Obsah 1 Rovnice prvního řádu 1 Jednorozmerná rovnice kontinuity .............................. 1 1.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných......................... 3 1.1.1 Lineární rovnice ................................. 3 Řešení rovnice a(x, y)ux + b{x, y)uy = 0.................... 4 1.1.2 Kanonický tvar a řešení rovnice lineární v prvních derivacích........ 7 1.1.3 Okrajové úlohy.................................. 13 Okrajová úloha pro rovnici a(x, y)ux + b(x, y)uy = f (x, y,u)......... 13 Okrajová úloha pro obecnou rovnici...................... 17 Quasilineární rovnice a její geometrická interpretace............. 22 1.2 Rovnice v n nezávisle proměnných........................... 25 Rovnice lineární v derivacích s nulovou pravou stranou............ 26 Quasilineární rovnice............................... 31 Okrajová úloha pro obecnou rovnici...................... 33 Cvičení ............................................. 34 2 Rovnice druhého řádu lineární ve druhých derivacích 37 2.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných......................... 37 2.1.1 Charakteristiky a kanonický tvar rovnice.................... 38 Hyperbolická rovnice............................... 38 Parabolická rovnice ............................... 41 Eliptická rovnice................................. 42 2.1.2 Kanonický tvar lineární rovnice s konstantními koeficienty.......... 44 2.2 Rovnice v n nezávisle proměnných........................... 46 3 Hyperbolické rovnice 51 Kmitání struny......................................... 51 3.1 Rovnice v jedné prostorové proměnné ......................... 55 3.1.1 Počáteční úloha pro rovnici na přímce a ďAlembertův vzorec........ 56 Homogenní rovnice s obecnými počátečními podmínkami .......... 56 Nehomogenní rovnice s nulovými počátečními podmínkami ......... 58 Obecná počáteční úloha a jednoznačnost řešení................ 59 3.1.2 Počáteční úloha pro rovnici na polopřímce................... 61 Pevný konec ................................... 61 Volný konec.................................... 64 3.1.3 Počáteční úloha pro rovnici na úsečce ..................... 65 Dva pevné konce - užití ďAlembertova vzorce ................ 65 3.1.4 Obecná okrajová úloha - metoda separace proměnných ........... 67 Homogenní Robinovy okrajové podmínky................... 68 Nehomogenní Robinovy podmínky....................... 73 Klasická aplikace: Kmity strun hudebních nástrojů.................. 75 i 4 Parabolické rovnice 81 Jednorozmerná rovnice difúze / vedení tepla.......................... 81 Speciální případy a okrajové podmínky ........................ 84 Nejjednodušší řešení................................... 86 4.1 Rovnice ve dvou proměnných, evoluční rovnice v jedné prostorové proměnné . ... 88 4.1.1 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici na přímce.............. 89 Periodické okrajové podmínky ......................... 90 Podmínky integrovatelnosti........................... 92 4.1.2 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici na polopřímce........... 98 4.1.3 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici na úsečce.............. 100 4.1.4 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici - shrnutí.............. 103 4.1.5 Úlohy pro nehomogenní rovnice......................... 103 Nehomogenní Robinovy podmínky....................... 107 4.1.6 Úloha bez počátečních podmínek........................ 109 Klasická aplikace: Teplotní vlny............................. 111 5 Eliptické rovnice 113 5.1 Rovnice ve dvou proměnných.............................. 113 5.1.1 Okrajová úloha na obdélníku.......................... 114 Nehomogenní rovnice s homogenními okrajovými podmínkami ....... 114 Homogenní rovnice s jednou homogenní okrajovou podmínkou ....... 117 Homogenní rovnice s nehomogenními okrajovými podmínkami ....... 120 5.1.2 Dirichletova úloha pro Laplaceovu rovnici na kruhu.............. 122 Kruhová inverze................................. 126 5.1.3 Jednoduché harmonické funkce......................... 127 5.2 Rovnice v n proměnných................................. 129 5.2.1 Jednoznačnost řešení okrajových úloh pro Poissonovu rovnici........ 129 5.2.2 Harmonické funkce................................ 130 Fundamentální harmonické funkce....................... 131 Integrální reprezentace dvakrát diferencovatelné funkce............ 135 Vlastnosti harmonických funkcí......................... 137 5.2.3 Greenovy funkce................................. 139 Greenova funkce pro Dirichletovu úlohu na speciálních oblastech...... 142 5.2.4 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru.............. 144 Pro Dirichletovu úlohu na obdélníku...................... 146 A Distribuce 149 A.l Základní pojmy...................................... 149 A.2 Konvergence v prostoru distribucí............................ 153 A.2.1 t>-vytvořující posloupnosti............................ 153 A. 3 Derivování distribucí................................... 154 Cvičení ............................................. 159 B Okrajové úlohy pro obyčejné lineární rovnice druhého řádu 161 B. l Formulace úloh...................................... 161 Diferenciální operátor.............................. 161 Okrajové podmínky............................... 162 Symetrický diferenciální operátor........................ 163 B.2 Homogenní okrajová úloha s parametrem ....................... 164 Sturmova-Liouvilleova úloha........................... 167 B.3 Nehomogenní rovnice s homogenními okrajovými podmínkami............ 168 Fourierova metoda................................ 168 Metoda variace konstant............................. 170 Greenova funkce................................. 171 ii B. 4 Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami...................172 Cvičení .............................................173 C Některé diferenciální a integrální identity 175 C. l Transformace Laplaceova operátoru...........................175 C.2 Integrace per partes a Greenovy vzorce.........................177 iii Kapitola 1 Rovnice prvního řádu Jednorozměrná rovnice kontinuity Uvažujme nějakou kapalinu proudící v dlouhé tenké trubce. Předpokládejme, že v každém místě a v každé chvíli známe rychlost proudění. V kapalině navíc mohou probíhat nějaké procesy, které mění její množství; kapalina může například unikat prasklinami ve stěně trubky, nebo její součástí mohou být nějaké bakterie nebo řasy, které se množí, takže se množství kapaliny zvětšuje a podobně. Předpokládejme, že i tyto procesy známe. Chceme popsat, jak se mění množství kapaliny v libovolném bodě uvažované trubky. Poněvadž trubka je „dlouhá a tenká", můžeme ji považovat za jednorozměrný prostor; v ose trubky je umístěna osa x. Množství kapaliny budeme vyjadřovat pomocí délkové hustoty g, hmotnosti vztažené k délce. Hustota může být v každém časovém okamžiku a v každém bodě jiná, tedy g = g(t,x). Množství m = m(t,a,f3) kapaliny mezi libovolně zvolenými body a a /3 v časovém okamžiku t je s hustotou g svázána vztahem Rychlost proudění v také může být v každém časovém okamžiku a v každém bodě jiná, tedy v = v(t,x). Pokud v bodě x a v čase t proudí kapalina zleva doprava, bude v(t,x) > 0, pokud zprava doleva, bude v(t,x) < 0. Rychlost proudění vyjadřuje skutečnost, že množství kapaliny H = n(t, t, x), které proteče přes bod x za časový interval od t do t + t je dáno integrálem Třetím procesem je přibývání nebo mizení kapaliny. To také může být různé v různých časech a v různých bodech. Navíc může záviset i na hustotě kapaliny; hustší kapalina méně uniká prasklinami a podobně. Proces změny množství kapaliny vyjádříme „hustotou změny" / = f(t,x,g); pokud je / > 0, jedná se o přírůstek, pokud / < 0, jedná se o úbytek. Veličina / vyjadřuje, že celkový přírůstek nebo úbytek množství kapaliny v = v(t, t, a, /3) v úseku od a do /3 v časovém intervalu od t do t + t je dán dvojnásobným integrálem Nyní už můžeme vyjádřit množství kapaliny v úseku od a do /3 po uplynutí času t od okamžiku t. Kapaliny tam bude tolik, kolik jí tam bylo, plus kapalina která přitekla přes bod a, minus t 1 kapalina, která odtekla přes bod /3, plus nebo minus kapalina, která v příslušném časovém intervalu v tomto úseku „vznikla" nebo „zmizela". Formálně m(t + t, a, j3) = m(t, a, j3) + /i(t, t, a) — /z(ŕ, t, j3) + v{t, t, a, j3). Jednotlivé členy této „bilanční rovnice" jsou již vyjádřeny pomocí integrálů. O „hustotě změny" / budeme předpokládat, že je spojitá. Pak také integrál 13 f(s,x, g(s,x))dx je spojitou funkcí proměnné s a podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo í?i G [0,1] takové, že t+r / 13 \ 13 f(s,x,g(s,x))dx\ ds = r J f (t + $]t, x, q (t + $it, x)^jdx. t \a / a Je-li funkce /i spojitě diferencovatelná ve třetí proměnné, můžeme členy vyjadřující přítok a odtok přepsat pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule ve tvaru 13 d 13 d (t+T \ n{t,T,P) - fi(t,T,a) = J —fi(t,T,x)dx = J — í J v(s,x)g(s,x)ds J dx. a a \ t / Opět podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo $2 <= [0, 1], že t+T v(s, x)g(s, x)ds = Tv(t + Ů2T, x)g{t + Ů2T, x). Je tedy 13 í d fi(t, t, j3) — fi(t, t, a) = t / — v (t + ů2t, x)g(t + ů2t, x)dx. a „Bilanční rovnici" tak můžeme přepsat do tvaru 13 (g(í + T'^~g(r'X) + JU(t + ů2T, X)g(t + ů2T, X)~f(t + ů!T, X, Q(t + ^T, x))^j dx = 0 a Pokud předpokládáme, že integrovaná funkce je spojitá, poslední rovnost může být splněna pouze tehdy, když je tato funkce nulová, neboť body a a /3 byly zvoleny libovolně. Musí tedy platit g(t + T,x)- g(t,x) + Ô + + x) = jít + ůlT Xj g{t + ůlT x)\ T OX a limitním přechodem t —> 0 dostaneme ^(í,2ľ) + -^v(t,x)g(t,x) = f(t,x, g(t,x)), nebo po rozepsání derivace součinu v g ^■(t, x) + v(t, x)^-(t, x) = -g(t,x)^(t,x) + f(t,x,g(t,x)). To je rovnice pro hledanou hustotu g, v níž se objevují první parciální derivace hledané funkce, tato funkce a nějaké další známé funkce nezávisle proměnných ŕ, x a případně g. U diferenciálních rovnic bývá obvyklé, že u hledané funkce se nepíší nezávisle proměnné; ty jsou dány proměnnými, podle dv kterých se parciálně derivuje. Pokud ještě pro zjednodušení zápisu označíme w(t,x) = — — (t,x), dostaneme rovnici kontinuity ve tvaru dg , .dg , . . . 1.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných Jedná se o rovnice tvaru !)=», d., kde F je spojitá funkce pěti proměnných definovaná na nějaké množině G C R5 s neprázdným vnitřkem G°. Klasické (silné) řešení rovnice (1.1) je funkce u definovaná na množině íl C K2 takové, že í2 = í2°, přitom funkce u je na vnitřku množiny fž diferencovatelná, na uzávěru množiny fž je spojitá a splňuje vztahy (W(.,y),^,^)eG a f(w(^),^,^)=0 pro všechny body (x,y) z vnitřku množiny fž. Graf řešení rovnice (1.1) se nazývá integrální plocha této rovnice. 1.1.1 Lineární rovnice Lineární rovnice je tvaru a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = g(x, y), (1.2) kde a, b, c, g jsou spojité funkce dvou proměnných definované na podmnožině fž prostoru M2, která má vlastnost Ú = í2°. O funkcích a, b budeme navíc předpokládat, že jsou v každém bodě í2° nenulové. Kdyby totiž byla například funkce a nulová, rovnice by nabyla tvaru b(x, y)uv + c(x, y)u = g(x, y) a mohli bychom ji považovat za rovnici obyčejnou - proměnnou y bychom chápali jako nezávisle proměnnou, proměnnou x bychom považovali za parametr. Pokud je funkce g na pravé straně rovnice (1.2) nulová, tj. pokud rovnice je tvaru a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (1.3) řekneme, že tato rovnice je homogenní. Množina řešení rovnice (1.3) splňuje princip superpozice: Lineární kombinace řešení rovnice (1.3) je opět řešením této rovnice. Podrobněji: • Je-li funkce u řešením rovnice (1.3) a a je libovolné reálné číslo, pak také funkce au je řešením této rovnice. Důkaz: Poněvadž d (au) du d (au) du —— = a— a —— = oí—, ox ox oy oy platí d (au) d (au) ( du du a—---h b—---h c(au) = a a—--h b— dx dy \ dx dy □ • Jsou-li funkce u\, u2 řešením rovnice (1.3) se stejným definičním oborem, pak také funkce u\ + u2 je řešením této rovnice. Důkaz: Poněvadž d(u± + u2) du± du2 d(ui+u2) du± du2 dx dx dx dy dy dy platí d(uí +u2) , , d(uí + u2) , , + o----h C(Ul + u2) = dx dy du\ du\ du2 du2 = a—--h b—--h cui + a—--h b—--h cu2 = 0 + 0 = 0. ox oy ox oy □ Protože funkce u — 0 je zřejmě řešením rovnice (1.3), plyne z principu superpozice, že množina všech řešení rovnice (1.3) definovaných na jedné množině íl tvoří reálný vektorový prostor. Nyní se podívejme na strukturu množiny řešení nehomogenní rovnice (1.2). Pro ni platí: • Jsou-li funkce u\ a u2 řešením nehomogenní rovnice (1.2), pak jejich rozdíl je řešením homogenní rovnice (1.3). Důkaz: d(u1-u2) , ud(u1-u2) , . o----V c(ui — u2) = dx dy dux dux ( du2 du2 = a^.--h o—--h cui - a—--h b—--h cu2 = g - g = 0. dx dy \ dx dy □ • Je-li funkce un řešením nehomogenní rovnice (1.2), pak pro každé řešení ujj homogenní rovnice (1.3) je součet funkcí un + ujj také řešením nehomogenní rovnice (1.2). Důkaz: d(uN+uH) d(uN + uH) a----h b----h c(uN + uH) = dx dy duN duN duH duH = a—--h b—--h cmat + a—--h b—--h cuH = g + 0 = g. dx dy dx dy □ Množinu řešení nehomogenní lineární rovnice (1.2) tedy můžeme chápat jako afinní prostor. Přesněji, řešení nehomogenní rovnice (1.2) jsou body afinního prostoru, jehož zaměřením je vektorový prostor všech řešení lineární homogenní rovnice (1.3). Řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0 Tato rovnice je speciálním případem lineární homogenní rovnice. Představme si, že její řešení známe. Nechť tedy funkce u = u{x, y) je řešením rovnice a(x,y)ux + b(x,y)uy = 0. (1.4) Tuto funkci dvou proměnných můžeme znázornit pomocí vrstevnic. Nechť vrstevnice funkce u mají parametrické vyjádření tvaru x = x(s), i \ (1-5) y = y{sj, 4 kde parametr s probíhá nějaký reálný interval /. Poněvadž funkce u je diferencovatelná, jsou její vrstevnice hladké křivky, tj. funkce x = x (s), y = y (s) jsou diferencovatelné. (Poznamenejme, že pokud má funkce u ostré lokální extrémy, pak v bodech těchto extrémů vrstevnice degeneruje v jediný bod; tato skutečnost však další úvahy neovlivňuje.) Na vrstevnicích platí u(x(s), y(s)) = const (pro libovolnou hodnotu parametru s E I). Derivováním této rovnosti podle parametru dostaneme rovnost d , , du(x(s),y(s)) dx(s) du(x(s), y(s)) dy(s) 0=-u(x(S),y(S)) = -Tx--+-g~y-- použili jsme řetězové pravidlo pro derivování složené funkce. Porovnáním s rovnicí (1.4) vidíme, že poslední rovnost bude splněna, pokud x'(s) = = a(x(s),y(s)), y'(s) = = b(x(s),y(s)). Toto pozorování vede k rozhodnutí, že k parciální diferenciální rovnici (1.4) přiřadíme dvourozměrný autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic x' = a{x,y), ^ g. y' = b(x,y). Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.4), jeho trajektorie se nazývají charakteristiky rovnice (1.4). Charakteristiky jsou vrstevnicemi řešení m rovnice (1.4). Dělením rovnic charakteristického systému (1.6) dostaneme charakteristickou rovnici příslušnou k rovnici (1.4); charakteristická rovnice má tvar dy = b(x,y) dx a(x, y) a je to obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Budeme předpokládat, že tato rovnice má řešení. Poněvadž se jedná o rovnici prvního řádu, závisí její obecné řešení na jedné konstantě. Tuto konstantu osamostatníme na pravé straně rovnosti vyjadřující řešení charakteristické rovnice (1.7) a dostaneme v(x,y) = const; (1-8) přitom v je diferencovatelná funkce definovaná na množině fž. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit také jinak: charakteristickou rovnici (1.7) přepíšeme ve tvaru b(x,y)dx - a(x,y)dy = 0; (1.9) funkce v je tedy kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně. Funkce v se nazývá první integrál rovnice (1.4). První integrál rovnice (1.4) lze také najít eliminací parametru s v řešení charakteristického systému (1.6), jinak řečeno převedením parametrické rovnice křivky na rovnici obecnou. Vrstevnice řešení u parciální diferenciální rovnice (1.4) mají tedy implicitní vyjádření (1.8), konstanta na pravé straně představuje hodnotu funkce u na příslušné vrstevnici. Označme tuto hodnotu symbolem &(v(x,y)). Provedenými úvahami jsme vlastně našli algoritmus hledání řešení parciální diferenciální rovnice (1.4): K rovnici přiřadíme charakteristický systém (1.6) nebo charakteristickou rovnici (1.7), který (nebo kterou) vyřešíme a najdeme první integrál rovnice (1.4) ve tvaru (1.7). Pak vezmeme libovolnou diferencovatelnou funkci <í> jedné proměnné a položíme u(x,y) =(v(x,y)). (1.10) Ještě je potřeba udělat zkoušku, že takto nalezená funkce u je skutečně řešením parciální rovnice (1.4). Jinak řečeno, dokázat následující: 5 Tvrzení 1. Nechť v : Q —>• R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (1.8) je implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.6) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení charakteristické rovnice (1.7)). Je-li <í> libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné taková, že její definiční obor obsahuje obor hodnot funkce v, pak funkce u definovaná vztahem (1.10) je řešením rovnice (1.4). Důkaz: Pro řešení x = x (s), y = y (s) charakteristického systému platí v (x(s), y(s)) = const. Derivováním této rovnosti podle parametru s dostaneme 0 = —v(x(s) y (s)) = lMaľ(g)'^(g)) dx(s) + dv(x(s),y(s)) dy(s) = ds dx ds dy ds dv(x{s),y{s)) dv(x{s),y{s)) = -—Ť^-La{x(s),y(s)) H--- b\x(s)> 2As)j > stručně a(x,y)vx(x,y) + b(x,y)vy(x,y) = 0. Dále du(x, y) d(v(x,y)) . w du(x, y) , . —dx— = — dx— = í^^'^))^^^)' —~Q~y— = * {v\x,y))vy\x,y), takže a^x,v^—dx—l~Ď(aľ'y)—— = (a(x,v)vx(x,y) + b(x,y)vv(x,y))^' (v(x,y)) = °- □ Dostali jsme množinu řešení rovnice (1.4) ve tvaru (1.10). Prvky této množiny závisí na diferencovatelných funkcích, nikoliv na konstantách, jak tomu je v případě obyčejných diferenciálních rovnic. Odtud plyne, že (vektorový) prostor řešení lineární homogenní parciální diferenciální rovnice nemůže mít konečnou dimensi. Navíc zatím nevíme, zda rovnice (1.4) nemá nějaké další řešení, které není uvedeného tvaru. Příklad. ux — 6x2uy = 0. • • dy ^2 Charakteristická rovnice je — = — 6x a její řešení je bezprostředně dáno integrací pravé strany, dx y = — 2x3 + const. První integrál dané rovnice tedy můžeme zapsat ve tvaru 2x3 + y = const a její řešení je dáno rovností u(x,y) =$(2x3+y), kde 4> je libovolná diferencovatelná funkce. Zkouška: = JL^x* +y) = &{2x3 + y) . 6a;2; du(^y)_ = |_ 3 + j + ox ox Oy Oy takže m^y) _ 6x2du(x,y) = ^,^3 +y)_ 6a.2$,(2a.3 + y) = 0, dx dy _ 6 1.1.2 Kanonický tvar a řešení rovnice lineární v prvních derivacích Uvažujme parciální diferenciální rovnici prvního řádu ve tvaru a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u). (1.11) Budeme hledat nějakou transformaci nezávisle proměnných, která tuto rovnici nějak zjednoduší. Současně budeme chtít, aby tato transformace nebyla příliš komplikovaná. Ponecháme tedy první souřadnici (nezávisle proměnnou x) beze změny a transformujeme pouze souřadnici druhou (nezávisle proměnnou y). Jinými slovy, původní souřadnice x,y transformujeme na nové souřadnice £, rj tak, že í = x, rj = v(x,y), (1.12) Přitom v je diferencovatelná funkce dvou proměnných. Aby se jednalo skutečně o transformaci prostoru R2 do R2, musí být zobrazení • R2, definované vztahem í)= X regulární (invertovatelné). Existuje tedy inversní zobrazení 1 : R 2 —> R2; jeho druhou složku označíme je to diferencovatelná funkce dvou proměnných. Přitom funkce v a x splňují rovnosti X(L V) = V, v(x, y) = V, podrobněji x(x,v(x,y)) = y, v(£, \(L v)) = V- (1-13) Poznamenejme, že k tomu, aby zobrazení y"> =-imi 2-\\ i w—i—(-2yC"'(x2 - y2) + —J—) , cos2 (C yxz — yz) + rn(x + y)) \ x + yj takže platí yux(x, y) + xuy(x, y) = cos2 (C(a;2 _ ^ + ln(a; + y)) = sin2 (C(x2 - y2) + ]n(x + y)) + cos2 (C(x2 - y2) + ]n(x + y)) cos2 (C(x2 — y2) + 1n(x + y)) = tg2 (C(x2 - y2) + ln(x + y)) + 1 = u2 + 1 a rovnice je splněna. ■ Řešení u = u(£, rf) rovnice (1.14) v kanonickém tvaru obecně nelze explicitně vyjádřit. V některých případech, např. jedná-li se o rovnici se separovatelnými proměnnými nebo o rovnici exaktní, můžeme její řešení vyjádřit alespoň implicitně. Takové řešení závisí na integrační konstantě <í>, která ovšem sama závisí na parametru rj. Řešení rovnice (1.14) tak zapíšeme ve tvaru ^{í,fi,u) = *0?); přitom ip je diferencovatelná funkce tří proměnných, <í> je diferencovatelná funkce jedné proměnné. Návratem k původním nezávisle proměnným x,y dostaneme implicitní tvar řešení rovnice (1.11) tp(x, v(x, y),u) = §{y(x, y)) . Nejjednodušší je situace v případě lineární rovnice. Kanonický tvar rovnice (1.2) je uz = P(£,tÍ)u + Q(£,tÍ); (1.15) přitom -r,,, >. c(£,x(£,?/)) . g(£,x(Š,v)) kde funkce x Je definována rovnostmi (1.13). Hledáme tedy řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu s nezávisle proměnnou £ a parametrem rj: ^=P{Z,tí)u + Q£,tj). Její řešení je tvaru (í \ í (í \ u{íiri) = const ■ exp / P(cr, r/)d(7 + / Q(s,í7)exp / P(cr, r/)d(7 ds. Vío / So V* / -•-Poznamenejme, že zápis sin2 a označuje druhou mocninu funkční hodnoty goniometrické funkce sinus v bodě a, nikoliv dvakrát iterovanou funkci sinus; podobně pro funkce cosinus a tangens. 9 Integrační konstanta samozřejmě může záviset na parametru rj, proto ji zapíšeme jako (r/). Řešení lineární parciální diferenciální rovnice v kanonickém tvaru (1.15) je tedy dáno formulí v)=Hv) exp í J P(cr,í7)dcrj + J Q(s,r1)exp P^^doj ds, (1.16) kde <ř je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné, £o Je nějaké reálné číslo; ve většině případů lze položit £o = 0. Řešení lineární rovnice (1.2) dostaneme z formule (1.16) návratem k původním nezávisle proměnným x,y pomocí rovností (1.13). Výsledek nyní můžeme zformulovat ve tvaru věty: Věta 1. Necht v : fž —> R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (1.8) je implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.6) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení charakteristické rovnice (1.7)j a x : fž —> R je funkce taková, že jsou splněny podmínky (1.13). Označme , \ c(s,x(s,v(x,y))) g(s,x(s,v(x,y))) p[x,y,s) =---.--.---Tv\" i q(x,y,s) = —----- a{s,x{s,v{x,y))) a{s,x{s,v(x,y))) Je-li <ř diferencovatelná funkce jedné proměnné, jejíž definiční obor obsahuje obor hodnot funkce v, pak funkce u definovaná rovností u(x,y) = $(v(x,y)) exp / p(x, y, cr)dcr + / q(x,y,s)exp / p(x, y, cr)d(j ds je řešením rovnice (1.2); číslo xq je libovolné takové, že integrály na pravé straně jsou konečné pro všechny dvojice (x,y) G fž. Důkaz není potřeba provádět, věta plyne z předchozích výpočtů. Lze ji ovšem také dokázat přímým výpočtem. Je to pěkné cvičení na derivování vícenásobně složených funkcí více proměnných. □ Výpočty provedené před Větou 1 ukazují, že z existence řešení charakteristické rovnice (1.7) plyne existence řešení lineární parciální rovnice (1.2) a toto řešení má tvar uvedený ve Větě 1. Existence řešení lineární parciální rovnice v tomto tvaru je tedy důsledkem existence řešení příslušné charakteristické rovnice, tj. obyčejné diferenciální rovnice. Důsledek 1. Lineární nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty u prvních derivací, tedy rovnice aux + buy + c(x, y)u = g(x, y) má řešení definované rovností x x s -Í f c(x-a,y-(b/a)a)da 1 ľ / i \ / c(x-cr,y-(b/a)cr)dcr u(x, y) = $(ay — bx)e 0 H— g x — s, y--se° ds = a J V a J o f c(x — a,y — (b/a)(j)d(j \ —f c(x — a,y — (b/a)o-)do = $>(ay — bx) H— / g x — s, y--e°" ds e kde $ je libovolná diferencovatelná funkce. Důkaz. V tomto případě je charakteristická rovnice tvaru dy _ b dx a 10 a její řešení v implicitním tvaru je ay — bx = const. Tedy v(x, y) = ay — bx, r/) = — + r/), a takže c(s,x(s,v(x,y))) = c ^s, ^(bs + ay - bx)^j = c(s,y- ^(x - s)^j , a g(s,x(s,v(x,y))) = g(s,y- ^(x - s)^j . Dále platí x x o o c [ x — a, y--cr) der, b \ -ifc(a,y-(b/a)a)da g \s,y —(x - s) e - ds = a o b \ ~Í í c{a,y-{b/a){x-a)áa = I g[x — s,y--se ds = b \ ~i .