáme do preambule dokumentu balíčky hyperref (umožňuje hypertextové propojení dokumentu) a exerquiz s volitelnými parametry pdftex (udává způsob překladu dokumentu) a czech (umožňuje správnou sazbu češtiny). AcroTEX je používán s balíčkem dps pro tvorbu párovacích her a balíčkem jeopardy pro hry Riskuj! a Poznej! Systém umožňuje tvorbu testů těchto typů: • samostatná otázka (oQuestion), • test s okamžitým ověřením správnosti odpovědi (shortquiz), • test s ověřením správnosti odpovědí po ukončení testu (quiz). Systém umožňuje tvorbu otázek těchto typů: • otázky s výběrem z nabízených možností – jedna správná odpověď, • otázky s výběrem z nabízených možností – více správných odpovědí, • otázky s tvořenou odpovědí – textový řetězec, • otázky s tvořenou odpovědí – matematický výraz. Balíčkem AcroTEX bylo vytvořeno 11 testů. Všechny testy jsou vytvořeny v prostředí quiz, jsou většího rozsahu a vyhodnocování správnosti otázek probíhá tedy až po ukončení testu. Test se spouští tlačítkem Start testu a ukončuje tlačítkem Konec testu. Dále se zobrazuje počet správných odpovědí, počet získaných bodů a procentuální úspěšnost. Správné výsledky zobrazujeme tlačítkem Výsledky. Správné odpovědi doplňovacích otázek zobrazíme tlačítkem ? v pravém dolním rohu v kolonce Správná odpověď. České názvy tlačítek nejsou samozřejmostí. Stejný princip kódování českých znaků byl použit u párovacích her a který je popsán v charakteristice balíčku dps (viz podkapitola 1.2). V testech byly použity všechny nabízené možnosti otázek. Pro lepší orientaci byly rozlišeny otázky s výběrem z nabízených možností s jednou či více správnými odpověďmi. V případě otázek s jednou správnou odpovědí jsou nabízené možnosti odpovědí zobrazovány symbolem . Správná odpověď je hodnocena 1 bodem, špatná 0 body, žádná 0 body. U otázek s více správnými odpověďmi jsou nabízené odpovědi zobrazovány se symbolem . U těchto otázek jsou alespoň dvě odpovědi správné. Každá správná odpověď je hodnocena 1 bodem, špatná −1 bodem, žádná 0 body. Celkové hodnocení otázky s více správnými odpověďmi je nezáporné. Toto opatření zakazuje záporné hodnocení celého testu a omezuje demotivaci žáků. Velkou pozornost musíme věnovat při odpovídání na otázky s tvořenou odpovědí. Je-li odpovědí textový řetězec, je nutné odpovědi zapisovat bez diakritiky. Velká a malá písmena se nerozlišují. Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 11 Obr. 1.1: Ukázka testu Kombinace s opakováním. Otázky s odpovědí ve formě textového řetězce jsou tvořeny příkazem o třech parametrech. Ve všech vytvořených materiálech je použita stejná syntaxe. První parametr je nastaven na hodnotu 0 a udává, jak se text vepsaný autorem a řešitelem bude filtrovat a upravovat. Všechna vepsaná písmena se upraví na malá, odstraní se všechny mezery a nepísmenné znaky. Druhý parametr má hodnotu 0, tedy za správnou odpověď je považována ta odpověď, která se absolutně shoduje s vepsanou odpovědí autora a řešitele. Třetí parametr odpovídá počtu variant odpovědí, které autor uvádí jako správné. Otázky s odpovědí ve formě matematického řetězce jsou tvořeny příkazem o čtyřech nezbytných povinných parametrech. Celkem příkaz může obsahovat až deset parametrů. Ve vytvořených materiálech jsme použily pouze příkazy o čtyřech povinných parametrech. První povinný parametr udává správný výsledek, druhý počet referenčních bodů, v nichž bude odpověď vyhodnocována, třetí přesnost a čtvrtý interval, ve kterém se řešení bude ověřovat. Výsledky není nutné zapisovat ve vyčíslené podobě, ale např. ve formě součtu, součinu, rozdílu a podílu. Zápis matematických výrazů v otázkách s tvořenou odpovědí vyžaduje následující syntaxi: • Matematické operace zapisujeme: sčítání +, odčítání −, násobení ∗, dělení /. Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 12 • K zápisu desetinných čísel používáme tečku. Např. 0.5 je zápis čísla 0,5. • Zlomky zapisujeme pomocí /, např. 3/4 je zápis zlomku 3 4 . 1.2 Dps Název balíčku dps je zkratka německé hry „Das Puzzle Spiel“ a lze v tomto označení spatřit i iniciály autora, jímž je profesor D. P. Story. Balíček dps umožňuje vytvářet párovací hry. Párovací hra je založena na principu párování odpovědí s otázkami. Ke každé otázce patří právě jedna správná odpověď. Za správně utvořenou dvojici je odkryta část tajenky, za špatné určení dvojice jsou přiděleny trestné body. Cílem hry je správně přiřadit otázku k její odpovědi, získat co nejméně trestných bodů a odkrýt celou tajenku. Balíček dps je volně dostupný na adrese http://www.AcroTeX.net pod záložkou Games. K dispozici je podrobný manuál a vzorové ukázky. Instalace balíčku a tvorba testů je popsána v češtině v absolventských pracích [17] a [25]. Vytváříme-li párovací hru, musí být v preambuli načteny balíčky pro AcroTEX a balíček eforms (aktivace formulářových políček). K vytvoření párovacích her byla použita předdefinovaná šablona studenta Fakulty informatiky Masarykovy univerzity Filipa Sonty [27]. Stěžejní částí párovací hry je tajenka a její jednoznačné propojení s otázkami a odpověďmi. Každý znak tajenky je doplněn jednoznačným identifikátorem, pomocí něhož se dále odkazuje na příslušné otázky a odpovědi. Balíček je původně deklarován pro anglickou a německou jazykovou verzi a pro sazbu diakritiky využívá oktal-kódování. Toto kódování nepodporuje sazbu většiny akcentovaných znaků české abecedy. RNDr. Petr Olšák se ve své práci [23] zabývá akcenty v PDF záložkách a jeho poznatků bylo použito při tvorbě tajenek. Podařilo se tak správně vysázet akcentované znaky české abecedy. Specifikace PDF formátu vymezuje pro PDF stringy dvě možná kódování. Jednobytové kódování se nazývá PDFDocEncoding a nepodporuje akcentované znaky české abecedy. Druhou možnost kódování PDF stringů nabízí kódování UTF-16BE Unicode. Použití tohoto kódování se pozná tak, že první dva byty stringu mají hodnotu 254, 255, což je prefix pro přepínání do tohoto kódování. Princip správné sazby českých znaků s diakritikou je zápis textu oktalově v kódování UTF-16BE Unicode. Uveďme si příklad „klikni pro správnou odpověď“: {\string\376\string\377\string\000k\string\000l\string\000i \string\000k\string\000n\string\000i\string\000\string\040 \string\000p\string\000r\string\000o\string\000\string\040 \string\000s\string\000p\string\000r\string\000\string\341 \string\000v\string\000n\string\000o\string\000u\string\000 \string\040\string\000o\string\000d\string\000p\string\000o \string\000v\string\001\string\033\string\001\string\017} Nejdříve vidíme byty 254, 255 zapsané oktalově. Dále je oktalově zapsána nula následována písmenem „k“ (tyto dva byty reprezentují písmeno „k“ v UTF-16 Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 13 kódování), . . . , \string\000\string\040 značí mezeru mezi slovy, . . . , \string\001 \string\033 je 01,1B hexadecimálně a reprezentuje znak „ě“ v UTF-16BE Unicode. Zápis českého textu oktalově v kódování UTF-16BE Unicode byl vytvářen postupně. Nejdříve pomocí konvertoru [46] byl zjištěn decimální kód v UTF-16BE Unicode akcentovaných znaků české abecedy. Následně byla čísla z decimální soustavy převedena do oktalové soustavy a tato číselná vyjádření již byla použita v syntaxi příkazu. Obr. 1.2: Ukázka párovací hry Klasická pravděpodobnost. Párovací hru zahájíme výběrem otázky, na kterou chceme odpovídat. Následně zvolíme odpověď. Opačné pořadí není možné. Postupně je odkrývána tajenka ukrývající citáty slavných osobností. Po zodpovězení poslední otázky jsme hláškou v dolním rámečku vyzváni k zobrazení finálního výsledku. V hodnocení je zpracován počet správných odpovědí a počet trestných bodů v dané hře. Jejich kombinace zobrazí informaci o úrovni hráčových znalostí. Tyto hlášky jsou předdefinovány v použité šabloně. V dolní části obrazovky je zmíněn autor odkrytého citátu. Párovací hry obsahují 4, 5, 6 nebo 8 otázek. Každá správná odpověď je ohodnocena 10 body, maximálně lze získat 40, 50, 60 nebo 80 bodů. Obsahuje-li párovací hra 4 otázky, za každou špatnou odpověď je hráči ještě jeden bod odečten. Má-li Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 14 párovací hra 5 a 6 otázek, za každou špatnou odpověď se odečítají dva body. Je-li ve hře 8 otázek, za každou nesprávně zodpovězenou otázku jsou hráči odečteny tři body. 1.3 Jeopardy Profesor D. P. Story je autorem balíčku jj game, jímž lze vytvářet hru Jeopardy. Česká verze této hry je definována v balíčku jeopardy, jejímž autorem je docent Robert Mařík z Mendelovy univerzity v Brně. Balíček jeopardy umožňuje tvorbu hry Poznej! pro jednoho hráče a hry Riskuj! pro dva i jednoho hráče. Balíček jeopardy lze získat na https://www.ctan.org/pkg/jeopardy, kde je k dispozici manuál a vzorové ukázky. Návod v češtině mohou poskytovat absolventské práce [17] a [25]. Preambule dokumentu musí obsahovat balíčky jeopardy, exerquiz s volitelnými parametry pdftex a czech, dljslib (funkce v JavaScriptu) a pdfscreen. Na hrací ploše si hráč vybírá políčko, ke kterému je jednoznačně přiřazena otázka. Po odkliknutí políčka je hráč přesměrován na obrazovku s otázkou. Každá otázka je vysázena na samostatnou stránku. Po odpovězení otázky je hráč vrácen zpět na hrací plochu. Následuje výběr další otázky. Hra je skončena po zodpovězení všech otázek. Obr. 1.3: Ukázka hry Riskuj! Statistika. Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 15 Všechny vytvořené hry Riskuj! jsou určeny pro dva hráče. Hrací plocha je pokryta políčky, pod nimiž se ukrývají otázky. Otázky jsou rozděleny do tří kategorií a jsou ohodnoceny daným bodovým ziskem. Bodové hodnocení odpovídá obtížnosti jednotlivých otázek. Hráči se střídají ve vybírání otázek, na které okamžitě odpovídají. Odpoví-li hráč správně, získá daný počet bodů, odpoví-li špatně, je mu stejné množství bodů odečteno. Vyhrává ten, který má na svém kontě vyšší počet bodů. Ve hře Riskuj! jsme se rozhodli použít pouze uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí. Hra Poznej! je určena pro jednoho hráče. Jedná se o modifikaci hry Riskuj! Jednotlivá políčka nejsou ohodnocena body a pod herní plochou se skrývá obrázek. Odpoví-li hráč správně na otázku, odkryje se část obrázku. Odpoví-li špatně, část obrázku zůstává skryta až do konce hry. Úkolem hráče je uhodnout, co je na obrázku. Ve hře Poznej! jsme použili uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí a otázky s odpovědí ve formě textového i matematického řetězce. V doplňovacích otázkách platí stejná pravidla zápisu jako u testů AcroTEX. Na skrytých obrázcích jsou významná místa Moravy. V pravém dolním rohu obrazovky se nachází tlačítko Solution. První odkliknutí tlačítka zobrazí skrytý obrázek a druhým odkliknutím se zobrazí hláška nad hrací plochou s názvem významného místa na obrázku. Bohužel balíček jeopardy neumožňuje sazbu akcentovaných znaků české abecedy ani s použitím kódování UTF-16BE Unicode. Uvedené názvy významných míst jsou proto bez diakritiky. 