M4010 Rovnice matematické fyziky
Zdeněk Pospíšil
707@mail.muni.cz
Masarykova univerzita
19. února 2024
Rovnice typu a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0
charakteristický systém
dx
ds
= a(x, y)
dy
ds
= b(x, y)
charakteristiky
x = x(s, C1, C2)
y = y(s, C1, C2)
charaktristická rovnice
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
první integrál
φ(x, y) = const
obecné řešení
u(x, y) = Φ φ(x, y)
?
eliminace parametru s
-
řešení
ODR
-
řešení
systému ODR
Z. Pospíšil ·Rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných ·19. února 2024 2 / 6
Rovnice typu a(x, y)ux + b(x, y)uy = f (x, y, u)
charaktristická rovnice
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
první integrál
φ(x, y) = constřešení
ODR
transformace
ξ = φ(x, y)
η = y
∂u
∂η
= F(ξ, η, u) V(ξ, η, u) = Φ(ξ)řešení
ODR
řešení
v implicitním tvaru: V φ(x, y), y, u = Φ φ(x, y)
Z. Pospíšil ·Rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných ·19. února 2024 3 / 6
Okrajová úloha
a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0, u X(σ), Y(σ) = g(σ)
počáteční úloha pro
charakteristický systém
dx
ds
= a(x, y)
dy
ds
= b(x, y)
x(0) = X(σ), y(0) = Y(σ)
parametrické
vyjádření
řešení úlohy
x = x(s, σ)
y = y(s, σ)
u = g(σ) ?
?
σ = σ(x, y)
řešení úlohy
u(x, y) = g σ(x, y)
eliminace
parametru s
-
řešení
počáteční úlohy
Z. Pospíšil ·Rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných ·19. února 2024 4 / 6
Okrajová úloha pro quasilineární rovnici
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u), u X(σ), Y(σ) = g(σ)
počáteční úloha pro
charakteristický systém
dx
ds
= a(x, y, u), x(0) = X(σ)
dy
ds
= b(x, y, u), y(0) = Y(σ)
du
ds
= c(x, y, u), u(0) = g(σ)
-
řešení
počáteční
úlohy
parametrické
vyjádření
řešení úlohy
x = x(s, σ)
y = y(s, σ)
u = u(s, σ) ?
?
s = s(x, y)
σ = σ(x, y)
řešení úlohy
u(x, y) = u s(x, y), σ(x, y)
vyjádření
parametrů s, σ
Z.
Pospíšil ·Rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných ·19. února 2024 5 / 6
Okrajová úloha pro obecnou rovnici
F(x, y, u, ux, uy) = 0, u X(σ), Y(σ) = g(σ)
Označení p = ux, q = uy: F(x, y, u, p, q) = 0
počáteční úloha pro
charakteristický systém
dx
ds
= Fp(x, y, u, p, q), x(0) = X(σ)
dy
ds
= Fq(x, y, u, p, q), y(0) = Y(σ)
du
ds
= pFp(x, y, u, p, q) + qFq(x, y, u, p, q), u(0) = g(σ)
dp
ds
= −Fx(x, y, u, p, q) − pFu(x, y, u, p, q), p(0) = p0
dp
ds
= −Fy(x, y, u, p, q) − qFu(x, y, u, p, q), p(0) = q0
při tom: F X(σ), Y(σ), g(σ), p0, q0) = 0
p0X′
(σ) + q0Y′
(σ) = g′
(σ)
-
řešení
počáteční
úlohy
x = x(s, σ)
y = y(s, σ)
u = u(s, σ)
p = p(s, σ)
q = q(s, σ)
charakteristický
pruh
parametrické
vyjádření
řešení úlohy
Z. Pospíšil ·Rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných ·19. února 2024 6 / 6