{c{x-a,y-{b/a)a)da g [ x — s,y--se 0 ds. □ Při řešení konkrétní lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných s nekonstantními koeficienty u prvních derivací bývá přehlednější rovnici transformovat na kanonický tvar, rovnici v kanonickém tvaru vyřešit a zpětně transformovat nezávisle proměnné, než používat vzorec z Věty 1. Příklad. yux - xuy = x2 + y2 Rovnici budeme uvažovat na množině G = {(x,y) E R2 : x > 0,y > O}, na jejímž vnitřku jsou oba koeficienty a(x,y) = y, b(x,y) = —x nenulové. Příslušná charakteristická rovnice je dy x dx y Je to obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými a její řešení je implicitně dáno rovností x2 + y2 = const. Zavedeme tedy transformaci £ = x, r/ = x2 + y2. Pak na množině G je V= Vv-e, 6 = 1, 6 = 0, T)x = 2x = 2£, T)y = 2y = 2y/T)-?, takže _ Ux = ^6 + UnT]x = U£ + 2£ltn, Uy = U^y + UnT]y = 2^1] - Í2 Uv. Po dosazení do řešené rovnice dostaneme n a odtud snadnou úpravou získáme kanonický tvar 1Í£ = Tuto jednoduchou obyčejnou rovnici řešíme integrací podle proměnné £, =d£ = rj arcsin —— + const. Integrační konstanta závisí na parametru rj, řešení rovnice v kanonickém tvaru je u{íi v) = V arcsin--h $(í/), kde rj je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Návratem k původním proměnným dostaneme řešení dané rovnice ve tvaru u(x, y) = {x2 + y2) arcsin X + $(x2 + y2). v x + y Ještě můžeme využít skutečnosti, že pro x > 0, y > 0 je arcsm —-j^=^= = arctg —, y/x2+y2 V a výsledek zapsat v trochu kratším tvaru u(x, y) = (x2 + y2) arctg - + (x2 + y2). V Ukážeme ještě řešení dané rovnice přímým dosazováním do formulí ve Větě 1. Máme a(x,y)=y, b(x,y) =-x, c(x,y)=0, g(x, y) = x2 + y2. Implicitní zápis řešení charakteristické rovnice je x2 + y2 = const a tedy v(x,y) = x2 + y2. Tvar funkce x dostaneme ze druhé rovnosti (1.13). Má platit takže %(£, rj) = \Jrj — £2. Dále p(x, y, s) = 0 a g(s, x(s, v(x, y))) _ s2 + x(s, v(x, y))2 _ s2 + (v(x, y) - s2) _ x2 + y2 q(x,y,s) = a(s,x(s,v(x,y))) x(s,v(x,y)) \/v(x,y) - s2 ^x2 + y2 - s Zvolíme xq = 0 a řešení dané rovnice rovnice dostaneme podle Věty 1 ve tvaru 2 x2 y2 u(x, y) = §{x2 + y2) + I ds = (x2 + y2) + (x2 + y2) arcsin ■ \J x2 + y2 — s2 \J x2 + y2 tedy až na pořadí sčítanců ve stejném, jako při předchozím způsobu řešení rovnice. ■ Rovnici (1.11) jsme transformovali do nových nezávisle proměnných tak, že jsme ponechali první souřadnici nezměněnu a za druhou jsme vzali funkci vyjadřující charakteristiku rovnice. To není jediná možnost, jak parciální rovnici (1.11) transformovat na kanonický tvar, tj. na obyčejnou rovnici s parametrem. Stejně dobře můžeme ponechat druhou souřadnici a první nahradit charakteristikou. 12 Příklad. 2ux + 3uy — xu = O Charakteristická rovnice je áy 3 dx 2' její řešení y = |x + const můžeme přepsat ve tvaru 3x — 2y = const; to je zápis charakteristiky. Zavedeme transformaci £ = 3x-2y, rj = y. Pak lij = 3?i£, uy = —2u£ + un, x = i(£ + 2r/). Levá strana dané rovnice se tedy transformuje na tvar 2ux + 3uy — xu = 6u£ — 6u£ + 3uv — i(£ + 2n)u = 3 (uv — + 2r/)u) . Kanonický tvar dané rovnice je du , ^ . Tato rovnice má řešení dít = g / (£ + 2í7)dí7, tj. In m = ^(£77 + n2) + const, neboli m = const • e9^^ Řešení rovnice v kanonickém tvaru je tedy u = 'J/(£)e9'7^+'7") a návratem k původním proměnným dostaneme řešení dané rovnice u(x, y) = ^{3x- 2y)e^y(3x-2y+y) = ^(3x- 2y) y/e^v-v2 = = V(3x - 2y)e-^((y-ix)2-ix2) = V(3x - 2y)e~M^y-^)'eix'. Podle Důsledku 1 Věty 1 je řešení dané rovnice dáno formulí I / ada 1 2 u(x,y) = <ř(2y - 3x)e 0 = <ř(2y - 3x)e±x . 1 2 iH Vidíme, že se obě vyjádření shodují, $(£) = vř(—£,)e~aě£ . 1.1.3 Okrajové úlohy Řešení rovnice (1.11), které lze najít pomocí transformace nezávisle proměnných, je vyjádřeno pomocí nějaké diferencovatelné funkce <í> jedné proměnné. Jedná se tedy o množinu řešení dané rovnice. Nějaký prvek z této množiny, partikulární řešení, dostaneme konkrétní volbou funkce <í>. V této části budedeme hledat řešení, které splňuje nějakou předem danou podmínku. Okrajová úloha pro rovnici a(x,y)ux + b(x,y)uy = f(x,y,u) Uvažujme parciální diferenciální rovnici (1.11) lineární v prvních derivacích a jednu konkrétní charakteristiku rovnice (1.4) s nulovou pravou stranou; tato charakteristika má parametrické vyjádření (1.5) a je partikulárním řešením autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.6), které splňuje podmínky x(0) =x0, y(0)=y0. 13 Nechť funkce u je řešením rovnice (1.11). Pak na uvažované charakteristice platí —u{x(s),y(s)) = ux{x(s),y(s))—j— + uy{x(s),y(s))—j— = = a(x(s),y(s))ux(x(s),y(s)) + b(x(s),y(s))uy(x(s),y(s)) = f (x(s),y(s),u(x(s),y(s))). Odtud vidíme, že prostorová křivka, jejíž parametrické vyjádření je řešením autonomního systému =a(x,y), du -^ = J{x,y,u) s počátečními podmínkami x(0)=x0, y(0) = y0, u(0) = u0 = u(x0,y0), (1.18) je incidentní s grafem řešení rovnice (1.11), tj. leží na grafu funkce u. Zadáme-li tedy hodnotu uq řešení u rovnice (1.11) v nějakém bodě (xo,yo) charakteristiky, máme hodnoty řešení u rovnice (1.11) ve všech bodech této charakteristiky jako řešení autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.17) s počátečními podmínkami (1.18). Systém (1.17) charakterizuje řešení rovnice (1.2), proto se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.2), jeho trajektorie můžeme nazvat charakteristické křivky rovnice (1.11). Jedno konkrétní řešení (partikulární řešení) rovnice (1.11) získáme tak, že na každé charakteristice zadáme právě jednu funkční hodnotu. Jinak řečeno, zadáme hodnoty řešení na nějaké rovinné křivce, která protíná každou charakteristiku právě jednou. Takové křivce říkáme okraj pro rovnici (1.11). Okraj může být zadán parametricky rovnicemi x = X{a), V = Y(a), kde parametr a probíhá nějaký interval J. Pro každou hodnotu parametru a G J zadáme hodnotu řešení u = g(cr). Rovnosti x = X(a), y = Y(a), u = g(a), aeJ (1.19) lze interpretovat jako parametrické vyjádření prostorové křivky, která má ležet na grafu řešení u rovnice (1.11). Tyto rovnosti nazýváme okrajová podmínka pro rovnici (1.11). Okrajová úloha pro rovnici (1.11) je úloha najít řešení u = u(x, y) rovnice (1.11), které splňuje okrajovou podmínku (1.19), tj. řešení, pro které platí u(X(a),Y(a))=g(a) pro každou hodnotu parametru a G J. Okrajovou úlohu můžeme řešit tak, že metodami popsanými v 1.1.2 najdeme řešení rovnice závisející na obecné funkci <í> a dosadíme do něho okrajovou podmínku. Dostaneme tak funkcionální rovnici pro neznámou funkci <í>; tuto funkci lze v některých případech z příslušné rovnice uhodnout. Příklad Hledejme řešení rovnice 2ux + 3uy = xu, které splňuje podmínku u(x, 0) = x2 14 pro každé i£l. Zadáváme tedy hodnoty řešení na ose x. Okrajovou podmínku můžeme parametricky zapsat jako x = cr, y = 0, u = cr2, cr G M. Řešení dané rovnice jsme našli v příkladu na str. 13 ve tvaru u(x, y) = ty(3x - 2y) \/e3xy-y2. Aby toto řešení splnilo okrajovou podmínku, musí platit x2 = u(x, 0) = ^(3x)\^ = ty(3x). Funkce ty je tedy řešením jednoduché funkcionální rovnice ty(3x) = x2 a snadno uhodneme, že funkci ty můžeme zadat předpisem ty(í,) = (|^) = |^2- Pro řešení dané okrajové úlohy tak dostáváme formulku u(x, y) = \(Zx - 2yf \/e^v-v2. Řešení funkcionální rovnice však obecně není snadná úloha. Proto může být výhodné při řešení okrajové úlohy (1.11), (1-19) postupovat jinak. Najdeme konkrétní charakteristiku, která protíná okraj v bodě daném konkrétní hodnotou parametru cr. To znamená, že rovnosti v (1.19) chápeme jako počáteční podmínky pro autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.17), tj. najdeme řešení systému rovnic dx dy du — = a(x,y), — = b(x,y), — = f(x,y,u) ds ds ds s počátečními podmínkami x(Q)=X(cr), y(Q) = Y(cr), u(Q) = g(cr). Takové řešení počáteční úlohy pro autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic tedy závisí na nezávisle proměnné s a na parametru cr, je obecně tvaru x = x(s,cr), y = y(s,a), u = u(s,a). Pro řešení okrajové úlohy představuje parametr cr i nezávisle proměnná s pouze pomocné parametry, které je potřeba eliminovat. Proto budeme první dvě rovnosti chápat jako dvě rovnice pro dvě neznámé s a cr; tyto neznámé vyjádříme pomocí proměnných x,y, tj. najdeme s = s(x,y), cr = u(x, y), a dosadíme je do třetí rovnosti. Dostaneme tak řešení okrajové úlohy ve tvaru u(x,y) = u(s(x,y),cr(x,y)). Příklad Hledejme řešení rovnice yux - xuy = x2 + y2, (což je lineární rovnice řešená v příkladu na str. 11) s okrajovou podmínkou u(x, 0) = x2, x > 0. Zadáváme tedy hodnoty řešení na kladné poloose x. Všechny funkce, které se objevují v dané rovnici, jsou definovány na celém prostoru M2. Budeme hledat řešení, které je definované na co největší podmnožině R2, nikoliv pouze v prvním kvadrantu jako v zmíněném příkladu. Parametrické vyjádření okrajové podmínky je x = cr, y = 0, u = cr2, cr > 0. 15 ds Řešíme charakteristický systém dx ~ďš dy ds du „ „ Ts=x +y s počátečními podmínkami x(0)=<7, y(0)=0, u(0)=<72. První dvě rovnice představují lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic pro neznýmé funkce x a y. Tento systém vyřešíme a řešení dosadíme do třetí rovnice, kterou pak vyřešíme prostou integrací. Dostaneme tak řešení charakteristického systému ve tvaru x = a sin [s + — ^ , y = a cos [s + — ^ , u = (s + í)a2. (1-20) První dvě rovnosti nejprve umocníme na druhou a sečteme, dostaneme (T = x +y , poté je vydělíme a dostaneme x Sin (s + f) / 7T - = -7-H = tg (s + - y cos(s + f) H 2, Tato jednoduchá goniometrická rovnice pro neznámou s + -| má řešení 7ľ x s H— = arctg —h /j7r, kde fceZ, 2 y tedy s = arctg —h (2/j — 1)^. Dosazením do pravé strany třetí rovnosti v (1.20) dostaneme y (x2 + y2) (l + (2k - 1)| + arctg ^ V tomto vyjádření však zůstává neurčený parametr k a navíc tato formule je pro y = 0 nedefinovaná, dokonce ani nemá limitu pro y —> 0. Pro x > 0 totiž platí x 7T 2ľ 7T lim arctg — = — a lim arctg — =--. V^0+ y 2 y^O- y 2 Aby byla splněna okrajová podmínka, mělo by pro x > 0 platit x2 = hm+ (x2 + y2) (\ + (2Jfc - 1)| + arctg ^ = x2 (l + (2k - 1)| + |) = ^2(1 + ^), tedy k = 0, a současně x2 = lim (x2+y2) ^l + (2fc- 1)^ + arctg-^j = x2(l + (k - 1)tt), tedy k = 1. Jinak řečeno, na množině |(x,y) eR2 : x > 0,y > 0} je řešení dané okrajové úlohy tvaru 7T 2ľS í(x, j/) = (x2 + y2) ( 1 - '- + arctg ^ 16 Obrázek 1.1: Řešení rovnice yux — xuy = x2 + y2 s okrajovou podmínkou u(x, 0) = x2, x > 0. Řešení je dáno parametricky rovnostmi (1.20), hodnoty parametrů na obrázku jsou s G [—6,6], a e [0,|]. a na množině {(x, i/) £ i2 : x > 0, y < 0} tvaru y) = (x2 + y2) (l + | + arctg ^ . Tato vyjádření lze jednotně zapsat formulí u(x, V) = (x2 + V2) ( 1 + arctg - - 77 sgny V y 2 Takto definovaná funkce je řešením dané okrajové úlohy na množině M2 \ {(x, 0) : x < 0}. Podívejme se ještě jednou na parametrické vyjádření řešení dané úlohy. Rovnosti (1.20) jsou parametrickým vyjádřením plochy v prostoru, která může připomínat šroubovou plochu s osou šroubování u (při fixované hodnotě a se jedná o šroubovici, tj. prostorovou křivku, která „obíhá" osu u, celou ji oběhne při nárůstu parametru s o hodnotu 2tt a po jedné „otočce" vystoupá o hodnotu a2). Plocha je znázorněna na Obrázku 1.1 Řešení charakteristického systému s počátečními podmínkami tedy vyjadřuje diferencovatelnou varietu, která je lokálně grafem řešení rovnice, křivka vyjadřující okrajovou podmínku přitom na této varietě leží. ■ Okrajová úloha pro obecnou rovnici Budeme hledat řešení rovnice (1.1) s okrajovou podmínkou (1.19). Abychom zjednodušili zápis, zavedeme označení du du a rovnici zapíšeme jako F(x,y,u,p,q)=0. (1.22) Pro řešení rovnic lineárních v prvních derivacích se ukázal jako užitečný pojem charakteristiky. Je to rovinná křivka s parametrickým vyjádřením x = x(s), y = y(s), sel, která je řešením charakteristického systému, tj. autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic dx dy — = a(x,y), —=b(x,y). 17 V případě rovnice (1.4) je na charakteristice řešení konstantní. V případě rovnice (1.11) s nenulovou pravou stranou jsme zavedli charakteristickou křivku v prostoru. Je to křivka, která leží na grafu řešení rovnice (1.11) a její průmět do roviny souřadnic x,y je charakteristikou. Jinak řečeno, charakteristická křivka určuje v každém bodě (x(s), y(s)) charakteristiky funkční hodnotu u(x(s),y(s)) řešení rovnice (1.11). Charakteristická křivka je trajektorií autonomního systému ^ = a(x,y), ^- = b(x,y), ^ = f(x,y,u). Rovnici (1.11) lineární v derivacích přepíšeme s použitím označení (1.21) ve tvaru a(x, y)p + b(x, y)q - f(x, y, u) = 0. V případě této rovnice je tedy F(x, y, u,p, q) = a(x, y)p + b(x, y)q — f(x, y, u) a platí dF dF a(x,y) = -r^(x,y,u,p,q), b(x,y) = — (x,y,u,p,q), z čehož dále plyne dF dF f(x,y,u) = p—(x,y,u,p,q) + q—(x,y,u,p,q), neboť je splněna rovnice (1.11). Charakteristický systém příslušný k rovnici (1.11) tedy můžeme stručně zapsat dx „ dy „ du „ „ , ďi=F- ď!=F« ^=pF-+qF"- (1-23) Tyto výsledky zobecníme pro rovnici (1.1). Řešení obecné rovnice vyjádříme tak, že každému bodu charakteristiky přiřadíme hodnotu řešení u a hodnoty obou parciálních derivací p a q. Dostaneme tak křivku v pětirozměrném prostoru, která má parametrické vyjádření x = x(s), y = y(s), u = u(s), p = p(s), q = q(s), sel; (1.24) nazýváme ji charakteristický pruh rovnice (1.1). Ten samozřejmě splňuje rovnici (1.22), tj. F(x(s),y(s), u(s),p(s), q(s)) = 0, (1.25) a budeme požadovat, aby funkce x = x (s), y = y (s), u = u(s) také splňovaly systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.23). Derivováním rovnosti (1.25) podle parametru s dostaneme d _/ . . , . , . , . , . N „ dx „ dy „ du „ dp „ dq 0 = —F(x(s),y(s), u(s),p(s), q(s)) = Fx— + Fyfg + Fu— + Fpfg + Fqfg = = FxFp + FyFq + Fu(pFp + qFq) + Fp^ + Fq^- = = ( Fx +PFU + ^)fp+ (fv + qFu + ^s) Fq. Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když ds ds = - (Fx +PFU), = - (Fy + qFu). (1.26) Provedené úvahy naznačují, že za charakteristický systém příslušný k rovnici (1.22) můžeme považovat systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.23), (1.26). Ještě určíme počáteční podmínky tak, aby řešení charakteristického systému vyjadřovalo řešení počáteční úlohy (1.1), (1.19). Stejně, jako v případě rovnice lineární v derivacích položíme x(0)=x0 = X(ct), 2,(0) = 2/o = *», u(0) = u0=g(o-). 18 Počáteční hodnota charakteristického pruhu musí splňovat rovnici (1.22), tj. F(x0,y0,u0,p0,q0) = 0. (1.27) Dále pro počáteční hodnoty souřadnic p a q charakteristického pruhu platí Po = ux(x0,y0) = ux(X((t),Y((t)), q0 = uy(x0,y0) = uv(X((t),Y((t)). Nyní přepíšeme třetí rovnost z okrajové podmínky (1.19) ve tvaru g{cr) = u(X((t),Y((t)s) a zderi-vujeme podle parametru a. Dostaneme g,(a)=p0X,(a)+q0Y,(a). (1.28) Dosažené výsledky můžeme shrnout jako algoritmus pro hledání řešení okrajové úlohy (1.1), (1.19): Rovnici přepíšeme do tvaru (1.22) a přiřadíme jí charakteristický systém obyčejných autonomních rovnic (1.23), (1-26) s počátečními podmínkami x(0) = x0 = X(a), y(0) = y0 = Y(cr), u(0) = u0 = g (a), p(0) = p0, q(0) = q0, kde hodnoty po a qo jsou řešením soustavy rovnic (1.27), (1.28). První tři složky x = x(s,u), y = y(s,u), u = u{s,a) (1-29) řešení počáteční úlohy pro charakteristický systém vyjadřují parametrické vyjádření (grafu) řešení u dané okrajové úlohy. Pokud lze z prvních dvou rovností (1.29) vyjádřit parametry s,u pomocí souřadnic x,y, tj. vyjádřit s = s(x,y), u = a (x, y), dosadíme tyto výrazy do třetí rovnosti (1.29) a dostaneme tak explicitní vyjádření řešení dané okrajové úlohy. Příklad Budeme hledat řešení rovnice které splňuje okrajovou podmínku it(cos řj, sin er) = cos 2a V tomto případě je F(x, y, u, p, q)=p2 - q2 - 4u, takže ^•=^=0, Fu = -4, Fp = 2p, Fq = -2q, pFp + qFq = 2p2 - 2q2, Fx + PFU = -4p, Fy + qFu = -4q. To znamená, že charakteristický systém je dx dy du , 9 9n dp dq -r=2p, -f = -2q, — = 2(p2-q2), /=4p, -/=4g. ds ds ds ds ds Dvě poslední rovnice jsou obyčejné lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem. Jejich řešení s obecnými počátečními podmínkami tedy je P = P(s) = Poe4s, q = q(s) = q0e4s. Tyto výrazy dosadíme do prvních tří rovnic charakteristického systému. Dostaneme 19 a po integraci x = x0 + ±p0(e4s-l) , y = yo-yo(e4s-í), u = u0 + \{p2 - q2) (e8s - l) . (1.30) Parametrické vyjádření počátečních podmínek je X(cr) = cos a, Y (a) = sincr, g(cr) = cos2er, takže počáteční hodnoty xq , yo a uq jsou dány rovnostmi xq = cos cr, yo = sin cr, iío = cos2er (1-31) a počáteční hodnoty po a go splňují rovnice (1.27), (1.28), konkrétně 4cos2ít = Po — íjq, 2sin2(t = po sin ^ ^ 90 cosct- (1-32) Bezprostředním dosazením ze třetí rovnosti (1.31) a první rovnosti (1.32) do třetí rovnosti (1.30) dostaneme m = e8scos2cr. (1.33) Soustava rovnic (1.32) je tvořena jednou lineární a jednou kvadratickou rovnicí pro dvě neznámé Po a (jo- Má tedy dvě řešení. První řešení soustavy (1.32) je po = 2coser, qo = — 2siner. Dosazením do prvních dvou rovností (1.30) dostaneme x = e4s cos cr, y = e4s sin a. Umocněním těchto rovností na druhou a jejich odečtením dostaneme x2 - y2 = eSs cos 2cr. Porovnáním se vztahem (1.33) vidíme, že jedno řešení dané okrajové úlohy je dáno výrazem u(x,y) = x2 - y2. Druhé řešení soustavy algebraicko-goniometrických rovnic (1.32) je 2coscr(l + 2 sin2 cr) 2sincr(l + 2 cos2 cr) Po =--ô-' q° =--ô-■ cos 2cr cos 2cr Po dosazení těchto výrazů a výrazů (1.31) do rovností (1.30) dostaneme / 1 + 2 sin2 cr . . .\ cos cr , _ „ . 9 . 4„.\ x = coscr 1--(e4s - 1) =-(2 - (1 + 2s n2cr)e4s) , V COs2cr 1 >) COs2cr 1 1 ' > ' / l + 2cos2cr , . ,\ sincr , n _ n 9 N y = sin cr H--(e4s - l) =-(-2 + (1 + 2 cos2 cr)e4s) . \ COs2cr v ') COs2cr v ' Spolu s rovností (1.33) tak máme vyjádřeno druhé řešení dané úlohy v parametrickém tvaru. Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomků je výraz cos2cr, omezíme se na hodnoty parametru cr z intervalu (—jff, j^) ■ Obě řešení dané úlohy jsou znázorněny na Obrázku 1.2. Tento příklad také ukazuje, že okrajová úloha nemusí být jednoznačně řešitelná. ■ Příklad (geometrická aplikace obecné rovnice) Najdeme plochu, která prochází přímkou zadanou obecnými rovnicemi x + y = 1, z = 1, a která má vlastnost: průsečík roviny souřadnic xy a normály k této ploše v nějakém bodě M a průmět bodu M do roviny xy má konstantní vzdálenost a. 20 Obrázek 1.2: Řešení rovnice u2 —u2 = 4u s okrajovou podmínkou w(cos a, sin a) = cos 2a. Okrajová podmínka je vyznačena černou křivkou na „sedle", tj. na grafu řešení daného rovností u = x2 — y2. Hledanou plochou bude graf funkce z = z(x,y), pro kterou platí z(x,l-x) = l. (1.34) Z geometrie víme, že směrový vektor normály v bodě M = (x, y, z(x, y)) má souřadnice ' dz dz ^ dx1 dy1 takže parametrická rovnice normály v bodě M je dána parametrickými rovnicemi dz X = x + —t, ox dz Y=y + —t, dy Z = z — t, kde t je parametr. Průsečík normály s rovinou xy je bod této přímky, kde Z = 0, tj. t = z. Průmět bodu M do roviny xy má souřadnice (x, y, 0). Pro euklidovskou vzdálenost těchto bodů ma platit To už je parciální diferenciální rovnice pro hledanou funkci z = z(x,y). Příslušná okrajová podmínka je (1.34). Řešení této úlohy je však poněkud obtížné, proto zavedeme novou neznámou funkci ii = u{x, y) = z{x, y)2. Pak du ^ 9z du ^ 9z dx dx1 dy dy a úlaha (1.35), (1-34) se transformuje na tvar du\2 /du^ 2 fx) +{Ty) =4fl2< «(*.!-*) = !■ 21 Máme tedy F(x, y, u,p, q)=p2 + q2- 4a2, Fx = Fy = Fu = O, Fp = 2p, Fq = 2g, charakteristický systém s počátečními podmínkami je dx , . — = 2p, x(0) = a ^=2g, 2/(0) = 1- 0 a dostaneme, že hledaná plocha je dána jednou ze dvou rovností = Jí±aV2(x + y-í). Quasilineární rovnice a její geometrická interpretace Významným speciálním případem obecné rovnice (1.1) je rovnice tvaru a(x, y,u)— + b(x, y,u)— = f(x, y, u), (1.36) ox oy kde a, b jsou spojité funkce tří proměnných. Koeficienty a, b u prvních parciálních derivací hledané funkce na této funkci závisí. Proto výraz na pravé straně rovnice (1.36) nevyjadřuje lineární operátor na množině diferencovatelných funkcí dvou proměnných, ale je pouze „lineárnímu podobný" nebo „jakoby lineární". Proto se rovnice (1.36) nazývá quasilineární. V případě quasilineární rovnice (1.36) je F(x, y, u,p, q) = a(x, y, u)p + b(x, y, u)q - f(x, y, u), 22 takže Fp = a(x, y, u), Fq = b(x, y, u), pFp + qFq = f (x, y, u). První tři rovnice charakteristického systému (1.23) příslušného k rovnici (1.36) jsou proto tvaru = a(x, y,u), ^ = b(x, y,u), ^ = f (x, y, u). (1.37) Tyto rovnice nezávisí na (pomocných) souřadnicích p, q charakteristického pruhu. Pro řešení quasilineární rovnice (1.36) tedy nepotřebujeme rovnice (1.26). Řešení rovnice (1.36) s okrajovou podmínkou (1.19) v parametrickém tvaru tedy dostaneme jako řešení systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.37) s počátečními podmínkami x(0) = X(a), y(0) = Y(a), u(0) = g(a). Příklad Budeme hledat řešení rovnice . .du . du (y + u>dx' + (u + x>dy~ = X + y' které splňuje okrajovou podmínku u(x, —x) = 2x. Charakteristický systém řešené rovnice je tvaru dx ďl= V+U> dy — = x + u, ds du Ts=x+y- Jedná se tedy o systém lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí Její vlastní čísla a příslušné vlastní vektory jsou Ai2 =-1, A3 = 2, vx í M °\ 0 < «H i < "H V-i -i u/ To znamená, že obecné řešení charakteristického systému je x(s) = Ae2s + Be~s, y(s)=Ae2s + Ce-s, u(s) = Ae2s - (B + C)e-S. Okrajovou podmínku přepíšeme do tvaru x = u, y = —cr, u = 2cr, ze kterého dostaneme počáteční podmínky pro charakteristický systém x(0) = cr, y(0) = -cr, u(0) = 2a. Řešení charakteristického systému s těmito počátečními podmínkami je x(s) = |cre2s + — s _ (2e3s + ť y(s) = §^(S)>---^n(S))dxl ds L—4 oxi ds i—l i—l 1 To znamená, že na charakteristikách je řešení rovnice (1.44) konstantní. Odtud plyne, že řešení rovnice (1.44) můžeme získat tak, že na každé charakteristice zadáme hodnotu funkce u. "Pokud budeme n-tici reálných čísel považovat za vektor, vždy půjde o vektor sloupcový. 26 Charakteristika rovnice (1.44) je hladkou křivkou v n-rozměrném prostoru. Takovou křivku můžeme zapsat buď parametricky rovnostmi (1.46) nebo obecně jako průnik n — 1 nadploch (tj. (n — l)-rozměrných diferencovatelných variet) v n-rozměrném prostoru, tedy rovnostmi vl(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn) = cí, i = í,2,...,n-í, (1-47) kde Ví jsou diferencovatelné funkce n proměnných. Rovnosti (1.47) někdy můžeme získat z parametrického vyjádření (1.46) charakteristik eliminací parametru s. Jiná možnost, jak získat obecné vyjádření (1.47) charakteristik rovnice (1.44) spočívá ve vydělení rovnic charakteristického systému (1.45); dostaneme tak n—1 obyčejných diferenciálních rovnic, např. dxl+1 _ al+1(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn) dxt ai(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn) nebo dx, _ al(x1,x2, ...,xn) _ — , n , n — Z, O, ... , Ti. áxx a1{x1,x2,.. . ,xn) Obecné řešení těchto systémů rovnic, které závisí na n — 1 konstantách, zapíšeme v implicitním tvaru (1.47). Předchozí obyčejné diferenciální rovnice můžeme také jednotně zapsat ve tvaru rovností diferenciálů dxx dx2 dxn (1.48) n = 1,2, .. ., n — 1, «1 (xi,x2,... ,xn) a2(x1,x2,. .. ,xn) an(x1,x2,. .. ,xn) Hodnotu funkce u, která je řešením lineární rovnice (1.44), vyjádříme na charakteristikách pomocí diferencovatelné funkce <í>, která je funkcí n—1 proměnných. Řešení rovnice (1.44) tedy píšeme ve tvaru u(x) = (v1(x),v2(x),... ^n-íix)). (1.49) Provedené úvahy ukazují, že pro rovnici (1.44) lze zformulovat výsledek, který je bezprostředním zobecněním Tvrzení 1 platného pro rovnice ve dvou nezávisle proměnných. Tvrzení 2. Nechť funkce Vi : Q —>• R, í = 1, 2,..., n — 1, jsou diferencovatelné funkce takové, že rovnosti (1.47) jsou implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.45) příslušného k rovnici (1.44) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení sytému obyčejných diferenciálních rovnic (1.48)). Je-li <í> libovolná diferencovatelná funkce n—1 proměnných taková, že její definiční obor obsahuje kartézský součin oborů hodnot funkcí Ví, pak funkce u definovaná rovností (1.49) je řešením rovnice (1.44). Důkaz: Na řešení (1.46) charakteristického systému (1.45) jsou splněny rovnosti (1.47). Tedy pro každý index j platí i—l 1 ^dvj(x1(s),x2(s),...,xn(s)) = -g^r.