1.4 Ocgx Autorem balíčku ocgx je Paul Gaborit z Albi (École des Mines, Francie). Balíček ocgx rozšiřuje balíček ocg-p, který umožňuje tvorbu vrstev OCG (Optinal Content Group) v PDF formátu. Vytváří se další vrstva v dokumentu, kterou lze skrývat a odkrývat po odkliknutí daného odkazu. Ve vrstvě může být text, tabulka, matematický zápis nebo grafický objekt. Odkaz může být tvořen barevným textem nebo obrázkem. Balíček ocgx spolupracuje s balíčkem tikz. Ve spolupráci s tímto balíčkem umožňuje ocgx skrývání/odkrývání částí obrázků a tvorbu odkazů ve formě vytvořených obrázků. Balíček ocgx nepoužívá JavaScripty. PDF soubory s vrstvami jsou podporovány prohlížeči Adobe Reader, Foxit Reader a PDF-XChange Viewer. Balíček je volně dostupný na adrese https://www.ctan.org/pkg/ocgx, kde je k dispozici manuál a vzorové ukázky. Nyní si popíšeme základy práce s balíčkem ocgx. Pro tyto účely je na přiloženém CD k dispozici vzorový zdrojový dokument s označením Vzorové ocgx.tex i Vzorové ocgx.pdf. Minimální hlavička pro tvorbu vrstev v PDF má tvar: \documentclass{article} \usepackage[czech]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{ocgx} Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 16 Každá vrstva je tvořena zvlášť v prostředí ocg. Ukažme si syntaxi vrstvy na následujícím příkladu: \begin{ocg}{jmeno1}{odkaz1}{1} Text ve vrstvě. \end{ocg} Prostředí ocg vyžaduje 3 povinné parametry. První parametr je pojmenování vrstvy a zobrazuje se v nástrojích PDF prohlížeče. Druhý parametr je označení vrstvy, kterým se na ni odkazujeme ve zdrojovém souboru. Třetí parametr určuje prvotní viditelnost vrstvy při otevření souboru a může nabývat hodnot 1 (odkrytá vrstva) a 0 (skrytá vrstva). Odkaz na vrstvu (druhý parametr) může obsahovat pouze písmena A–Z, a–z a číslice 0–9. Odkaz na vrstvu je možné použít v jednom dokumentu opakovaně, umožní nám to pracovat s více vrstvami současně a stejně. Všechny vrstvy se stejným odkazem mají stejnou viditelnost a jsou sloučeny do jedné společné vrstvy. V nástrojích PDF dokumentu je název společné vrstvy převzat z jména první vrstvy v seznamu. \begin{ocg}{jmeno2}{odkaz2}{1} První vrstva. \end{ocg} \begin{ocg}{jmeno3}{odkaz2}{1} Druhá vrstva. \end{ocg} Obsah vrstvy v jednom prostředí ocg je nutné umístit na jedinou stránku, neumožňuje přechod mezi jednotlivými stránkami. Do vrstvy lze vnořit další vrstvu. Vnořená vrstva je viditelná pouze v případě, že všechny nadřazené vrstvy jsou také viditelné. Prozatím jsme vysvětlili samotnou tvorbu vrstev, nikoliv jejich odkrývání a skrývání. S viditelností vrstev lze manipulovat klikacími odkazy v PDF dokumentu. Ukažme si syntaxi odkazu na následujícím příkladu: \switchocg{odkaz1}{Tlačítko 1} Touto syntaxí jsme vytvořili odkaz Tlačítko 1 na vrstvu značky odkaz1 (obsahující „Text ve vrstvě“). Jedním odkazem lze manipulovat s více vrstvami současně. Všechny vrstvy mají jedinečné pojmenování i jedinečný odkaz. Do prvního parametru příkazu pro tvorbu odkazu vypíšeme seznam druhých parametrů vybraných vrstev, které oddělujeme mezerou. Viditelnost vybraných vrstev může mýt libovolná. \begin{ocg}{jmeno4}{odkaz4}{1} První vrstva je viditelná. \end{ocg} Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 17 \begin{ocg}{jmeno5}{odkaz5}{0} Druhá vrstva je neviditelná. \end{ocg} \hfill \switchocg{odkaz4 odkaz5}{Tlačítko 2} Následuje přehled nabízených příkazů. \switchocg Takto vytvořený odkaz je univerzální. Je-li vrstva v PDF skrytá při otevření souboru, tímto odkazem se zobrazí. Odkaz funguje i pro odkryté vrstvy, kdy se vrstva skryje. Opětovným použitím odkazu lze skrýt/odkrýt danou vrstvu. \showocg Takto vytvořený odkaz funguje jen u vrstev, které jsou při otevření souboru zakryty. Odkliknutím tohoto odkazu se vrstva objeví a dalším odklikáváním odkazu se již neskryje. \hideocg Takto vytvořený odkaz funguje jen u vrstev, které jsou při otevření souboru odkryty. Odkliknutím odkazu se vrstva skryje a dalším odklikáváním odkazu se již vrstva znovu neobjeví. \actionsocg Takto vytvořený odkaz slučuje několik vrstev dohromady. Tvoří jej 4 argumenty, přičemž první 3 argumenty tvoří seznam použitých vrstev a čtvrtý argument název odkazu. První vrstva v seznamu je při otevření souboru odkryta, lze ji libovolně skrývat a odkrývat. Druhá vrstva v seznamu je při otevření souboru zobrazena a s prvním kliknutím na odkaz je skryta. Třetí vrstva v seznamu je při otevření souboru skryta a s prvním kliknutím na odkaz se objeví. Druhou a třetí vrstvu již nelze vrátit zpět do původního stavu. \begin{ocg}{jmeno6}{odkaz6}{1} Odkrytý text při otevření souboru, po odkliknutí tlačítka zmizí a znovu jej lze libovolně odkrývat a skrývat. \end{ocg} \begin{ocg}{jmeno7}{odkaz7}{1} Odkrytý text při otevření souboru, po odkliknutí tlačítka zmizí a znovu se již neobjeví. \end{ocg} \begin{ocg}{jmeno8}{odkaz8}{0} Skrytý text při otevření souboru, který se objeví po prvním odkliknutí tlačítka a již nezmizí. \end{ocg} \hfill \actionsocg{ocg6}{ocg8}{ocg7}{Tlačítko 3} Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 18 Balíčku ocgx bylo použito k vytvoření 11 výukových prezentací. Ve všech výukových prezentacích jsou nastaveny parametry tak, aby při otevření PDF souboru byly všechny vrstvy zakryté. Vrstvy lze odkrýt kliknutím na odkaz ve formě obrázků – oranžový otazník v kroužku a modrý vykřičník v kroužku (viz obrázek 1.4). Výklad učiva ve výukových prezentacích je doplněn otázkami, jednoduchými úkoly a shrnutími. Oranžový otazník skrývá/odkrývá odpovědi na otázky a modrý vykřičník řešení jednoduchých úkolů a shrnutí početních postupů. Obr. 1.4: Ukázka výukové prezentace Začínáme s kombinatorikou. 1.5 Formátování vzhledu prezentací Výukové prezentace byly vytvořeny ve třídě dokumentu beamer. Autory jsou Till Tantau, Joseph Wright a Vedran Mileti´c. Podrobný manuál je k dipozici zde https://www.ctan.org/pkg/beamer. Vzhled interaktivních testů byl formátován balíčkem pdfscreen, jehož autorem je C. V. Radhakrishnan. Balíček umožňuje lehké formátování obsahu dokumentu. Příkazy nastavujeme okraje, výšku, šířku a celou řadu jiných parametrů tak, aby se každá stránka na monitoru zobrazovala podle našich představ. Balíček umožňuje definici navigačního panelu s hypertextovými tlačítky. Kapitola 1. Tvorba interaktivních výukových materiálů 19 V preambuli zdrojového kódu musí být načten balíček pdfsrceen. Podrobný manuál a ukázky lze nalézt na https://www.ctan.org/pkg/pdfscreen. Tímto balíčkem byl ve všech testech AcroTEX nadefinován navigační panel pro lepší orientaci v testech (viz příloha 5.5). Každý učební celek má své barevné odlišení navigačního panelu, kombinatorika je modrá, pravděpodobnost oranžová a statistika čokoládová. Kapitola 2 Interaktivní výukové materiály V této kapitole si uvedeme přehled všech vytvořených výukových materiálů. Tyto materiály jsou k dipozici na přiloženém CD. Aby materiály byly snadno dostupné pro všechny zájemce, jsou uloženy v interaktivní osnově systému Schoology. Tento systém byl vybrán, protože je lehce přístupný pro žáky i učitele a práce s ním je intuitivní. Schoology je Learning Management System (LMS). Jedná se o nástroj, jehož hlavním účelem je spravování vzdělávacího obsahu. Umožňuje komunikaci mezi žáky a jejich učiteli, kontrolu práce žáků rodiči, zpřístupňování učebních materiálů, vytváření kurzů, tvorbu testů aj. Schoology je přístupné z kteréhokoliv počítače s připojením k internetu. Tento systém lze používat i na mobilních zařízeních a tabletech, je podporován mobilními operačními systémy Android a iOS. K přihlášení do systému je zapotřebí uživatelské jméno a heslo. Výhody při správném používání LMS: 1. přístup k učebním materiálům učitelům a žákům nezávisle na čase a místě, 2. možnost sledování aktivity žáků, 3. zefektivnění komunikace a spolupráce, 4. rozvoj různých metod učení a respektování individuálních schopností a dovedností každého žáka. Nevýhody při nesprávném používání LMS: 1. orientace na střední školy, vysoké školy a vzdělávání dospělých, 2. eliminace role učitele, 3. plné nahrazení „klasické“ výuky e-learningovými nástroji [40]. – 20 – Kapitola 2. Interaktivní výukové materiály 21 Obr. 2.1: Titulní strana kurzu Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. 2.1 Interaktivní osnova na Schoology V systému Schoology byl vytvořen kurz Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Pro vstup do tohoto kurzu je nutné použít tuto cestu: Courses → Join → napsat kód kurzu W53HS-9FRRH → Join. Součástí kurzu je interaktivní osnova (viz obrázek 2.1). V interaktivní osnově jsou k dipozici všechny vytvořené interaktivní výukové materiály. Interaktivní osnova kurzu je pro lepší orientaci rozdělena do 11 složek podle jednotlivých témat. Každé téma je představováno v krátkém motivačním textu, aby se zvýšil zájem žáků. Interaktivní výukové materiály jsou podle témat uloženy do složek. Uspořádání složek odpovídá pořadí kapitol a podkapitol v učebnici [4]. Složky Kombinatorika aneb pojďme si hrát!, Pravděpodobnost a statistika aneb pojďme si hrát! jsou určeny pro souhrnné opakování. Složka Příklady pro hlavy mazané obsahuje těžší příklady z kombinatoriky a pravděpodobnosti pro nadané žáky, dále úkoly ze statistiky a datový soubor pro práci s MS Excelem. Následuje přehled témat v interaktivní osnově s motivačními texty a interaktivními výukovými materiály. Typ výukového materiálu lze rozpoznat z názvu souboru. Název výukových materiálů končící prez.pdf označuje výukové prezentace, hra.pdf párovací hry, test.pdf interaktivní testy, Poznej.pdf hry Poznej! a Riskuj.pdf hry Riskuj! Základní kombinatorická pravidla V odvětví matematiky zvané kombinatorika nejde o nějaké sčítání dlouhého sloupce čísel zpaměti. Častá otázka zní:„Kolik?