-al{x1(s),x2(s),. . .,xn(s)), i=l stručně Edvj(x) , N dx~Tai{x) = i=l Dále n-l du(x) d , , , , , ... ^ d$(v1(x),v2(x),... ,vn-x{x)) dvj(x) ~dx~ = q^^M'), ■ ■ ■,«»-!(*)) = E-tos--dxT- j=l ■> 27 takže E, ,du(x) -A ^-4 d$(v1(x),v2(x),... ,í;„_i(a;)) dvAx) = £*(*)£-^--feT = 2—1 2 — 1 i —1 ^ 9$(í;i(a;),í;2(a;), ■ ■ ■ ,u„-i(a;)) A „ = E-^-E fl^)^r = °- j=l 3 i=l □ Povšimněme si, že na levé straně rovnice (1.44) je skalární součin vektoru a s gradientem hledané funkce u. Gradient je lineární zobrazení, skalární součin také. Složení lineárních zobrazení je lineární. Odtud plyne, že rovnice (1.44) také splňuje princip superpozice: Jsou-li u\,U2, ■ ■ ■ , itfc řešení rovnice (1.44), pak také jejich libovolná lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech řešení rovnice (1.44) tvoří reálný vektorový prostor. Příklad / „ ,9m , „ „ . du , . du (y-2x- 2z)— + (x-2y + 2z)— + (x - y + y)— = 0 ox ay dz Příslušný charakteristický systém dx — = -2x+ y-2z, ds dy „ = x - 2y + 2z, dz — = x- y+ z ds je lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí. Můžeme tedy explicitně napsat jeho řešení x = (2 As + 2B)e-s, y = (-2As + 2C)e-s, z = \-2As + C-B- A)e-S; přitom A, B,C jsou integrační konstanty. Druhou rovnost vydělíme rovností první a dostaneme y _ -As + C . x + y _ B + C x~ As + B ' tJ' x ~ As + B' třetí rovnost vydělíme první a dostaneme z _ -2As + C -B-A . x + z _C + B- A x~ As + B ' tJ' x ~ 2(As + B) ' tyto rovnosti navzájem vydělíme a dostaneme x + y - = const. x + z Analogicky (první a třetí rovnost tentokrát dělíme druhou) dostaneme x + y const. z-y Řešení je tedy tvaru u(x,y) = <ř (^§Ťpf,7Z^J, kde <ř je libovolná diferencovatelná funkce dvou proměnných. ■ 28 Na charakteristikách je řešení rovnice (1.44) konstantní. Proto konkrétní řešení (partikulární řešení) této rovnice můžeme získat tak, že na „začátku" každé charakteristiky určíme funkční hodnotu řešení. „Začátky" charakteristik lze určit tak, že v prostoru zavedeme nějakou nadplochu ((n— l)-rozměrnou varietu), která protíná každou charakteristiku právě jednou; průsečík této nad-plochy s charakteristikou budeme považovat za „začátek charakteristiky". Nadplocha s uvedenou vlastností se nazývá okraj pro rovnici (1.44). Okraj může být zadán parametrickými rovnicemi; poněvadž se jedná o (n — l)-rozměrnou nadplochu, závisí na n — 1 parametrech. Parametrické rovnice okraje tedy jsou Xl = Xl(cr1, a2, ■ ■ ■, c„_i), i =1,2 kde parametry 01, 02, ■ ■ ■, "Vi-i jsou z nějaké podmnožiny prostoru R™-1, která má neprázdný vnitřek. Průsečík konkrétní charakteristiky s okrajem je určen konkrétní sadou parametrů. Hodnoty řešení u rovnice (1.44) tedy zadáváme pro tuto sadu parametrů. Jinak řečeno, zadáváme okrajovou podmínku ve tvaru u{X\{a\, 02, ■ ■ ■ , C„_l), X2(cti, (72, ■ ■ ■ , C„_l), . . . , Xn((7l, (72, . . . , 0„-l)) = = 5,(cri,(72,. .. ,er„_i). (1.50) Okrajovou úlohu, tj. rovnici (1.44) s podmínkou (1.50), řešíme tak, že k charakteristickému systému (1.45) přidáme počáteční podmínky Xi(0) = Xl(u1,u2,... ,<7n-i), í = l,2,...,n. (1-51) Jednotlivé složky řešení Cauchyovy úlohy (1.45) závisí na nezávisle proměnné s a na parametrech 01, £r2,... , 0„-i, tj. xt = xl(s, 01,02,..., 0„-i). (1-52) Rovnosti (1.52) a rovnost (1.50) přepsaná do tvaru u = g(ffi, 02, ■ ■ ■, 0«) představují parametrické vyjádření (grafu) řešení okrajové úlohy (1.44), (1.50). Na rovnosti (1.52) se také můžeme dívat jako na systém n rovnic pro n neznámých, kterými jsou parametry s, o\, 02,... , 0n-i- Pokud se z něho podaří explicitně vyjádřit parametry okraje 01, 02,... , er„_i v závislosti na souřadnicích <7j = aj(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn), j = 1, 2,. .. ,n - 1, pak je lze dosadit do okrajové podmínky (1.50). Takovým způsobem dostaneme řešení okrajové úlohy (1.44), (1.50) ve tvaru u(xx,x2,.. . ,xn) = #(01(2:1,.. . ,xn),. .. ,0„_l(2ľl, . .. ,xn)). Příklad Budeme hledat řešení rovnice . .du du du {z + y-x)dx- + {z + X-y)dy-+Zd-z=° s okrajovou podmínkou u(x, y, a) = Aa4xy, kde a je nějaká reálná konstanta. Charakteristický systém (1.45) je v tomto případě tvaru dx ~ďš dy ds dz ďš -x+y+z, x—y+z, 29 Jedná se o lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty jeho obecné řešení je tvaru x = Aes + Be-2s + C, y = Aes - Be-2s + C, z = Aes. Počáteční podmínky (1.51) odpovídající dané okrajové podmínce jsou x(0) = eri, y(0) = a2, z(0) = a. Pro integrační konstanty A, B, C tak dostáváme soustavu lineárních rovnic A+B+C = cr1, A-B+C = <72, A = a, která má řešení A = a, B = ^ (o~i — er2), C = \ ip\ + ct2) ~~ a- Řešení (1.52) Cauchyovy úlohy pro charakteristický systém je x = aes + er2) e_2s + \{&\ + ^2) - a, y = aes - \ (ui - a2) e~2s + \{(t\ + ct2) - a, z = aes. Bezprostředně vidíme aes = z a tedy e_2s = a2/z2. Po dosazení do prvních dvou rovností dostaneme systém rovnic pro parametry o\, a2 ve tvaru a2((Ti - cr2) , cti + cr2 X = Z+—2Ti-+ —2—-a> a2((Ti - cr2) , cti + cr2 V = z--2-Ž2— + —^-a> nebo po úpravě (z2 + a2)(Ji + (z2 — a2)o-2 = 2z2(x — z + a), (z2 - a2)eri + (z2 + a2)cr2 = 2z2(y - z + a). Determinant této soustavy lineárních rovnic je roven 4a2 z2, takže pro a^O dostaneme cti = —((x + y - 2z + 2a)a2 + (x - y)z2), cr2 = ((x + y - 2z + 2a)a2 - (x - y)z2). Parametrické vyjádření okrajové podmínky (1.50) je w(cti, (72, a) = 4a4(Ti(T2. Do této rovnosti dosadíme vypočítané hodnoty parametrů o\, cr2 a dostaneme řešení dané úlohy ve tvaru u(x, y, z) = a4(x + y — 2z + 2a)2 — (x — y)2z4. Tato funkce je řešením úlohy pro nenulovou hodnotu parametru a. V případě a = 0 je řešením nulová funkce, u = 0. ■ Příklad Najdeme obecné řešení rovnice du du du xi---hx2---1-----\-xn-— = 0. (1.53) oxi 0x2 oxn 30 const, Charakteristický systém je v tomto případě xii j"1 í, Z,. .. ,n. To vlastně není systém, ale n nezávislých rovnic. Jeho řešení je Xj(s) = Cies. Z toho vidíme, že pro každé i = 2, 3,..., n platí Xj-i(s) _ Cj-i %i{s) C i takže obecné řešení dané rovnice je tvaru u(x1,x2, ... , xn) = 9 [ —, —, . . . ,- \x2 x3 xn kde <í> je nějaká diferencovatelná funkce n — 1 proměnných. To ovšem není jediné možné vyjádření řešení dané parciální rovnice. Stejně snadno můžeme z řešení charakteristického systému odvodit, že pro libovolnou hodnotu j G {1,2,... ,n} a každý index i = 1,2,..., j — 1, j + 1, j + 2,... ,n platí xj(s) C j takže řešení dané parciální diferenciální rovnice je tvaru Xl X2 Xj-i Xj+l xn u(x1,x2, ...,in) = * —; — V xj xj kde ^ je opět nějaká diferencovatelná funkce n — 1 proměnných. Nyní můžeme k rovnici (1.53) přidat okrajovou podmínku u(l,x2, x3,..., xn) = x2x3 ■ ■ ■ xn. (1-54) Dosadíme-li tuto rovnost do druhého vyjádření řešení rovnice (1.53), v němž zvolíme j = 1, dostaneme x2x3 ■■■xn= ty(x2,x3,. .. ,xn). Z toho snadno vidíme, že za funkci ty můžeme vzít funkci danou předpisem a řešení úlohy (1.53), (1-54) dostaneme ve tvaru x2x3 ■■■xn u(xi,x2, ...,xn) xr1 Z prvního uvedeného řešení rovnice rovnice (1.53) není řešení okrajové úlohy vidět. Quasilineární rovnice Řešení rovnice ai(xi,.. .,xn,u)---h a2(xi,. . .,xn,u)---1-----h an(xi,.. .,xn,u)-— = f(x1, ...,xn,u), oxi ox2 oxn neboli případně ve vektorovém zápisu dx i—l a(x,u)TX7u = f(x,u), 31 budeme hledat v implicitním tvaru V(x,u) = 0, (1.56) kde V je nějaká diferencovatelná funkce n + 1 proměnných. Budeme si představovat, že řešení známe. Nechť tedy u = u(x) je řešení rovnice (1.55), které je implicitně popsáno rovností (1.56). Pak platí V(x,u(x)) = 0. Tuto rovnost parciálně zderivujeme podle každé z proměnných Xj. Dostaneme dV(x,u(x)) dV(x,u(x)) du(x) dxj du dxj = 0, i = 1,2, Dále vynásobíme z-tou rovnost výrazem olí(x,u{x)} a výsledné rovnosti sečteme. Výsledkem je rovnost i—l 1 \i—1 1 / a poněvadž funkce u je řešením rovnice (1.55), můžeme tuto rovnost upravit na tvar ± „,(*, „<*)) »!fc(f» + /(«, „w)M^wi = o. 2 — 1 Vidíme, že funkce V je řešením rovnice v n + 1 nezávisle proměnných, která je lineární v derivacích a má nulovou pravou stranu. Stručně: funkce V, která rovností (1.56) implicitně popisuje řešení quasilineární rovnice (1.55), je řešením parciální diferenciální rovnice 2_^ai{x,u)— + f{x,u)— = 0. i—l 1 To je rovnice, kterou jsme se zabývali v předchozí části. Máme tedy následující algoritmus pro hledání řešení quasilineární rovnice (1.55). K rovnici (1.55) přiřadíme charakteristický systém obyčejných autonomních diferenciálních rovnic ^ CLi [x\ , . . . , Xn , Ti) , Í 1,2,...,?!, ds du — =J{x1,. . .,xn,u). (1.57) Jeho trajektorie vyjádříme v obecném tvaru jako průnik n nadploch Vj(xi,x2, ...,xn,u) = Cj, j = 1, 2,. .. ,n. Řešení rovnice (1.55) je pak implicitně dáno rovností $(vi(xi,. .. ,xn,u),v2(xi, ...,xn,u),.. .,vn(xi,. .. ,xn,u)) = 0, kde $ je libovolná diferencovatelná funkce n proměnných. Rovnici (1.55) s okrajovou podmínkou (1.50) řešíme tak, že najdeme řešení charakteristického systému (1.57) s počátečními podmínkami (1.51) doplněnými o podmínku u(0) = g(u1,U2, ■ ■ ■ ,er„_i). Toto řešení závisí na nezávisle proměnné s a parametrech o\, 02,. .., on-i, tj- xl=xl(s,cr1,cr2,.. . ,crn), i = 1,2, ... ,n U = u(s, cr1,cr2, . . . , £T„). Těmito rovnostmi je parametricky zadáno řešení okrajové úlohy (1.55), (1.50). V některých jednoduchých případech lze parametry s, o\, u2,. .. , er„_i eliminovat a řešení úlohy vyjádřit explicitně. Povšimněme si, že algoritmus řešení okrajové úlohy (1.55), (1.50) je bezprostředním zobecněním postupu při řešení úlohy (1.36), (1.19) pro funkci ve dvou nezávisle proměnných. 32 Okrajová úloha pro obecnou rovnici Dosud provedené úvahy napovídají, že řešení obecné rovnice (1.42) pro funkci u y n nezávisle proměnných s okrajovou podmínkou (1.50) by bylo možné hledat stejným postupem, jako řešení úlohy (1.22), (1.19). Pro zjednodušení zápisu zavedeme označení du T pl = —,i = i,2,...,n, p = (pi,P2, ■ ■ ■ ,Pn) =vu, dxl v = ((^1,(72, (?n-i)T, X(er) = (X1(er),X2(er),. .. ,Xn(a))T. Rovnice (1.42), nebo ekvivalentní rovnice (1.43), s okrajovou podmínkou (1.50) je pak tvaru F(x,u,p) = 0, u(X(tr)) = g(tr). (1.58) K rovnici přiřadíme charkteristický systém obyčejných diferenciálních rovnic ^- = FPz{x,u,p), i = í,2,...,n, =2_^p*fpáx,u,p), (1-59) i=l dpi -j1 =-FXi(x,u,p) - plFu(x,u,p), í=í,2,...,n. as Věta 2. Nechi x = x(s, er), u = u(s, er), p = p(s, er) je řešení charakteristického systému (1.59) splňující počáteční podmínky l , , . . . , , U, xl(0)=Xl(cr), i = 1,2, «(0) =g(Xi{ j = 1, 2,..., n - 1. (1.61) Dále nechi funkce F je spojitě diferencovatelná a funkce g je spojitá. Pak prvních n + 1 složek řešení počáteční úlohy (1.59), (1.60) je parametrickým vyjádřením řešení okrajové úlohy (1.58) v okolí okraje. Důkaz: Nechť řešení uvedené počáteční úlohy (1.59), (1.60) s parametry er je definováno na intervalu [0,5). Položme fí = {x(s,ct) el":0--hfflii, —^--, —0--t, • • •,-í---0 v ' ' ' ' \x2 '2x1 x2 '3x1 2x2' '(n-l)^"1 (n - 2)<:? 5. u(x, y) = xy + &(x2 + y2) 6. $ ^—, a;?/ + u2^j = 0 (implicitní popis) 7. u(x,y) = 4y — 6x 34 8. u(x, y, z) = x y + y z + zx 9. u(x,y) = Jxy 10. u{x,y) = x + y ln y 1 + ln y 11. (4it - (.t - 3)2) (Au - (x - l)2) = 0 (implicitní popis) 12. u(t,x) = ax ~ a21 35 36 Kapitola 2 Rovnice druhého řádu lineární ve druhých derivacích 2.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných Budeme se zabývat rovnicemi tvaru ,32n . d2u _ .d2u ^ ( du du\ . „. kde A,B,C jsou spojité reálné funkce definované na nějaké množině G C M2 s neprázdným vnitřkem a funkce F je definována na množině G x I3. Přitom budeme předpokládat, že pro každý bod (x, y) G G platí \A(x,y)\ + \B(x,y)\ + \C(x,y)\>0, tj. funkce A, B, C nejsou současně nulové. Pro každý bod (x, y) G G můžeme zavést matici ][X'y)-{B(x,y) C(x,y)J Tato matice je evidentně symetrická. Nechť (x0,y0) G G. Rovnice (2.1) se nazýva hyperbolická v bodě (xo,yo), je-li matice M(aľo,yo) indefinitní, parabolická v bodě (xo,yo), je-li matice M(aľo,yo) pozitivně nebo negativně semidefinitní, eliptická v bodě (xo,yo), je-li matice M(xo,yo) pozitivně nebo negativně definitní. Ze známých vět z lineární algebry plyne, že rovnice (2.1) je hyperbolická parabolická eliptická B(x0,y0)2 > A(x0,y0)C{x0,y0), > v bodě (x0,y0) G G právě tehdy, když { B(x0,y0)2 = A(x0,y0)C(x0,y0), B(x0,y0)2 < A(x0,y0)C(x0,y0). Rovnice (2.1) se nazývá hyperbolická, resp. parabolická, resp. eliptická, na otevřené množině H C G, je-li hyperbolická, resp. parabolická, resp. eliptická, v každém bodě množiny H. 37 2.1.1 Charakteristiky a kanonický tvar rovnice Budeme hledat transformaci nezávisle proměnných, která rovnici (2.1) převede na nějaký jednodušší tvar; v ideálním případě na takový, aby bylo možné najít nějaké její řešení. Nechť H C G je otevřená množina. Buďte dále ip, tp : H —>• R takové funkce, že ifx(x,y)tpy(x,y) - ify(x,y)tpx(x,y) ^ 0 pro všechna (x,y) G H. Pak transformace £, = if(x,y), r/ = ip(x,y) (2.2) bijektivně zobrazí množinu H na otevřenou podmnožinu M2 a rovnici (2.1) transformuje na tvar (využíváme formule pro druhé parciální derivace složené funkce) kde Aifl + 2Bx 2/i =--, resp. 2/2 = —~ Vy ipy (podle vzorce pro derivaci implicitně zadané funkce, viz např. Z Došlá, O Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU 1999, str. 96). Obyčejná diferenciální rovnice v implicitním tvaru (nerozřešená vzhledem k derivaci) A(x,y)(^j -2B(x,y)^ + C(x,y) = 0 (2.5) se nazývá charakteristická rovnice parciální diferenciální rovnice (2.1). Její řešení se nazývají charakteristiky této rovnice. Rovnice (2.5) je vlastně kvadratickou rovnicí pro neznámou y'. Tato kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny, pokud B2 > AC, tj. pokud je rovnice (2.1) hyperbolická; má dvojnásobný reálný kořen, pokud je (2.1) parabolická; nemá reálný kořen, pokud je rovnice (2.1) eliptická. Hyperbolická rovnice V tomto případě se implicitní diferenciální rovnice (2.5) rozpadá na dvě rovnice explicitní , B(x,y) +y/(B(x, y)Y - A{x, y)Čfayj , B{x,y) -y/(B(x,y))2 - A{x,y)Č(x~y) y=-—Ti—ä- a y=-—Ti—ä-■ A(x,y) A(x,y) .....(2.6) Jsou-li íp(x, y) = const a ip(x, y) = const implicitní popisy řešení těchto obyčejných diferenciálních rovnic, tedy jsou zápisem charakteristik hyperbolické rovnice (2.1), pak -x2y2 = A(x, y)C(x, y) a rovnice je tedy hyperbolická na vnitřku každého z kvadrantů. Charakteristická rovnice příslušná k rovnici (2.7) je tvaru 2 (áy \2 2 n x — - y =0. vdx/ Z ní vyjádříme derivaci a dostaneme dvě explicitní rovnice dy = y dx x' které mají separované proměnné a jejich řešení jsou implicitně dána rovnostmi ln \y\ =p ln |x| = const. Charakteristiky tedy splňují rovnosti if(x,y) = xy = const, if)(x,y) = — = const. x Zavedeme proto nové nezávisle proměnné £, n vztahy £ = xy, n=V-. (2.8) x Uvnitř prvního kvadrantu jex>0,y>0a pro tyto hodnoty je také £ > 0, n > 0. Transformace (2.8) tedy převádí vnitřek prvního kvadrantu na sebe. Inversní transformace je dána rovnostmi Dále platí 9x ^ ^' 9y V v' 9x x2 ^y £' 9y x y £ takže podle řetězového pravidla je 9u 9u 9£ ^ 9u 9n r^-9u jrj 9u 9x 91; 9x 9n 9x d£ y £ 9n' 39 o u d x2 r—du Rf r) du dx du du d^ du dt] dy (9í; dy drj dy i]2 du £ d?]1 Tyto výrazy dosadíme do rovnice (2.7) £ / d2u ^ 2 ®2u _|_ V3 d2u ^ ^T]2 du\ /£ d2u ^ ^ d2u ^ r/ d2u\ ^ r/ \ dl;2 d^ďq £ dr/2 í ďq J \rj dí;2 d^ďq £ ďq2 J a upravíme . * d2u n du -4£«-T-- + 2r?— = 0, Ot^OI] OT] d2u 1 du d^drj 2£ drj du Tato rovnice je kanonickým tvarem dané rovnice (2.7). Zavedeme v ní substituci v = — a dosta- dr/ neme dv 1 d£ = 2£,V' Tuto parciální diferenciální rovnici můžeme považovat za obyčejnou, neboť se v ní objevuje jediná derivace podle proměnné £. Řešení této obyčejné lineární homogenní rovnice je v = \fi 4>{ri); přitom (p je „integrační konstanta", která nezávisí na proměnné £, ale může záviset na proměnné rj. Dostáváme tak rovnost kterou zintegrujeme podle proměnné r) a dostaneme u = xr^(v) + ^(0- Funkce <í> je primitivní k funkci (p a funkce 'ř je „integrační konstanta", která může záviset na nezávisle proměnné £. 40 Návratem k původním proměnným dostaneme obecné řešení rovnice (2.7) ve tvaru u(x, y) = y/xy$ {^j + ty(xy); přitom <ř, ty jsou libovolné dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné. ■ Parabolická rovnice V tomto případě se implicitní obyčejná diferenciální rovnice (2.5) redukuje na jednu explicitní rovnici Pokud je v tomto případě řešení rovnice (2.9) implicitně zapsáno rovností ip(x,y) = const, pak v rovnostech (2.4) dostaneme c = 0 a dále platí ipx B . , B -~y=Ä' *-^ = -Ä^ Je-li tedy (p(x, y) libovolná funkce nezávislá na funkci ip, pak v rovnostech (2.4) dostaneme B , \ „ , /„ B2\ , AC-B2 b = -B(fix1py + B \^px1py - —ipylpyj + Clfiylpy = ~ —^J (fiylpy =--(fy ^ y = 0, neboť B2 = AC. Většinou stačí volit ip(x, y) = x nebo ip(x, y) = y. Kanonický tvar parabolické rovnice (2.1) je uíí = F2(£,,V,u,uí,un)- Příklad Uvažujme rovnici 2d2u d2u q d2 u du du x in ~ 2xyinr + y in + xir + y~ň~ = °- ox* dxdy dy* dx dy V této rovnici je A(x, y) = x2, B{x, y) = —xy, C(x, y) = y2, takže B(x, y)2 = x2y2 = A(x, y)C(x, y) a rovnice je parabolická. Příslušná charakteristická rovnice je tvaru 2 (áy \2 , o áy , 2 n (pozor na znaménko koeficientu u první derivace). Z charakteristické rovnice vyjádříme dy _ y dx x Tato obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými má řešení dané implicitně rovností xy = const. Zavedeme tedy nové nezávisle proměnné £, rj vztahy Í = V, rj = xy. Pak je x * 7 y si o i, ^, 4 ox oy Ox oy £ a dále du ^du du du ^ rj du dx drj' dy d^ £ drj' 41 ^2 u u d u ^2 d u ^ d u ^ du d u d u _|_ ^ i9x2 dr/2' dxdy c^dry ^ dr/2 dr/' 9y2 £ c^dry £2 dry2 Po dosazení do rovnice a úpravě dostaneme kanonický tvar dané rovnice d2u 1 du Tuto rovnici můžeme považovat za obyčejnou diferenciální rovnici, neboť se v ní vyskytují derivace podle jediné proměnné £. Položíme du w = äš a dostaneme dv 1 Tato rovnice má řešení takže Integrací podle proměnné £ dostaneme u = (r/) ln£ + ^(íy). Návrat k původním proměnným dá řešení dané rovnice ve tvaru u(x,y) = ty(xy)\ny + ty(xy), kde $ a$ jsou dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné. ■ Eliptická rovnice Pokud je rovnice (2.1) eliptická, nemá reálné charakteristiky Pro zjednodušení zápisu nejprve označíme reálnou a imaginární část kořenů příslušné charakteristické rovnice symboly . , B(x,y) . . V'A{x,y)C{x,y) - (B(x,y))2 A(x,y) A(x,y) Dále nechť ty(x, y) = C±, resp. ty{x,y) = C2, je implicitní popis řešení rovnice v' = Kx, v) + 'll/(x, V), resP- v' = Kx, v) - 'll/(x, V), tj- — —=H + iľ, -—=fi-iv; Funkce $ af jsou komplexními funkcemi reálných nezávisle proměnných x a y. Nyní zavedeme nové nezávisle proměnné Pak platí Vx = \{®x + Vx) = \{-^y - ÍV$y - + Wy) = J^y ~ ^y) ~ \^y + Vy) = Vlpy ~ W>y, ^x = J^Qx-Vx) = ^{-llVy-ivVy+IlVy-ivVy) = - ^(tyy-ty y)-^(tyy + ty y) = -My-Vípy. 42 Dosazením těchto vyjádření do rovností (2.4) dostaneme a = Aipl + 2Bipxipy + Cipy = A {y2^2y - 2ľfiipytpy + fJ2(fil) + 2B (ľipytpy - fiipl) + Cip2 = = (A/i2 - 2B/i + C>2 + Av2i\)2y + 2v(B - An)(pyipy = = (t - 2t+c) + + MB B)^y = tá+O. b = Aipxljjx + B(ipxljjy + Ifiylpx) + Clfiyljjy = = -A (l/Hlpy - /ríPylpy + V21py(Py ~ ^V^2y) + B (l/ljly - /Iífylpy ~ /Iífylpy ~ Ulfy) + Cífylpy = = {Au - B)isipl + (B - Airjvtpl + [Au2 - Av2 - 2B^i + C) ipyipy = w ? (B2 AC-B2 2B2 AC\ = (B-B) (vy = 0, c = Aip2x + 2Bipxipy + Cip2y = A (irtPl + 2nvil)yipy + v2ip2y) - 2B (nip2y + vipyipy) + C'ip2y = = Av2ip2y + (Au2 - 2B[i + C) ip2y + 2v(A[i - B)ipyipy = / r>2 r>2 \ \r~i _ r>2 fl + - 2t + c) ^ + MB ~ B)ipyi)y = —Ä— + ^ AC_B2 , . (B2 „B2 „\ . „ ,„ „N , AC-B2 ~Ä tedy a = c, b = 0. Kanonický tvar eliptické rovnice (2.1) tedy je uíí+unn = F3(C,V,U, H,un). Příklad Najdeme transformaci převádějící rovnici (1+ 2)^2"+(l+ 2)^2" + du ^ du q dx2 dy2 dx dy na kanonický tvar. V tomto případě je charakteristická rovnice tvaru (1 + -2) (d^)2 + (1+y2) = ° a má komplexně sdružené kořeny dy =±. /1 + y2 dx V 1 + x2 ' To znamená, že daná rovnice je eliptická. Poslední rovnice je obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, která má řešení ln í y + \/1 + y2 ) =p i ln í y + \/l + y2 ) = const Podle obecného zdůvodnění před příkladem tedy máme transformaci původních souřadnic x, y do nových £, rj ve tvaru £ = ln (y + V1 + y2) , V = m [V + V1 + V2 Platí tedy1 1 y^ -•-Použitý zápis je „ošklivý"; na jedné straně rovností „míchá" staré a nové proměnné. Ovšem je to zápis úsporný a (věřím, že) srozumitelný. 43 1 2x \ _ 1 / x XX~ ml + y2^ H 2(l + a;2)Vr + ^;~ ^ vTT^ v Po dosazení těchto výrazů do dané rovnice dostaneme x y x y Uw ~ /-, , 2uv + utt--r—-^uí + 71 , 2uv + n—^?u£ = 0 VÍ + xz yfl + y2 VÍ + xz yfl + y2 a po triviální úpravě máme kanonický tvar dané rovnice Nyní nás nenapadá žádný trik, jak tuto rovnici vyřešit. ■ 2.1.2 Kanonický tvar lineární rovnice s konstantními koeficienty Jedná se o rovnici d2u d2u d2u Bu du ajT2 + 2binr + cin = dir + eir + fu + 9(x> y)> 2-10 oxz oxoy oyz ox oy kde a, b, c, d, e, / G R a g : M2 —> R. Transformace popsaná v 2.1.1 převede tuto rovnici na některý z tvarů U£v = d\u^ + eiuv + fiu + <7i(£, i]), pokud b2 > ac, tj. rovnice je hyperbolická, = d2u^ + e2uv + f2u + g2{^, tj), pokud b2 = ac, tj. rovnice je parabolická, (2-11) it££ + um = d^u^ + e^Urj + fyu + 33í/), pokud ď2 < ac, tj. rovnice je eliptická. Zavedeme novou neznámou funkci v vztahem u = ve^+m, kde A a /i jsou zatím neurčené konstanty. Pak je Uí=e^+^(Xv + Uíí=e^+^(X2v + 2Xv^ + v^), un = eA«+^ (fw + vv), uiv = eA«+^ (Xfw + fw( + Xvn + viv), unn = eX!í+m{n2v + 2/j,vn + vm). Dosadíme do rovnic (2.11) a vykrátíme výrazem ex^+fíV ^ 0. Dostaneme vív = (di ~ M^í + (ei - ^)vv + (dí^ + eiM ~ V + h)v + h(L v), víí = (d2 - 2X)vs + e2vv + (d2X + e2fi - X2 + f2)v + g2(£, i]), víí + vnn = (d3 - 2^)ví + (e3 - 2/j,)vn + (d3A + e3yu - A2 - /j,2 + f3)v + g3(£„ rf), pro hyperbolickou, parabolickou a eliptickou rovnici (v tomto pořadí). Konstanty A a /i pak zvolíme tak, aby pravé strany těchto rovnic byly co nejjednodušší. Konkrétně: • Pro hyperbolickou rovnici /i = d\, X = e\. Dostaneme vín = (eidi + fx)v + gx (£,«). , ^ , t t d2 4:f2 + d2 • Pro parabolickou rovnici A = —, /i =--. Dostaneme 2 4e2 v# = e2vn+g2(£„ri). 44 ^3 • Pro eliptickou rovnici A = —, /i = —. Dostaneme 4 + e\ + 4/3 víí + ww = -1-v + 93 (£, «)■ Při řešení konkrétní úlohy není potřeba používat odvozené formule, stačí transformovat nezávisle proměnné a pak napsat obecně novou závisle proměnnou. Konkrétní hodnoty A a /i již vyjdou dosazením do původní rovnice. Příklad Najdeme kanonický tvar rovnice d2u d2u du - u = 0. dx2 dxdy dx Příslušná charakteristická rovnice je dx J dx a jakožto kvadratická rovnice má dvě reálná různá řešení dy = íl, dx |0; daná rovnice je tedy hyperbolická. Řešení předchozích obyčejných diferenciálních rovnic je dáno implicitně rovnostmi y — x = const, y = const. Zavedeme tedy nové nezávisle proměnné vztahy í = y-x, ri = y. Pak je Ux = —U£, Uxy = —Utf - Ufr, Uxx = Utf a po dosazení do dané rovnice Ufri = U — 1í£. Nyní položíme u = vex^+m. Dostaneme Tyto výsledky dosadíme do transformované rovnice a upravíme. Z výsledné rovnice v^v + Xvn + (1 + /J,)v£ — (1 — A — X/j,)v = 0 vidíme, že stačí volit A = 0a/z=—1, aby koeficienty u prvních derivací byly nulové, tedy aby výsledná rovnice byla tvaru vSv = v. Výsledek můžeme nyní shrnout tak, že transformace £ = y — x, v = ue^ převádí danou rovnici na rovnici d2v = v. dS,dy 45 2.2 Rovnice v n nezávisle proměnných Jedná se o rovnice OX- n n 2 E E Bij(x1,x2,...,xn) í—1 j—í-\-l (^X ^ 9m 9m 9xi'8x2 du dxn (2.12) kde Ai, Bíj, í 1,2,... ,n, j = í + 1, i + 2,. .., n, jsou spojité reálné funkce n proměnných definované na nějaké množině G C Rn s neprázdným vnitřkem a funkce F je spojitá a definovaná na množině G x R1+rt. Budeme předpokládat, že pro každý bod (x±, x2,..., xn) G G platí )|+ E \Bij(xl>x2, ■ ■ ■ ,Xn)\ > 0, Í=i+1 i=l tj. v každém bodě množiny G je alespoň jedna z funkcí na pravé straně rovnice (2.12) nenulová.2 Při označení x = {x\, x2, ■ ■ ■, xn) lze rovnici (2.12) stručněji zapsat ve tvaru n n E^)^ + 2E E B^^dx^x~ = F{x'u'Vu) dx, i—l L i—l j—i+1 Pokud z koeficientů rovnice (2.12) sestavíme matici \{x) = (mtj(x))" (A^x) B12(x) B13(x) B12(x) A2(x) B23(x) B13(x) B23(x) A3(x) \Bln(x) B2n(x) B3n(x) můžeme rovnici zapsat v ještě stručnějším tvaru Bm{x)\ B2n(x) B3n(x) A„{x) j E mij(x) d2u dxidxj F(x, u, V u). (2.13) Matice M je evidentně symetrická. To znamená, že touto maticí je definována nějaká kvadratická forma k : Rn —>• R. Ta je dána formulí Bi2(x) B13(x) . ■ Bln(x)\ (pi\ Bi2(x) A2(x) B23(x) . ■ B2n(x) P2 k(Pl,P2, ■ ■ -,Pn) = (Pl P2 p3 ■ ■ Pn) Bi3(x) B23(x) A3(x) . ■ B3n(x) p3 \Bm(x) B2n(x) B3n(x) . ■ An(x) J \PnJ nebo stručně n(p) = pTMp. Z lineárni algebry je známo, že platí Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem, který můžeme v naší situaci formulovat: K symetrické matici M existují regulární matice V typu n x n a jednoznačně určená přirozená čísla k,m splňující nerovnosti 0 < k < m < n, tak, že při transformaci P = Vq, tj. q = V^p 2 Ještě připomeneme konvenci, že klademe au = 0. i—k 46 platí n n n n t km k(p) = ^2 mijPiPj = ^2 mij^2visqs^2vjtqt= 5ľ m*ivisVjtqsqt = sž2q2l - ^ i,j—l i ,j—1 s—l t—l i,j,s,t—l i—l i—k-\-l (2.14) Tato skutečnost umožňuje klasifikovat rovnice tvaru (2.12) nebo (2.13): Nechť x0 g g. Rovnice (2.12) se nazýva eliptická m = n a k g {0, n}, hyperbolická m = n a, k E {l,n — 1}, ultrahyperbolická v bodě Xq g g, jestliže m = n& 2 0, pak n(p, q, r) = yzp2 + f xyr2 + 2x2qr H--q2 )--q2 = yzp2 + I Jx~yr V v J v \ xy r xy r xy r ix3 • — q y j IX3 • — q y j \yz\p —q = y yz > o, yz = 0, yz < 0, je-li xy = 0, pak n(p, q, r) = yzp2 + t^x2 ((g + r)2 — (q — r)2) = (y/yžp)2 + x(v + ri) - (73 xii - r)) -±=x(q + r)) - (-±=x(q-r) V2- \yz\p (VyžpY \yz\p a je-li xy < 0, pak k (p, q, r) = yzp2 — ŕ —xyr2 — 2x2qr--q2 )--g2 = yzp2 — I \J\xy \ r — x 7^ 0, yz > 0, x 7^ 0, yz = 0, x 7^ 0, yz < 0, x = 0, yz > 0, x = 0, yz < 0, / x3 •)-W 2ľ3 / y y / x3 2ľ3 / y 9 y yz > 0, = 0, yz < 0. -9 = Z těchto výsledků vidíme, že v případě x =/= 0, y 7^ 0, z =/= 0 je daná rovice hyperbolická a v ostatních případech parabolická (v širším smyslu). Typ dané rovnice můžeme podle Tvrzení 3 určit také podle vlastních hodnot matice M(x, y, z). Její charakteristický polynom je yz- X 0 0 -A 0 0 x2 xy — A = (yz — A) (A2 — xyA — x4) a má tedy kořeny Ai = yz, A2,3 = \ (xy ± \Jx2y2 + 4x4) 48 Pokud je yz ^ 0 a xy ^ 0, jsou všechny vlastní hodnoty nenulové a A2 a A3 mají opačná znaménka. Daná rovnice je tedy hyperbolická. V opačném případě je alespoň jedna z vlastních hodnot nulová a rovnice je parabolického typu. Odpověď na danou otázku jsme našli dvěma způsoby, v obou je tato odpověd stejná. U příkladu ale ještě chvíli zůstaneme a pro ilustraci teorie se podíváme na transformační matici V = V(a-, y, z). V prvním oktantu, tedy pro x>0,y>0,z>0 bezprostředně z tvaru „úplného čtverce" vidíme matici V(x, y, z)^1 a z ní snadno spočítáme matici V(x, y, z), Podobně můžeme postupovat ve všech ostatních případech. ■ 49 50 Kapitola 3 Hyperbolické rovnice Kmitání struny Uvažujme tenkou strunu napjatou podél osy x silou T. Chceme popsat malé kmity této struny tj. odchylku každého bodu struny od rovnovážné polohy v každém čase. Aby tento problém byl relativně snadno zvládnutelný, přijmeme několik zjednodušujících předpokladů: • Výchylky struny jsou tak malé, že její délku můžeme považovat za konstantní. • Struna neklade odpor vůči ohýbání, je dokonale pružná. • Každý bod vykonává pohyb pouze ve směru kolmém na osu x, tj. kmity jsou příčné. Označme u{t,x) výchylku bodu o souřadnici x v časovém okamžiku t. Uvažujme síly, které působí na úsek struny mezi body a a ji. Na strunu může působit nějaká vnější síla. Vzhledem ke třetímu předpokladu stačí uvažovat její složku Fe kolmou na osu x. Tato síla může být v každém bodě struny jiná a také se může měnit s časem. Proto ji vyjádříme pomocí její hustoty g = g(t, x); hustota síly je definována tak, že vnější síla Fe{ť) působící na uvažovaný úsek struny v čase t je rovna Fe(t) = J g(t,Z)d£. a Tahová síla T působí v bodě a ve směru tečny ke struně v tomto bodě. Její složka Fa kolmá na osu x má velikost — Tsini^Q,, kde ipa je úhel, který svírá osa x s tečnou ke struně v bodě a. Poněvadž ale kmity považujeme za malé, je úhel ipa také malý, takže sini^Q, « tg ipa. Hodnota tg ipa je současně směrnicí tečny k funkci u{t, ■) v bodě a. Sílu Fa v čase t tedy můžeme vyjádřit jako Fa(t) = -T^-u{t,a). ox Podobně složku tahové síly působící na strunu v bodě /3 vyjádříme jako Fp{t)=T^-u{t,p). Celková síla působící na úsek struny mezi body a a /3 je tedy dána součtem Fe + F p + Fa, který 51 F(t) = Fe(t) + Fp(ť) + Fa(ť) = i g(t, £)d£ + t ( ^-u(t, p) - ^-u(t, a) upravíme s využitím Newtonovy-Leibnizovy formule P \ox ox = J g(t, £)d£ + tJ A_«(í, £)d£ = J (r-^u(t, o + 9(t, o) de (3.1) a a a Sílu působící na uvažovaný úsek struny však můžeme také vyjádřit pomocí zákona síly. K tomu označíme g = g(x) lineární hustotu struny v bodě x. Lineární hustota je definována tak, že hmotnost úseku struny mezi body a a P je dána integrálem Hmotnost krátkého úseku struny mezi body x a x + Ax je tedy podle věty o střední hodnotě integrálního počtu rovna i+Ai- Am = J g(£)d£ = g(x + ůAx)Ax, x kde •& G [0,1] je nějaké číslo. Zrychlení bodu struny o souřadnici x + ůAx je rovno d2 —u(t,x + ůAx). Sílu působící na uvažovaný krátký úsek struny tedy můžeme vyjádřit jako součin tohoto zrychlení a hmotnosti Am, d2 g(x + ůAx)—u(t, x + ůAx)Ax ot2 a celkovou sílu působící na úsek struny mezi body a a P jako součet d2 g(x + ůAx)—u(t, x + ůAx)Ax, kde sčítáme přes všechny úseky struny mezi body a, p. Tento součet je integrálním součtem funkce d2 g(-)-j^u(t, •), takže pro Ax —> 0 dostaneme sílu F(ť), působící v čase t na úsek struny mezi body a a [5, vyjádřenu Riemannovým integrálem Q(Z)ôpu(t,0d£. (3.2) a Výrazy (3.1) a (3.2) vyjadřují dvěma způsoby celkovou sílu působící na úsek struny mezi body a a p. Musí se tedy sobě rovnat a z této rovnosti jednoduchou úpravou dostaneme (í f ( d2 d2 \ J \ Q{Z)-ôpu{t,0 - t—u(t,0 - g(t,Oj d£ = 0. a Tato rovnost může být pro libovolné hodnoty a a P splněna jen tak, že integrovaná funkce je nulová, tedy d2 d2 Q(x)g^2U(t'x) = T'g^2U(t'x) +a(t,x)- 52 Nyní položíme a = a[x) =i /—- , f = f(t,x) = —— a dostaneme rovnici kmitání struny Uvažujme nejjednodušší případ — struna je homogenní, tj. q(x) = const a nepůsobí na ni žádná vnější síla, tj. g(t,x) = 0. Je tedy také a{x) = a = const a f(t,x) = 0. Rovnice kmitání struny nyní nabývá tvaru d2u „d2u . ä^ = flV (3-4) Označme délku struny l a uvažujme, že struna je v krajních bodech 0 a l upevněna, nevykonává v těchto bodech žádný pohyb. K rovnici (3.4) tak dostáváme okrajové podmínky u(t, 0) = u(t, l) = 0 (3.5) pro každý čas t > 0. Strunu rozkmitáme tak, že ji v počátečním okamžiku t = 0 vychýlíme z její rovnovážné polohy a vypustíme. Struna má tedy v čase t = 0 nějaký tvar a nulovou rychlost, tj. funkce u splňuje počáteční podmínky u(0,x) = (p(x), ^u(0,x)=0 (3.6) pro každý bod x G [0, l]. Počáteční funkce ip samozřejmě musí splňovat podmínku (p(0) = ip(l) = 0. Řešení rovnice (3.4) s podmínkami (3.5), (3.6) „slyšíme": zní základní tón a tóny alikvotní. Struna tedy vykonává harmonický pohyb o nějaké základní frekvenci uj a také harmonické pohyby s frekvencemi, které jsou násobky základní. Můžeme proto hádat, že řešení by mělo být tvaru 00 00 u(t, x) = ctn{x) sin(na;í + c„) = ctn(x) ( sin c„ cosnuot + cos c„ sinnwí) = n—l n—l 00 = (an(x) cos nuit + bn(x) sin nujťj ; n=l Označili jsme an(x) = an{x) sin c„, bn{x) = an{x) cos c„; sčítáme pro n až do nekonečna, abychom nějak uměle neomezovali počet alikvotní ch tónů. Pokud budeme předpokládat, že fln(O) = an{l) = 6„(0) = bn(l) = 0, (3.7) budou splněny okrajové podmínky (3.5). Funkce u musí splňovat rovnici (3.4), tedy 00 00 — (an{x)n2uj2 cosnuot + bn{x)n2 uj2 smnujťj = a2 {a'^{x) cosnuot + b'^{x) sinnwí) n—1 n—l neboli 00 0 = ^ [(a2a'n(x) + n2uj2an(x)) cosnujt + (a2b'^(x) + n2uj2bn(x)) sinnujt] . n=l Poněvadž funkce cosnujt a smnujt jsou lineárně nezávislé, musí platit 2 11 1 2 2 n 2 in 1 2 2j n a an + n w an = L), a »„|n w o„ = 0 pro všechna n = 1, 2, 3,.... První z těchto obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu upravíme na tvar nuj\ 2 - an = 0. a / 53 Tato lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má řešení 0"n\X) = Cl COS-X + C2 sin-X. a a Chceme, aby byla splněna první z podmínek (3.7), tedy 0 = a„(0) = Ci. Odtud dále dostaneme 0 = an(l) = C2 sin —l. a 7tcl Tato rovnost je splněna pro uj = — a libovolnou konstantu C2. Označíme C2 = An a funkci an zapíšeme ve tvaru • nira . nir dn(xj = An sin —— x = An srn ——x. al l Podobně dostaneme nir bn(x) = Bnsm—x. Tyto funkce dosadíme do vyjádření funkce u a dostaneme n=0 . . ^—t / lili Li lili Li \ lili i(t, x) = > I An cos —-—t + Bn srn —-—t) srn —x. Tato funkce formálně splňuje rovnici (3.4) a okrajové podmínky (3.5). Ještě určíme konstanty An a Bn tak, aby byly splněny počáteční podmínky (3.6). Má platit (p(x) = u(0, x) = An sin ——x. nir T n=0 Tuto rovnost můžeme chápat jako vyjádření funkce ip ve tvaru sinové řady. Je tedy 1 2 f .>N . nir ^ , ^ An = y J f(0 sm — £d£ o pro každé n = 1, 2, 3,.... Dále platí n 00 O sr-^ nira nir o = t-"(o, x) = }^ ~~T n sm ~TX- n=0 Odtud a ze známé věty o jednoznačnosti Fourierových řad dostaneme, že Bn = 0 pro všechna n= 1,2,3,.... Řešení rovnice (3.4) s podmínkami (3.5) a (3.6) tímto způsobem dostáváme ve tvaru / \ v"^ /2 f ,^ . nir \ nir a . nir u(t,x) = 2^ 7 / sm "7"^ cos ~Tt sm ~TX = ™=1 V o / /,,.,/ 2 . nir nir nir a \ f(0 yj 2_,sm sm ~yx cos ~tJ (3-8) Ještě poznamenejme, že základní frekvence kmitající struny nám vyšla jako ira ir T T = TV7' což je formulka známá ze střední školy. 54 3.1 Rovnice v jedné prostorové proměnné Budeme se věnovat lineární parciální hyperbolické evoluční rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty tj. rovnici d2u 9<92w , du , du „. W = ad^ + hd-x+hm+cu + fit>x)> (3'9) kde a, b, c jsou reálné konstanty, a =/= 0, / je funkce dvou proměnných a m je hledaná funkce. Rovnice se nazývá evoluční proto, že první nezávisle proměnná t je interpretována jako čas. Rovnice tedy popisuje časový vývoj nebo časové změny funkce jedné reálné proměnné x, kterou interpretujeme jako souřadnici v jednorozměrném prostoru. Podobně jako v 2.1.2 ověříme, že substituce u(t, x) = v(t, x)e^t^^x převede rovnici (3.9) na tvar d2v „d2v ( b2 b%\ „. j»i T b2 Bez újmy na obecnosti tedy můžeme předpokládat, že v rovnici (3.9) je b\=b2 = 0. Stačí se tedy zabývat jednodušší rovnicí d2u 9 d2u „/s ,„ „ „n ä^=fl V+CM + /(Í'X)- (3'10) V případě, že je funkce / identicky nulová, nazývá se tato rovnice homogenní, v opačném případě nehomogenní. Pokud je c = 0, rovnice se nazývá vlnová. Nejprve najdeme generické řešení homogenní vlnové rovnice utt = a2uxx. (3-11) Transformace rovnice do nových nezávisle proměnných (sr. str. 38) £ = x + at, r) = x — at převede rovnici (3.11) na kanonický tvar uív = 0. Integrací této rovnosti podle proměnné rj dostaneme Funkce / vyjadřuje „integrační konstantu", která je konstantní v tom smyslu, že nezávisí na integrační proměnné rj, může ale záviset na proměnné £. Integrací poslední rovnosti podle proměnné £ dostaneme u(d,v) = F(0 + G(r]), kde F je funkce primitivní k / a G je „integrační konstanta" nezávislá na proměnné £. Návratem k původním proměnným dostaneme obecné řešení rovnice (3.16) ve tvaru u(t,x) = F(x + at) + G(x - at). (3.12) Nyní se podíváme na formulaci úloh pro hyperbolickou rovnici. Výraz na levé straně rovnice (3.10), jakožto druhá derivace podle času, reprezentuje zrychlení. Proto lze pravou stranu rovnice interpretovat jako jakousi sílu působící na jednotkovou „substanci" (hmotnost, náboj a podobně). Poněvadž se jedná o rovnici druhého řádu v časové proměnné, je intuitivně zřejmé, že k popisu 55 vývoje nějakého konkrétního systému je potřebné k rovnici přidat také jeho počáteční stav (hodnotu funkce u v počátečním čase) a počáteční rychlost (hodnotu časové derivace ut v počátečním čase. Stručně řečeno, k rovnici (3.10) přidáváme dvě počáteční podmínky. Druhou nezávisle proměnnou x interpretujeme jako prostorovou proměnnou. Pak záleží na tom, zda je obor prostorové proměnné x ohraničený, nebo ne, zda uvažujeme nějaký „okraj" prostoru. Pokud je prostor omezený, tedy je úsečkou, musíme zadat dvě okrajové podmínky, v každém hraničním bodě jednu. Pokud je uvažovaným prostorem polopřímka, je nutné zadat jednu okrajovou podmínku. Ukážeme dvě klasické metody řešení úloh pro rovnici (3.10). První z nich - metoda charakteristik - bezprostředně využívá generického řešení. Proto je použitelná pouze pro vlnovou rovnici (c = 0). Obor prostorové proměnné přitom může být neomezený (přímka nebo polopřímka) nebo omezený (úsečka), ale pouze se speciálními okrajovými podmínkami. Druhou metodu - metodu separace proměnných - lze použít pouze pro ohraničenou prostorovou proměnnou, ale pro obecnou rovnici (3.10). 3.1.1 Počáteční úloha pro rovnici na přímce a ďAlembertův vzorec Budeme hledat řešení vlnové rovnice (3.11) na oboru časové proměnné t > 0 a prostorové proměnné x G R. Popisujeme tedy kmity „nekonečně dlouhé" struny, na kterou působí síla o hustotě /, od počátečního okamžiku t = 0. Budeme předpokládat, že známe počáteční výchylku u(0, x) v každém bodě struny a také počáteční rychlost ut(0,x) každého bodu struny. Tuto úlohu zapíšeme: utt = a2uxx +f(t,x), t>0,xeR, (3.13) u(0,x) = (p(x), xeR, (3.14) ut(0,x) = iP(x), xeR. (3.15) Funkce u : [0, oo) x R —> R je klasické (nebo silné) řešení úlohy, pokud je spojitá na [0, oo) x R, dvakrát spojitě diferencovatelná na (0, oo) x R, splňuje rovnici (3.13) a platí pro ni u(0,x) = f(x), lim ut(t,x) = ip(x) pro každé x G R. Podmínky kladené na řešení můžeme také zeslabit. Například řešení může mít derivaci pouze ve smyslu distribucí (viz Dodatek A) a podobně. Řešení úlohy (3.13)—(3.15) rozdělíme do tří kroků. Homogenní rovnice s obecnými počátečními podmínkami Jedná se o úlohu utt = a2uxx, t>0,xeR, (3.16) u(0,x) = ip(x), xeR, (3.17) ut(0,x) = iP(x), xeR. (3.18) Potřebujeme určit obecné funkce F a G v generickém řešení (3.12) tak, aby byly splněny počáteční podmínky (3.17) a (3.18). Dosazením do podmínky (3.17) dostaneme F(x) + G(x) = ip(x). (3.19) Derivování obecného řešení(3.12) podle času t dává ut(t, x) = aF'(x + ať) — aG'(x — ať), takže po dosazení do druhé počáteční podmínky (3.18) dostaneme aF'(x) -aG'(x) = iP{x). 56 Obrázek 3.1: Řešení úlohy (3.16)—(3.18). Vlevo: počáteční výchylka if(x) = 4(1 +cos:r) pro x < ir, počáteční rychlost -0 = 0; vpravo: počáteční výchylka if(x) = 0, počáteční rychlost tp = 4(l+cosx) prO X < 7T. Tuto rovnost zintegrujeme podle proměnné v mezích od 0 po x a po snadné úpravě máme x F{x) - G{x) = F(0) - G(0) + - í V>(0d£- (3-20) a I o Na relace (3.19) a (3.20) se můžeme podívat jako na soustavu dvou rovnic pro neznámé F(x) a G(x). Jejím vyřešením dostaneme F(x) = - —n-i- / ^)d£ + - / u)(t)dt Z Za J Za J o o Rozdíl integrálů v tomto vyjádření můžeme díky aditivitě integrálu vzhledem k integračnímu oboru zapsat jako integrál jeden. Dostaneme tak řešení úlohy (3.16)—(3.18) ve tvaru x+at , . tp(x + ať) + ip(x — ať) 1 ľ u(t,x) = ^--'- + — J (3.21) x — at Tato formule se nazývá ďAlembertův vzorec. Grafy řešení pro dvě různé počáteční podmínky jsou na Obrázku 3.1. Ještě si všimněme, že řešení počáteční úlohy pro homogenní rovnici je invariantní vzhledem k posunutí (translaci) v čase. Přesněji řečeno, je-li funkce u = u{t, x) řešením úlohy (3.16)—(3.18), pak je funkce v = v(t, x) daná vztahem v(t, x) = u{t — a, x) řešením úlohy vtt = a2vXx, t>cr, x e R, (3.22) v(a,x) = ip(x), xeR, (3.23) vt(a, x) = ip(x), x e R. (3.24) 57 Ještě jinak můžeme tuto skutečnost vyjádřit tak, že transformace t = t — a převádí úlohu (3.16)— (3.18) na úlohu (3.22)-(3.24). Platnost tohoto tvrzení snadno ukážeme přímým výpočtem. Podle d'Alembertova vzorce (3.21) má úloha (3.22)-(3.24) řešení dané formulí v(t, x) = + + »(*-*)) + JL a)mdt (3.25) 2 2a J x — a(t—a) Obecněji platí, že počáteční úloha pro hyperbolickou rovnici je invariantní vzhledem k posunutím v časové i prostorové proměnné, tj. vzhledem k transformacím nezávisle proměnných ve tvaru t = t — cr, £ = x — r/, kde a a £ jsou nějaké reálné konstanty. Popisuje tedy procesy z klasické (nerelativistické) mechaniky. Nehomogenní rovnice s nulovými počátečními podmínkami Nyní budeme řešit úlohu utt = a?uxx + f(t, x), t > 0, x e R, (3.26) u(0,x)=0, x e R, (3.27) ut(0,x) = 0, x e R. (3.28) Tato úloha vyjadřuje situaci, kdy je „nekonečná struna" na počátku v klidu a v průběhu času na ni působí nějaká síla. Můžeme předpokládat, že toto silové působení „v jednotlivých časových okamžicích" se postupně nasčítá, ve spojitě plynoucím čase „naintegruje". Přesněji řečeno, výchylka struny v čase t a v bodě x bude dána integrálem t u(t,x)= J w(t, x, er)der, (3.29) o kde w = w{t,x,a) je zatím neznámá integrovatelná funkce tří proměnných. Tato myšlenka se nazývá Duhamelův princip. Funkce daná integrálem (3.29) splňuje první počáteční podmínku (3.27). Dosadíme ji do druhé z nich, tj. do rovnosti (3.28). Derivováním integrálu „podle parametru" t dostaneme t 0 = iít(0, x) = w(t, x, ť) + j wt(t, x, er)der o = w(0,x,0). t=o Budeme požadovat silnější vlastnost funkce w, a to, aby v případě, že se hodnoty první a třetí nezávisle proměnné rovnají, byla hodnota funkce nulová, tj. w(ct, x, cr) = 0 (3.30) pro všechna x, a G R. V takovém případě pak platí t ut(t,x) = J wt(t, x, er)der o a dále t utt(t,x) = wt(t,x,t) + J wtt(t,x,a)áa. o 58 Dvojím derivováním rovnosti (3.29) podle proměnné x vidíme, že současně platí t uxx{t, x) = J Wxx(t, X, cr)dcr. o Tyto výrazy dosadíme do rovnice (3.26) t t wt(t,x,t) + J wtt(t, x, er)der = a2 J wxx(t, x, er)der + f(t,x) o o a integrály převedeme na levou stranu (wtt(t,x, cr) - a2wxx(t,x, cr)) der = f(t,x) - wt(t,x,t). (3.31) Tato rovnost bude zejména splněna například tehdy, pokud na obou jejích stranách budou nuly. A k tomu stačí, aby platilo Wtt(t, x, cr) = a2wxx(t, x, cr), t>cr, i£R, (3.32) wt(cr, x, u) = f (a, x) (3.33) pro libovolné reálné cr. Funkci w = w(t, x, cr) budeme nyní považovat za funkci dvou proměnných t a x s parametrem cr. Tato funkce má splňovat hyperbolickou homogenní rovnici (3.32) s počátečními podmínkami (3.30) a (3.33). To je ovšem stejná úloha jako (3.22)-(3.24) s nulovou počáteční výchylkou ip = 0. Její řešení je dáno formulí (3.25), tedy x+a{t — 0 ^ = ^2--^2- = a^T+f(t,x)-[a^-T + f(t,X)j=a — j = a uxx u(0, x) = Ml(0, x) — m2(0, x) = ip(x) — ip(x) = 0, ut(0,x) = ^-(0,x) - ^(0,x) = i,(x)-i,(x) = 0. To znamená, že funkce u je řešením počáteční úlohy utt = a2uxx, t > 0, x eR, u(0,x)=0, xeR, ut(0,x) = 0, xeR. Tato úloha má však jediné řešení dané ďAlembertovým vzorcem (3.21) a toto řešení je u{t, x) = 0. To znamená, že u\ =u2. Dostáváme tak závěr: Tvrzení 4. Nechť funkce / je spojitá, funkce tp spojitě diferencovatelná a funkce ip dvakrát spojitě diferencovatelná. Pak má počáteční úloha pro hyperbolickou rovnici (3.13)—(3.15) jediné klasické řešení, které je dáno rovností (3.35). Řešení zapsané rovností (3.35) však nemusí být klasické, funkce /, p, ip dokonce ani nemusí být spojité, stačí, aby integrované funkce byly integrabilní. Pokud funkce /, p, ip nesplňují předpoklady předchozího tvrzení, nemáme pro řešení úlohy (3.13)—(3.15) zaručenu ani existenci, ani jednoznačnost řešení. Výsledek můžeme vyjádřit i v jiném tvaru. Zavedeme funkci G tří proměnných rovností G(t,x,0 = x — at < £ < x + at, jinak. 60 Bezprostredne vidíme, že rovnost (3.35) můžeme přepsat ve tvaru oo t / oo \ u(t,X)=LpiX + at)+2LpiX-at) + J mG(t,x,Z)dt + J J /(t.íjGít-^,^ L. — oo 0 \-oo / Funkce G má derivaci podle času (podle první proměnné) ve smyslu distribucí, sr. Dodatek A.3, str. 158. Řešení úlohy proto můžeme vyjádřit ve tvaru u(t,x) = I \ 0 a prostorové proměnné x > 0. Popisujeme tedy kmity struny, která je na jednom konci nějak připevněná a její druhý konec „je v nedohlednu". Na strunu opět působí síla o hustotě /, od počátečního okamžiku t = 0. Zase budeme předpokládat, že známe počáteční výchylku u(0,x) v každém bodě struny a také počáteční rychlost ut(0,x) každého bodu struny. Oproti předchozímu případu však musíme popsat i to, co se děje na konci, na kraji struny. K úloze (3.13)—(3.15) tak musíme přidat i jednu podmínku okrajovou. Budeme uvažovat dvě možnosti. Pevný konec První možnost je, že „levý konec" struny je upevněn, že struna nemá v krajním bodě žádnou výchylku. Budeme tedy řešit úlohu utt = a2uxx + f(t,x), t > 0, x > 0, (3.37) u{Q,x) = p{x), x>0, (3.38) ut(0,x) = iP(x), x>0, (3.39) w(í,0) = 0, r>0. (3.40) Klasickým řešením budeme opět rozumět spojitou funkci u : [0, oo) x [0, oo), která je na množině (0, oo) x (0,oo) dvakrát spojitě diferencovatelá, splňuje rovnici (3.37), rovnosti (3.40) a u(0,x) = ip(x), lim ut(t,x) = ip(x) pro všechna x > 0. Aby úloha mohla mít klasické řešení, musí být funkce / spojitá, funkce ip diferencovatelná, funkce ip dvakrát diferencovatelná a navíc počáteční podmínky (3.38), (3.39) musí být v souladu s podmínkou okrajovou (3.40), tj. musí platit lim íp(x) = 0, lim ip(x) = 0. x—5-0+ x—>o+ Pro řešení úlohy (3.37)-(3.40) využijeme výsledky dosažené v 3.1.1. Spojitá funkce u = u{t,x) definovaná na [0,oo) x R, která je lichá v proměnné x, tj. pro všechna x g R platí u{t,x) = —u{t,—x), splňuje okrajovou podmínku (3.40). Pokud by v úloze (3.13)—(3.15) byly všechny funkce f(t, •), ip, vb liché, pak by pro řešení této úlohy platilo —x+at t I —x+a(t — a) „(í, _x) = + + + i. f mdi + i. JI J /(„ifldť díj = —x — at 0 \— x — a(t—a) J x+at t í x+a(t-a) \ 0 \x — a(t—a) 61 neboť pro libovolnou lichou funkci g platí 13 13 -13 -a J g(Z)d£ = - J <7(-0d£ = J g(v)dv = - J g(v)dv- a a —a — /3 To znamená, že řešení by bylo lichou funkcí v proměnné x a splnilo podmínku u(t, 0) = 0. Toto pozorování vede k myšlence, že místo úlohy (3.37)-(3.40) budeme řešit úlohu (3.13)— (3.15), v níž budou funkce /(ŕ, •), ip, ip liché, a to takové, že pro kladné hodnoty nezávisle proměnné se budou shodovat se stejnojmennými funkcemi v úloze (3.37)-(3.40). Přesněji: Zavedeme funkce ~i \ í<^(a;)' x - °' i \ i\ w f = f(x) = < x 0, x e R, it(0, x) = (p(x), i e 1, ut(0,x) = ip(x), i e 1, Pro x > aŕ platí a pro x < at x-\-at x-\-at x — at x — at x-\-at 0 x -\-at 0 x+ať a*+ať kí)dí=- f ^(-í)dí+ j vm= y ^wdí7+ y v>m= y v>m> x — at x — at 0 at—x 0 —ať| tedy a'+ať a'+ať ^(£)d£= y V(0<^- x — at \x-at\ Podobně odvodíme x+a{t—a) x+a{t—a) />,£)d£= y /( 0, x > 0, (3.43) u(0,x) = (p(x), x>0, (3.44) ut(0,x) =ip(x), x>0, (3.45) u(t,0) = n(t), t>0. (3.46) K nutným podmínkám pro existenci klasického řešení nyní přibude ještě požadavek, aby funkce /i byla dvakrát diferencovatelná. Podmínky souladu okrajové podmínky s počátečními podmínkami jsou v tomto případě tvaru lim ip(x) = lim u(í), lim é{x) = lim //(*)■ x—>0+ í—>0+ x—>0+ í—>0+ Řešení úlohy je tvaru t(í, x) = fl(t) + v(t, x), kde funkce f je řešením úlohy vtt = a2vxx + f(t, x) - n"{ť), t > 0, x > 0, v(0,x) = ip(x) — /i(0), x > 0, vt(0,x) = i>(x)- n'(0), x>0, v(t,0) = 0, í>0, 63 což je úloha již vyřešená; její řešení je dáno formulí (3.41). Snadno ověříme, že se skutečně jedná o řešení úlohy (3.43)-(3.46): utt(t, x) = n"{i) + vtt(t, x) = n"{i) + a2uxx(t, x) + f(t, x) - //'(ŕ) = a2uxx(t, x) + f(t, x), d2 neboť ■—r/z(r) = 0, a dále ox2 u(0, x) = fi(0) + v(0, x) = fi(0) + ip(x) - fi(0) = ip(x), ut(0, x) = //(O) + vt(0, x) = //(O) + 4>{x) - //(O) = i>(x), u(t, 0) = n(t) + v(t, 0) =n{ť). Volný konec Jeden konec struny může být upevněn také tak, aby se nemohl pohybovat ve směru osy x, v kolmém směru ano, ale přitom požadujeme, aby struna byla stále kolmá na směr pohybu.1 V takovém případě budeme řešit úlohu utt = a2uxx + f(t,x), t > 0, x > 0, (3.47) u(0,x) = (p(x), x>0, (3.48) ut(0,x) = iP(x), x>0, (3.49) ux(t,0) = 0, t>0. (3.50) Nutné podmínky pro existenci klasického řešení jsou stejné, jako u úlohy s pevným koncem, s výjimkou požadavku na soulad podmínek počátečních a okrajové. Ten má nyní tvar lim f'(x) = 0. Také úvaha, jak řešit úlohu (3.47)-(3.50) je podobná, jako u úlohy (3.37)-(3.40). Jediným rozdílem je to, že volíme rozšíření úlohy do záporných hodnot prostorové proměnné tak, aby rozšíření funkcí f(t, •), ip, ip bylo sudé. Tedy definujeme 0, x e R, u(0, x) = (p{x), i e 1, ut(0,x) = íj)(x), x eR. Její řešení je podle vztahu (3.35) dáno rovností x+at t í x+a(t-a) \ u(t, x) = ^ + flŕ)+/(l^flŕ|) +Lfmm + ^f[ J |e |)dí der. (3.51) x — at 0 \x-a(t-a) J Grafy řešení úlohy (3.47)-(3.50) pro homogenní rovnici s dvěma různými počátečními podmínkami jsou na Obrázku 3.4. 