“ Problémy často bývají nastoleny jednoduše, bez nějaké doprovodné rozsáhlé matematické teorie – do jejich řešení se můžete pustit rovnou, nepotřebujete žádnou větší přípravu. Dětská říkanka Příběh ze St Ives ukrývající kombinatorickou otázku: Když jsem šel do St Ives, potkal jsem muže se sedmi ženami, každá žena nesla sedm pytlů, Kapitola 2. Interaktivní výukové materiály 22 v každém pytli bylo sedm koček, každá kočka měla sedm koťat. Koťata, kočky, pytle a ženy. Kolik jich šlo do St Ives? (Převzato z [6].) Název souboru (1 až 3) Začínáme s kombinatorikou prez.pdf Základní kombinatorická pravidla hra.pdf Kombinatorická pravidla Poznej.pdf Variace První poznávací značky u automobilů byly zavedeny za vlády císaře Františka Josefa I. Jednalo se o bílou tabulku s ručně psanými černými písmeny N (Praha), O (Čechy) nebo P (Morava) doplněnými trojmístným číslem (převzato z [30]). Do konce roku 2015 byla státní poznávací značka tvořena sedmimístným kódem, který byl sestavován ze znaků 0 až 9, A až Z. Druhá pozice kódu byla vyhrazena pro označení kraje (ABCEHJKLMPSTUZ), kde měl majitel vozidla trvalé bydliště (převzato z [44]). Kolik různých poznávacích značek mohlo být vydáno na úřadě za vlády císaře Františka Josefa I. a před koncem roku 2015? Změní se počet možných poznávacích značek, zakážeme-li opakování znaků? Název souboru (4 až 7) Začínáme s variacemi prez.pdf Začínáme s variacemi s opakováním prez.pdf Variace bez opakování test.pdf Variace s opakováním Poznej.pdf Permutace Steganografie je věda zabývající se utajením komunikace, ukrýváním zpráv a zatajováním probíhající komunikace. Do této oblasti patří třeba neviditelné inkousty. Pomocí steganografie dosáhneme jistého stupně utajení, ale když se ukrytou zprávu podaří odhalit, je celý její obsah prozrazen. Aby nedošlo k prozrazení obsahu zprávy, zpravidla se steganografické postupy kombinují s kryptografií. To znamená, že ukrytá zpráva je navíc ještě zašifrovaná šifrovacím klíčem, pomocí šifrovacího systému, který přeskupí nebo jinak zašifruje znaky ve větě podle předem dohodnutého hesla nebo jinak (převzato z [36]). Příkladem může být Caesarova šifra (IGKYGXUBG YOLXG), jejímž klíčem je číslo 7, tedy abeceda je posunuta o 7 míst (převzato z [11]). Bez klíče by bylo nutné použít hrubou sílu, tedy zkoušet všechna možná pořadí písmen. Jedná se o lehký nebo těžký úkol? Název souboru (8 až 11) Začínáme s permutacemi prez.pdf Začínáme s permutacemi s opakováním prez.pdf Permutace bez opakování hra.pdf Permutace s opakováním Poznej.pdf Kapitola 2. Interaktivní výukové materiály 23 Kombinace Stala se vražda! Bohatý pán Fortescue byl otráven bobulemi tisu! V podezření jsou úplně všichni: hospodyně slečna Doveová, služebná Gladys, kuchařka paní Crumpová, komorník pan Crump, sekretářka slečna Grosvenorová, účetní slečna Griffithová, nejstarší syn Percy, mladší syn Lance, dcera Elain, manželka Judy, její milenec Vivian, snacha Jennifer, tetička Effie. Šlo o pomstu, majetek, věno či to byla vražda ze žárlivosti? Na tuto záhadu musí přijít inspektor Neel. Jeho skvělou pomocnicí je slečna Marplová, která má nespočet životních zkušeností a poznala už mnoho lidí (převzato z [10]). Pokud by vraždu pana Fortescua spáchal jen jeden člověk, možných vrahů by bylo 13. Pokud by vraždu bohatého pána spáchala dvojice lidí, jaký je počet všech možných dvojic vrahů? Na tuto otázku panu inspektorovi Neelovi a slečně Marplové lehce odpoví kombinace. Název souboru (12 až 15) Začínáme s kombinacemi prez.pdf Začínáme s kombinacemi s opakováním prez.pdf Kombinace bez opakování Poznej.pdf Kombinace s opakováním test.pdf Počítání s faktoriály a kombinačními čísly Nyní se seznámíme s matematickými symboly n! a n k . Symbolem n! budeme rozumět faktoriál. Faktoriál je definován pro každé přirozené číslo, n! čteme „n faktoriál“ a platí: n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n. Symbolem n k budeme rozumět kombinační číslo. Kombinační číslo je definováno pro všechna celá nezáporná čísla n, k, za předpokladu, že k ≤ n. n k čteme „n nad k“ a platí: n k = n! k!(n − k)! . Název souboru (16 až 18) Počítání s faktoriály test.pdf Počítání s kombinačními čísly test.pdf Faktoriály a kombinační čísla Poznej.pdf Binomická věta Vzorec pro výpočet druhé mocniny mnohočlenu (a + b) známe již ze základní školy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Pokud bychom chtěli zjistit, čemu se rovná výraz (a+b)5 , jak bychom postupovali? Násobili bychom (a2 + 2ab + b2 )(a2 + 2ab + b2 )(a + b) nebo existuje snazší cesta? Ano, binomická věta! Kapitola 2. Interaktivní výukové materiály 24 Binomická věta je zobecnění vzorce (a+b)n pro všechna přirozená n. Šikovnou pomůckou při počítání binomické věty je Pascalův trojúhelník. Tento trojúhelník zřejmě poprvé sestavit Ťian Sien v 11. století v Číně, ale nese jméno po francouzském filozofovi, matematikovi a fyzikovi – Blaise Pascal (1623–1662). (Převzato z [6].) Jak Pascalův trojúhelník při výpočtech binomické věty využijeme? Čísla jednotlivých řádků trojúhelníků odpovídají binomickým koeficientům. Pokud tedy chceme zjistit koeficienty výrazu (a+b)5 , stačí se podívat na pátý řádek v Pascalově trojúhelníku. Už víme, bez dlouhého počítání, že (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 . Název souboru (19 až 20) Binomická věta 1 hra.pdf Binomická věta 2 test.pdf Kombinatorika aneb pojďme si hrát! Název souboru (21 až 26) Variace a kombinace hra.pdf Kombinatorika bez opakování 1 hra.pdf Kombinatorika bez opakování 2 Riskuj.pdf Kombinatorika s opakováním 1 hra.pdf Kombinatorika s opakováním 2 Riskuj.pdf Kombinatorika vše Riskuj.pdf Pravděpodobnost Jaká je pravděpodobnost, že zítra bude sněžit? Jakou mám šanci, že stihnu první ranní vlak? Jakou mám naději, že vyhraji v loterii? Matematická teorie pravděpodobnosti se dostala do popředí v 17. století během rozhovoru o problémech týkajících se hazardních her, jejž mezi sebou vedli Blaise Pascal, Pierre de Fermat a Antoine Gombaud (známý též pod jménem Chevalier de Méré). Lámali si hlavu nad jednoduchou hrou. Chevalier de Méré se ptal: „Co je pravděpodobnější, že při 4 hodech kostkou padne šestka, nebo dvě šestky při 24 hodech dvěma kostkami? Na co byste vsadili poslední peníze?“ (Převzato z [6].) Název souboru (27 až 37) Začínáme s pravděpodobností prez.pdf Začínáme s pravděpodobností jevů prez.pdf Pravděpodobnosti jevů 1 test.pdf Pravděpodobnost jevů 2 hra.pdf Kapitola 2. Interaktivní výukové materiály 25 Pravděpodobnost jevů 3 hra.pdf Věty o pravděpodobnosti 1 test.pdf Věty o pravděpodobnosti 2 Poznej.pdf Nezávislé jevy hra.pdf Binomické rozdělení hra.pdf Binomické rozdělení a nezávislé pokusy Poznej.pdf Podmíněná pravděpodobnost test.pdf Statistika Florence Nightingalová je připomínána jako ošetřovatelka, ale za svůj úspěch vděčí své znalosti statistiky. Sbírala data o úmrtích ve vojenské nemocnici Selimiye na okraji Istanbulu během krymské války. Na základě nashromážděných dat ukázala, jak její hygienická opatření předešla mnoha úmrtím. Na své prezentaci v Londýně své výsledky předváděla v podobě růžového grafu. Tato působivá vizuální pomůcka byla později přejmenována na koláčový graf. Na počest jejího narození 12. května 1820 se slaví Mezinárodní den ošetřovatelství (převzato z [11]). Název souboru (38 až 45) Začínáme se statistikou prez.pdf Začínáme s korelací prez.pdf Statistický soubor jednotka znak hra.pdf Statistika a rozdělení četností test.pdf Charakteristiky polohy 1 hra.pdf Charakteristiky polohy 2 test.pdf Charakteristiky variability a korelace test.pdf Práce s daty Poznej.pdf Pravděpodobnost a statistika aneb pojďme si hrát! Název souboru (46 až 47) Pravděpodobnost Riskuj.pdf Statistika Riskuj.pdf Příklady pro hlavy mazané Název souboru (48 až 50) Kombinatorika a pravděpodobnost.pdf Statistický výzkum.pdf Statistický výzkum data.xlsx Kapitola 3 Metodický návod Tato kapitola se věnuje vytvořeným výukovým materiálům z kombinatoriky, pravděpodobnosti a statistiky z didaktického hlediska. Vytvořené materiály jsou primárně určeny pro žáky gymnázií. Obsahově odpovídají požadavkům Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia. Očekávané výstupy žáků a okruhy v probíraném učivu jsou zmíněny v první podkapitole. Dále se věnujeme kombinatorice, pravděpodobnosti a statistice a vytvořeným výukovým materiálům. Nejdříve zmiňujeme zařazení tohoto tematického celku do učebních osnov středoškolské matematiky a základní literaturu. Podrobně se věnujeme otázkám ve výukových materiálech a zmiňujeme naši představu používání výukových materiálů. V závěru kapitoly uvádíme doporučený tematický plán s výukovými materiály. 3.1 Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Podle Rámcového vzdělávacího programu pro gymnázia [21] očekávanými výstupy žáka ve vzdělávacím obsahu práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost jsou: • Řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet). • Využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti, upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly. • Diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení. • Volí a užívá vhodné statistické metody k analýze a zpracování dat (využívá výpočetní techniku). • Reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a grafy, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k jejich odlišným charakteristikám. – 26 – Kapitola 3. Metodický návod 27 V probíraném učivu by měly být zahrnuty tyto okruhy: • Kombinatorika: elementární kombinatorické úlohy, variace, permutace, kombinace (bez opakování), binomická věta, Pascalův trojúhelník. • Pravděpodobnost: náhodný jev a jeho pravděpodobnost, pravděpodobnost sjednocení a průniku jevů, nezávislost jevů. • Práce s daty: analýza a zpracování dat v různých reprezentacích, statistický soubor a jeho charakteristiky (vážený aritmetický průměr, medián, modus, percentil, kvartil, směrodatná odchylka, mezikvartilová odchylka). 3.2 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Tematický celek kombinatorika, pravděpodobnost a statistika bývá obvykle zařazován do osnov 3. nebo 4. ročníku čtyřletého gymnázia. Vytvořené interaktivní výukové materiály jsou tedy určeny pro žáky těchto ročníků čtyřletého a vyššího stupně víceletého gymnázia. Předpokládáme-li tří hodinovou dotaci týdně, je této látce věnováno asi 30 hodin matematiky. Učebnice Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika z nakladatelství Prometheus [4] byla vybrána jako základní literatura. Podle ní bylo dodrženo pořadí témat. Učebnice je schválena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy České republiky a je zařazena do seznamu učebnic pro střední vzdělávání pro vzdělávací obor matematika. Cílem této práce bylo vytvořit komplexní výukové materiály z kombinatoriky, pravděpodobnosti a statistiky. Výukové prezentace obsahují výklad látky, řešené příklady a úkoly, které mají žákům pomoci pochopit probíranou látku a naučit je přemýšlet nad jednotlivými kroky řešení. Interaktivní testy, párovací hry, hry Riskuj! a Poznej! obsahují standardní příklady. Soubor Kombinatoirka a pravděpodobnost.pdf obsahuje náročnější příklady pro šikovné a nadané žáky. K vytváření mezipředmětových vztahů s informačními technologiemi slouží Statistický výzkum.pdf, jehož součástí jsou úkoly a data určená ke zpracování v MS Excelu. Žák tak využívá svých znalostí ze statistiky a dovedností s MS Excelem. Ve vytvořených materiálech používáme uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, uzavřené otázky s více správnými odpověďmi a otázky s tvořenou odpovědí. Uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí jsou voleny u příkladů, u nichž nás zajímá výsledek. Cílem těchto otázek je, aby žák provedl výpočet příkladu a dopočítal se ke správné odpovědi. Dále rozlišujeme tvar odpovědí v uzavřených otázkách. Ve vytvořených materiálech se můžeme setkat s vyčíslenými výsledky a s výsledky bez závěrečného vyčíslení. Časově náročnější je zjišťovat správnou odpověď na uzavřené otázky s vyčíslenými výsledky, neboť žák musí celý příklad dopočítat. Naopak uzavřené otázky s výsledky bez závěrečného vyčíslení jsou méně časově náročné, protože žák může odpovídat zpaměti. Odpovědi na otázky s tvořenou odpovědí je nutné zapisovat dle syntaxe. Doplňujeme-li matematický řetězec,výsledek je možno zapsat ve tvaru součinu, součtu, rozdílu a podílu, tedy Kapitola 3. Metodický návod 28 v nevyčíslené podobě. Upozorňujeme, že v tomto případě nedochází k vytváření představy o velikosti výsledku. Před samotnou tvorbou výukových materiálů byly stanoveny vzdělávací cíle. Rozumíme tím obsah samotného učiva (pojmy) a úroveň aplikace nových poznatků. K vytyčení vzdělávacích cílů jsme vycházeli z revidované Bloomovy taxonomie (2001). Ve vytvořených materiálech jsou obsaženy různě náročné úlohy, aby bylo možné zjistit, jaké úrovně vzdělávacích cílů žák dosáhl [5]. Následuje přehled očekávaných vzdělávacích cílů žáka na základě úloh ve vytvořených materiálech zařazených do revidované Bloomovy taxonomie. Kategorie Očekávané vzdělávací cíle žáka 1. Zapamatování Správně utvoří dvojice z nabízených pojmů. Doplní pojem na základě definice. Správně určí druh grafu z obrázku či popisu. 