1 Tento popis je příliš krkolomný, je uveden jen proto, aby hyperbolická rovnice v jedné prostorové proměnné byla jednotně interpretována jako příčné kmity struny. Tato rovnice však stejně dobře popisuje kmity podélné; funkce u může vyjadřovat hustotu kmitajícího média. Nulová derivace podle prostorové proměnné pak říká, že médium nepřechází za krajní bod. 64 Obrázek 3.4: Řešení úlohy (3.47)-(3.50) s nulovou nehomogennitou f(t,x) = 0. Vlevo: výchylka ip(x) = ^(1 + cos(x — 10)) pro x < 10 + ir, počáteční rychlost -0 = 0; vpravo: výchylka ip(x) = 0, počáteční rychlost tp = ^(1 + cos(x — 10)) pro x < 10 + ir. počáteční počáteční Definujeme-li nyní funkci G = G(t, x, £) vztahem G(t,x,£) ( 1 —, \x — at\ < £ < x + at, 2a —, 0 < £ < at — x, a 0, jinak, lze řešení úlohy (3.47)-(3.50) opět zapsat rovností (3.42). Okrajová podmínka nemusí být nulová. Pokud podmínku (3.50) nahradíme obecnější okrajovou podmínkou ux(t,0) = u(t), í>0, (3.52) pak řešení úlohy (3.47)-(3.49), (3.52) je tvaru u{t, x) = xv(t) + v(t, x), kde funkce f je řešením úlohy vtt = a2vxx + f(t, x) - xv"(ť), t > 0, x > 0, f (0, x) = ip(x) — xv(0), x > 0, vt(0,x) = tp(x) - xv'(Q), x > 0, vx(t,0) = 0, t>0, která již má nulovou okrajovou podmínkou. 3.1.3 Počáteční úloha pro rovnici na úsečce Nakonec se podíváme na řešení hyperbolické rovnice (3.10) na konečném oboru prostorové proměnné x. Popisujeme tedy kmity struny konečné délky l, která je na obou koncích nějak upevněna. Musíme tedy popsat, jak toto upevnění vypadá, tedy zadat okrajové podmínky na obou koncích struny. Dva pevné konce užití ďAlembertova vzorce Nejjednodušší je možnost, kdy jsou oba konce struny pevné, nepohybují se. Máme tedy úlohu utt = a2uxx + f(t, x), t > 0, 0 < x < l, (3.53) u(0,x) = (f(x), 00. (3.56) 65 Nutné podmínky pro existenci klasického řešení této úlohy jsou opět spojitost nehomogenity /, diferencovatelnost počáteční rychlosti ip a dvakrát diferencovatelnost počáteční výchylky ip a dále podmínky souladu počátečních a okrajových podmínek lim (p(x) = 0 = lim f(x), lim ip(x) = 0 = lim ip(x). x—>0+ x—>/— x—>0+ x—>l — Opět využijeme výsledky dosažené v 3.1.1. Okrajové podmínky (3.56) budou splněny zejména tehdy, když graf funkce u{t, ■) bude pro každé t symetrický kolem bodu x = 0 (funkce u{t, ■) bude lichá) a současně také symetrický kolem bodu x = l. Toho lze dosáhnout tak, že grafy všechny funkcí f(t, •), (p, ip budou mít stejnou vlastnost. A budou ji mít, pokud budou liché a 2Z-periodické. Spojité, liché a 2Z-periodické funkce lze vyjádřit jako součty sinových řad. Zavedeme tedy funkce j I f(0sin -y-£d£ )sin -fx> . nir sin ~j~xj f(t,x) = JTiU J/(í.Osin^de nir srn — x; {TLÍT ~\ 00 sin —— > , která je l > n=0 na intervalu (—Z, l) orthogonální. Pak řešíme počáteční úlohu utt = a2uxx + f(t, x), t > 0, x G M, it(0,2ľ) = <ý5(x), i G 1, Mf(0,2ľ) = 0>(x), Její řešení je dáno formulí (3.35). Jednotlivé členy na její pravé straně upravíme; využíváme přitom vzorce sin(a — /3) +sin(oí +/3) = 2 sin a cos /3 a cos(a — /3) — cos(a + (3) = 2 siná cos /3 a skutečnosti, že Fourierova řada spojité funkce konverguje absolutně a stejnoměrně, můžene tedy zaměnit pořadí sumace a integrace: — ( 0 sin-y-£d£ j sin^xsin^p(í- cr)dcr = fl^"=ino Vo / = é £ \sin tx /sin (í - ^ //(íT'e) sin T^de díT- ™=1 o Vo / Tyto výsledky dosadíme do vztahu (3.35) a znovu využijeme možnosti zaměnit pořadí integrace a sumace. Dostaneme tak řešení úlohy (3.53)-(3.56) ve tvaru / (V(of E n V n=l nira nir nir cos —-—t srn ~x sm ~C + 2 1 j7,7ra n7r nir + v(£)— / — sm —;—t sin ~rx sm —l~Š + a7T ^-^ n l l l n=l / /•/ ^\ 1 • nira . nir . nir \ + / / V -sm—— í-cr sm—j; sm—H d£. Na tomto výsledku je sympatické to, že pro tp = 0, / = 0 je stejný, jako výsledek (3.8) získaný „intuitivním" postupem. Ovšem vzorec vypadá poněkud monstrózně. Proto ho zjednodušíme tak, že zavedeme označení nira 2 ^-^ 1 . . nir . nir Lon = —-— a G(r, x, £) = — > — sinu„í sm —— x sm —— £ l air n l l n=l a výsledek zapíšeme ve tvaru i / t u(t, x) = Jí ^)jG{t, x, 0 + xb(0G(t, x,0+J /( 0, 0 < x < l, (3.58) u(0,x) = 0. (3.61) Pro parametry okrajových podmínek platí a2, + /32 ^ 0 ^ a\ + j32. Řešení budeme hledat ve tvaru součinu funkcí, z nichž jedna závisí pouze na čase a druhá pouze na prostorové proměnné, tj. u(t,x) = T(t)X(x). Po dosazení do rovnice (3.58) dostaneme T"X = a2TX" + cTX, kde ' značí obyčejnou derivaci podle příslušné jediné nezávisle proměnné. Nyní separujeme časovou a prostorovou proměnnou, tj. od předchozí rovnosti odečteme výraz cTX a výsledek vydělíme výrazem a2TX, T" c _ X" Výraz na levé straně rovnosti závisí pouze na čase t, výraz na pravé straně pouze na prostorové proměnné a. To znamená, že oba výrazy jsou rovny nějaké konstantě; označíme ji —A. Dostáváme tak T" c _ X" _ což jsou vlastně dvě obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, -X" = XX a T" = (c - a2\)T. (3.62) Nejprve budeme řešit rovnici pro „prostorovou část" X, tedy pro tu nezávisle proměnnou, pro niž jsou zadány homogenní okrajové podmínky. Dostatečnou podmínkou pro to, aby funkce u splňovala okrajovou podmínku je, aby stejnou okrajovou podmínku splnil její dělitel X. S tímto požadavkem dostaneme okrajovou úlohu -X" = XX, 0 < x < l, (3.63) a0X(0) + P0X'(0) = 0 = aiX{l) + PxX'iľ). (3.64) To je Sturmova-Liouvilleova úloha s p = 1, q = 0 (viz Dodatek B.2). Podle Věty 3 proto existují vlastní čísla Ai, A2,... a příslušné vlastní funkce t>i,t>2, ■ ■ ■, které jsou řešením této úlohy. Pro vlastní hodnoty přitom platí 0 < Ai < A2 < • • •. Nyní se podíváme na „časovou složku" T v rovnosti (3.62). Vzhledem k tomu, že konstanta A může nabývat spočetně mnoha hodnot, rozlišíme i příslušné funkce T dolními indexy. Dostáváme tak spočetně mnoho obyčejných lineárních homogenních diferenciálních rovnic druhého řádu ve tvaru T'n' = (c-a2\n)Tn, n =1,2,.... (3.65) Budeme nejprve předpokládat, že c < a2Ai, tedy že koeficienty na pravých stranách všech rovnic jsou záporné. Pak předchozí rovnice mají řešení Tn(t) = An cos \Ja2\n — ct + Bn sin \Ja2\n — ct, n = 1,2,.... 68 Poněvadž řešení rovnice (3.76) hledáme ve tvaru součinu funkcí T a X, odvodili jsme, že rovnice (3.58) s okrajovou podmínkou (3.61) má spočetně mnoho řešení i(í, x) = (^An cos y/a2A„ — ct + Bn sin \Ja2\n - ctj vn(x), n= 1,2, Poněvadž rovnice i okrajová podmínka jsou homogenní, platí princip superpozice a tedy i součet těchto funkcí je řešením rovnice (3.58) s okrajovou podmínkou (3.58). Řešení úlohy (3.58)-(3.61) proto zapíšeme jako nekonečnou řadu se zatím neurčenými koeficienty An, Bn u{t, x) = \An cos \Ja2\n — ct + Bn sin \Ja2\n — ctj vn(x); (3.66) n=l tato řada konverguje absolutně a skorostejnoměrně, neboť vlastní funkce t>i,t>2, ■ ■ ■ tvoří úplnou orthogonální posloupnost na intervalu (0, Z). Ještě je potřeba určit hodnoty koeficientů An a Bn, n = 1,2,.... Určíme je z počátečních podmínek úlohy. Z první podmínky (3.59) dostaneme oo (f(x) = Y Anvn(x) (3.67) n=l a to znamená, že koeficienty An jsou vlastně Fourierovými koeficienty funkce p vzhledem k orthogonální posloupnosti funkcí v i, v 2,. .. , 1 An = -^-ž í f(0 vn(£)d£, n =1,2,.... (3.68) o Z podmínky (3.60) pro počáteční rychlost dostaneme derivováním řady (3.66) rovnost 00 ip(x) = \Ja2\n — c (—An sin \Ja2\n — ct + Bn cos \Ja2\n — ctj vn(x) = n=l t=0 ^ Bn \Ja2Xn - c vn(x) a odtud plyne, že výrazy Bn\/a2Xn — c jsou Fourierovými koeficienty funkce tp vzhledem k bázi vi,v2, tedy 1 Bn = „ ||2 j-- /V>(0^»(Qdg, n =1,2,.... (3.69) \\vn\\ V« A„ - c J o Vypočítané koeficienty An a Bn dosadíme do vyjádření (3.66) a zaměníme pořadí integrace a sumace. Dostaneme tak vyjádření řešení úlohy (3.58)-(3.61) ve tvaru u(t,x)= í p(Q V V»WV»® cos VaJx—^t + ^(Q V Sin Vfl2A" - Ct 1 dg. (3.70) Nyní se podíváme na možnost c = a2Ai. První z rovnic (3.65) je tvaru T'{ = 0 a má obecné řešení T1(x)=A1 + B1t. 69 Řešení úlohy (3.58)-(3.61) můžeme zapsat jako oo u(t, x) = {A\ + Bit) v\{x) + (^An cos yj a2\n — ct + Bn sin yj a2\n — ct^j vn(x). (3.71) n=2 Po dosazení do počáteční podmínky (3.59) dostaneme oo oo (f(x) = Axvxix) + ^ Anvn(x) = ^ Anvn(x), n—2 n—1 což je stejná rovnost, jako (3.67). Koeficienty An jsou opět dány rovnostmi (3.68). Druhá počáteční podmínka (3.60) dává oo tp(x) = B1v(x) + ^2 Bny/a2Xn - c vn(x) n=2 a z této rovnosti vypočítáme koeficient i IMI J koeficienty B2, B%,... jsou opět dány rovnostmi (3.69). Ještě si uvědomíme, že yja2Xi — ct = 1 pro c = a2Xi siny/a2Ai — ct , t {-r-y/a2Ai — c) cos\/fl A — ct lim -j^=^=— = lim ——--—■===- = t a vidíme, že i v případě c = a2Ai můžeme řešení úlohy zapsat ve tvaru (3.70) s tím, že neurčitý výraz ve druhé sumě nahradíme jeho limitní hodnotou. Nakonec se budeme věnovat případu c > a2Ai. Poněvadž vlastní čísla Ai, A2,... tvoří rostoucí posloupnost divergující do nekonečna, je počet vlastních čísel menších než c j a2 konečný. Existuje tedy index N takový, že a2A„ < c pro každý index n < N. Prvních N — 1 rovnic mezi rovnicemi (3.65), tj. rovnice T^=(c-a2\n)Tn, n= 1,2,...,N-1 s kladnými koeficienty na pravé straně mají řešení Tn(t) = An cosh y/c — a2\nt + Bn sinh y/c — a2\nt, n = 1,2,. .., N — 1. Celkem tak dostaneme řešení rovnice (3.58) s okrajovou podmínkou (3.78) ve tvaru N-l i(t, x) = \An cosh y/c — a2\nt + Bn sinh y/c — a2Xntj vn(x)+ n=l 00 + ÍAn cos y/o?\n — ct + Bn sin y/o?\n — ct) vn(x). (3.72) n=N Po dosazení první počáteční podmínky (3.59) do této rovnosti opět dostaneme 00 (f(x) = Anvn(x). n=l 70 Druhá počáteční podmínka (3.59) dává rovnost N-l ip(x) = ^2 Bn\Jc- a2\nvn(x) + ^2 Bn\/a2K - cvn(x) = ^ Bn\J\a2\n - c\vn(x), n=l =N n=l takže B-n \\vn\\2 \f\a2K - c\ TpiOMOdL n =1,2, Takto určené koeficienty dosadíme do obecného vyjádření řešení, zaměníme pořadí integrace a sumace, upravíme a dostaneme řešení úlohy (3.76)-(3.78) ve tvaru u(t, x) E Vn(x)v„(0 1 hnf cosh \J c — a2Xnt + vn{x)vn(C) \/ a2\n — ct + n—nQ-\-l m E vn{x)vn(£) sinh Vc - a2Xnt IKII Vc - a2A„ E «n(a;)«n(£) sin v/a2A„ - c ŕ Klľ v/a2A„ - c d£. (3.73) Celkem jsme dostali vyjádření řešení homogenní rovnice (3.58) s homogenními opkrajovými podmínkami (3.61) a obecnými počátečními podmínkami (3.59), (3.60) ve tvaru (3.70) v případě c < a2Ai a ve tvaru (3.70) v případě opačném. Ovšem pravá strana rovnosti (3.70) je speciálním případem pravé strany rovnosti (3.73) pro N = 1. Rovnost (3.73) tedy vyjadřuje řešení úlohy (3.58)-(3.61). Označíme-li ^-^ vn(x)vn(Í) sinh y/c- a2\nt ^ vn(x)vn(£) sinv/a2A„ - ct G(í'X'e)=E^^--Vc-a2A» +E n=l ikir v/a2A„ - c (3.74) můžeme výsledek (3.73) přepsat v kratším tvaru u(t,x)= j [p(0^tG(t,x,0 + mG(t,x,0)dt (3.75) Podobně jako v případě rovnice na přímce, budeme ve druhém kroku řešit úlohu pro nehomogenní rovnici s nulovými počátečními podmínkami, tj. úlohu lítt = a2uxx + cu + f(t,x), t > 0, 0 < x < l, (3.76) u(0, x) = 0 = ut(0, x), 0 < x < l, (3.77) a0u(t, 0) + j30ux(t,0) = 0 = alU(t,l) +/3lUx(t,l), t > 0. (3.78) Řešení této úlohy je možné najít pomocí Duhamelova principu. Ukážeme ale jinou možnost, adaptaci metody variace konstant. Budeme hledat řešení úlohy ve tvaru podobném jako (3.66) nebo (3.72) s tím rozdílem, že místo speciálního tvaru koeficientů závislých na goniometrických nebo hyperbolických funkcích napíšeme nějaké obecné dvakrát diferencovatelné funkce Cn nezávisle proměnné t, tedy oo u{t,x) = YJCn{t)vn{x). (3.79) n=l Poněvadž všechny bázové funkce v\, f2,. .. splňují okrajovou podmínku (3.78), splní ji také funkce definovaná touto řadou. Nehomogenitu / také vyjádříme pomocí Fourierovy řady vzhledem 71 k orthogonální posloupnosti v i, v 2,.. . s koeficienty závislými na čase, 00 1 ľ f (t, x) = J2Fn(t)vn(x), kde Fn(t) = —-5 / f(t,Z)vn(Z)dt. \\vn\\ J (3.80) n=l Tyto výrazy dosadíme do rovnice (3.76), využijeme vlastnost d2vn(x) d x2 = -Xnvn(x) bázových funkcí a dostaneme 00 00 00 00 J2 CZ(t)vn(x) = -a2 J2 Cn(t)Xnvn(x) +cJ2Cn(t)vn(x) + Fn(t)vn(x), n=l n=l n=l n=l po úprave J2 K(t) + (a2Xn - c)Cn(í) - F„(í)) vn(x) = 0. Posloupnost funkcí v 1, v2,.. . je úplná orthogonální, proto musí být všechny koeficienty ve Fourie-rově řadě na levé straně této rovnosti nulové. Dostáváme tak spočetně mnoho obyčejných lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic druhého řádu Cn, + (a2\n-c)Cn = Fn(t), n=l,2,.... Obecné řešení přidružené homogenní rovnice k této rovnici je An cosh \Jc — a2Xnt + Bn sinh \Jc — a2Xnt, c > a2Xn, Cn(t) = { An + Bnt, c = a2Xn, n = l,2, (3.81) An cos \/a2Xn — c t + Bn sin \/a2Xn — ct, c < a2X Nulové počáteční podmínky (3.77) budou splněny zejména tehdy, když pro všechny koeficienty v řadě (3.79) bude platit Cn(0)=0, C;(0) = 0, n =1,2,.... Nehomogenní rovnice (3.81) s počátečními podmínkami (3.82) má řešení (3.82) 1 y/c — a2Xn Fn(cr) sinh \Jc — a2Xn(t — er)der, c > a2Xn C„(í) = 4 c = a Xr, (t - cr)F(cr)d(T, Fn(cr) sin \Ja2Xn — c (t — er)der, c < a2Xn \Ja2Xn - c které lze získat např. metodou variace konstant. Za funkce Fn v integrálu dosadíme jejich vyjádření (3.80) a funkce Cn dosadíme do obecného zápisu (3.79). Dostaneme řešení úlohy (3.76)-(3.78) ve tvaru JV-l t / ; '(*>*)=£/ (/ ficr,^^8^^-^-^^ I der- 0 \0 \/c— a2Xn t / ; E n=N n č-,vn(x)vn(£) sin \/a2Xn - c(t - a) . jyv^)—-—^2--/ 1 \ -d^ I dcr o \o \\vn\Y v/a2A„ - c 72 Poznamenejme, že tento výsledek opět platí i pro c = a2Aj\r, pokud příslušný neurčitý výraz nahradíme limitou pro c —> a2Aj\r, tedy výrazem (ŕ — a). Po záměně pořadí integrace a sumace a porovnáním s definicí (3.74) funkce G vidíme, že řešení úlohy (3.76)-(3.78) můžeme zapsat ve tvaru i t u(t,x) = J J f(a,Í)G(t-a,x,Í)áaát (3.83) o o Řešení nehomogenní rovnice s homogenními okrajovými podmínkami a obecnými počátečními podmínkami, tedy úlohy (3.76), (3.59), (3.60), (3.61) je součtem řešení (3.75) úlohy (3.58)-(3.61) a řešení (3.83) úlohy (3.76)-(3.78), jak se lze snadno přesvědčit přímým výpočtem. Dostáváme tak závěr: Řešení úlohy (3.76), (3.59), (3.60), (3.61) je dáno integrálem u(t,x)= I [p(OjtG(t,x,0+mG(t,x,0+ I f(a,£)G(t-a,x,Z)da | d£, kde funkce G je definována nekonečnou řadou (3.74), Ai, A2, ■ ■ ■ jsou vlastní čísla a v\, v2, ■ ■ . jsou příslušné vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.63), (3.64), N = min {n : c < a2A„}. Nehomogenní Robinovy podmínky Nejobecnější úlohou pro hyperbolickou rovnici s konstantními koeficienty v jedné prostorové proměnné na úsečce je úloha pro nehomogenní rovnici s nenulovými počátečními a nehomogenními okrajovými podmínkami utt = a2uxx + cu + f(t,x), t>0,0Q ,3g6^ aiu(t,l) + j3iux(t,l) = ni(t), Řešení této úlohy můžeme psát ve tvaru u(t, x) = U(t, x) + w(t, x), kde fukce U splňuje okrajové podmínky (3.86), tj. a0U(t,0) + PoUx(t,0)=no(t), a1U(t,0) + p1Ux(t,0) = m(t), a funkce w je řešením úlohy s homogenní okrajovou podmínkou wtt = a2wxx + cw + f(t, x) + cU(t, x) + a2Uxx(t, x) - Utt(t, x), t > 0, 0 < x < l, w(0,x) = ip(x) - U(0,x), wt(0,x) = tp(x) - Ut(0,x), 0 0; to lze ověřit přímým výpočtem. Úloha pro nehomogenní rovnici s homogenními podmínkami již vyřešenu. Zbývá najít funkci U. Je vhodné tuto funkci volit v co nejjednodušším tvaru, např. polynom nebo goniometrickou funkci. Pro Dirichletovy podmínky, /3q = [5\ = 0, cvq = ol\ = 1, stačí volit U(t,x)=fi0(t)-^ nebo U(t, x) = Mo(í) + (Ml(í) - Mo(í)) sin ^x. Pro Nemannovy podmínky, cvq = ol\ = 0, /3q = [5\ = 1 stačí volit U(t,x) = Mt>-Mt)ZMt)*2, nebo K®-toWx+Mt)-l*i(t)looB* 73 Pro Dirichletovu podmínku v levém krajním bodě a Neumannovu podmínku v pravém krajním bodě, ag = [5\ = 1, a\ = Po = 0, stačí volit U (t, x) = no{t) + xfj,i(t), nebo U(t, x) = Mo(í)--sin -i, TT 21 a tak dál a tak podobně. Obecně lze za funkci U zvolit polynom nejvýše druhého stupně ve tvaru ' aiHo(t) - a0Hi(t) PoHi(t) ~ (Ä + a>il)no(t) Poai — fiiOío — a^ctil Poai — fiiOío — a$ail Hi(t) - (ail + j3i)no(t) 2 no(t) U(t,x) = < l(a1l + 2p1) Po Mi (ŕ) no(t) A)Mi(í) -x -' Mi (ŕ) ,2 + Moft) Poai — fiiOío a^ail, Poai — fiiOío = a^ail, Po(a1l + 2p1)^0, — /3iQío = ct^ctil, p0^0 = a1l + 2p1, — Pieto = oíqoí\1, Po = Ora1l + 2p1. Příklad Budeme řešit rovnici pro popis tlumených kmitů struny délky l. Tlumení je síla odporu prostředí, která působí proti směru pohybu struny a je úměrná rychlosti tohoto pohybu, konstanta úměrnosti je P > 0. Struna je na jednom konci upevněna, její druhý konec vykonává harmonický pohyb s frekvencí a; a s amplitudou A. Na počátku je struna v klidu, pohyblivý konec má nulovou výchylku. Přesněji řečeno, budeme řešit úlohu pro hyperbolickou rovnici na úsečce: utt = a2uxx - Put, t > 0, 0 < x < l, (3.87) u(0,x) = 0, ut(0,x) = 0, 0 < x < l, (3.88) u(t, 0) = 0, u(t, ľ) = Asmujt, t>0. (3.89) Úlohu nejprve pomocí transformace u(t,x) = e~i@tv(t,x) převedeme na úlohu pro rovnici v kanonickém tvaru vtt = a2vxx + \p2v, t > 0, 0 < x < l, v(0, x) = 0, vt(0, x) = 0, 0 < x < l, v(t,0) = 0, v(t, l) = Ae^sinwŕ, t > 0. (3.90) (3.91) (3.92) Řešení této úlohy hledáme ve tvaru v(t, x) = U(t, x)+w(t, x), kde funkce U(t, ■) splňuje okrajovou podmínku (3.92). Volíme Pak je U(t,x) = ^e^sinwŕ. UXx(t, x) = 0, Ut(t, x) = —-e2^ — sinwí + wcoswí Ax i p Utt(t,x) = —j~e2 ( ( —--w ) sina;í + Pujcosují a dále P2 U(t,x) — Utt(t,x) = ^X e2/3t (wsinwí — P cos ojí) = = Au^u2 + p2xch0t / u sin Lot — P -. cos uot \ = Cx e2131 sin(wŕ — a) 74 kde jsme označili „ AujJuj2 + /32 uj . /3 C =--—--, a = arccos —, = arcsm ■ l ' y/u2 + p2 ^uj2 + p2' To znamená, že funkce w je řešením úlohy wtt = a2wxx + \P2w + Cxeh131 sin(wí - a), t > 0, 0 < x < l, (3.93) w(0,x) = 0, wt(0,x) = 0 < x < l, (3.94) w(t,0) = 0 = w(t,l), í>0. (3.95) Vlastní čísla a vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy X" = XX, 0 < x < l, X(0) = 0 = X(l), jsou /n7T\2 . nir Xn = J a vn(x)=sm—x, n=l,2,---- Označme nyní In = f32 2 ( nir n 2 4 V Z V|(/3ž)2-(2an^)2| 2Z iV = min {n : /3Z < 2anir} . Podle (3.74) je 2 í-^1 n7r n7r sinh7„í 2 nir nir sin7„í G(t,x,£) = t > srn—xsm—£--h T > srn— xsm— £-. I '-^ i i 7„ i '-^ i i 7„ n=l ,n n=N ,n Řešení úlohy (3.93), (3.94), (3.95) je dáno formulí w(t,x)= J ^-^£G(í,x,£) + J G£e*/3ffsin(a;cr-Qí)G(í-cr,a;,£)dcrj d£. ■ Klasická aplikace: Kmity strun hudebních nástrojů V úvodu k této kapitole jsme odvodili, že výchylku u = u{t, x) v čase t v bodě x struny délky l o lineární hustotě g napjaté silou T, na niž působí vnější síla o hustotě f(t, x), vyjadřuje rovnice (3.3) s okrajovými podmínkami (3.5). Hudební nástroje mívají struny homogenní, tedy s konstatntní lineární hustotou. V takovém případě máme rovnici d2u Td2u ,. , . . ä? = 7&*+ /(*>*)■ (3'96) Řešení této rovnice s homogenními Dirichletovými podmínkami (3.5) a počátečními podmínkami tvaru (3.54) a (3.55) je dáno rovností (3.57), kde č, 2 f~g ^ 1 . . nir . nir nir T G(í,x,£) = -W— > - smw„ŕsm — xsm— £, w„ = ~r\ ir V í n l l l V o n—1 V 75 tedy 0 00 1 sil i-\ 2 1 . nir . nir G{t,x,n = — > —sinwnŕsin—ism—4. 1 ^-^ ijjn l l n—l Kmitající struna vyvolává chvění vzduchu, které vnímáme jako hudební tón. Jako sílu tónu vnímáme amplitudy kmitů, jako jeho výšku periodu nebo frekvenci kmitů a jako barvu poměry energií základního tónu (frekvence uji) a jednotlivých tónů alikvotní ch (frekvence uj2, ^3, ■ ■ ■)■ Strunu lze rozkmitat v zásadě třemi způsoby. U drnkacích nástrojů (např. cembalo, harfa, kytara) jsou kmity buzeny tím, že strunu na počátku vychýlíme z rovnovážné polohy a pustíme. Struna tedy má počáteční výchylku (počáteční profil) p a nulovou počáteční rychlost. U úderných nástrojů (např. klavír, cimbál) naopak dodáme počáteční rychlost ip při nulové počáteční výchylce. U drnkacích a úderných nástrojů po rozeznění struny na ni již žádná vnější síla nepůsobí. Naopak, struny smyčcových (např. housle, violy) nebo kolových (niněra) nástrojů jsou rozechvívány působící silou tření /. Drnkací nástroje: Kmitání strun těchto nástrojů jsou modelovány homogenní hyperbolickou rovnicí s počátečními podmínkami a homogenními okrajovými pomínkami ve tvaru utt = -uxx, t > 0, 0 < x < l, T e u(0,x) = p{x), ut(0,x) = 0, 0 < x < l, u(t,0) = 0 = u(t,l), t>0. Řešení této úlohy je dáno rovností i*\ 2 .nir . nir 0 má struna tvar superpozice sinusoid, složení jednotlivých stojatých vln. Profil n-té stojaté vlny je dán rovností t17t un(to,x) = Cn(t0)s'm—x, kde Cn(t0) = Ancosujnt0. Ještě vypočítáme energii n-té stojaté vlny. Taje součtem energie kinetické závislé na rychlosti a hmotnosti kmitající struny a energie potenciálni závislé na napětí a deformaci struny. Přesněji, celková energie n-té stojaté vlny je dána integrálem 1 dx. Přitom platí dun dt a dále 1 {t,x) . m: \2 srn ~j~x I dx -AnLOnSÍlíLOntSÍlí—X, —— L ox (t, x) = An—— cos ujnt cos —rx 1 2n7t \a li 1 — cos —-—x I dx = —/ 2n7r 1 + COS ~j~x dx = mr cos ~j~x dx. Proto E„, - l-A2 2 n g (ujn sin (jjnť) + T (-y- cos ujnt 1Al \ QUn (sino;„í)2 + qujn (cosa;„í)2J = -^u^Iq Délka struny l násobená její konstantní lineární hustotou je hmotnost struny; označíme ji /i. Celková energie n-té stojaté vlny je tedy rovna A2 w — n ,,, ,2 Fn - —H^ni kde An je konstanta závislá na počátečním profilu struny, /i je celková hmotnost struny a ujn je frekvence n-tého alikvotního tónu. Úderné nástroje: V tomto případě jsou kmity strun modelovány řešením úlohy Utt = -"n, t > 0, 0 < x < l, it(0,x) = 0, ut(0,x) = ip(x), 0 < x < l, u(t,0) = 0 = u(t,l), t>0, které je dáno rovností 1 u ' (í,x)= / ip{Q— > —sinw„rsin — xsm — 4 d£ J i i i 0 n=1 E i tl7t \ ■ / sin ~r í d£ sincjnrsin- i I 77 Při označení 2 f mr mr Bn = —- / 1/1(4) sin —4 d£, un(t,x) = Bnsmu}ntsm—x Lúnl J l l 0 tento výsledek zapíšeme ve tvaru i(t, x) = un(t, x) = Bn sin ujnt sin ——x. Opět jsou tedy kmity tvořeny superpozicí stojatých vln. Tyto stojaté vlny jsou oproti stojatým vlnám drnknuté struny fázově posunuty o ^tt. Mají tedy kmitný v bodech o souřadnicích xp, p = 0,1, 2,. .., n — 1, a uzly v bodech xm, m = 1,2,. .. ,n — 1. Profil n-té stojaté vlny v časovém okamžiku rg > 0 má tvar sinusoidy t17t un{t0,x) = Dn(t0)sm—x, kde Dn(t0) = Bnsmujnt0. Energie n-té stojaté vlny vypočítáme stejným postupem, jako u struny drnknuté, a dostaneme R2 &n - — Mw„ , konstanta Bn nyní závisí na počáteční rychlosti struny. Smyčcové nástroje: Pohybující se smyčec přitisknutý ke struně ji vychýlí ve směru svého pohybu. Po jisté době se deformační napětí ve struně zvětší natolik, že převýší třecí sílu a struna se vrací do rovnovážného stavu. Její napětí se zmenší a struna je opět zachycena smyčcem a vychýlena ve směru jeho pohybu. Tento děj se stále opakuje. Budeme předpokládat, že se smyčec pohybuje rovnoměrně. To znamená, že působící síla / se s časem nemění a kmity struny jsou proto modelovány nehomogenní hyperbolickou rovnicí s nehomogenitou závislou pouze na poloze, nikoliv na čase, počáteční podmínky jsou přitom nulové a okrajové jsou opět homogenní Dirichletovy. Jedná se tedy o úlohu ve tvaru utt = -suxx + f(x), t > 0, 0 < x < l, (3.98) u(0, x) = 0, ut(0, x) = 0, 0 < x < l, (3.99) u(t,0) = 0 = u(t,l), t>0, (3.100) které má řešení 78 dostaneme oo nir u(t, x) = ^2 ~~ cosa;„í) sin —rx = U(x) — un(t, x). (3.101) n—1 n—1 Z této rovnosti vidíme, že každý bod struny o souřadnici xq je od základní polohy (struny v klidu) vychýlen o vzdálenost U(xq) a kolem této polohy vykonává periodický pohyb, který je superpozicí jednoduchých harmonických kmitů s amplitudami m: Fn srn — x0 n = 1,2,3, Jednotlivé jednoduché harmonické kmity opět nazýváme stojaté vlny. Kmitný a uzly jednotlivých stojatých vln jsou rozmístěny stejně, jako u struny drnknuté. Tvar struny v čase ío > 0 je opět superpozicí sinusoid. Profil n-té stojaté vlny v čase to Je dán rovností tlít un(to,x) = Gn(t0) sin — x, kde G0(t0) = Fncosujnt0. Stejně jako v případě drnknuté struny odvodíme, že celková energie n-té stojaté vlny je rovna F2 ni L n 2 & n — —f^ni konstanty Fn závisí na působící síle, tj. na tvaru a šířce smyčce. Z vyjádření (3.101) řešení úlohy (3.98)-(3.100) také vidíme, že kmity struny rozeznívané smyčcem lze rozložit na součet stacionární (na čase nezávislé) části U(x) a superpozice stojatých vln. Stacionární část nazýváme statické prohnutí struny. Vyjádříme je ještě jiným způsobem. Označíme w = w(t, x) nestacionární část řešení a dosadíme rovnost u(t, x) = U(x) +w(t, x) do rovnice (3.98). Dostaneme wtt(t,x) = -(U"(x) + wxx(t,x)) +f(x). (3.102) e Poněvadž oo oo nir T w(t, x) = — un(t, x) = — Fn coso;„í sin ——x, n—1 n—1 platí wtt(t,x) = Lú2nw(t, x) = I -j-J— j w(t,x), a wxx(t,x) = {-j-^j w(t,x) a tedy T wtt(t,x) = —wxx(t,x). Q Dosazením této relace do rovnosti (3.102) dostaneme obyčejnou lineární nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu U" = -|/(a:) (3.103) pro neznámou funkci U. Dále platí w(t, 0) = 0 = w(t, l), takže dosazením do okrajových podmínek (3.100) dostaneme okrajové podmínky pro rovnici (3.103) U(0) = 0 = U [V). (3.104) Rovnici (3.103) dvakrát zintegrujeme a využijeme při tom podmínku v levém krajním bodě. Po úpravě (přehození pořadí integrace) dostaneme rovnost U(x) = U'(0)x - | / ( / /(OdČ ) dn = U'(0)x | / | / f(d)dV \ d£ = U'(0)x-^ l(x-0f(0dt (3-105) 79 V této rovnosti nejprve dosadíme za proměnnou x hodnotu l a využijeme podmínku v pravém krajním bodě. Tímto způsobem dostaneme i u'(°) = Yi o Tento výraz dosadíme do rovnosti (3.105) a dostaneme řešení okrajové úlohy (3.103), (3.104) ve tvaru u(x) = Yi(^j(l- o/m -lj(x- o/m j. 80 Kapitola 4 Parabolické rovnice Jednorozměrná rovnice difúze / vedení tepla Uvažujme tenký dlouhý válec, v němž proudí kapalina. Poloměr válce je vzhledem k jeho výšce (délce) tak malý, že válec s kapalinou můžeme považovat za jednorozměrný objekt a jeho jediný rozměr (délku) za nekonečný. Osu válce ztotožníme se souřadnou osou x. Představme si, že v proudící kapalině je nějaká látka, která je jednak unášena proudem, jednak v kapalině difunduje. Navíc může probíhat i nějaká chemická reakce - látka se může v kapalině rozkládat nebo tvořit. Množství látky vyjádříme její hustotou (koncentrací); za hustotu budeme považovat hmotnost látky vztaženou k délce úseku válce, na kterém se nachází. Přesněji: označíme-li symbolem u{t,x) hustotu látky v čase ŕ a v bodě x a symbolem m(t, a, f3) množství látky v úseku válce mezi souřadnicemi a a /3, pak budou tyto veličiny vázány vztahy m(t,a, /3) = / u(t, x)dx, u(t,x) lim Aa:->0 m{t, x, x + Ax) Ax Probíhající chemické reakce budeme charakterizovat nějakou veličinou /, kterou můžeme nazvat intenzita reakce a charakterizovat jako množství látky, které se příslušnou reakcí vytvoří (nebo rozloží) za jednotku času v části válce o jednotkové délce. Pokud látka vzniká, je intenzita kladná, / > 0, pokud se rozkládá, je / < 0. Intenzita reakce ovšem může záviset na množství (tj. koncentraci) látky a být v každém bodě a v každém čase jiná, tedy / = f(t,x,u). Pak množství látky, které vznikne (nebo se rozloží) za časový interval [ŕ, t + Aŕ] v úseku válce mezi souřadnicemi a a P je dáno výrazem t+At f3 j f(s, x, u(s, x))dxds; (4-1) t a znaménko tohoto výrazu určuje, zda se jedná o tvorbu nebo rozklad látky. Difúzi vyjádříme veličinou g = g(t,x), kterou nazveme difúzni tok. Můžeme si ho představit jako rychlost difundující částice. Přesněji ho definujeme tak, že množství látky (tj. hmotnost), které se dostane difúzí přes bod o souřadnici x za časový interval [ŕ, t + Aŕ], je rovno t+At J g(s,x)ds; t je-li tato veličina kladná, jedná se o pohyb zleva doprava, je-li záporná, pak o pohyb zprava doleva. Do úseku válce, jehož levý krajní bod má souřadnici a a pravý krajní bod souřadnici /3, se tedy 81 za časový interval [ŕ, í + Aŕ] difúzí dostane přes levý okraj množství látky o hmotnosti t+At g(s, a)ds a přes pravý okraj se z něho dostane množství látky o hmotnosti t+At g(s,fi)ds. Tato interpretace předpokládá, že g(t, a) > 0, g(t, /3) > 0; kdyby tyto nerovnosti nebyly splněny, odpovídajícím způsobem bychom vyměnili slova „do úseku" za „z úseku" a naopak. Celková změna hmotnosti látky v úseku válce od a do /3 způsobená difúzí za časový interval [ŕ, í + A ŕ] tedy je t+At t+At t+At g(s,a)ds- / g(s,fi)ds = / (g(s, a) - g(s, /3))ds. (4.2) Celkovou změnu hmotnosti drogy v úseku žíly od bodu a do bodu /3 způsobenou reakcí a difúzí během časového intervalu [í, í + Aí] můžeme nyní vyjádřit jako součet výrazů (4.1) a (4.2). S využitím Newtonovy-Leibnizovy formule a první věty o střední hodnotě integrálního počtu ji upravíme na tvar t+At 13 t+At f{s,x,u(s,x))áxás+ \ (g(s,a) - g(s,P))ds = t+At / 13 13 f(s,x,u(s,x))dx- j —g(s,x)dx ] ds ^f(s,x,u(s,x)) - -^-g(s,x)j dxj ds = (j(t + ůíAt, x, u(t + ůíAt, x)) - ^-g(t + ůíAt, x)^ Aí dx, (4.3) kde ůi G (0,1) je číslo, jehož existence je zaručena první větou o střední hodnotě integrálního počtu. Nyní se budeme zabývat změnou hmotnosti látky ve válci vlivem jejího proudění; tento proces nazýváme advekce. Předpokládejme na okamžik, že délková hustota u unášené látky a rychlost v proudění kapaliny jsou konstantní. V takovém případě je vzdálenost, kterou urazí částice látky od nějakého bodu za časový interval délky Aí, rovna f Aí a celková hmotnost látky, která za tento čas proteče přes uvažovaný bod, je rovna uvAt. V realističtějším případě, kdy hustota u i rychlost proudění v závisí na čase a na místě, je celkové množství látky, které proteče přes bod x, dáno stejným součinem, ovšem funkce u a v vyčíslíme v nějaké „mezihodnotě" dvojrozměrného intervalu [í, í + Aí] x [x, x + Ax], kde Ax = vAt. Toto množství (hmotnost) je tedy dáno výrazem u(t + /iiAí, x + h2Ax)v(t + /iiAí, x + h2Ax)At, kde hi,h2 G [0,1]. Avšak podle věty o střední hodnotě platí u(t + /iiAí, x + h2Ax)v(t + hxAt, x + h2Ax) = u(t, x)v(t, x) + h3At, 82 kde /13 je nějaká konstanta1. Celková hmotnost látky, která proteče přes levý krajní bod a uvažovaného úseku válce během časového intervalu [ŕ, ŕ + A ŕ] je tedy dána výrazem u(t,a)v(t,a)At + ů2(At)2, (4.4) kde ů2 je nějaká konstanta. Analogicky, hmotnost látky, která proteče během uvažovaného časového intervalu přes pravý krajní bod /3, je dána výrazem u(t,p)v(t,p)At + vl3(At)2. (4.5) Pokud je rychlost v proudění kladná, tj. kapalina proudí zleva doprava, přiteče do úseku s krajními body a, přes levý krajní bod celková hmotnost látky (4.4) a odteče z něho přes pravý krajní bod látka o hmotnosti (4.5); pokud by rychlost byla záporná, tj. kapalina by proudila zprava doleva, zaměníme slova „přiteče" za „odteče" a naopak. Změna hmotnosti látky za časový interval [ŕ, ŕ + Aŕ] v úseku válce od bodu o souřadnici a po bod o souřadnici /3 způsobená advekcí je rovna rozdílu u(t, a)v(t, a)At + ů2(Atf - (u(t, j3)v(t, j3)At + ů3(At)2) = = (u(t,a)v(t,a) -u(t,/3)v(t,l3))At + Ů4(At)2, kde Ů4 = ů2 — ů3. Tento rozdíl můžeme pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule vyjádřit ve tvaru dx d —u(t,x)v(t,x)dx I At + ůA{Ať)2. (4.6) Celková změna hmotnosti drogy v uvažovaném úseku žíly za čas od t do t + Aŕ je součtem výrazů (4.3) a (4.6), 5(t,a,j3,M) = (^f(t + $1At,x,u(t + ů1At,x)) - ^-(g(ŕ + ?9iAŕ,aľ) - u(t,x)v(t,x)Ýj Aŕ dx+ a + ů4(At)2. Ze zákona zachování hmoty nyní můžeme vyjádřit celkovou hmotnost látky v úseku válce od a po /3 za časový interval délky Aŕ fí fí u(t + Aŕ, x)dx = / u(t, x)dx + ó(t, a, /3, Aŕ). Po dosazení a zřejmé úpravě dostaneme fu(t + Aŕ,x) — u(t,x) d , , „ . . , , , ,> { —At— + m (ff(í + 1 'x)+u{t'x)v{t'x)) ~ - f (t + ůxAt, x,u(t + ůxAt, x))^j dx = ů4At d d -'-Tuto konstantu lze podrobněji vyjádřit výrazem /13 = —uv + v — uv, kde hodnoty funkcí u, v jsou vyčísleny dt dx v nějakém bodu dvojrozměrného intervalu [i, i + At] x [x, x + Ax]. 83 a limitním přechodem Ar —> 0 (í ( d d d \ [ dtU^'X^ + ~d~x9^'X^ + 'dxU^' x^v^'x^ ~ (*'x'x)) j dx = °- a Usek válce od souřadnice a do souřadnice p byl vybrán libovolně, stejně tak i časový okamžik t. To znamená, že pro všechna x a všechna t musí platit d d d —u(t,x) = -—g(t,x) - —v(t,x)u(t,x) + f(t,x,u(t,x)). (4.7) Tato relace váže neznámou funkci u (hustotu) a neznámou funkci g (difúzni tok), intenzita / probíhající chemické reakce je dána charakterem reakce. Potřebujeme tedy ještě nějak funkci g určit. Předpokládejme tedy, že difúzí se částice přesunuje z místa s větší koncentrací na místo s koncentrací menší (to je předpoklad celkem přirozený) a že rychlost difundující částice je přímo úměrná rozdílu koncentrací (přesněji gradientu, tj. derivaci koncentrace). Tento předpoklad bývá nazýván Fickův zákon. Tedy d g(t,x) = -D—u(t,x). ox Kladný koeficient úměrnosti D se nazývá difuzivita; může se měnit s časem i s místem, tedy D = D(t,x). Dosazením do rovnosti (4.7) dostaneme rovnici reakce-advekce-difúze d d ( d \ d £ľtU=dx~ \D^t,X^~ch;U) ~ Q^v(t>x)u + fit^'11)- (4-8) Tato rovnice má být splněna pro každý čas t > 0 a každý bod x G R. K rovnici přidáme počáteční podmínku vyjadřující koncentraci difundující látky v počátečním čase t = 0 u(0,x) = (f(x), (4.9) která má platit pro každé i£R. Speciální případy a okrajové podmínky Budeme nyní předpokládat, že uvažovaná látka v kapalině nereaguje, tj. / = 0, kapalina je homogenní, v čase se nemění, tj. D{t,x) = a2 = const, a proudí konstantní rychlostí v(t, x) = const. Obecnou rovnici reakce-advekce-difúze (4.8) tak můžeme zjednodušit na rovnici advekce-difúze s konstantními koeficienty d d2 d ätU = a2dx^U-Vd-xU- (410) V tomto případě můžeme prostorovou souřadnici transformovat - zavést novou souřadnou soustavu, která je „unášena rychlostí t>". Zavedeme tedy novou prostorovou souřadnici £ vztahem £ = x — v t. Pak podle řetězového pravidla pro výpočet parciálních derivací složených funkcí platí d d dt d d£(t x) d d -u(t, £) = -u(t, £(í, x)) = -u(t, £(í, x)) - + -u(t, £(í, x)) -^-^ = -u(t, £) - v—u(t, £) d_ dí"^'s/ fa-v^-n dť"K"'^"'"'JJ dt ' 0£-v>»v>-w dt dí"^'s/ "<9£' i analogicky a stručněji (bez psaní nezávisle proměnných) du du dt du d£ du d2 d ídu\ d2 dx dt dx d£ dx d£' dx2 dx \d£ J d£2 84 Dosazením do rovnice (4.8) dostaneme rovnici difúze du 2d2u sa -,-,\ Tato rovnice vlastně modeluje difúzi látky v neproudící kapalině, případně difúzi plynu v nějakém dlouhém válci naplněném vzduchem nebo jiným plynem. Také si můžeme uvědomit, že vedení tepla v tělese je proces analogický difúzi - teplo také přechází z místa teplejšího na chladnější a přechod tepla můžeme považovat za úměrný teplotnímu spádu (tj. gradientu nebo derivaci teploty) a orientovaný opačně. Jinak řečeno, Fickův zákon popisuje i vedení tepla. Proto se rovnice (4.11) nazývá také rovnice vedení tepla. V takovém případě interpretujeme hledanou funkci u = u(t, x) jako teplotu malého okolí bodu x (malého kousku tyče, v níž je teplo vedeno) v čase t. Poněkud přesněji vyjádřeno: v časovém okamžiku t je celková tepelná energie úseku tyče od bodu se souřadnicí a po bod se souřadnicí /3 dána výrazem u(t, x)dx, f3 — a a kde k = 1,38 • 10_23JK_1 je Boltzmanova konstanta. Zatím jsme neuvažovali o délce trubice, v níž probíhá difúze. Jedna z možností je uvažovat ji tak dlouhou, že „na její konec nedohlédneme", matematicky řečeno, pravý konec oboru, na němž difúze probíhá je v nekonečnu. Ale i v tak dlouhé trubici budeme uvažovat jen konečné množství látky. Tuto podmínku vyjádříme tak, že u(t,x)dx < oo; (442) přitom xq je nějaké číslo. Tato podmínka říká, že uvedený nevlastní integrál konverguje, neboť hustota u je nezáporná. Odtud dále plyne, že lim u(t, x) = 0 x —>oo pro každý čas í, neboť funkci u považujeme za spojitou. Podmínka (4.12) se nazývá podmínka integrability nebo integrovatelnosti. Pravý konec válce (trubice, žíly) však může být v nějaké konečné vzdálenosti, mít konečnou souřadnici xq. Tento pravý konec může být pro difundující látku uzavřený, žádná přes něj neprostupuje, tedy Fin j-(t,x0) = 0 (4.13) ox pro každý čas t. Jiná možnost je, že na tomto konci je nějak dán tok (probíhá na něm nějaký proces, který tok určuje). Ten se může v čase měnit. Dostáváme tak podmínku Fin ^(t,x0) = v(ť). (4.14) Podmínky tvaru (4.13) nebo (4.14) se nazývají Neumannovy okrajové podmínky. Jiná možnost je, že na pravém otevřeném konci válce se látka rozptyluje do volného prostoru. V takovém případě je napravo od krajního bodu xq koncentrace (prakticky) nulová a tok, tj. derivace hustoty podle prostorové proměnné, je podle Fickova zákona úměrný koncentraci nalevo od bodu xq (uvnitř válce). Tedy du — (t,x0) = -hu(t,x0) (4.15) pro každé t; přitom h je kladný koeficient úměrnosti (převrácená hodnota „difusivity přes hranici"). V okolním prostoru ale nemusí být jen nulová koncentrace látky. Napravo od krajního bodu 85 xq může koncentrace mít v každém okamžiku t nějakou hodnotu /i(í) nezávislou na koncentraci v trubici, např. v důsledku nějakého vnějšího probíhajícího procesu. V takovém případě je difúzni tok přes hranici úměrný rozdílu koncentrací nalevo a napravo od hranice, tedy — (t,x0) = -h(u(t,x0)-n(t)). (4.16) Podmínky tvaru (4.15) nebo (4.16) se nazývají Robinovy okrajové podmínky. Pokud rovnici (4.11) interpretujeme jako model vedení tepla v dlouhé tenké tyči (drátu) po stranách tepelně izolované, můžeme na jejím konci udržovat nulovou teplotu (konec tyče přiložíme k ledu). V takovém případě dostaneme podmínku u(t,x0) = 0 (4.17) pro každý čas t. Nebo teplota na konci tyče může být určována nějakým vnějším nezávislým procesem; pak dostaneme podmínky tvaru u(t,x0) = n(t)- (4-18) Podmínky (4.17) a (4.18) se nazývají Dirichletovy okrajové podmínky. Podmínky (4.13), (4.15) a (4.17) můžeme zapsat jednotným způsobem au(t,x0)+p—(t,x0) = 0; (4.19) ox pro a = 0, P = 1 se jedná o podmínky Neumannovy, pro a = h, P = 1 o podmínky Robinovy a pro a = 1, P = 0 o podmínky Dirichletovy. Podobně i podmínky (4.14), (4.16) a (4.18) můžeme souhrnně zapsat ve tvaru au(t,xo)+P7-(t,x0) = g(t). (4.20) ox Podmínky (4.19) a (4.20) nazýváme Robinovy okrajové podmínky. (Ve starší evropské nebo ruské literatuře tyto byly podmínky nazývány Newtonovy okrajové podmínky.) Analogicky můžeme zformulovat okrajové podmínky pro levý okraj oboru, na němž modelujeme difúzi nebo vedení tepla. Jediný rozdíl je v Robinových podmínkách, kde se změní znaménko u koeficientu h. Obor prostorové proměnné x ale nemusí žádné okraje mít, může jít o nějaký uzavřený prstenec. V takovém případě po proběhnutí celého prstence (uzavřené křivky) se dostaneme do stejného bodu, koncentrace látky v něm musí být stejná. Trochu přesněji: označíme-li délku křivky £, pak v každém časovém okamžiku t musí platit u(t,x) = u(t,x + £) (4.21) pro libovolnou hodnotu x. Podmínku (4.21) nazýváme podmínka periodičnosti nebo periodická okrajová podmínka. Ještě si všimněme jedné skutečnosti. Pokud nějaké funkce u\,U2 splňují některou z podmínek (4.12), (4.21) nebo (4.19), pak také libovolná lineární kombinace těchto funkcí splňuje stejnou podmínku. Podmínky (4.12), (4.21), (4.19) splňují princip superpozice a proto je souhrnně nazýváme homogenní okrajové podmínky. Nejjednodušší řešení Uvažujme jednoduchou situaci: v jednom bodě (který můžeme považovat za počátek souřadnic) do kapaliny v počátečním okamžiku „umístíme" nějaké množství A látky, která se bude v neproudící kapalině šířit difúzí. Vývoj koncentrace difundující látky bude popsán rovnicí du 9 d2u m - = a2 —, t>0,xeR. (4.22) 86 V průběhu procesu žádnou látku z kapaliny neodebíráme, ani ji do ní neřidáváme, její množství je stále stejné jako na začátku. Musí tedy platit j u{t,x)áx = A pro všechna t > 0. (4.23) — oo Tato rovnost však musí platit i na počátku, v čase t = 0, tj. oo A = / u(0,x)dx. Přitom ale předpokládáme, že na počátku je hustota v sude s výjimkou bodu x = 0 nulová, neboť veškerá látka je koncentrována v jediném bodě. Hustotu na počátku tedy při této idealizaci nemůžeme považovat za „normální" reálnou funkci a poslední integrál za „normální" integrál (Riemannův nebo nějaký obecnější). Počáteční rozložení látky, její „distribuci" (v hovorovém významu tohoto slova), budeme považovat za distribuci ve smyslu Dodatku A. Počáteční podmínku pro rovnici (4.22) tedy napíšeme ve tvaru u(0,x) = AS(x), xeR, (4.24) kde S je Diracova distribuce. Pokusíme se „uhodnout" řešení rovnice (4.22) s počáteční podmínkou (4.24). Můžeme si představovat, že difúze probíhá tak, že jednotlivé molekuly látky se náhodně pohybují a že pravděpodobnost pohybu nalevo je stejná jako pravděpodobnost pohybu napravo. Koncentrace látky po jistém čase by tedy mohla mít tvar normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0. Rozptyl se však s časem mění - na počátku je nulový a s postupem času se zvětšuje. Pro rozptyl a2 = cr(t)2 tedy platí cr(0) = 0. (4.25) Řešení rovnice (4.22) s počáteční podmínkou (4.24) tedy budeme hledat ve tvaru 1 u(t, x) = A-=-e 2-(')2 . V ' V^cr(í) Z vlastností rozložení pravděpodobností je vidět, že při této volbě v každém čase t platí oo oo / u(t,x)dx = A / -==-e~ ^o2 dx = A, J V ' J y/2^a(ť) /2ŤřfT(r) — oo —oo takže podmínka (4.23) je splněna. Má být splněna také rovnice (4.22). Proto vyjádříme t *> = £ (-^'(í»+ W) ("T (-2'<""> -,(í»)) ^ = = -7=e -m2 cr'(t) —— - —— = — e -m2 (x2 - cr(t)2) 1 1 2^ y'\a(ty a(t)2J V2^ V ' d2u d dx2 ' dx A 1 2ir cr(t) A 1 2x 2^(í)3 2a(t)2 2x A 1 d 2a(tf 2^o(tYdx A xe 2"(')2 = e ^cr = e 2 0. Pokud je funkce / na pravé straně rovnice nulová, mluvíme o homogenní rovnici, v opačném případě o nehomogenní. Rovnice (4.27) je parabolická v celé rovině W2. Rovnici (4.27) můžeme podle 2.1.1 transformací £ = x, r) = Cx — Ay převést na tvar d u du du ~ adě+b^ + d^ + cu = fiLri) a dále podle 2.1.2 substitucí v(£, rj) = exp ^£ + - ^- ) r, ) w(£, rj) transformovat na kanonický tvar aW + ^=giLvl (4'28) kde #(£, rj) = /(£, rj) exp ^£ + - rj Evoluční rovnice (rovnice difúze, rovnice vedení tepla) Evoluční parciální diferenciální rovnice je taková, v níž jednu z nezávisle proměnných interpretujeme jako čas. Budeme se nyní zabývat rovnicemi, v nichž je derivace hledané funkce podle času prvního řádu. Uvažujme tedy lineární homogenní parabolickou evoluční parciální diferenciální rovnici s konstantním koeficientem v kanonickém tvaru du d2u Tt=adx-2- ^ Připomeňme, že tato rovnice splňuje princip superpozice, tj. funkce u = 0 je jejím řešením a lineární kombinace jejich řešení je řešením, neboli že množina řešení rovnice (4.29) tvoří vektorový prostor. 88 Znaménko koeficientu a souvisí se „směrem plynutí času". Vyjádříme to poněkud přesněji: Uvažujme čas t, který „plyne opačným směrem", tj. t = —t. Pak dr _ _ dí ďT ~~ ~~ ď~r' Pro řešení u = u{t,x) rovnice (4.29) platí d du dí du d2u dr dt dr dt dx2 To znamená, že změna znaménka konstanty a představuje nahrazení času plynoucího z přítomnosti do budoucnosti časem plynoucím z přítomnosti do minulosti. Dále se budeme věnovat pouze rovnicím s kladným koeficientem a. Můžeme ho proto psát ve tvaru druhé mocniny. Jinak řečeno, budeme se věnovat rovnici difúze neboli rovnici vedení tepla, ut = a2uxx. (4.30) To je stejná rovnice jako (4.11). Nechť H = (0, oo) x J, kde J je nějaký otevřený interval reálných čísel. Klasické nebo silné řešení rovnice (4.29) je funkce u : H —>• R, která je spojitě diferencovatelná v první proměnné, dvakrát spojitě diferencovatelná ve druhé proměnné a splňuje rovnici (4.29). Toto pojetí řešení nyní mírně rozšíříme: Za řešení homogenní evoluční parabolické rovnice du „d2u . ~dt= * ' Xe ' ( ^ budeme považovat funkci u = u{t,x) definovanou na množině H, která splňuje rovnici pro skoro všechna (í, x) G H. Podrobněji řečeno, první derivace funkce u podle času a druhá derivace funkce u podle proměnné x jsou integrovatelné na každé kompaktní podmnožině množiny H (zejména tedy množina bodů, v nichž některá z derivací neexistuje, má míru nula) a pro každou dvojici intervalů (íi,Í2) - (0,oo), (ot,/3) C J platí t2 13 (du(t,x) 2d2u(t,x)\ {—t--a ^x2-) áxát = °- 11 a Řešení nehomogenní evoluční parabolické rovnice du 9 d2u .. . ., „ . -ät=a-te+W>x)> (4'32) zavádíme analogicky. Řešení evoluční parabolické rovnice s počáteční podmínkou u(0,x) = ip(x), x e J, (4.33) je takové řešení u = u(t, x), že lim u(t, x) = (p(x) pro skoro všechna x G J. Pro parobolické rovnice nelze napsat generické řešení tak snadno, jako pro rovnice hyperbolické. Proto se budeme hned věnovat řešení úloh. 4.1.1 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici na přímce Budeme řešit homogenní parabolickou rovnici (4.32) pro í>0axGMs počáteční podmínkou (4.33). 89 Periodické okrajové podmínky Nejprve budeme požadovat splnění periodických okrajových podmínek. Budeme tedy řešit úlohu ut = a2uxx, t > 0, x G u(0,x) = f (x), i e 1, u{t, x) = u{t, x + ľ), t > 0, x G (4.34) (4.35) (4.36) O počáteční funkci p budeme předpokládat, že je periodická s periodou l > 0. Řešení úlohy má být také periodické se stejnou periodou. Proto můžeme obor prostorové proměnné x můžeme chápat jako kružnici délky l, tj. kružnici o poloměru 1/(2tt). Takto formulovanou úlohu lze interpretovat jako model difúze v trubici délky l stočené do prstence. Víme, že každou po částech spojitou funkci p s periodou l můžeme vyjádřit jako trigonometrickou Fourierovu řadu ip(x) = — + I ak cos ——x + bk sin ——x k=l kde 2kir «fe = y / ^(Ocos— £d£, k = 0,1,2 2 ľ 2kir h = 1 J xb(0sm— £d£, k = 1,2, Řešení úlohy budeme proto hledat ve tvaru Fourierovy řady v prostorové proměnné x, jejíž koeficienty závisí na časové proměnné t. Tento postup se nazývá metoda Fourierových řad. Nechť tedy pro skoro všechna x e R a všechna t > 0 platí p{x) = — + I $fe cos ——x + tyk srn ——x k=l 2kir 2kir kde í í 2 f 2kir 2 í 2kir *fe = y y V(0cos— £d£, k = 0,l,2,..., *k = -J p(0cos— £d£, k = l,2,.... o o (4.37) Řešení úlohy (4.34)-(4.36) má být periodické v prostorové proměnné x, hledáme ho tedy ve tvaru u{t, x) a0(t) fe=i 2kir 2kir E (afe(*)cos ~~rx + Ďfe(*)sin ~t~x (4.38) kde ap, &i, a2,. .. ,b\,b2,.. . jsou zatím neurčené funkce jedné proměnné. Platí du Tt{ (*> *) = -^y2 + E afeW cos —rx + sm T1 fe=i 2ä;tt 2ä;tt „2 co 05? (*>*)=" E fe=l /2/J7T 2/J7T 2/J7T afe(r) cos ~~~x + Ofe(í) sm ~~~x symbol ' přitom označuje obyčejnou derivaci podle proměnné t. Uvedené řady formálně dosadíme do rovnice (4.34) a počáteční podmínky (4.35), i'0(t) E fe=i / 2kira\ 2kir /2knaV 2kir a'k(t) + {—) afeWjcos —x + (+ (~r) h{t)jsin~l = 0, 90 «o(0) / ^ 2kir , , , 2kir \ $0 / 2kir 2kir \ + E ( flfe(°)cos ~x + Ďfe(°)sm —^ J = -y + E ( $fe cos —^ + sm —x) ■ k=l ^ ' k=l ^ ' Věta o jednoznačnosti Fourierových řad říká, že rovnají-li se součty dvou Fourierových řad, pak se rovnají také jejich koeficienty Odtud plyne, že pro funkce ciq, a\, a2, ■ ■ ., b\, b2, ■ ■ . musí platit a'0(t) = 0, a0(0) = $0, <4(*) = -(—— ) aÁt), afe(0) = $fe, A; = 1,2,..., / 2kiľn \ 2 b'k(ť) = -(—-) bk(t), bk(0) = *k, k = 1,2,.... V 1 To jsou počáteční úlohy pro obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Jejich řešení je ak(t) = <í>ke-(2ä^)2t, k = 0,1,2,..., bk(t)=yke-(2ä^Tt, k = 1,2,.... Tyto funkce dosadíme do tvaru (4.38) řešení dané úlohy. Po úpravě dostaneme $0 v-^ -(2m™Yí (^ 2kir . 