2. Porozumění Rozpoznává nedefinované výrazy faktoriálů a kombinačních čísel. Pozná bez výpočtu kombinační čísla se stejnou hodnotou. Upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly. Rozhoduje o správnosti tvrzení. Rozumí symbolickému zápisu zadání příkladu. Vypočítá lehké příklady. 3. Aplikace Používá správných postupů při výpočtech slovních úloh. Řeší příklady. Řeší faktoriály a kombinační čísla s neznámými. Aplikuje znalosti Pascalova trojúhelníku při binomickém rozvoji. Řeší příklad s různými podmínkami. Správně používá vzorec pro podmíněnou pravděpodobnost. 4. Analýza Určuje vhodná řešení u rovnic s neznámými. Rozlišuje variace, permutace a kombinace. Rozeznává jednotlivé druhy pravděpodobností. Interpretuje grafy a tabulky. Řeší příklady ze zadaných grafů a tabulek. Rozhoduje o správnosti tvrzení z předložených informací. 5. Hodnocení Posuzuje míru závislosti dvou znaků z grafu či tabulky. 6. Tvoření Vytváří vlastní postupy při řešení těžkých příkladů určené pro nadané žáky. Vytváří přehledné zpracování poskytnutých údajů. Údaje zpracovává v MS Excelu. Kapitola 3. Metodický návod 29 Očekáváme, že žák dokáže okamžitě odpovědět na otázky z kategorie zapamatování. U dalších otázek předpokládáme nutnost použít psací potřeby, případně kalkulačku. Používá-li výukové materiály žák k samostudiu, sám si volí pořadí otázek u všech her a testů. Jsou-li výukové materiály používány ve třídě s učitelem, doporučujeme dodržovat pořadí otázek v interaktivních testech. Pořadí otázek u párovacích her a Poznej! může volit sám učitel nebo volbu může přenechat žákům. Hry Riskuj! jsou určeny pro souhrnné opakování již probraného učiva. Doporučujeme, aby formát hry byl zachován a opravdu mezi sebou soutěžila dvě družstva, eventuálně dvojice žáků. Mají-li všichni žáci ve třídě k dispozici svůj počítač, může každý žák pracovat samostatně, popřípadě hrát Riskuj! ve dvojicích. Ukázky použitých příkladů Příklad uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí ve vyčíslené formě Příklad 1: Určete x ∈ R tak, aby pátý člen binomického rozvoje 2 x − √ x 9 byl roven 2016. Obr. 3.1: Zadání příkladu v testu Binomická věta. Řešení: K určení x ∈ R použijeme binomickou větu. Pro k-tý člen binomického rozvoje (a + b)n , kde n ∈ N, platí: n k − 1 an−(k−1) bk−1 . Dosazením získáváme: 9 4 2 x 5 ( √ x)4 . Víme, že hodnota pátého členu je rovna 2016, tedy: 9 4 2 x 5 ( √ x)4 =2016 9! 4!5! 32 x5 x2 =2016 126 32 x3 =2016 2 =x3 x = 3 √ 2 Kapitola 3. Metodický návod 30 Všechny provedené úpravy jsou ekvivalentní, neboť ze zadání víme, že x > 0. Pokud neznáme tvar k-tého členu obecného binomického rozvoje, použijeme binomickou větu pro 2 x − √ x 9 a určíme tvar pátého členu, který následně použijeme při výpočtu x. Binomická věta 2 test.pdf Příklad uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí v nevyčíslené formě Příklad 2: V zásilce je 20 výrobků, z nichž jsou 3 vadné. Vybereme namátkou 5 výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že: a) to nebudou zmetky? b) mezi nimi bude právě jeden zmetek? c) mezi nimi budou všechny vadné výrobky? Obr. 3.2: Zadání příkladu v testu Pravděpodobnosti jevů. Řešení: Ve všech třech případech budeme pracovat se stejným počtem všech možných výsledků. Z dvaceti výrobků v zásilce vybíráme náhodně pět, jedná se o pětičlenné kombinace z dvaceti prvků a jejich počet je 20 5 . Kapitola 3. Metodický návod 31 a) Ve výběru pěti výrobků ze dvaceti se nesmí vyskytovat vadné kusy. Ze všech možných dvaceti výrobků odebereme tři vadné, zbude nám sedmnáct nezávadných výrobků. Z těchto nezávadných sedmnácti výrobků namátkou taháme pět. Jedná se pětičlenné kombinace ze sedmnácti prvků, jejich počet je 17 5 . Nyní podělíme počet příznivých výsledků počtem všech možných výsledků. Pravděpodobnost, že ve výběru nebudou vadné výrobky, je: 17 5 20 5 . b) Ve výběru pěti výrobků ze dvaceti se vyskytuje právě jeden zmetek. Nejdříve ze tří vadných výrobků vybereme právě jeden, počet takových výběrů je roven 3 1 . Jeden výrobek již máme vybrán a čtyři zbývající výrobky vybereme z nezávadných. Jedná se o čtyřčlenné kombinace ze sedmnácti prvků a jejich počet je 17 4 . Použitím pravidla součinu dostáváme počet příznivých výsledků 3 1 17 4 . Pravděpodobnost, že ve výběru bude právě jeden zmetek je: 3 1 17 4 20 5 . c) Počet vadných výrobků je roven třem a všechny musí být obsaženy v náhodném výběru pěti výrobků ze dvaceti. Zbývá nám vybrat dva výrobky z nezávadných, jedná se dvoučlenné kombinace ze sedmnácti prvků a jejich počet je roven 17 2 . Pravděpodobnost, že ve výběru budou všechny vadné výrobky, je 17 2 20 5 . Pravděpodobnosti jevů 1 test.pdf Příklad uzavřené otázky s více správnými odpověďmi Příklad 3: Vyjádřete součet jedním kombinačním číslem 17 17 + 18 17 + 19 17 + 20 17 . Obr. 3.3: Zadání příkladu v testu Počítání s kombinačními čísly. Kapitola 3. Metodický návod 32 Řešení: Uvědomme si, že platí 17 17 = 1 = 18 18 , tedy součet má tvar: 18 18 + 18 17 + 19 17 + 20 17 . K výpočtu součtu použijeme vzorec pro přirozená čísla n, k, k < n: n k + n k + 1 = n + 1 k + 1 . Postupně dostáváme: 18 18 + 18 17 + 19 17 + 20 17 = = 19 18 + 19 17 + 20 17 = = 20 18 + 20 17 = = 21 18 Dále si uvědomíme, že pro všechna celá nezáporná čísla n, k, k ≤ n platí: n k = n n − k . Správná odpověď je: 21 18 a 21 3 . Počítání s kombinačními čísly test.pdf Příklad otázky s tvořenou odpovědí ve formě textového řetězce Příklad 4: Který člen binomického rozvoje (7 − 3x)8 obsahuje x3 ? Řešení: K určení členu rozvoje obsahující x3 použijeme binomickou větu. Začneme psát binomický rozvoj výrazu (7 − 3x)8 : 8 0 78 + 8 1 77 (−3x) + 8 2 76 (−3x)2 + 8 3 75 (−3x)3 + · · · Dál psát binomický rozvoj nemusíme, vidíme, že čtvrtý člen obsahuje x3 . Binomická věta 2 test.pdf Příklad otázky s tvořenou odpovědí ve formě matematického řetězce Příklad 5: Klenotník vybírá do prstenu čtyři drahokamy. K dispozici má pět rubínů, šest diamantů, dva smaragdy a tři safíry. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné? Kapitola 3. Metodický návod 33 Řešení: Klenotníkvybírádo prstenučtyřidrahokamy. Nezáležínapořadí,ve kterém drahokamy vybírá, a ve výběru se mohou vyskytovat drahokamy téhož druhu. Nejdříve uvažujme dostatečný počet drahokamů každého druhu. Počet výběrů čtyř drahokamů jsou čtyřčlenné kombinace s opakováním ze čtyř prvků, to je K (4, 4) = 7 4 . Smaragdů a safírů je nedostatečný počet. Zjistíme počet výběrů drahokamů, které nejsou možné a odečteme je od počtu výběrů drahokamů s dostatečným počtem. Klenotník má k dispozici tři safíry a dva smaragdy. Označíme-li rubíny R, diamanty D, smaragdy M a safíry F, zakázanými výběry jsou: {M, M, M, M}, {M, M, M, R}, {M, M, M, D}, {M, M, M, F}, {F, F, F, F}. Celkový počet výběrů čtyř drahokamů do prstenu je: 7 4 − 5 = 30. Kombinace s opakováním test.pdf Celkem bylo vytvořeno 50 výukových materiálů: 11 interaktivních testů, 12 párovacích her, 5 her Riskuj!, 8 her Poznej!, 11 výukových prezentací, 1 soubor obsahují příklady z kombinatoriky a pravděpodobnosti pro nadané žáky, 1 soubor obsahující úkoly ze statistiky a 1 datový soubor pro práci s MS Excelem. V testech, párovacích hrách, Riskuj! a Poznej! bylo použito a upraveno 122 příkladů z kombinatoriky, 56 z pravděpodobnosti a 69 ze statistiky. Úkoly a příklady ve výukových prezentací nejsou započítány. Příklady byly čerpány z nejrůznějších sbírek a zdrojů, všechny jsou uvedeny v seznamu použité literatury (viz 5.5). Použití interaktivních výukových materiálů Nabízíme tři možnosti využití vytvořených interaktivních výukových materiálů. I Součást výuky Předpokládáme technickou vybavenost třídy: počítač, interaktivní tabule či dataprojektor s tabulí. Výuka probíhá s pomocí vybraných interaktivních výukových materiálů (viz doporučený tematický plán 3.3). Práce s učebnicí je převážně nechána žákům jako domácí samostudium. II Samostudium pro žáky Interaktivní výukové materiály nejsou používány ve vyučování, ale slouží jako učební pomůcka žákům při domácím samostudiu. Příklady ve vytvořených materiálech jsou převážně čerpány z jiných zdrojů než z doporučované učebnice a mohou tak tvořit sbírku příkladů pro přípravu na zkoušení. Kapitola 3. Metodický návod 34 III Občasné využívání ve výuce Základním zdrojem teorie a příkladů je učebnice doplněná sbírkou příkladů. Dle uvážení učitele jsou hodiny matematiky zpestřovány interaktivními výukovými materiály. Opět předpokládáme technickou vybavenost třídy. 