2kir u(t,x) =--l~2^e ' ^ l^fecos—— x + WfeSin—— x fe=i Výsledek vyjádříme jen pomocí objektů, které jsou v zadání úlohy, tj. konstanty a a funkce p. Jinak řečeno, do pravé strany předchozí rovnosti dosadíme vyjádření (4.37) koeficientů $k a 'řfc. Po úpravě (záměně pořadí integrace a sumace) dostaneme / x ľ 1 Í-, „v^ -(M^Ýtí 2^ 2/ot • 2/ot , ■ \\ uyt,x) = I pyQ — I 1 + 2 e v ' ' I cos —^—£cos —^—x + sm —^—£sm —^—x I I d£. Tento výsledek ještě upravíme pomocí součtového vzorce na tvar u(t, x) = \J p(0 \1 + 2 g e-W2* cos ^ (x oj de Dosažený výsledek lze zapsat v přehlednějším tvaru: Řešení úlohy (4.34)-(4.36) je dáno integrálem i u{t,x) = J p(0G(t,x,0dd, (4.39) o kde funkce G : (0, oo) xR24l daná výrazem G(t,x,0 = \ l + 2$>-(^); V fe=i f 2kir, >N cos— je tzv. funkce vlivu okamžitého bodového zřídla nebo zdroje2, stručně zřídlová nebo zdrojová funkce, také Greenova funkce nebo fundamentální řešení. Ještě si povšimněme několika vlastností funkce G, které jsou bezprostředně evidentní, nebo je lze ověřit přímým výpočtem. • Funkce G je spojitá na množině (0, oo) x R2. 2Pokud rovnici (4.34) interpretujeme jako model vedení tepla v nějakém prstenci, pak funkce G(-, £,t) udává rozložení teploty v časovém okamžiku i, vzniká-li v tomto okamžiku v bodě £ jisté množství tepla. 91 • Je symetrická ve druhé a třetí proměnné, tj. G(t,x,£) = G(t,£,x) pro všechny trojice (x,£,t) G (0,oo) x R2. • Funkce jedné proměnné G(t, ■ , £) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (ŕ, £) G (0, oo) x R. • Funkce dvou proměnných G( •, •,£), Je Pro všechna ^ e M řešením rovnice (4.34), které splňuje podmínku periodičnosti (4.36) pro každou hodnotu t > 0. • Pro všechny hodnoty x, £ G M platí lim G(t, x, £) = S(x — £) ve smyslu distribucí; S je Diracova distribuce, sr. Dodatek A, poslední z příkladů ((-vytvořujících posloupností, str. 154. Dále lim G(t,x,Í) = \. t—>oo i Z poslední uvedené vlastnosti funkce G plyne, že pro řešení u = u{t, x) homogenní parabolické rovnice (4.34) s počáteční podmínkou (4.35), které splňuje podmínku periodičnosti (4.36), platí i lim u{t,x) = - i v?(£)d£. t—>oo i J 0 Řešení konverguje pro t —>• oo ke konstantní funkci. Pokud tedy úlohu (4.31), (4.33), (4.21) interpretujeme jako model difúze nějaké látky v uzavřeném prstenci délky l, dostáváme, že po dostatečně dlouhém čase se difundující látka stejnoměrně rozptýlí po prstenci a její lineární hustota bude podílem její celkové hmotnosti a délky prstence. To není nikterak překvapivý výsledek; ukazuje však, že se model chová realisticky. Podmínky integrovatelnosti Nyní budeme požadovat, aby řešení rovnice (4.32) bylo v jistém smyslu „silně ohraničené" na celém oboru prostorové proměnné x, konkrétněji, aby bylo integrovatelné v absolutní hodnotě. Budeme tedy řešit úlohu ut = a2uxx, t > 0, ieR, (4.40) u(0,x) = 0. (4.42) -oo 0 O počáteční funkci ip budeme předpokládat, že splňuje stejnou podmínku integrovatelnosti. 0 oo |y(x)|dx < oo, J \p(x)\dx < oo, (4.43) -oo o Jinak řečeno, funkce p je a funkce u{t, ■) má být v definičním oboru Fourierovy transformace pro každou hodnotu t > 0; . Podle tohoto předpokladu můžeme úlohu (4.40)-(4.42) transformovat na Fourierův obraz a pak hledat obraz (spektrum) jejího řešení. Tento způsob hledání řešení bývá nazýván metoda Fourierovy transformace. Při transformaci úlohy čas t zafixujeme, budeme ho považovat za parametr. Fourierův obraz funkce u{t, •) je komplexní funkce jedné reálné proměnné definovaná předpisem F(u(t, ■))(£) = / u(t,x)e-ix^dx 92 tuto hodnotu budeme stručně označovat symbolem ů(t,£). Fourierův obraz derivace podle parametru t je oo oo —oo —oo Poněvadž Fourierova transformace převádí derivaci na násobení výrazem i£, je Fourierův obraz druhé derivace funkce u{t, •) roven Fourierův obraz rovnice (4.40) a počáteční podmínky (4.41) je tedy tvaru d dt ú(t,Í) = -a2eú(t,Í), Ů(0,O = Č(O> (4-44) kde p je Fourierův obraz počáteční funkce p. Nyní budeme na chvíli považovat proměnnou £ za parametr a čas t za nezávisle proměnnou, tj. na rovnosti (4.44) se budeme dívat jako na počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici, kde hledanou funkcí je funkce «(-,£). Jedná se o úlohu pro lineární homogenní rovnici s konstantním koeficientem, její řešení je dáno formulí ů(t,o = p(0^a2et- To je současně Fourierův obraz řešení počáteční úlohy (4.40)-(4.42). Označme ještě g(t,0=e-a^H (4.45) a Fourierův obraz řešení této úlohy dostáváme ve tvaru ú(t,0 = p(0a(t,0- Vzhledem k tomu, že součin Fourierových obrazů funkcí je Fourierovým obrazem jejich konvoluce, můžeme nyní řešení úlohy (4.40)-(4.42) zapsat ve tvaru u(t,x)= (p*g(t, -))(x). (4.46) Reálná funkce g(t, •) je vzorem spektrální funkce g(t, •) dané formulí (4.45). Získáme ji tedy inversní Fourierovou transformací: oo g[t'x) = h jv ■''Vv"'i-- [0,oo)2 7T / 1 2 \ 2 -2re~r )dr )dr) \e-r2r =-; / / 4 L Jr=0 4 při výpočtu dvojného integrálu jsme použili transformaci do polárních souřadnic. 94 a řešení úlohy vyjádříme jako nevlastní integrál u(t,x)= / (p(Z)G(x,U)d£- (4-49) Podívejme se ještě na interpretaci získaného výsledku. Funkce u daná rovností (4.49) je kladná pro každé t > 0 a každé iel. Jinak řečeno, za libovolně krátký čas a v libovolně velké vzdálenosti od počátku je koncentrace difundující látky nenulová. To by znamenalo, že nějaké částice látky se pohybují nekonečnou rychlostí, což samozřejmě není fyzikálně možné. Toto pozorování ukazuje, že zjednodušující předpoklady přijaté při vytváření modelu vedou k jeho neadekvátnosti. Fyzikální nesprávnost modelu je však jen teoretická. Vzhledem k tomu, že exponenciální funkce ex s rostoucí hodnotou x velice rychle klesá k nule, je nenulová koncentrace v dostatečné vzdálenosti od počátku prakticky nedetekovatelná. Na základě předchozí úvahy vypočítáme rychlost šíření difundující látky „z jediného bodu". Představme si proto, že na začátku procesu (v čase t = 0) bylo množství A difundující látky koncentrováno v jediném bodě, který můžeme považovat za počátek souřadnic. Tedy uvažujeme úlohu Ut = a2uxx, t > 0, i G R, u(0,x) = AS (x), xeR, 0 oo J \u(t, x)\áx < oo, J \u(t, x)\áx < oo, t > 0, -oo 0 kde S je Diracova distribuce. Pak pro t > 0 je u(t,x)=AG(t,x,0) = -^=exP (±L Označme R(t) takovou hodnotu, že u(t,R(ť)^ = e a u(t,x) < e pro x > R(ť); e > 0 je přitom taková hodnota koncentrace, že ji považujeme za „prakticky nulovou". Pak - - exp -\1— a z toho R(t)2 = 4a2t ln ■ Vzdálenost měřitelného množství difundující látky od počátečního bodu v čase t je tedy dána výrazem R(t) = 2 JaH ln-^- To je funkce času (proměnné ŕ) definovaná na intervalu [0, T], kde čas A2 T =- 4e27ra2 vyjadřuje dobu, po niž je difundující látka detekovatelná. V čase A2 T Aes2Tra2 e nabývá funkce R svého maxima fí A ey/2^ ' tuto hodnotu lze interpretovat jako maximální vzdálenost, do níž se difundující látka dostane. 95 Příklad Najdeme řešení rovnice du 2 |92?i dt dx2 na oblasti {(ŕ, x) : í>0,i£ R}, které splňuje počáteční podmínku u(0, x) = a, \x\ < ^e, 0, jinak, kde e > 0. Nejprve se zbavíme reakčního členu ru na pravé straně rovnice tak, že zavedeme novou neznámou funkci v = v(t,x) vztahem v(t,x) = e~rtu(t,x), tj. provedeme speciální případ transformace rovnice na kanonický tvar uvedené v 2.1.2. Pak je du dt a po dosazení do rovnice dostaneme ' dv dv u(t,x) =er v(t,x), —(t,x)=[—(t,x) + rv(t,x))er, —^{t,x) = —^{t,x)e dt d2u d2v dx2 dx2 d2v (ŕ, x) + rv(t, x) e = a —^(t, x)e + rv(t, x)e ' dxz dt Výraz ert je nenulový, proto ho můžeme vykrátit. Funkce v je tedy řešením homogenní rovnice dv 2 92v dt dx2 s počáteční podmínkou v(0,x) = w(0,2ľ)er'u = a, \x\ < ^e, 0, jinak. Podle (4.49) a (4.48) je funkce v dána integrálem v(t, x) 2v/Ťrä27 e Tä^Tá£. Zavedeme v něm substituci Pak je V = V2aH d£ = -V2aHdn. v(t, x) e 2 drj = a 2x-s \2v2aHJ \2v2aH kde <ř je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Dostáváme tak řešení dané úlohy u(t, x) = ertv(t, x), tj. u{t, x) = a / 2x - e í 2x + i \2VS ) ' \2\Í2lči 96 V počáteční podmínce nyní zvolíme speciálně a = —. Pak je e OO 2C j u{Q,x)dx =— j dx = A pro každé s > 0. Pokud tedy danou rovnici interpretujeme jako model autokatalytické reakce (rychlost tvorby reagující látky je úměrná jejímu množství) a difúze, je počáteční množství difun-dující látky rovno A a toto množství je koncentrováno v malém okolí počátku, na intervalu délky e. Pro e —> 0 proto můžeme počáteční funkci považovat za distribuci, konkrétně za A-násobek Diracovy distribuce. Dále platí lim — , 2x + e \ ( 2x — e $ -;- - $ 2V2a7t J \2V2a7t V2a7t V2oJ~t A iim y_VVS 2J =_A_# V2oJi v^o r, \V2oJt a poněvadž derivace distribuční funkce normovaného normálního rozložení pravděpodobnosti je hustotou tohoto rozdělení, dostáváme řešení dané úlohy pro s —> 0 ve tvaru A 1 x2 A x2 u(t,x) = ——p-j^2! ert = —■-prt~JäH (4.50) V2o7i V2^ 2VÄÍ Pro r = 0 dostáváme řešení ve stejném tvaru, jaký mělo „uhodnuté" řešení (4.26) úlohy (4.22), (4.24). Pokusme se stanovit pozorovatelnou rychlost, jakou se v prostředí šíří difundující látka vznikající autokatalytickou rekcí. Nechť S označuje minimální koncentraci látky, kterou lze v prostředí detekovat, a R = R(t) časově závislou vzdálenost od počátku, v níž je koncentrace rovna hodnotě S, tj. u(t, R(t)) = S. Dosazením do (4.50) dostaneme Aert ( R(t) 2V^7rt' V 4a2í Z této rovnice vyjádříme a dále R(t)2 9 2a2 , ATra2S2t —y~ = 4a2r--—ln--— t2 t A2 lim (ÄV = 4a2r. Odtud plyne, že pro dostatečně velký čas t je R(t) « 2Va~2ř~t, (4.51) což znamená, že pozorovatelná rychlost šíření látky je přibližně konstantní a rovna 2\Ja2r. ■ Na závěr opět shrneme některé evidentní vlastnosti zřídlové funkce G : (0, 00) xR24 (0, 00) definovaná vztahem (4.48): • Je spojitá na svém definičním oboru. 97 • Je symetrická ve druhé a třetí proměnné, tj. G(t,x,£) = G(t,£,x) pro všechny trojice (t,x,Z) G (0,oo) x R2. • Funkce G(t, ■ , £) (tj. funkce G chápaná jako funkce jedné proměnné x se dvěma parametry t a £) má spojité derivace druhého řádu pro všechny hodnoty (ŕ, £) G (0, oo) x R. • Funkce G( •, ■,£) je pro všechna £ e M řešením rovnice (4.31), které splňuje podmínky integrovatelnosti 0 oo \G(t, x, £) |dx < oo, J |G(ŕ, x, £) |dx < oo -oo o pro každou hodnotu t. • Pro všechny hodnoty x, £ G M platí lim G(t, x, £) = 5(x — £) ve smyslu distribucí; S je Diracova distribuce, sr. Dodatek A, třetí z příkladů S-vytvořujících posloupností, str. 154. Dále lim G(t, x, £) = 0. í—>oo • Funkce jedné proměnné G(t, 0, •) je pro jakoukoliv hodnotu t sudá. dG Funkce jedné proměnné 0; '); tj- funkce daná předpisem dx ' 's/ 4v'7r(a2í)3 V 4a2í je lichá pro jakoukoliv hodnotu t. 4.1.2 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici na polopřímce Nejprve si všimneme jednoho důsledku poslední vlastnosti funkce G definované vztahem (4.48). Připomeňme si ještě, že součin sudé a liché funkce je funkce lichá, a že integrál z liché funkce na intervalu symetrickém kolem nuly je nulový. Odtud plyne: Tvrzení 5. Nechť G je funkce definovaná vztahem (4.48). Jsou-li tp, \ ■ K —>• K ohraničené funkce integrabilní na každém kompaktním intervalu, přičemž funkce ip je lichá a funkce x Je sudá, pak pro funkce v,w definované vztahy v(t,x)= J W)G(x,£,t)áZ, w(t,x)= j X(£)G(x,£,í)d£ — oo —oo platí oo oo /r)?/; ľ BC mG(0,Z,t)d£ = 0, --j(í,0) = J x(£)_(0,£,í)d£ = 0. — oo —oo oo c Nevlastní integrály chápeme ve smyslu hlavní hodnoty, tj. f ^(^)d^ = lim f g(£,)d^. c—>oo —oo —c Toto tvrzení umožňuje najít řešení dvou okrajových úloh pro homogenní parabolickou rovnic na oboru [0, oo) x [0, oo) s využitím předchozích výsledků získaných metodou Fourierovy transformace. 98 Uvažujme nejprve počáteční úlohu s jednou homogenní Dirichletovou okrajovou podmínkou a s jednou podmínkou integrovatelnosti: ut = a^uxx, u(0, x) = p(x), t > 0, x > 0, x > 0, u(t, 0) = 0, j \u(t,x)\áx < oo, t > 0. o (4.52) (4.53) (4.54) Počáteční funkci p prodloužíme na celý interval (—oo, oo) tak, aby to byla funkce lichá. Položíme tedy p(x), x > 0, —p(—x), x < 0, p(x) Řešení úlohy ut = a uxx, u(0, x) = p(x), oo t > 0, x e x e R, J \u(t, x)\dx < oo, J |it(t, x) \dx < oo, ŕ>0 u{t,x)= / 0, x > 0, (4.56) u(0,x) = p{x), x > 0, (4-57) OO ux(t,0) = 0, / \u(t,x)\dx < 00, í>0, (4.58) o tj. úlohy s Neumannovou okrajovou podmínkou v levém krajním bodě, je tvaru 00 u(t,x)= J p(OGN(t,x,OdL (4.59) o kde W'*'® =vérexp (-^žf) cosh ä- Snadno nahlédneme, že funkce Gd, Gn : (0, oo)3 —> [0, 00) mají následující vlastnosti: • Jsou spojité na svém definičním oboru. • Jsou symetrické ve druhé a třetí proměnné. • Funkce Gjv(í, ■,£) a Go{t, ■,£) mají spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (£,ŕ) G (0,oo) x (0, 00). • Funkce Gd( ■, ■, Oi resP- Gat( •, •, £), je pro všechna £ G (0, 00) řešením rovnice (4.52), které splňuje okrajové podmínky (4.54), resp. (4.58), pro každou hodnotu t. • Pro jakékoliv hodnoty x, £ > 0 platí lim Gn(t,x,£) = 0 = lim Gjv(í,^,C) a lim G.o(r,x,£) = 5(x — £) = lim Gjsi{t,x,£) ve smyslu distribucí, kde 5 je Diracova distribuce. 4.1.3 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici na úsečce Pro řešení homogenní parabolické rovnice na ohraničeném prostorovém oboru s obecnými homogenními Robinovými okrajovými podmínkami již nelze bezprostředně využít výsledek získaný pomocí Fourierovy transformace. Tuto úlohu budeme řešit separací proměnných, podobně jako v případě rovnice hyperbolické 3.1.4. Uvažujme nyní úlohu ut = a2uxx, t>0,0 0; (4.62) opět předpokládáme, že okrajové podmínky jsou nedegenerované, tj. že parametry splňují nerovnosti |a0| +l/Sol ^0^|a0| +|/8o|- Nejprve v separujeme proměnné, tj. řešení rovnice hledáme ve tvaru u(t,x) = T(t)X(x). (4.63) 100 Toto vyjádření dosadíme do rovnice (4.60) a upravíme tak, že na pravé straně ponecháme pouze funkci X a její derivaci. Dostaneme rovnost T _ X" a^Ť~^X' jejíž levá strana nezávisí na proměnné x a pravá nezávisí na proměnné t; výrazy na obou stranách jsou tedy rovny nějaké konstantě, kterou označíme —A a dostaneme dvě rovnice a^Ť~~ ' ~X 2T = -A, — = -A. (4.64) Druhou z nich přepíšeme do tvaru obyčejné lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantním koeficientem X" + \X = Q. (4.65) Vyjádření (4.63) funkce u dosadíme do okrajové podmínky (4.62). Dostaneme rovnosti a0T(t)X(0) + PoT(t)X'(0) = 0 = aiT(t)X(l) + piT(t)X'(l), které mají být splněny pro libovolnou hodnotu t > 0. Odtud plyne, že řešení X rovnice (4.65) splňuje okrajové podmínky a0X(0) + P0X'(0) = 0 = aiX{l) + PxX'iľ). (4.66) Úloha (4.65), (4.66) pro obyčejnou lineární rovnici druhého řádu s parametrem A a homogenními okrajovými podmínkami je Sturmovou-Liouvilleovou úlohou, sr. Dodatek B.2. Podle Věty 3 existuje rostoucí posloupnost {Afcj-^ľ^ jednoduchých vlastních čísel, z nichž nejmenší je větší nebo rovno 0. Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že 0 je vlastním číslem úlohy (4.65), (4.66) právě tehdy, když a.\Po — a^Pi = a^ail. K vlastním číslům \k přísluší vlastní funkce vk, k = 1,2,3,.... Dostáváme tak spočetně mnoho řešení xk(x) = vk(x), kel okrajové úlohy (4.65), (4.66). Nalezené hodnoty \k, k = 1,2,... dosadíme do první z rovnic (4.64). Dostaneme tak obyčejné lineární homogenní rovnice prvního řádu T' = -a2\kT, k = 1,2,3,..., jejichž obecné řešení je tvaru Tfe(í) = Cke-a2x»\ kde Cfe jsou zatím neurčené konstanty. Poznamenejme, že řešení téhož tvaru i v případě Ai = 0. Po dosazení funkcí Xk, Tk do vyjádření (4.63) hledaného řešení úlohy pro parciální diferenciální rovnici dostaneme spočetný systém funkcí uk(t, x) = Tk(t)Xk(x) = Cke-^v^x), kel, z nichž každá je řešením rovnice (4.60) a splňuje příslušné okrajové podmínky (4.60). Poněvadž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní, a tedy splňují princip superpozice, můžeme řešení této úlohy psát formálně ve tvaru nekonečné řady oo u(t,x) = J2cke-a2Xktvk(x). (4.67) fe=i Hodnoty koeficient[ Ck, k = 1, 2,. .. získáme z dosud nevyužité počáteční podmínky (4.60) ip(x) = u(0,x) = ^Ckvk(x). kel 101 Z tohoto vyjádření je vidět, že konstanty Ck jsou Fourierovými koeficienty funkce ip vzhledem k orthogonálnímu systému vlastních funkcí {i>fc}fcLi, tedy i \\Vk\\ J o Tyto koeficienty dosadíme do rovnosti (4.67) vyjadřující řešení a upravíme ji na tvar { kei IMI Dosažený výsledek shrneme: Řešení úlohy (4.60)-(4.62) je dáno integrálem i u(t,x) = í (p(Z)G(t,x,Z)dt; přitom funkce G : [0, oo) x [0, l]2 —> R je definována nekonečnou řadou G(t,x,0=f:Vk{x)Vf)e-2^, k=i IMI kde Afe jsou vlastní hodnoty a Vk jsou příslušné vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (4.65), (4.66). Zřídlová funkce G má vlastnosti: Funkce G je spojitá na množině (0, oo) x (0, l) Je symetrická ve druhé a třetí proměnné. 2 • Funkce jedné proměnné G(t, ■ , £) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (ŕ, £) G (0, oo) x (0,1). • Funkce dvou proměnných G( ■, ■, £) je pro všechna £ G (0, l) řešením rovnice (4.60), které splňuje homogenní Robinovy okrajové podmínky BG BG a0G(t,0,£) + Po~-(t, 0,0 = 0 = aiG(t,l,0 + A^-(í, *>£) pro každou hodnotu t > 0. • Pro všechny hodnoty x, £ G [0, l] platí 0, OL\Po — OíqPi 7^ CtQCtll, hm G(t,x,£)= ( 2,(a2x£-a1(x + £)(a1+p1) + (a1+p1)2) l (afl2 + 3/3i(q;i + pi)) lim G(í, x, £) = 5(x — £) ve smyslu distribucí. 102 4.1.4 Homogenní úlohy pro homogenní rovnici — shrnutí V odstavcích 4.1.1-4.1.3 jsme našli řešení počáteční úlohy pro homogenní parabolickou rovnici s homogenními okrajovými podmínkami na neomezeném nebo omezeném oboru J prostorové proměnné x. Řešení úlohy ut = a2uxx, t > 0, x e J, (4.68) u(0,x) = (p(x), x e J, (4.69) homogenní okrajová podmínka, t > 0 (4.70) bylo vždy dáno integrálem tvaru u(t,x)= í (p(Z)G(t,x,Z)dt. J Zřídlová (Greenova) funkce G : (0, oo) x J —> R je určena intervalem J a okrajovými podmínkami. Podrobněji: Funkce G( •, •, £) je řešením úlohy (4.68)-(4.70) s počáteční distribucí ip(x) = S(x — £). Je to funkce spojitá na (0, oo) x J, je dvakrát spojitě diferencovatelná podle druhé proměnné x a je symetrická v „prostorových proměnných" x a £. V Tabulce 4.1 jsou uvedeny zřídlové funkce v některých speciálních případech. Ještě poznamenejme, že mírně obecnější úloha ut = a2uxx, t>a,xeJ, (4-71) u(0,x) = (p(x), x e J, (4.72) homogenní okrajová podmínka, t > 0 (4.73) má řešení dané integrálem u(t,x) = J tp(Z)G(t-a,x,Z)d£, J které snadno odvodíme transformací (posunutím) proměnné t. 4.1.5 Úlohy pro nehomogenní rovnice Pro řešení úlohy pro nehomogenní parabolickou rovnici s nulovou počáteční podmínkou a homogenní okrajovou podmínkou ut = a2uxx + f(t, x), t > 0, x e J, (4.74) u(0,x) = 0, x e J, (4.75) homogenní okrajová podmínka, t > 0 (4.76) použijeme Duhamelův princip, podobně jako v případě hyperbolické rovnice, viz str. 58. Budeme předpokládat, že řešení této úlohy je dáno integrálem t u(t,x) = J w(t, x, er)der, (4.77) o kde w je nějaká, zatím neznámá funkce tří proměnných. Funkce u definovaná rovností (4.77) splňuje počáteční podmínku (4.75). Dále pro ni platí t t =)2 r r q2w d2u d2 ľ ľ d x2 (í, x, er)der, o o 103 interval j (0,oo) (o,o (0,0 (o,o (o,o okrajová podmínka (—00,00) u(t, x) = u(t, x + ľ) (—00,00) J \u(t, x) |dx < 00, J \u(t, x) |dx < 00 -00 o u(t,0) = 0, J \u(t, x)\dx < 00 o du 001 — (ŕ, 0) = 0, f \u(t,x)\dx < 00 dx o u(t,0) = 0 = u(ŕ,Z) du, . n du, -(t,o) = o = -(t,o «(í,o) = o = ^(í,o 9m (9x (ŕ,0) = 0 = u(t,l) G(x,U) 7 í 1 + 2 E e"( ' } ťcos—(a;-0 G 4a2ŕ 2vWí e 4a2t _ 2ľ£ ■ smn ■ V^t 2aH e 4a2t x£ ■cosn ■ V^i 2aH 2 22, ŕi^A2, kir kir l k=1 l l 1 í, „22 Cisa^ŕ k-K „ kir - l|2£ei i J * cos — £ cos — fe=i i " l 2 22 ŕCHD^A . (2/j + 1)7t . (2/j+1)tt -^e l 2' )lsm---í-ísm---——x í fc=0 21 21 2 22 /(2fc+i)^af. (2/j + 1)7t (2/j + 1)tt _ e ^ 2! J cos---^£cos--r~^x l k=0 21 21 (0,0 (o,o (o,o du u(t, 0) = 0, —(t,l) = -hu(t,l) ox nu nu f^M) = 0, ^-(t,l) = -hu(t,l) du du — (t,0) = hu(t,0), —(t,l) = -hu(t,l) 2E Ä (h2 + Afe) -a Xut kt1l(h2 + \k) + 2h sin vAfeí; sin vAfcX Afe jsou kladné kořeny rovnice y/X = -htg (y/Xl 2E (^2 + Afc) „_a»A k%l(h2 + Xk)+2h Afe jsou kladné kořeny rovnice y/\ = h cotg ( x e a"Afct ( cos v'Xfeí; + sin y/X^£j ^cos y/X^x + -^=- sin y/X^x E ■ fe=i 1 h2l + 2h - A-- 2 Afe jsou kladné kořeny rovnice 2Afe VX h h ~ VX = 2 cotg ( y/Xl a podle věty o derivaci integrálu závislého na parametru platí t t dít 0 í í Ovu t--(í,^) = t- / w(t,x, a)da = w(t,x,ť) + / — (í, x, a)da. Po dosazení do rovnice (4.74) dostaneme t t /dvo ľ c)2 vo — (t,x,cr)d(7 = a2 -^(t, x, a) der + f (t, x) a po snadné úpravě t i2 dw 2 d w . . . — {t, x, a) - a -g-j(í,2ľ,cr) ) der = f (t, x) - w(t,x,t). Z této rovnosti vidíme, že za funkci w ve vyjádření (4.77) řešení úlohy (4.74)-(4.76) můžeme dosadit funkci w = w(t,x,Ĺj) chápanou jako funkci nezávisle proměnných t a x, s jedním parametrem a, která při jakékoliv hodnotě tohoto parametru a splňuje rovnosti Ow 02vo — (t,x,a) = a2 — (t,x,a), pro t > o a x G J, w(lt, x, ĺj) = /((T, x), pro x (z j. To znamená, že funkce w( • , • , a) je řešením počáteční úlohy pro homogenní rovnici. Pro úplné určení této funkce potřebujeme ještě podmínky okrajové. Pokud je podmínka (4.76) některého z tvarů (4.36), (4.42), (4.54), (4.58), nebo (4.62), můžeme stejnou podmínku klást na funkci w( ■, • Funkce u daná integrálem (4.77) pak okrajovou podmínku splní také.4 Podle 4.1.4 je tedy w(t,x,(r)= í f(a,0G(t-a,x,0d(i a řešení úlohy (4.74)-(4.76) pro nehomogenní rovnici s nulovou počáteční podmínkou a homogenní okrajovou podmínkou dostáváme ve tvaru u(t,x) = j (j f(cT,QG(t-cr,x,QdA dcr = j J/(CT,0G(t-t,a;,0d<7dČ, o \j /JO 4To snadno ověříme: v případě Robinovy podmínky platí t t t a0u(t, 0) +/30ux(t, 0) = a0 J w(t, 0, cr)dcr + /30J w 0 0 0 a analogicky ve druhém krajním bodě. Dále platí pro periodické podmínky t t u(t,x + l) = J w(t, x + Z, 0, x e J, (4.79) u(0,x) = (p(x), x e J, (4.80) homogenní okrajová podmínka, t > 0 (4-81) je součtem řešení homogenní rovnice s nenulovou počáteční podmínkou a nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou, tedy t u(t,x)= J ip(Z)G(t,x,Odt + J J f(a,OG(t-a,x,Odad£ = J JO 0, 0 < x < l, (4.83) u(0, x) = (p(x), 0 < x < l, (4.84) a0u(t, 0) +/30ux(t, 0) = n0(t), t>Q ,4g5, uiu(t, l) + j3iux(t, l) = /ii(í), Řešení této úlohy je tvaru u{t, x) = U(t, x) + w(t, x), kde funkce U splňuje okrajové podmínky (4.85) a funkce w je řešením úlohy s homogenními podmínkami wt = a2wxx + f(t, x) - a2Uxx(t, x) + Ut(t, x), t > 0, 0 < x < l, u(0,x) = ip(x) - U(0,x), 0 < x < l, a0w(t, 0) + l30wx(t, 0) = 0 = aiw(t, l) + P\wx(t, l), t > 0. Okrajové podmínky (4.85) jsou stejné, jako okrajové podmínky (3.86). Funkci U lze tedy volit stejně, jako na str. 73. To samozřejmě není jediná možnost. Někdy lze funkci U volit tak, aby nějakým způsobem odpovídala interpretaci řešené úlohy. Pokud se to podaří, úloha pro funkci w bývá jednodušší, než při „tupé volbě" polynomu nebo goniometrické funkce. Analogicky lze hledat řešení úlohy na polopřímce s jednou nehomogenní okrajovou podmínkou. Příklad Uvažujme úlohu du „d2u Tt=a^ t>o,x>o, u(0, x) = 0, x > 0, oo u(t, 0) = sin t, J \u(t, x)\dx < oo, t > 0. o 107 Tuto úlohu můžeme interpretovat jako popis vedení tepla v dlouhé tyči, která je na povrchu izolovaná, na počátku má nulovou teplotu a na jednom konci ji periodicky zahříváme a ochlazujeme. Lze očekávat, že v každém bodě tyče se bude teplota měnit se stejnou periodou. Ovšem vliv kolísání teploty na konci tyče na teplotu ve vzdálenosti x od něho se projeví s nějakým zpožděním, které je tím větší, čím je vzdálenost x větší; v nejjednodušším případě by zpoždění mohlo být vzdálenosti přímo úměrné. Amplituda kolísání teploty se musí s rostoucí vzdáleností od konce zmenšovat, a to tak, aby byla splněna podmínka integrovatelnosti. Tato úvaha vede k nápadu, že funkce U by mohla být tvaru U(t,x) =e-axsm{t-l3x)1 kde a, jsou zatím neurčené kladné konstanty. Při této volbě je ^L(t,x)=e-axcoS(t-f3x), d2u dx2 (t, x) = e~ax ((a2 - P2) sin(í - j3x) + 2a/3 cos(í - j3x)), takže >d2u dU. n „ (t,x) - ^-(t,x) = e-ax(a2(a2 -/32) sin(í -+ (2a2a/3 - 1) cos(r - #r)). oxz ot Aby byl poslední výraz nulový, budeme požadovat a2 = fi2, 2a2a/3 = 1, tedy zvolíme a = P = 2a2 U(t, x) = exp — /2a2 sin t — '2a2 Dostáváme tak řešení dané úlohy ve tvaru u{t,x) = U(t,x) +v(t,x), kde v je řešením počáteční úlohy pro homogenní parabolickou rovnici na polopřímce s homogenními okrajovými podmínkami dv lít , d2v dx2' f (0, x) = exp (--, ] sin /2a2 v(t, 0) = 0, / \v(t, x)\dx < oo, o 2a2 t > 0, x > 0, x > 0, t > 0. Podle (4.55) je tedy řešení úlohy dáno formulí u{t, x) = exp /2a2 sin t /2a2 VVa2t exp x2+e e 4a2í /2a2 /2a2 cosh —f-d£. 