3.3 Doporučený tematický plán Nyní se budeme zabývat doporučeným tematickým plánem. Cílem vyučování pomocí interaktivních výukových materiálů je učinit hodiny matematiky zajímavými. Nežádoucím jevem je ztráta učiva a smysluplnosti hodin. Doporučujeme pracovat s interaktivní tabulí a zároveň s klasickou tabulí na zaznamenávání postupů s výpočty. Je možno nahradit interaktivní tabuli dataprojektorem s klasickou tabulí. Doporučujeme začít novou látku výukovými prezentacemi s výkladem učitele. Dále následuje procvičování příkladů a domácí samostudium. V doporučeném tematickém plánu neuvažujeme o žádném ústním ani písemném zkoušení. V pravé části se nachází doporučená hodinová dotace pro jednotlivé tematické celky a témata. Hodinová dotace pro jednotlivá témata je pouze hrubý odhad. Časová náročnost výukových materiálů nebyla stanovena a žádáme učitele, aby se řídili podle možností své třídy. Doporučený tematický plán tedy není závazný a lze jej libovolně upravit. Učivo je rozdělena do tří tematických celků: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Každý tematický celek je dále dělen na témata. V jednotlivých tématech jsou vypsány soubory, které se danou problematikou zabývají a jsou krátce charakterizovány. V tabulkách nejsou uvedeny názvy souborů, ale pouze jejich číselné označení. Tato číselná označení jsou k nalezení v kapitole 2, kde jsou seřazené soubory očíslovány 1 až 51. Materiály určené pro domácí samostudium jsou v tabulkách označeny horním indexem DÚ, např. 41DÚ . Klíč správných řešení (viz kapitola 5) je seřazen dle doporučeného tematického plánu. Kombinatorika 15 hod • Téma: Základní kombinatorická pravidla 2 hod Soubor Charakteristika IVM 1 Výuková prezentace; kombinatorika, kombinatorické pravidlo součtu, kombinatorické pravidlo součinu, řešené příklady, kontrolní otázky. 2 Párovací hra; aplikace kombinatorických pravidel součtu a součinu, úplné vyčíslení výsledků, odpovědi navíc. 3 Poznej! příklady na pravidla součtu a součinu, pro jednoho hráče, otázky s tvořenou odpovědí, uzavřené otázky, jedna správná odpo- věď. Kapitola 3. Metodický návod 35 • Téma: Variace 2 hod Soubor Charakteristika IVM 4 Výuková prezentace; variace, řešené příklady, počet variací, kontrolní otázky. 6 Test; pochopení a upevnění pojmu variace, příklady na výpočet variací, otázky s tvořenou odpovědí. • Téma: Permutace 1 hod Soubor Charakteristika IVM 8 Výuková prezentace; permutace, řešené příklady, faktoriál, počet permutací, kontrolní otázky. 10 Párovací hra; výpočet příkladu s různými podmínkami, úplné vyčíslení výsledků, odpovědi navíc. • Téma: Kombinace 2 hod Soubor Charakteristika IVM 12 Výuková prezentace; kombinace, řešené příklady, kombinační číslo, počet kombinací, kontrolní otázky. 14 Poznej! příklady na kombinace bez opakování, pro jednoho hráče, otázky s tvořenou odpovědí, uzavřené otázky, jedna správná odpo- věď. • Téma: Opakování 1 hod Soubor Charakteristika IVM 21DÚ Párovací hra; řešení rovnic v N s variacemi a kombinacemi. 22DÚ Párovací hra; výpočet variací, permutací a kombinací. 23 Riskuj! opakování učebního celku kombinatorika bez opakování, příklady na výpočty, pro dva hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. • Téma: Variace s opakováním 1 hod Soubor Charakteristika IVM 5 Výuková prezentace; variace s opakováním, řešené příklady, počet variací s opakováním, kontrolní otázky. 7 Poznej! příklady na variace s opakováním, pro jednoho hráče, otázky s tvořenou odpovědí, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. Kapitola 3. Metodický návod 36 • Téma: Permutace s opakováním 1 hod Soubor Charakteristika IVM 9 Výuková prezentace; permutace s opakováním, řešené příklady, počet permutací s opakováním, kontrolní otázky. 11 Poznej! příklady na permutace s opakováním, pro jednoho hráče, otázky s tvořenou odpovědí, uzavřené otázky, jedna správná odpo- věď. • Téma: Kombinace s opakováním 2 hod Soubor Charakteristika IVM 13 Výuková prezentace; kombinace s opakováním, řešené příklady, počet kombinací s opakováním, kontrolní otázky. 15 Test; příklady na výpočet kombinací s opakováním, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, otázky s tvořenou odpovědí. • Téma: Opakování 1 hod Soubor Charakteristika IVM 24DÚ Párovací hra; řešení rovnic v N s variacemi s opakováním, permutacemi s opakováním a kombinacemi s opakováním. 25 Riskuj! opakování učebního celku kombinatorika s opakováním, příklady na výpočty, pro dva hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. 26DÚ Riskuj! opakování učebního celku kombinatorika bez opakování a kombinatorika s opakováním, příklady na výpočty, pro dva hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. • Téma: Vlastnosti kombinačních čísel 1 hod Soubor Charakteristika IVM 16 Test; pochopení a upevnění pojmu faktoriál, výpočet faktoriálů, upravování výrazu s faktoriály, uzavřené otázky s jednou i více správnými odpověďmi, otázky s tvořenou odpovědí. 17 Test; pochopení a upevnění pojmu kombinační čísla, výpočet kombinačních čísel, řešení rovnic s kombinačními čísly, uzavřené otázky s jednou i více správnými odpověďmi. 18DÚ Poznej! příklady na faktoriály a kombinační čísla, pro jednoho hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. Kapitola 3. Metodický návod 37 • Téma: Binomická věta 1 hod Soubor Charakteristika IVM 19DÚ Párovací hra; určení číselné hodnoty členů v binomickém rozvoji, úplné vyčíslení výsledku, odpovědi navíc. 20 Test; pochopení a upevnění pojmu binomický rozvoj a Pascalův trojúhelník, užití binomického rozvoje, určení členů v binomickém rozvoji, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, otázky s tvořenou od- povědí. Pravděpodobnost 9 hod • Téma: Náhodné pokusy, množina možných výsledků pokusu a jevy 1 hod Soubor Charakteristika IVM 27 Výuková prezentace; náhodné pokusy, množina všech možných výsledků pokusu, jevy, jev nemožný, jev jistý, jev opačný, kontrolní otázky. • Téma: Pravděpodobnosti a pravděpodobnosti jevů 2 hod Soubor Charakteristika IVM 28 Výuková prezentace; pravděpodobnost jevů, sčítání pravděpodobností, pravděpodobnost opačného jevu, násobení pravděpodobností, řešené příklady, kontrolní otázky. 29 Test; příklady na výpočet pravděpodobnosti jevů, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, otázky s tvořenou odpovědí. 30 Párovací hra; pravděpodobnosti jevů, výpočet příkladu s různými podmínkami, úplné vyčíslení výsledků. 31DÚ Párovací hra; pravděpodobnosti jevů, výpočet příkladů s různými podmínkami, úplné vyčíslení výsledků, odpovědi navíc. • Téma: Sčítání pravděpodobností a nezávislé jevy 2 hod Soubor Charakteristika IVM 32 Test; příklady na výpočet sčítání pravděpodobností, otázky s tvořenou odpovědí, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, nevyčíslené výsledky. 33 Poznej! příklady na sčítání a násobení pravděpodobností, pro jednoho hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. 34DÚ Párovací hra; násobení pravděpodobností, výpočet příkladu s různými podmínkami, úplné vyčíslení výsledků. Kapitola 3. Metodický návod 38 • Téma: Nezávislé pokusy a binomické rozdělení 2 hod Soubor Charakteristika IVM 35DÚ Párovací hra; binomické rozdělení, výpočet příkladu s různými podmínkami, úplné vyčíslení výsledků, odpovědi navíc. 36 Poznej! příklady na výpočet nezávislých pokusů a binomického rozdělení, pro jednoho hráče, otázky s tvořenou odpovědí, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. • Téma: Podmíněná pravděpodobnost 1 hod Soubor Charakteristika IVM 37 Test; příklady na výpočet podmíněné pravděpodobnosti, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, otázky s tvořenou odpovědí. • Téma: Opakování 1 hod Soubor Charakteristika IVM 46 Riskuj! opakování učebního celku pravděpodobnost, příklady na výpočty, pro dva hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. Statistika 6 hod • Téma: Statistický soubor, jednotka, znak a rozdělení četností 1 hod Soubor Charakteristika IVM 38 Výuková prezentace; statistika, popisná statistika, statistický soubor, statistická jednotka, statistický znak, rozdělení četností, relativní rozdělení četností, grafické znázornění četností, kontrolní otázky. 40DÚ Párovací hra; vytváření dvojic z nabízených pojmů, pojmy z úvodu popisné statistiky. 41 Test; pochopení a upevnění pojmů z úvodu popisné statistiky, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, otázky s tvořenou odpo- vědí. • Téma: Charakteristiky polohy 1 hod Soubor Charakteristika IVM 42DÚ Párovací hra; výpočet charakteristik poloh ze zadané tabulky, aritmetický průměr, vážený aritmetický průměr, modus, medián, odpovědi navíc. 43 Test; příklady na výpočet charakteristik poloh, aritmetický průměr, vážený aritmetický průměr, geometrický průměr, harmonický průměr, modus, medián, uzavřené otázky s jednou správnou od- povědí. Kapitola 3. Metodický návod 39 • Téma: Charakteristiky variability a korelace 2 hod Soubor Charakteristika IVM 39 Výuková prezentace; korelace, koeficient korelace, vlastnosti koeficientu korelace, určování míry závislosti dvojice znaků z grafů, kontrolní otázky. 44 Test; pochopení a upevnění pojmů charakteristik variability a korelace, uzavřené otázky s jednou správnou odpovědí, otázky s tvořenou odpovědí. • Téma: Práce se statistickými daty 1 hod Soubor Charakteristika IVM 45 Poznej! interpretace tabulek a grafů, pro jednoho hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. • Téma: Opakování 1 hod Soubor Charakteristika IVM 47 Riskuj! opakování učebního celku statistika, příklady na výpočty, interpretace tabulek a grafů, pro dva hráče, uzavřené otázky, jedna správná odpověď. Příklady pro hlavy mazané • Kombinatorika a pravděpodobnost Soubor Charakteristika 48 Zadání pěti příkladů z kombinatoriky a tří příkladů z pravděpodobnosti pro dobrovolnou samostatnou práci žáků, pro nadané žáky. • Statistický výzkum Soubor Charakteristika 49 Zadání 8 úkolů ze statistiky pro dobrovolnou samostatnou práci žáků, předpokladem je využití výpočetní techniky k výpočtům, nápověda pro práci s MS Excelem. 50 Data statistického výzkumu určená pro zpracování MS Excelem. Kapitola 4 Výsledky z praxe Výuka matematiky pomocí vytvořených interaktivních výukových materiálů proběhla v septimě paní Mgr. Hany Ondrouchové na gymnáziu v Hodoníně (oficiální název školy Gymnázium, Obchodní akademie a Jazyková škola s právem státní závěrečné zkoušky Hodonín, příspěvková organizace). Třída byla vybavena počítačem s dataprojektorem, promítacím plátnem a tabulí na fixy. Promítací plátno bylo umístěno nad tabulí. Nové téma úvod do kombinatoriky a základní kombinatorická pravidla byla žákům představena výukovou prezentací Začínáme s kombinatorikou prez.pdf, základní kombinatorická pravidla byla procvičena na párovací hře Základní kombinatorická pravidla hra.pdf a hře Poznej! Kombinatorická pravidla Poznej.pdf. rozhodně ano asiano nevím anine rozhodně ne 4 12 0 7 1 Početžáků Obr. 4.1: Zaujala Vás výuka matematiky pomocí IVM? Výuka proběhla ve třídě s7A s dvaceti čtyřmi žáky. Nejdříve jsme si představili kombinatorická pravidla pomocí výukové prezentace. Na otázky v prezentaci odpovídali žáci a odpovědi jsme odkrývali pouze pro zajímavost. Následně jsme kombinatorická pravidla procvičili na párovací hře, kde jsem sama určovala pořadí – 40 – Kapitola 4. Výsledky z praxe 41 rozhodně ano asiano nevím anine rozhodně ne 5 13 3 3 0 Početžáků Obr. 4.2: Byla pro Vás výuka s využitím IVM přínosná? otázek. Žáci byli šikovní, neboť společnými silami dokázali vyřešit všechny příklady. Tabuli na fixy jsem používala k přehlednému zaznamenávání početních postupů a výsledků. Tento zápis doplněný vlastními poznámkami si žáci psali do svých sešitů. Žáci kladně hodnotili výslednou tajenku párovací hry „Vím, že nic nevím.“ a mezipředmětovou vazbu se základy společenských věd. V závěru vyučovací hodiny jsme započali hru Poznej!, kdy určení žáci sami vybírali otázky, které jsme následně s celou třídou hromadně řešili. Po skončení hodiny matematiky žáci vyplnili krátký evaluační dotazník (viz příloha 5.5). Uzavřené otázky s hodnotící škálou jsou zde zpracovány v grafech. rozhodně ano asiano nevím anine rozhodně ne 7 12 1 2 2 Početžáků Obr. 4.3: Uvítal/a byste výuku matematiky na střední škole pomocí IVM? Z evaluačních dotazníků vyplynulo, že polovina třídy se již někdy setkala s interaktivními výukovými materiály a to na základních školách. Druhá polovina Kapitola 4. Výsledky z praxe 42 třídy se s touto formou výuky setkala poprvé. Žáci by ocenili fungování těchto materiálů na svých zařízeních – chytré telefony a tablety. Jiní zastávají názor, že interaktivní výuka na střední a vysoké školy nepatří. Z uzavřených otázek s hodnotící škálou vyplývá, že alespoň 60 % žáků ve třídě výuka matematiky pomocí interaktivních výukových materiálů zajala, výuka byla pro ně přínosná a uvítali by podobný způsob výuky matematiky na střední škole. Interaktivní výukové materiály byly vyzkoušeny na interaktivní tabuli eBeam v počítačové učebně Ústavu matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity. Všechny materiály správně fungovaly a správně spolupracovaly s interaktivním fixem. Výukové prezentace, párovací hry a Riskuj! doporučujeme zobrazovat v režimu na celou obrazovku. Testy a hry Poznej! není vhodné zobrazovat v režimu na celou obrazovku. Pro odpovědi na otázky s tvořenou odpovědí potřebujeme mít zobrazenou klávesnici interaktivní tabule a v režimu na celou obrazovku je manipulace s touto klávesnicí nemožná. Kapitola 5 Klíč správných řešení V této kapitole jsou uvedena všechna správná řešení ke všem vytvořeným výukovým materiálům. Kapitola je rozdělena do pěti podkapitol: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika, příklady pro hlavy mazané a statistický výzkum. Uspořádání souborů v podkapitolách odpovídá doporučenému tématickému plánu. Pro lepší orientaci je vždy uveden název daného souboru. Pro lepší přehlednost jsou odpovědi párovacích her uvedeny i s otázkami. Pro úplnost řešení uvádíme i tajenky skrývající citáty slavných osobností. Správné odpovědi her Riskuj! a Poznej! jsou zapsány do tabulek, které odpovídají hracím plochám daných her. Řešení her Poznej! doplňujeme významnými místy Moravy. 5.1 Kombinatorika • Základní kombinatorická pravidla hra.pdf Z jednoho království do druhého a zpět, 400. Z jednoho království do druhého a zpět tak, že žádná cesta není použita dvakrát, 240. Z jednoho království do druhého a zpět tak, že z těchto devíti cest je právě jedna použita dvakrát, 140. Z jednoho království do druhého a zpět tak, že z těchto devíti cest jsou právě dvě použity dvakrát, 20. (Vím, že nic nevím.) • Kombinatorická pravidla Poznej.pdf Moravský kras A B C 1 60 120 384 2 23 25 000 s 6 720 3 720 Banánový muffin. 3 024 – 43 – Kapitola 5. Klíč správných řešení 44 • Variace bez opakování test.pdf 1) ne; 2) ano; 3) 1 413 720; 4) 336; 5) 210; 6) 36; 7) 294; 8) 210; 9) 32; 10) 5 520. • Permutace bez opakování hra.pdf Všech pořadí jejich vystoupení, 5 040. Všech pořadí, v nichž vystupuje Marťa po Evči, 2 520. Všech pořadí, v nichž vystupuje Marťa ihned po Evči, 720. Všech pořadí, v nichž Eliška a Ája nechtějí vystupovat po sobě, 3 600. Všech pořadí, v nichž vystoupí nejdříve všechny dívky a pak všichni chlapci, 240. (Člověk mnoho vydrží, má-li cíl.) • Kombinace bez opakování Poznej.pdf Slavkov u Brna A B C 1 896 38 798 760 43 758 2 5 720 14 420 3 660 126 325 • Variace a kombinace hra.pdf K(2, n) = 990, n = 45. V (2, n) = 992, n = 32. K(2, n + 4) = K(2, n) + 30, n = 6. V (2, n + 5) = V (2, n) + 1170, n = 115. K(2, n + 15) = 3 · K(2, n), n = 21. 10 · V (2, n − 27) = V (2, n), n = 40. 3 · K(2, n − 4) = K(2, n), n = 10. V (n, 3) = 5 · V (n, 2), n = 7. (I cesta dlouhá tisíc mil začíná prvním krokem.) • Kombinatorika bez opakování 1 hra.pdf 6 · V (2, 10) − P(4) = 516; 2 · V (3, 5) − 3 · V (2, 4) = 84; V (4, 4) − P(4) + V (2, 3) = 6; 4 · P(2) + 8 · V (1, 7) − V (2, 5) = 44; V (3, 7) − 2 · K(2, 5) = 190; 3 · K(3, 5) − P(5) + K(25, 2) = 210; K(1, 6) − K(4, 4) + 3 2 = 8; 2 · V (2, 10) − 3 1 · 3 1 = 171 (Musíš se mnoho učit, abys poznal, že málo víš.) • Kombinatorika bez opakování 2 Riskuj.pdf Permutace Variace Kombinace 100 15! 90! 4!86! 90 3 200 8! 7! 2!5! − 6! 2!4! 12 5 + 12 4 3 1 300 6! − 5! 17 11 5 + 2 11 4 400 4!(2!3!4!5!) 2·18! 5!13! 18 3 − 5 3 + 1 Kapitola 5. Klíč správných řešení 45 • Variace s opakováním Poznej.pdf Vranov nad Dyjí A B C 1 16 900 262 · 104 180 2 126 2 250 13 3 10 000 650 42 • Permutace s opakováním Poznej.pdf Petrovy kameny A B C 1 1 260 10 080 1 024 2 60 56 5 3 192 60 480 31 • Kombinace s opakováním test.pdf 1) 11; 2) 3 276; 3) 3 003; 4) 99 225; 5) 817 180; 6) 2 002; 7) 30; 8) 289 575; 9) 6; 10) 10. • Kombinatorika s opakováním 1 hra.pdf V (3, n + 1) − n · V (2, n − 1) = 61 + 7n, n = {4}; V (2, n + 1) + V (3, 2) = 17, n = {2}; V (3, n + 1) − n · V (2, n + 1) = 36, n = {5}; K (2, n) + K (2, n + 1) = 4, n = {1}; K (2, n) = K (2, n + 1) − 4, n = {3}; K (2, n) + K (2, n − 3) − K (2, n − 1) = 12, n = {6}; P (n, 2) − P (n − 1, 2) = 8, n = {7}; P (n, 3) − P (n − 4, 3) − P (n + 1, 1) = 120, n = {8}. (Vše, co je v člověku krásné, je očima neviditelné.) • Kombinatorika s opakováním 2 Riskuj.pdf Permutace Variace Kombinace 100 12 600 V (5, 3) 286 200 560 1 491 15 5 17 5 300 3P (2, 1, 1) 60 817 400 34 1 000 30 Kapitola 5. Klíč správných řešení 46 • Kombinatorika vše Riskuj.pdf A B C 100 56 117 600 38 200 27 22 n = {3} 300 120 8 2 16! 8!2!2!2! 0 400 231 210 n = {4, 5} • Počítáme s faktoriály test.pdf 1) ne; 2) ne; 3) (2 3 )!, √ 2!, 3,2!; 4) 70; 5) 1/42; 6) A > B; 7) n + 1. • Počítání s kombinačními čísly test.pdf 1) 6 9 , 2 −1 , 7√ 2 ; 2) 27 27 , 8 8 ; 3) 12 5 , 12 7 ; 4) 21 3 , 21 18 ; 5) 0; 6) x = {5}; 7) x = {5}. • Faktoriály a kombinační čísla Poznej.pdf Milotice A B C 1 1 n2−5n+6 4 1 840 2 2(n + 1) n = {4} n+1 2 3 (2n − 1)2 {[8; 6]} 120 • Binomická věta 1 hra.pdf Pátý člen binomického rozvoje ( √ 5 − 1)6 , 75. Třetí člen binomického rozvoje −i + 1 3 7 , −7i/3. Jedenáctý člen binomického rozvoje 1 5 − i 12 , −66/25. Osmý člen binomického rozvoje ( √ 3 + 1)9 , 108. Devátý člen binomického rozvoje (1 − √ 2)10 , 720. Třetí člen binomického rozvoje ( √ 2 + √ 3)8 , 672. (Naděje je poslední útěchou v neštěstí.) • Binomická věta 2 test.pdf 1) ne; 2) ano; 3) ano; 4) 21; 5) 29 √ 2 + 41; 6) 117 − 44i; 7) 70; 8) čtvrtý; 9) první, třetí, pátý, sedmý; 9) 3 √ 2. Kapitola 5. Klíč správných řešení 47 5.2 Pravděpodobnost • Pravděpodobnosti jevů 1 test.pdf 1. a) (17 5 ) (20 5 ) ; 1. b) (17 4 )(3 1) (20 5 ) ; 1. c) (17 2 ) (20 5 ) ; 2. a) 0,0478; 2. b) 0,3687. • Pravděpodobnosti jevů 2 hra.pdf Bude násobkem pěti, 1/5. Bude násobkem sedmi, 7/50. Nebude násobkem pěti, 4/5. Nebude násobkem sedmi, 43/50. Bude násobkem pěti a současně sedm, 1/50. Bude násobkem pěti nebo sedmi, 8/25. Nebude násobkem pěti a současně nebude násobkem sedmi, 17/25. Nebude násobkem pěti nebo nebude násobkem sedmi, 49/50. (Smích chytré lidi léčí. A jen blbce uráží.) • Pravděpodobnosti jevů 3 hra.pdf Na obou kostkách padne šestka; 1/36. Na obou kostkách padne liché číslo; 1/4. Alespoň na jedné kostce padne liché číslo; 3/4. Bude součet bodů na kostkách 5; 1/9. Bude součet bodů na kostkách menší než 5, 1/6. (Na světě nejsou nejkrásnější věci, ale okamžiky.) • Věty o pravděpodobnosti 1 test.pdf 1. a) 0,19; 1. b) 0,81 ; 2. a) 0,66; 2. b) 0,51; 3. a) (7 4)+(10 4 ) (17 4 ) ; 3. b) 10(7 3)+(7 4) (17 4 ) . • Věty o pravděpodobnosti 2 Poznej.pdf Skalní útvar Hřebenáč A B C 1 0,1087 Čtyři hody jednou kostkou. (28 8 )+(4 1)(28 7 ) (32 8 ) 2 (5 2)(5 4) (10 6 ) 25(6 2) (31 3 ) 0,815 3 1/4 0,8379 4 • Nezávislé jevy hra.pdf P(A ∩ B ), 1/3; P(A ∪ B), 5/6; P(A | B), 2/3; P(B | A), 1/2; P(A ∪ B) , 1/6. (Dřív rozbiješ atom, než pomluvu.) Kapitola 5. Klíč správných řešení 48 • Binomické rozdělení hra.pdf Zasáhne terč právě dvakrát; 0,441. Zasáhne terč právě dvakrát, a to dvěma po sobě jdoucími střelami; 0,294. Zasáhne terč nejvýše jednou; 0,216. Nezasáhne terč ani jednou; 0,027. (Trpělivost je hradbou moudrého.) • Binomické rozdělení a nezávislé pokusy Poznej.pdf Meandr řeky Dyje A B C 1 0,59 0,504 0,18 2 18 80 + 20 80 0,363 0,886 3 0,00729 0,76 0,9045 • Podmíněná pravděpodobnost test.pdf 1) 0,195; 2) 0,479; 3) 1/3; 4) 1/50; 5) 4/19. • Pravděpodobnost Riskuj.pdf A B C 100 0,88 0,20 0,137 200 0,47 0,63 35/36 300 8/15 0,35 2/3 400 0,36 2!3!4!5!5! 15! 19/33 5.3 Statistika • Statistický soubor jednotka znak hra.pdf Množina všech objektů statistického pozorování; statistický soubor. Prvek množiny všech objektů statistického pozorování; statistická jednotka. Počet všech objektu prvku statistického souboru; rozsah souboru. Společná vlastnost statistických prvku, jejíž proměnlivost je předmětem statistického zkoumání; statistický znak. Znak, jehož hodnoty se liší číselnou velikostí; kvantitativní znak. Znak, jehož hodnoty se liší kvalitou; kvalitativní znak. (Někdy i žít je statečným činem.) Kapitola 5. Klíč správných řešení 49 • Statistika a rozdělení četností test.pdf 1) Popisná statistika; 2) ne; 3) sloupkový diagram; 4. histogram; 5) 36 minut. • Charakteristiky polohy 1 hra.pdf Modus známek; 1. Nejvyšší počet kreditů; 8. Medián známek; 1,5. Medián počtu kreditů; 5. Aritmetický průměr známek; 2. Vážený průměr známek; 2,11. (Největší potupa je, když člověka pochválí blbec.) • Charakteristika polohy 2 test.pdf 1) nelze určit; 2) klesne o 400 Kč; 3) 17 %; 4) 73,2 ◦ C; 5) Z daných informací nemůžeme jednoznačně rozhodnout, jestli kamarádi měřili se stejnou přesností; 6) 12 %; 7) 22,86 t/ha; 8) 3,5 hodin; 9) 12 sekund; 10) Med(x) = 0,99 kg a Mod(x) = 0,95 kg. • Charakteristiky variability a korelace test.pdf 1) Směrodatná odchylka; 2) ano; 3) Variační koeficient; 4) Z daných informací nemůžeme jednoznačně rozhodnout, jestli kamarádi měřili se stejnou přesností; 5) Koeficient korelace; 6) ne; 7) Mezi znaky x a y není významná závislost; 8) Mezi znaky x a y je silná lineární závislost, přičemž růstu znaku x odpovídá pokles znaku y; 9) Aritmetické průměry a směrodatné odchylky obou znaků. • Práce s daty Poznej.pdf Buchlovice A B C 1 20 167 cm 945 2 100 Prodejna E o 250 více 3 20 % 978 Kč 60 Kč • Statistika Riskuj.pdf A B C 100 22 % Mod(x) = 9, Med(x) = 8 249,7 g 200 3,8 % rozptyl Mezi znaky x a y neexistuje žádná lineární závislost. 300 48 minut nezmění se Více než 60 % žáků má známku horší než 2. 400 5,53 % 16 Mezi znaky x a y je středně silná lineární závislost, přičemž růstu znaku x odpovídá pokles znaku y. Kapitola 5. Klíč správných řešení 50 5.4 Příklady pro hlavy mazané Tato podkapitola se věnuje příkladům ze souboru Kombinatorika a pravděpodobnost.pdf. Příklady jsou určeny pro nadané žáky. Správná řešení jsou doprovázena krátkými komentáři k postupu řešení. Příklad 1 Rozdělíme všechna vyhovující rozesazení cestujících do dvou skupin podle toho, zda Honzíček s Leničkou sedí ve směru, respektive proti směru jízdy vlaku. Nejprve uvažujme situaci, kdy Honzíček a Lenička sedí ve směru jízdy. Dvě dámy, které chtějí sedět ve směru jízdy, můžeme rozesadit 2! způsoby, zbývající tři cestující si mohou sednout libovolně na čtyři sedadla proti směru jízdy, to je 3! 4 3 způsoby. Počet možností je 2!3! 4 3 . Nyní uvažujme situaci, kdy Honzíček s Leničkou sedí proti směru jízdy. Dvě dámy, které chtějí sedět ve směru jízdy, můžeme rozesadit 2! 4 2 způsoby, na zbylá čtyři místa si mohou zbývající tři cestující sednout libovolně, to je 3! 4 3 způsoby. Počet možností je 2!3! 4 2 4 3 . Užitím kombinatorického pravidla součtu získáme celkový počet usazení cestujících 2!3! 4 3 + 2!3! 4 2 4 3 = 336. Příklad 2 Slovo RÁKOSNÍČEK obsahuje 4 samohlásky a 6 souhlásek. Pro určení umístění samohlásek máme 10 4 způsobů, zbývající volná místa jsou určená pro souhlásky jednoznačně. Pořadí samohlásek je pevně dáno abecední pořádkem a pořadí souhlásek lze určit P (2, 1, 1, 1, 1) = 6! 2! . Užitím kombinatorického pravidla součinu získáváme celkový počet možných slov 6! 2! 10 4 = 75 600. Příklad 3 Krotitel musí mezi každé dva tygry umístit lva, předpokládáme tedy, že n ≥ ≥ m−1. Je-li n < m−1, počet možných seřazení tygrů a lvů je 0. Předpokládejme, že n ≥ m − 1. Nejprve mezi každé dva tygry umístíme jednoho lva a zůstane nám n − (m − 1) = n − m + 1 lvů na další umístění. Nyní budeme považovat tygra a jeho následujícího lva za jeden prvek, poslední tygr nemá žádného následujícího lva. Díky této úvaze můžeme zbylé lvy doplnit libovolně a nijak nebude narušeno předepsané pořadí šelem. Počet možností je m+(n−m+1) n−m+1 = n+1 n−m+1 . Rozlišujeme-li jednotlivé šelmy, celkový výsledek je n!m! n + 1 n − m + 1 . Příklad 4 Příklad vyřešíme převedením posazených rytířů v kruhu na posloupnost. Pevně si zvolíme rytíře číslo 1, po směru hodinových ručiček každému rytíři Kapitola 5. Klíč správných řešení 51 přiřadíme číslo až do 2n. Rozlišujeme dvě situace podle toho, zda rytíř číslo 1 na výpravu jede či nikoliv. Každému rytíři jedoucímu na výpravu pro princeznu připojíme jednoho rytíře před ním, který zůstává doma. Rytíř číslo 1 nejede zachránit princeznu, po spárování budeme za prvního rytíře řadit 2n − 1 − r rytířů. V tomto případě máme 2n−1−r r možností výběru r zachránců. Rytíř číslo 1 jede zachránit princeznu, na pozici 2n stojí rytíř, který zůstává doma. Po spárování budeme za prvního rytíře řadit 2n − 2 − (r − 1) rytířů, a protože máme již jednoho zachránce vybraného, zbylo r − 1 volných míst pro zachránce. V tomto případě máme 2n−1−r r−1 možností výběrů zachránců princezny. Použitím kombinatorického pravidla součtu získáváme výsledek 2n − 1 − r r + 2n − 1 − r r − 1 . Příklad 5 Výběr míst pro sudé cifry lze provést 2n n způsoby a umístění lichých cifer je již jednoznačně určeno. Na každou vybranou pozici lze umístit některou z pěti sudých cifer nebo některou z lichých cifer, celkem máme 5n · 5n = 52n způsobů výběrů cifer. Užitím kombinatorického pravidla součinu získáváme 52n 2n n možností k sestavení 2n-ciferných přirozených čísel. Avšak jsou zde započítána i čísla začínající cifrou 0. Počet cifer začínajících nulou je 52n−1 2n−1 n−1 . Celkový počet 2n-ciferných přirozených čísel je 52n 2n n − 52n−1 2n − 1 n − 1 . Příklad 6 Nejdříve vyřešíme počet všech možných jevů. Ze čtyř klobouků vytváříme uspořádané čtveřice a to lze 4! způsoby. a) Žádný klobouk nesmí být správně umístěn, takže prvnímu kabátu lze přiřadit 3 klobouky, které k němu nepatří, druhému kabátu lze přiřadit také 3 klobouky, které k němu nepatří, zbylé dva klobouky jsou určeny jednoznačně s ohledem na naši podmínku. Počet umístění čtyř klobouků tak, aby žádný nebyl správně umístěn je 3 · 3 = 9. Pravděpodobnost tohoto jevu je P(A) = 3 8 . b) Ze čtyř klobouků vybereme jeden, který správně umístíme, to jsou 4 1 = 4 výběry klobouku. Zbylé tři klobouky musíme umístit špatně. Umisťujeme-li špatně první klobouk, máme 2 možnosti, umístění zbylých dvou klobouků je již jednoznačně dáno. Použitím kombinatorického pravidla součinu získáváme 4·2 = 8 možností umístění právě jednoho klobouku. Pravděpodobnost tohoto jevu je P(B) = 8 4! = 1 3 . c) Ze čtyř klobouků vybere dva, které správně umístíme, to je 6 výběrů klobouku. Zbývající dva klobouky lze umístit jedním způsobem, aby Kapitola 5. Klíč správných řešení 52 splňovaly podmínku špatného umístění. Pravděpodobnost tohoto jevu je P(C) = 4 2 4! = 1 4 . d) Jsou-li tři klobouky správně umístěny, kam špatně umístíme čtvrtý klobouk? Taková situace nemůže nastat. Pravděpodobnost tohoto jevu je P(D) = 0. e) Pouze v jednom případě jsou všechny klobouky správně umístěny, pravděpodobnost tohoto jevu je P(E) = 1 4! . Příklad 7 Označme P(N) . . . pravděpodobnost, že dva lidé z n-členné skupiny mají narozeniny ve stejný den a P(N) pravděpodobnost, že dva lidé z n-členné skupiny nemají narozeniny ve stejný den. Platí P(N) = 1 − P(N). Nejdříve určíme P(N). První člověk může mít narozeniny libovolný den v roce, pravděpodobnost, že druhý člověk bude mít narozeniny v jiný den než první člověk, je 364 365 , pravděpodobnost, že třetí člověk bude mít narozeniny v jiné dny než první a druhý, je 364 365 · 363 365 , . . . , pravděpodobnost, že n-tý člověk bude mít narozeniny v jiný den než předchozích (n − 1) lidí, je 364 365 · 363 365 · · · 365 − (n − 1) 365 . Tento zlomek upravíme tak, že čitatele i jmenovatele vynásobíme (365 − n)!. P(N) = 364 · 363 · · · (365 − n + 1) 365n · (365 − n)! (365 − n)! = 365! 365n(365 − n)! . Pro P(N) tedy platí P(N) = 1 − P(N) = 1 − 365! 365n(365 − n)! . Dále víme, že P(N) je alespoň 50 %, což splňuje n = 23. Je-li ve třídě 23 žáků, je 50 % pravděpodobnost, že dva budou mít narozeniny ve stejný den. Příklad 8 K řešení tohoto příkladu použijeme podmíněnou pravděpodobnost a pro přehlednost si sestavíme následující schéma, v němž použijeme následující označení: N . . . pacient trpí nemocí T . . . test na protilátky je pozitivní N . . . pacient nemocí netrpí T . . . test na protilátky je negativní 0,93 0,015 0,008 0,07 0,992 0,985 N N Populace T TT T Kapitola 5. Klíč správných řešení 53 První řádek ve schématu vyjadřuje pravděpodobnost výskytu daného stavu (pacient je/není nemocen), druhý řádek vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost, výsledek testu za předpokladu daného stavu. Počítáme-li „daný stav“ a zároveň „výsledek testu“, použijeme větu o násobení pravděpodobností, neboť se jedná o jevy nezávislé. P(N ∩ T) = 0,008 · 0,93 = 0,00744 P(N ∩ T) = 0,992 · 0,015 = 0,01488 P(N ∩ T) = 0,008 · 0,07 = 0,00056 P(N ∩ T) = 0,992 · 0,985 = 0,97712 Pravděpodobnost, že určitá osoba, jejíž test byl pozitivní, skutečně onu nemoc má, zjistíme z podmíněné pravděpodobnosti P(N|T) = P(N ∩ T) P(T) , kde P(T) určíme ze vzorce pro celkovou pravděpodobnost: P(T) = P(N ∩ T) + P(N ∩ T) = 0,02232. Tedy P(N|T) = 0,00744 0,02232 = 1 3 . Pravděpodobnost, že osoba, jejíž test byl pozitivní, skutečně onu nemoc má, je 33,3 %. 5.5 Statistický výzkum V této podkapitole se věnujeme správnému řešení úkolů ze souboruStatistický výzkum.pdf. Součástí jsou data obsažená v Statistický výzkum data.xlsx, které je nutné zpracovat v MS Excelu. Řešení obsahuje tabulky a grafy vytvořené v MS Excelu. Úkol 1 Hodnoty statistického znaku ŠKOLA se liší kvalitou, jde o příklad kvalitativního znaku. Obr. 5.1: Tabulka rozdělení četností statistického znaku ŠKOLA. Kapitola 5. Klíč správných řešení 54 Úkol 2 Obr. 5.2: Tabulka rozdělení četností žen podle typu škol. Obr. 5.3: Histogram rozdělení četností žen podle typu škol. Kapitola 5. Klíč správných řešení 55 Úkol 3 Obr. 5.4: Tabulka intervalového rozdělení četností znaku ZNÁMKA. Obr. 5.5: Polygon intervalového rozdělení četností znaku ZNÁMKA. Úkol 4 Medián statistického znaku IQ je 109 a modus stejného znaku 105. Medián je prostřední hodnota statistického znaku, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti. Jinými slovy půlí uspořádané hodnoty statistického znaku. Modus je hodnota s nejvyšší četností. Kapitola 5. Klíč správných řešení 56 Úkol 5 Obr. 5.6: Průměr statistického znaku ZNÁMKA dle typu škol. Úkol 6 Po zaokrouhlení na dvě dvě desetinná místa směrodatná odchylka statistického znaku IQ je 10,87 a variační koeficient 9,82. Po zaokrouhlení na dvě dvě desetinná místa směrodatná odchylka statistického znaku ZNÁMKA je 0,72 a variační koeficient 29,75. Směrodatná odchylka charakterizuje variabilitu znaku v týchž jednotkách měření, v jakých jsou dány hodnoty znaku. Variační koeficient charakterizuje variabilitu znaku bezrozměrným číslem v procentech. Úkol 7 Maximální hodnota statistického znaku IQ je 138 a minimální hodnota 80. Maximální hodnota statistického znaku ZNÁMKA je 4,06 a minimální hodnota 1,00. Úkol 8 Po zaokrouhlení na dvě desetinná místa variační koeficient znaků IQ a ZNÁMKA je −0,69. Mezi statistickými znaky IQ a ZNÁMKA existuje mírně silná nepřímá lineární závislost. V grafickém znázornění dvourozměrným tečkovým diagram lze očekávat tvar podobající se klesající lineární funkci. Obr. 5.7: Dvourozměrný tečkový diagram znaků IQ a ZNÁMKA. Závěr Touto prací vznikly interaktivní výukové materiály z kombinatoriky, pravděpodobnosti a statistiky pro střední školy pomocí pdfLaTEXu a nástavbových balíčků AcroTEX, dps, jeopardy, ocgx, pdfscreen a beamer. Celkem bylo vytvořeno 11 výukových prezentací, 11 interaktivních testů, 12 párovacích her, 5 her Riskuj! a 8 her Poznej! Materiály obsahují 122 příkladů z kombinatoriky, 56 z pravděpodobnosti a 69 ze statistiky. Příklady byly čerpány z nejrůznějších sbírek a zdrojů, jenž jsou všechny uvedeny v seznamu použité literatury. Příklady byly ze zdrojů převzaty, byla jim modifikována zadání, byly změněny číselné hodnoty či byly vymyšleny. Dále byly výukové materiály doplněny příklady z kombinatoriky a pravděpodobnosti pro nadané žáky a úkoly ze statistiky pro práci MS Excelem. Dále tato práce nabízí popis balíčku ocgx, který doposud v češtině nebyl popsán. Přínosem je i správné zobrazování českých znaků s diakritikou v interaktivních testech a v tajenkách párovacích her. K tomu bylo použito oktal-kódování v UTF-16BE Unicode RNDr. Petra Olšáka. V této práci se nevyskytuje velké množství řešených příkladů z kombinatoriky, pravděpodobnosti a statistiky. Cílem práce nebylo vytvořit sbírku řešených příkladů, kterých k těmto tematickým celkům existuje nepřeberné množství. Cílem vytvořených výukových materiálů je zpestřit výuku matematiky na středních školách a přiblížit tak žákům tematické celky kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Vytvořené materiály mohou používat pedagogové ve svých hodinách, ale i žáci ke svému samostudiu. Tato práce má být inspirací pedagogům, aby si sami tvořili interaktivní výukové materiály zcela zdarma a snadno pomocí pdfLATEXu a jeho balíčků. Tímto způsobem nemusí být vytvářeny materiály pouze pro matematiku. – 57 – Příloha Definice navigační lišty (viz Vzorové pdfscreen.pdf): \usepackage[screen,rightpanel,blue,czech]{pdfscreen} \def\NavigationPanel{\normalsfcodes% \vspace*{20pt} \centering\null\vspace*{10pt} \includegraphics[width=1cm]{emblema}\par\vspace*{15pt} \Acrobatmenu{FirstPage}{\addButton{\smallbuttonwidth} {\FBlack\scalebox{.8}[1.4]{\btl\btl}}}\hspace*{-2pt} \Acrobatmenu{LastPage}{\addButton{\smallbuttonwidth} {\LBlack\scalebox{.8}[1.4]{\rtl\rtl}}}\\\vfill \Acrobatmenu{PrevPage}{\addButton{\smallbuttonwidth} {\FBlack\scalebox{.8}[1.4]{\btl}}}\hspace*{-2pt} \Acrobatmenu{NextPage}{\addButton{\smallbuttonwidth} {\LBlack\scalebox{.8}[1.4]{\rtl}}}\\\vfill \Acrobatmenu{GoToPage}{\addButton{\buttonwidth} {Strana\space\textcolor{red}{\thepage}\space{z}\space \textcolor{red}{\ScreenLastPage}}}\\\pfill \Acrobatmenu{Quit}{\addButton{\buttonwidth}{Konec}}\\ \vspace*{30pt}} – 58 – Příloha 59 Evaluační dotazník pro výuku s Interaktivními výukovými materiály Název školy: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Název vyučovací jednotky: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Datum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Třída: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Už jste někdy pracoval/a s interaktivními výukovými materiály? Pokud ano, s jakými, kdy a v jakém vyučovacím předmětu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ohodnoťte náročnost výuky dle nabídnuté hodnotící škály: velice snadné snadné přiměřeně náročné obtížné velice obtížné 3. Byla zadání všech úkolů srozumitelná? Pokud ne, blíže specifikujte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Zaujala Vás výuka matematiky pomocí IVM? rozhodně ano asi ano nevím ani ne rozhodně ne 5. Co byste změnil/a? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Byla pro Vás výuka s využitím IVM přínosná? rozhodně ano asi ano nevím ani ne rozhodně ne 7. Uvítal/a byste výuku matematiky na střední škole pomocí IVM? rozhodně ano občas nevím zřídka rozhodně ne Děkuji za pečlivost a čas, který byl věnován dotazníku! Kateřina Rebendová Seznam použité literatury [1] BUDÍKOVÁ, Marie, Štěpán MIKOLÁŠ a Pavel OSECKÝ. Popisná statistika. 4. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, 48 s. ISBN 978-80-210-4246-9. [2] BUDÍKOVÁ, Marie, Štěpán MIKOLÁŠ a Pavel OSECKÝ. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika: sbírka příkladů. 3. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 116 s. ISBN 80-210-3313-4. [3] BUŠEK, Ivan. Řešené maturitní úlohy z matematiky. 3. přeprac. vyd. Praha: Prometheus, 2002, 631 s. ISBN 807196140x. [4] CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2012, 170 s. ISBN 978-80-7196-365-3. [5] Cizlerová, Michaela a Martina KVĚTOŇOVÁ. Matematika pro střední školy: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika – Průvodce pro učitele. 1. vyd. Brno: Didaktis, 2012, 224 s. ISBN 978-80-7358-198-5. [6] CRILLY,Tony. Matematika: 50 myšlenek, které musíte znát. 1. Vyd. Praha: Slovart, 2010, 208 s. ISBN 978-80-7391-409-7. [7] HERMAN, Jiří, Radan KUČERA a Jaromír ŠIMŠA. Metody řešení matematických úloh II. 3. přeprac. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 355 s. ISBN 80- 210-3569-2. [8] HORENSKÝ, Radek, Ivana JANŮ, Martina KVĚTOŇOVÁ, Hana LUKŠOVÁ a Rita VÉMOLOVÁ. Matematika pro střední školy: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 1. vyd. Brno: Didaktis, 2015, 2 svazky (88; 96 stran). ISBN 978-80-7358-238-8. [9] HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2007, 415 s. ISBN 978- 80-7196-318-9. [10] CHRISTIE, Agatha. Kapsa plná žita. 3. vyd. Praha: Knižní klub, 2009, 224 s. ISBN 978-80-242-2458-9. [11] JACKSON, Tom a Richard BEATTY. Matematika: 100 objevů, které změnily historii. Praha: Slovart, 2013, 144 s. ISBN 978-80-7391-770-8. – 60 – Seznam použité literatury 61 [12] PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 287 s. ISBN 80-7196-099-3. [13] RIEČAN, Beloslav a Zdena RIEČANOVÁ. O pravdepodobnosti. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1976, 101 s. [14] SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky: vyšší obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 112 s. ISBN 80-211-0397-3. [15] SÝKORA, Václav. Matematika: sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky: základní obtížnost. 1. vyd. Praha: Tauris, 2001, 96 s. ISBN 80-211-0400-7. [16] VRBA, Antonín. Kombinatorika. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1980, 130 s. [17] BŘÍZOVÁ, Jana. Interaktivní výukové materiály v PDF formátu – Diferenciální počet funkcí více proměnných [online]. [cit. 2015-08-31]. Diplomová práce, Brno, Masarykova univerzita, 2015. Dostupné z: https://is.muni.cz/auth/ th/369783/prif_m/DP_Brizova_Jana_369783.pdf. [18] FIEDOR, David. Statistika na střední škole [online]. [cit. 2015-08-31]. Bakalářská práce, Brno, Masarykova univerzita, 2010. Dostupné z: https: //is.muni.cz/auth/th/269830/prif_b/Bakalarska_prace_- _Statistika_na_stredni_skole.pdf?lang=cs. [19] MAŘÍK, Robert. Interaktivní matematika [online]. 2015 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id= interaktivni_matematika.md#matematicke_hry. [20] MAŘÍK, Robert, Roman PLCH a Petra ŠARMANOVÁ. Tvorba interaktivních testu pomocí systému AcroTEX [online]. 2010 [cit. 2015-08- 31]. Dostupné z: http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/ prirucka_acrotex.pdf. [21] Kolektiv autorů. Rámcový vzdělávací program pro gymnázia. [cit. 2015-12- 12]. Dostupné z: http://www.msmt.cz/uploads/soubory/PDF/RVPG_ 2007_06_final.pdf. [22] LITSCHMANNOVÁ, Martina. Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti (interaktivní učební text) – Řešené příklady [online]. [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/ resene_priklady_pravdepodobnost.pdf. [23] OLŠÁK, Petr. PDFuni – akcenty v PDF záložkách [online]. [cit. 2016-02-15]. Dostupné z: http://petr.olsak.net/ftp/olsak/opmac/pdfuni- article.pdf. [24] OTIPKA, Petr a Vladislav ŠMAJSTRLA.Pravděpodobnost a statistika [online]. Ostrava 2006 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: https://homen.vsb.cz/ ˜oti73/cdpast1/. Seznam použité literatury 62 [25] PAVLAS, Jan. Interaktivní hry a testy pro výuku předmětu Matematická analýza I. [online]. [cit. 2015-10-23] Bakalářská práce, Ostrava, Technická univerzita Ostrava, 2010. Dostupné z: http://www.fei.vsb.cz/export/sites/fei/ k470/cs/theses/bakalari/2010/pdfs/pav569.pdf. [26] ROSKOVEC, Tomáš. Kombinatorika na želvách. [online]. [cit. 2015-10- 23]. Dostupné z: http://olympiada.karlin.mff.cuni.cz/anotace/ roskovec.pdf [27] SONTA, Filip. Tvorba párovacích her na webu a v PDF formátu [online]. [cit. 2015-5-23] Bakalářská práce, Brno, Masarykova univerzita, 2015. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/396082/fi_b/. [28] AcroTEX. eDucation bundle [online]. [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http:// www.acrotex.net/index.php?lang=en. [29] AcroTEX. Games [online]. [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://www. acrotex.net/games_index.php?lang=en. [30] ahaonline.cz: Espézetka slaví 100 let! [online]. 21. 5. 2006 [cit. 2015-10-10]. Dostupné z: http://www.ahaonline.cz/clanek/ahaonline-cz/1988/ espezetka-slavi-100-let.html. [31] CTAN. beamer – A LATEX class for producing presentations and slides [online]. [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: https://www.ctan.org/pkg/beamer. [32] CTAN. Built a jeopardy game in LATEX [online]. [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: https://www.ctan.org/pkg/jeopardy. [33] CTAN. ocgx – Use OCGs within a PDF document without JavaScript [online]. [cit. 2015-11-30]. Dostupné z: https://www.ctan.org/pkg/ocgx. [34] CTAN. pdfscreen – Support screen-based document design [online]. [cit. 2015-11- 30]. Dostupné z: https://www.ctan.org/pkg/pdfscreen. [35] e-learning. Problém nešťastné šatnářky [online]. 2010 [cit. 2015-12-10]. Dostupné z: http://www.george11.eu/matematika/pst/D13.htm [36] Epoch Times: Tajemství šifer – po stopách kryptografie a steganografie [online]. 12. 8. 2008 [cit. 2015-10-10]. Dostupné z: http://www.epochtimes.cz/ 200806125316/Tajemstvi-sifer-po-stopach-kryptografie-a- steganografie.html. [37] Kombinatorika [online]. Prostějov 2010 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://student21.gjwprostejov.cz/uploads/VG7%20- %20Kombinatorika.pdf. [38] Matematika. Slovní úlohy: Statistika [online]. 2015 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://www.hackmath.net/cz/slovni-ulohy/statistika. Seznam použité literatury 63 [39] Matematika s radostí. Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika [online]. 2012 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://msr.vsb.cz/kombinatorika- pravdepodobnost-a-statistika/kombinatorika. [40] Metodický portál RVP. LMS [online]. 18. 4. 2011 [cit. 2016-03-02]. Dostupné z: http://wiki.rvp.cz/Knihovna/1.Pedagogicky_lexikon/L/ LMS. [41] OSP R cvičebnice: průvodce přípravou na test Obecné studijní předpoklady: základní i rozšířený. 1. vyd. Praha: Scio, 2010, 103 s. ISBN 978-80-7430-046-2. [42] OSP Z: sada 3 testů obecných studijních předpokladů z Národních srovnávacích zkoušek 2010. 1. vyd. Praha: Scio, 2010, 68 s. ISBN 978-80-7430-040-0. [43] Portál Konvalinka.org Jak zvolit správný LMS systém? [online]. 2011 [cit. 2016- 03-02]. Dostupné z: http://konvalinka.org/portal/index.php? option=com_content&view=article&id=57&Itemid=65. [44] Poznávací značky automobilů v Českých zemích: 2001 – dosud [online]. 2006 [cit. 2015-10-10]. Dostupné z: http://www.feudal.cz/spz/html/2002- dosud.htm. [45] priklady.com. Matematická statistika [online]. 2012–2015 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://www.priklady.com/cs/index.php/ pravdepodobnost-a-statistika/matematicka-statistika. [46] UTF Converter [online]. [cit. 2016-02-29]. Dostupné z: http://macchiato. com/unicode/convert.html. [47] Výuka odborných předmětů u žáků se specifickými vzdělávacími potřebami. Příklady na vážený průměr [online]. Blatná 2012 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://www.blek.cz/Grant/Sources/KAS/ 25AritmetickyPrumerRealneVahyResene1.pdf. [48] www.realisticky.cz. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika [online]. 2010 [cit. 2015-08-31]. Dostupné z: http://www.realisticky.cz/dil.php?id= 13.