2a2í ^ Ještě si můžeme povšimnut, že lim (u(t,x) - U(t,x)) = 0; řešení dané úlohy je asymptoticky ekvivalentní s „uhodnutou" funkcí U. V historické aplikaci parabolické rovnice uvedené od str. 111 uvidíme, že funkce U vyjadřuje speciální případ prvních dvou Fourierových zákonů vedení tepla. ■ 108 4.1.6 Úloha bez počátečních podmínek Nejprve si všimněme, že pro téměř všechny zřídlové funkce G uvedené v Tabulce 4.1 (výjimkou je funkce G pro homogenní Neumannovu úlohu na úsečce), platí vztah lim G(t, x, £) = 0 pro všechna (x, £) eR2. To znamená, že po „dostatečně dlouhém čase" bude hodnota integrálu ip(Z)G(t,x,Z)dt ve vyjádření řešení úlohy (4.79)-(4.81) rovností (4.82) zanedbatelná. Jinak řečeno, řešení úlohy v „dostatečně dlouhém časovém horizontu" nezávisí na počáteční podmínce, v průběhu času vymizí informace o počátku. Systém s takovou vlastností - jeho vývoj za dlouhý časový interval nezávisí na počátečním stavu - se nazývá ergodický. Dosud jsme hledali řešení parabolické rovnice, které splňovalo nějakou počáteční podmínku, tj. znali jsme stav v počátečním čase t = 0. Tato informace však nemusí být vždy dostupná, zejména pokud proces popsaný parabolickou rovnicí pozorujeme v čase dlouho od jeho začátku. Vzhledem k ergodičnosti však počáteční stav nemá na vývoj systému už nějaký podstatný vliv. Konkrétně: Teplota na zemském povrchu v průběhu dne i v průběhu roku kolísá. Toto kolísání lze v prvním přiblížení považovat za periodické. Budeme modelovat šíření periodických teplotních změn v zemi, kterou budeme považovat za homogenní poloprostor; budeme ho charakterizovat jedinou souřadnicí x, hloubkou pod povrchem. Při mnohonásobném pravidelném opakování teplotních změn na povrchu bude vliv počáteční teploty menší, než vlivy, které zanedbáváme (např. nehomogennost půdy, odchylky od přesné periodičnosti průběhu povrchové teploty a podobně). Teplotu v čase íav hloubce x označíme u{t, x). Vnitřní zdroje tepla v půdě (např. geotermální energii) neuvažujeme. Proto bude vývoj teploty popsán homogenní parabolickou rovnicí du 9<92w . Tt=a^ (4'86) kde a2 vyjadřuje koeficient teplotní vodivosti půdy. Teplota na povrchu bude vyjádřena okrajovou podmínkou u(t,0) = n(t), (4.87) kde n je nějaká spojitá periodická funkce. Jakožto spojitá periodická funkce je /i také ohraničená, tj. existuje nějaká hodnota M, že \n(t)\ < M pro tel. Teplota půdy v dlouhodobém časovém horizontu nemůže překračovat nejvyšší teplotu na povrchu a nemůže klesnout pod jeho nejnižší teplotu (poněvadž neuvažujeme žádné vnitřní zdroje tepla nebo chlazení). Proto budeme hledat řešení, které splňuje podmínku ohraničenosti \u(t,x)\ < M pro t e R, x > 0. (4.88) Hledáme tedy funkci u : [0,oo) xl-íl, která splňuje rovnici (4.86) a podmínky (4.87), (4.88). Poněvadž funkce /i je spojitá a periodická, můžeme ji vyjádřit ve tvaru absolutně a stejnoměrně konvergentní Fourierovy řady5 oo n(ť) =--h (a,k cos kuít + bk sin kuíťj; fe=i 5 Pokud uvažujeme roční kolísám teploty, je u> = 2-ľr/rok. 109 přitom 2-it/ĺu 2-it/u. ak = — / /j,(s) cos kujsds, k = 0,1,2,..., bk = — / /i(s) sin kujsds, k = 1,2,.... (4.89) 7ľ J 7ľ J o o Je zřejmé, že pokud funkce Vi splňují rovnici (4.86) s okrajovými podmínkami f i (í, 0) = fi(t), i = 1,2, pak také jejich součet v = v i + v 2 splňuje rovnici (4.86) a navíc okrajovou podmínku v(t, 0) = (fi(t) + (^2(í)■ Proto budeme řešení naší úlohy (4.86), (4.87), (4.88) hledat ve tvaru 00 00 u(t,x) = ^vk(t,x) + ^wk(t,x), k=0 k=l kde všechny funkce vk, wk splňují rovnici (4.86), jsou ohraničené a splňují okrajové podmínky vk(t,0) = ak cos kujt, k = 0,1,2,..., (4.90) wk(t, 0) = bk sin kut, k = 1,2,.... (4.91) Nejprve však najdeme ohraničené řešení pomocné úlohy dv „ d2v m ¥=aV< íeK<*>°< (4.92) v{t,0) = akéku,t, íeR s komplexní okrajovou podmínkou. Snadno ověřme, že reálná část řešení této úlohy je také řešením úlohy (4.86), (4.90). Řešení úlohy (4.92) budeme hledat v exponenciálním tvaru v(t,x) = akeat+^. Pak je v(t, 0) = akeat a porovnáním s okrajovou podmínkou v úloze (4.92) vidíme, že a = iku. Dále ^(t,x) = aake^*, ^(t,x) = ^akc^\ takže po dosazení do rovnice v úloze (4.92) a snadné úpravě dostaneme a = a2 j32. Odtud a2j32 = iku. Z této kvadratické rovnice s komplexními koeficienty vypočítáme „ , kuj č = ±(l + ih/^ Dostáváme tak řešení pomocné úlohy (4.92) ve tvaru v(t,x) = ak exp ( ikut ± (1 + ^ xj= flfe exp ( ±V ~2~a? ] 6XP i I kut ± \ I —- x 2a 2 Z tohoto vyjádření je zřejmé, že řešení se znaménkem „+" je neohraničené; vyhovuje tedy tedy pouze funkce se znaménkem „—". Proto omezené řešení úlohy (4.86), (4.90) je reálnou částí posledního výrazu, v němž místo symbolu „±" píšeme znaménko „—", tj. vk(t, x) = ak exp I -d x J cos ( kut - Jx Analogicky najdeme ohraničené řešení úlohy (4.86), (4.91) ve tvaru wk(t, x) = bk exp ( -\j ^ x j sin í kut - \J^ x 110 Celkem tak dostáváme řešení úlohy (4.86), (4.87), (4.88) ve tvaru nekonečné řady fe=i kuj 2a2 kuj ßfe cos kut — \ —- x + bk sin kut — \ —- x 2a kuj 2a2 kde koeficienty a^, bk jsou dány integrály (4.89). Výraz v hranatých závorkách můžeme upravit6 a výsledek zapsat ve tvaru (t,x) = y + ^2 Ak{x) cos kuj(t - Sk(x)), k=l kde Ak(x) exp kuj 2Ú2 V4 + bt a2 + b\ ± 0, jinak, Sk(x) 1 1 +■ bk u. n — arctg—, ak^0, kU! ßfe 2ka2uj tt ■ 2kü' ßfe = 0. Klasická aplikace: Teplotní vlny Úloha o vedení tepla v půdě je jedním z prvních příkladů užití matematické teorie tepla. Za zjednodušujících předpokladů ji řešil již Joseph Fourier7. Předpokládal, že teplota na povrchu v průběhu roku (čas vyjadřoval ve dnech) je rovna součtu průměrné roční teploty a teploty specifické pro den, která je úměrná výšce Slunce nad obzorem za poledne. Pokud se tedy čas t počítá od okamžiku letního slunovratu, je povrchová teplota vyjádřena funkcí /i(í) = T + jcosujt, kde T je průměrná roční teplota, 7 je příslušná konstanta úměrnosti a frekvence uj má hodnotu 2^ a -1 uj = -den 365,26 Při této volbě tedy je ap = 2T, a\ = 7, a2 = a3 = ■ ■ ■ = 0 = b\ = b2 = ■ ■ ■ a řešení úlohy : a dt dx2' m(í,0)=T + 7cosu;í, \u(t, -)| < \T\ + |7| t e í G M, x > 0, je dáno výrazem u{t, x) = T + 7e Označme cos üjt — 2a2 x 1 = T + 7e V cos uj \ t — a (x) = 1 2a2u) A(x) = 7e Řešení nyní můžeme zapsat ve tvaru u(t, x) = T + A(x) cos uj(t — a{xj) 1 ■ sin íp. bPři výpočtu používáme vzorce cos(cp — arctg f) = —, cos ip + ,_ 7J. Fourier: Theorie analytique de la chaleur. Firmin Didot Pere et Fils, Paris 1822. 2a2u} 111 a interpretovat ho jako šíření teplotních vln v půdě. Přitom A{x) vyjadřuje amplitudu kolísání teploty v hloubce x, a{x) vyjadřuje opožďování a{x) maxim (minim) teplot v hloubce x od příslušných okamžiku na povrchu. Výsledek lze také přepsat pomocí periody t = — kolísání Lú povrchové teploty jako u(t, x) = T + A(x) cos — (t — a(x)); při tomto zápisu je A(x) = -fe~i\^x, a(x) = -^-J-x. Za y ir Mění-li se po dlouhou dobu periodicky teplota na povrchu, nastává v půdě kolísání teploty s toutéž periodou. Přitom platí: 1. Amplituda A{x) kolísání teploty v hloubce x klesá exponenciálně s hloubkou; rostou-li hloubky s aritmetickou posloupností, klesají amplitudy s geometrickou posloupností (první Fourierův zákon). V hluboké studni nebo v jeskyni je dlouhodobě téměř konstantní teplota přibližně se rovnající průměrné roční teplotě na povrchu. 2. Teplota v půdě kolísá s jistým fázovým zpožděním za kolísáním teploty na povrchu; opožďování a{x) teplotních extrémů v hloubce x je úměrné této hloubce (druhý Fourierův zákon). V hloubce x se teplotní extrém projeví za čas a{x) od jeho výskytu na povrchu, což lze chápat i tak, že teplo se v půdě šíří konstantní rychlostí a(x) V2c a*-. Poznamenejme, že tato rychlost má formálně stejné vyjádření, jako rychlost difundující látky vznikající autokatalytickou reakcí (viz str. 96nn), přičemž reakční rychlost odpovídá poloviční frekvenci kolísání teploty. 3. Hloubka pronikání teploty do půdy závisí na periodě kolísání teploty na povrchu. Relativní změna amplitudy v hloubce x je rovna 7 při kolísání povrchové teploty o periodách t\ a t2 budou hloubky x\ a x2, ve kterých dochází ke stejným relativním změnám teploty, v poměru El - FĚl xi V Ti ' (třetí Fourierův zákon). 112 Kapitola 5 Eliptické rovnice 5.1 Rovnice ve dvou proměnných Kanonický tvar eliptické rovnice ve dvou proměnných s konstantními koeficienty je podle 2.1.2 u + uyy = cu + f (x, y). xx i ^yy Pokud je c = 0, nazývá se tato rovnice Poissonova, pokud je navíc / = 0, rovnice se nazývá Laplaceova. Laplaceova rovnice uxx + uyy = 0 je „svým způsobem" rovnicí vlnovou utt = a2uxx. Pokud totiž zavedeme novou „časovou proměnnou" y vztahem y = iat, kde i je imaginárni jednotka, dostaneme utt = —a2uyy a po dosazení do vlnové rovnice a vykráčení konstatnty a2 dostaneme rovnici Laplaceovu. Poněvadž jsou tedy Laplaceova a vlnová rovnice formálně identické, můžeme přepsat formuli (3.12) a dostaneme generické řešení eliptické rovnice ve tvaru u(x, y) = F(x + iy) + G (x - iy). Argumenty funkcí x + iy a x — iy jsou čísla komplexně sdružená. Proto můžeme generické řešení Laplaceovy rovnice psát stručně u(x,y) = F(x+ iy), (5.1) kde F je nějaká, obecně komplexní, funkce komplexní proměnné. Teorie Laplaceovy rovnice tedy úzce souvisí s analýzou v komplexním oboru. Tento zajímavý směr však nebudeme v tomto textu dále sledovat. Laplaceova rovnice má v polárních souřadnicích r, ip tvar 1 d ídu\ _|_ 1 d2w _ Q ^ ^ r dr \ dr J r2 dp2 ' viz Dodatek Cl. V radiálně symetrickém případě, tj. když hledaná funkce závisí pouze na průvodiči r, nikoliv na úhlu p, je uvv = 0 a Laplaceova rovnice nabývá tvar — (r—\ = 0 dr \ dr J To je obyčejná diferenciální rovnice, kterou snadno vyřešíme dvojí integrací, u(r) = Aliir + B, kde A, B jsou integrační konstanty. Radiálně symetrická řešení Laplaceovy rovnice jsou tedy konstanta a logaritmus. 113 5.1.1 Okrajová úloha na obdélníku Budeme hledat řešení eliptické rovnice s konstantními koeficienty na obdélníku (0, a) x (0, 6), uXx + uyy = cu + f (x, y), 0 < x < a, 0 < x < b, (5-3) která splňuje Robinovy okrajové podmínky homogenní a0u(0,y) +/30ux(0,y) = 0 = a>iu(a,y) + j3iux(a,y) 0 < y < b, (5.4) 7oit(x, 0) + ÔQUy(x, 0) = 0 = 7iu(x, b) + 5\uy{x, b) 0 < x < a, (5-5) nebo nehomogenní a0u(0,y) + í30Uy(0,y) =/j,0(y), axu(a, y) + fixUy(a, y) = m(x), 0 < y < b, (5.6) 7om(x, 0) + S0uy(x, 0) = vq{x), ryiu(x,b) + Siuy(x,b) = ľi(x), 0 < x < a, (5.7) kde oíq, a\, /3q, 70,71, Ôq, Si jsou reálné parametry. Nehomogenní rovnice s homogenními okrajovými podmínkami Nejprve se podíváme na rovnici (5.3) s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami (5.4), (5.5). Podobně jako u metody separace proměnných budeme řešení hledat ve tvaru součinu dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na nezávisle proměnné x a druhá pouze na proměnné y, tedy u(x, y) = v{x)w{y). Navíc budeme požadovat, aby tento součin splňoval dané homogenní okrajové podmínky. Takové vlastnosti mají funkce, které jsou řešením Sturmových-Liouvilleových úloh —v" + cv = Xv, 0 < x < a, (5.8) a0v(0) + /w(0) = 0 = alV(a) + /w(«) (5.9) a —w" = kw, 0 < y < b, (5.10) 70w(0) + 50w'(0) = 0 = 7iw(Ď) + 5lW'(b). (5.11) Každá z těchto úloh má podle B.2 spočetně mnoho řešení Vk,wi, indexy jsou z nějakých indexových množin k G /, l G J; tento poněkud komplikovaný zápis používáme proto, že v některých situacích je vhodnější vlastní čísla a funkce číslovat od jedničky, v jiných od nuly. Každý součin vi-wi splňuje okrajové podmínky (5.4) a (5.5) a také libovolný součet takových součinů je splňuje. Řešení úlohy (5.3), (5.4), (5.5) tedy formálně vyjádříme jako dvojnou nekonečnou řadu u(x,y)= £ Akivk(x)wi(y). (5.12) kei,ie.J Pokud taková řada konverguje absolutně a stejnoměrně na oblasti [0,a] x [0,6], pak uvnitř této oblasti platí ^xx ^yy = 2~Z A,d (vi'Wl + vkwľ) - £ cAkiVkWi = ^ Aki [(v1,' - cvk) Wl + vkw"] = kei,iej kei,iej kei,iej = £ AM {-\kvkwi - vkKiwi) = - ^ Akl(\k + Ki)vkwi, (5.13) kei,iej kei,iej neboť všechny funkce vk a wi jsou řešením rovnic (5.8) a (5.10). Předpokládejme, že funkce / v rovnici (5.3) je z prostoru £2 ((0, a) x (0, 6)). To není z hlediska aplikací žádné omezení. Pak funkci f(-,y) lze pro každé y G (0,6) vyjádřit ve tvaru Fourierovy 114 řady vzhledem k orthogonální posloupnosti funkcí {ffc} a anologické tvrzení platí i pro funkci f(x, ■) a posloupnost {wi}. Můžeme tedy psát kel b vk(x) = f(Š,v)vk(Owi(v)drid£; vk(x)wi(y). (5.14) kelJeJ \\wi\\ J J J Výrazy (5.13) a (5.14) dosadíme do řešené rovnice (5.3), - ^ AM (Afe + ki) vk(x)wi (y) = kei,ie.J = E In II21,, „2 / [ f(t,v)MO™i(v)dridAvk(x)Wl(y). (5.15) kenej \M M { { ) Porovnáním koeficientů nyní dostaneme, že a b Aki = -—.— ~1„2„ „2 I I /(& v)MOMv)dvdd, kei,ieJ, \k + Kiž o. (5.16) (Afe + «i) IKII ||wí| o o Pokud tedy jsou vlastní čísla Afe a úloh (5.8) a (5.10) taková, že Afe + k; 7^ 0 pro všechna k, l, pak jsou všechny koeficienty dvojné řady (5.12) jednoznačně určeny nehomogenitou /. Dále, všechny vlastní funkce vk, wi jsou goniometrické (viz Tabulku B.l) a tedy omezené. Pokud navíc alespoň dva v každé čtveřici koeficientů oíq, a\, /3q, [5\ a 70,71,^01^1 Jsou nulové, pak snadno vidíme, že výrazy ve jmenovateli zlomku na pravé straně rovnosti (5.16) divergují do nekonečna „zhruba stejně rychle jako druhá mocnina přirozených čísel". To znamená, že v takovém případě řada (5.12) konverguje absolutně a stejnoměrně. Závěr z provedených úvah lze formulovat poněkud vágně (ale zřejmým způsobem ho precizovat): úloha (5.3), (5.4), (5.5) může mít řešení ve tvaru sumy součinů dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na nezávisle proměnné x a druhá na y. Takové řešení je dáno řadou (5.12), její koeficienty jsou určeny rovnostmi (5.16), kde Afe, vk a k;, wi jsou vlastní čísla a vlastní funkce Sturmových-Liouvilleových úloh (5.8) a (5.10). Provedená úvaha samozřejmě nic neříká o tom, zda úloha může mít jiná řešení, neříká nic o jednoznačnosti řešení; k tomuto problému se vrátíme v 5.2.1 Pokud se řešení úlohy nepodaří uvedeným způsobem najít, zase to nic nevypovídá o existenci řešení. Příklad. Najdeme řešení Poissonovy rovnice na obdélníku Í2 = (0, a) x (0,b) u + uyy = f(x,y), 0 < x < a, 0 0} , I0 = {k : \k = 0} , /_={&: Afe < 0} ; množina Iq je jednoprvková nebo prázdná, množina J+ je konečná nebo prázdná. Pro další výpočty budeme předpokládat, že I— =/= 0 a existuje index kg G Iq. Postup hledání řešení v ostatních případech je stejný, jen poněkud jednodušší. Nalezená vlastní čísla dosadíme do druhé části rovnosti (5.23) a dostaneme obyčejné lineární rovnice druhého řádu Y//-\kYk = Q, kel+UloUl- Obecné řešení těchto rovnic je ÍAk cos v'IAi I y + Bk sin y/\Xi\y, kel-, Ako + Bkoy, Ak cosh vXTy + Bk sinh vXTy, k el+. 117 Podobně jako při řešení hyperbolických a parabolických rovnic metodou separace proměnných nyní napíšeme řešení úlohy (5.21), (5.5), (5.7) ve tvaru nekonečné řady se zatím neurčenými koeficienty l(x, V) = {Ak cos V\^k\y + Bk sin vTÄfcjz/) vk(x) + (Ako + Bkoy)vko(x)+ + ^2 [Ak cosh \/\^y + Bk sinh \/\^y)vk(x). keU kei- Tato funkce splňuje rovnici (5.21) a homogenní okrajovou podmínku (5.4). Derivace podle proměnné y je dána vztahem ,j(x, y) = ^2 V7 I'M y-Ak sin V\^k\ y + Bk cos \/\Xk\yj vk(x) + Bkovko (x)+ + 5ľ \^ [Ak sinh y/\^y + Bk cosh y/\^y) vk(x). keu kei- Vyjádření funkce u a její derivace uy dosadíme do nehomogenní podmínky (5.7) a přitom funkce vq, v\ rozvineme do Fourierových řad s bázovými funkcemi v\, f2, f3,.... Dostaneme (7o^feo + S0Bko)vko (x) + J2 (jo^fc + S0 vW^fe j vk(x) = J2 CkVk(x) kei+ui- fe=i ^ (71 (Ak cos \/\\k\ b + Bk sin \/\\k\ b) — 61 \/\\k\ (Ai sin \/\\k\ b — Bk cos \J\\k\ &)) vk(x) + kei- + (liAko + SiBkob)vko(x)+ + ^2 (t1 (^fc cosn \^kb + Bk sinh \f~\kb) + Si \/\k(Ai sinh \/\k~b + Bk cosh x/A/Tď) j vk (x) = fce/+ OO = y^Dfc«fc(a kde IMľ IMľ & = 1,2,3, Z jednoznačnosti koeficientů Fourierových řad dostaneme soustavu algebraických lineárních rovnic pro koeficienty A1,A2,A3,... ,Bi,B2,B3,...: 7o^4fe0 + SoBk0 = Ck0, 7oAfe + S0\\k\Bk = Ck, keI-Ul+ (71 cos \/\\k\ b — Si\/\\k\ sin \7|Afe fej Afe + (71 sin \7|Afe 6 + 6i\/\\k\ cos \7|Afe fej £>fe = Dfe, k £ I- fi Ak0 + 5k0bBk0 = -Dfe0, (71 cosh \/\k~b + Si\/\k~smh \/\k~bj Ak + (71 sinh \f~\kb + Si \7%T cosh \/\k~bj Bk = Dk keU Z lineární algebry víme, že tato soustava může být jednoznačně řešitelná, mít nekonečně mnoho řešení nebo být neřešitelná. A také víme, za jakých podmínek k tomu dojde. Z provedených výpočtů tedy vidíme, že pro úlohu (5.21), (5.4), (5.7) metoda separace proměnných může - ale nemusí - vést k řešení, nebo může najít nekonečně mnoho řešení. 118 Příklad. Budeme řešit Neumannovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na obdélníku uXx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, ux(0,y) = 0 = ux(a,y), 0 < y < b, uy(x, 0) = vq{x), uy(x, b) = ľi(x), 0 < x < y. V tomto případě separace proměnných u(x,y) = X{x)Y{y) vede na Sturmovu-Liouvilleovu úlohu -X" = XX, 0fc}fcLi, , ^ ^ kir , , „ 2 oo 0 ÁV) = 22Ck sin—y, kde Ck = - / n0(r])sm— rjárj, k = 1,2,3, í--1 J fe=i 0 oo b Mi(y) = z2DkSm—y, kde Dk = - / [i0(n)sm — rjárj, k = 1,2,3, 1--1 J fc=l Nalezená formální vyjádření funkcí ííi, /íq a \i\ dosadíme do nehomogenních podmínek oo h °° k ui (o, y) = Y (Ak + Sfe)sin ~y = Ck sin ~y' fe=i fe=i oo ^ oo ^ mi (a, y) = Y {Ake^a + Sfee"tta^) sin -^-y = ^ Dk sin -^-y k=l k=l 121 a dostaneme soustavy lineárních algebraických rovnic pro zatím neurčené koeficienty Ak, Bk, Ak+ Bk = Ck, eĚ?aAk+e-Ě?aBk = Dk, k = 1,2,3,..., které mají řešení Ak = 0 . } kw ÍDk - Cke-^a) , Bk = , 1 kw (Cke^a - Dk) , k = 1,2,3,.... 2sinh^a V / 2smhif1aV / Nyní nalezené výrazy dosadíme do formálního vyjádření funkce iii a po (snadné, ale poněkud pracné) úpravě dostaneme . , 1 f . , ^ 1 - e- — ^x-a' kir kir , u1(x,y) = -- J^oiv)}^-siIůlh2Lb sm—ysm—r?dr?+ 1 ľ 1 + e2^Lx kir kir + 6 y wfo) 1, —pít; sm Ty s- Tv*i- o Druhou „sub-úlohu" Au2 = 0, Q < x < a, Q < y -. . fc_- sin —x sin —£ dí?H a J j—* smh^ a a a o fe-1 1 ľ , .x v-^ 1 + e2^41 . kir . kn + - / MO ]> . 1 fc7r sm—2:8111—£d£-a J f—' smh ^a a a fe=i 6 Řešení dané úlohy je součtem funkcí u\ a u2. ■ Uvedený postup však nevede k cíli vždy. V takovém případě lze řešení úlohy (5.21), (5.6), (5.6) hledat ve tvaru u{x, y) = U(x, y) + w(x, y), kde funkce U splňuje nehomogenní okrajové podmínky (5.6), (5.7) a funkce w splňuje nehomogenní rovnici wxx + wyy = cw + cU(x, y) - Uxx(x, y) - Uyy(x, y), Q < x < a, 0 0 a funkce g je spojitá. 122 Úlohu transformujeme do polárních souřadnic x = r cos (p, y = rsin{p) + -X'{r){p) + \x{r)"{p) = 0 a po vynásobení výrazem ———-—- a jednoduché úpravě X{r){p) X^ Xir)__^{pl r X(r) + X(r) - ' ( ' Výraz na levé straně závisí pouze na proměnné r, výraz na pravé straně pouze na proměnné p a to znamená, že oba výrazy jsou rovny nějaké konstantě. Poněvadž z odvozených okrajových podmínek je homogenní ta periodická pro proměnnou p, potřebujeme jako samoadjungovanou rovnici pro funkci <í> = $(p). Tato funkce je tedy řešením okrajové úlohy s periodickou podmínkou = a$, e r, $(p) = $(p + 2tt), (p e r. Podle Příkladu 2) v B.2 má tato úloha netriviální řešení pouze pro vlastní čísla a = \n = n2, n G N U {0}. Toto řešení je n(tp) = an cosnp + bn sin np, n = 0, 1, 2,. .. . Získané hodnoty \n = n2 dosadíme do relace (5.34) a příslušné funkce X rozlišíme indexy. Dostaneme tak rovnici r2X^(r) + rX'n(r) - n2Xn(r) = 0. 123 Jedná se o Eulerovu rovnici, která má řešení1 Xn{r) = co + do ln r, pro n = 0, cnrn + dnr~n , pro n > 0. Kdyby pro nějaké n G {0,1,2,...} bylo dn =/= 0, pak by lim |X„(r)| = oo a nemohla by být 1--5-0+ splněna podmínka (5.32). Je tedy dn = 0, n = 0,1, 2,... a X„(r) = c„r™, n = 0,1, 2,.... Obecné řešení úlohy (5.30), (5.33), (5.32) je lineární kombinací součinů funkcí <ř„ = Vn{p) a Xn = Xn(r), tj. oo u{r, p) = cloCo + ^2 c™r™ (an cos n 0. 124 Integrovanou řadu lze explicitně sečíst2 a tak dostaneme řešení transformované úlohy (5.30), (5.31), (5.32), (5.33) ve tvaru 2tt 2 2 u(r, p) = ± J f(°)R2_2Rfcos{ra_v)+r2^ P«> r < R> "(r> *0 = /(*>), P™ r = R. o (5.36) Výraz 2-ir 2 2 h Jí{a)R2-2R?coZ-v)+r2áa (5'37) o se nazývá Poissonův integrál, výraz R2 -r2 K(r,p,R,cr) = 2 R2 — 2Rr cos(ít — p) + r se nazývá Poissonovo jádro. Nakonec se vrátíme k původním proměnným, tj. provedeme zpětnou transformaci „2 ..... - y r = ^x2+y*, cosp=^= smp- - y/xz + yz y'x^ + y2 Pak je R2 — 2Rr cos(ít — p) + r2 = R2 — 2i?r(cos cr cos p + sin cr sin p) + r2 = = x2 + y2 - 2R(xcoso- + y sin cr) + i?2(cos2 a + sin2 cr) = (x — i? cos cr)2 + (y — i? sin cr)2. Řešení úlohy (5.28), (5.29) je tedy 2-ir . R2 -x2 -y2 t , . iídcr l(x>y) =-^- g(Rcoso-,Rsmo-)-----—-—--. (5.38) 2-kR J (x — R cos o)1 + (y — R sin cr)2 o Hodnoty integrovaného výrazu jsou definovány na hraniční kružnici se středem v počátku a poloměrem R, výraz iídcr je délkovým elementem oblouku této kružnice. To znamená, že integrál je 2 Výraz cosn(cr — p) je reálnou částí komplexního čísla eln(CT f \ tedy (^) c°sn(°" - v) n—1 je reálnou částí výrazu í_\ ei»(o—v) = y^ ' > R R rR-re^-v) ' 1-- i? r(cos(cr — p) + isin(cr — ip)) r(cos(cr — ip) + isin(cr — ) = 7t~ / fi^-^ä—75-7-7~;—2díJ' pro r > R> m(r' v3) = /OŕO, pro r = R 2ir J Rz — 2Rr cos(ít — p) + rz o a v kartézských souřadnicích x2 + y2 — R2 f g (R cos cr, R sin cr) u(x,y) = - /--—-;-ľrrdíT. V 2tt J (x - R cos cr)2+ (y - R sin cr)2 o 5.1.3 Jednoduché harmonické funkce V oddílu 5.1.2 jsme odvodili, že řešení Laplaceovy rovnice na kruhu má v polárních souřadnicích tvar (5.35). Je to lineární kombinace funkcí r^cosni^, n = 0,1,2,... a r^sinni^, n =1,2,3,.... (5.43) Skutečnost, že jsme řešili úlohu na kruhu není podstatná. Snadno se přesvědčíme, že všechny tyto funkce jsou řešením Laplaceovy rovnice v polárních souřadnicích urr + -ur + —iiw = 0. (5.44) Funkce (5.43), které také můžeme vyjádřit jako polynomy v kartézských souřadnicích, se nazývají jednoduché harmonické funkce. Několik prvních jednoduchých harmonických funkcí je uvedeno v následující tabulce: u(r, p) 1 r cos ip r sin ip r2 cos 2p r2 sin 2p r3 cos 3p r3 sin 3p u(x,y) 1 x y x2-y2 2xy x3 - 3xy2 3x2y -y3 ... Jednoduché harmonické funkce lze někdy využít k řešení úloh pro Laplaceovu rovnici na omezené oblasti. Nechť fž C M2 je omezená oblast (souvislá množina s neprázdným vnitřkem) a s hranicí, která je po částech algebraickou křivkou (je vyjádřena pomocí polynomů) stupně nejvýše n. Na hranici díl jsou zadány nějaké okrajové podmínky, Dirichletovy také jako polynomy stupně nejvýše n, Neumannovy jako polynomy stupně nejvýše n — 1. V takovém případě lze řešení úlohy hledat jako lineární kombinaci jednoduchých harmonických funkcí až do stupně n. Příklad. Budeme řešit úlohu na obdélníku uXx + uyy = 0, 0 0, plyne odtud, že du x 2 du dQ Z první rovnosti plyne, že ^1 = 0 pmxedn du a ze druhé, že u (x) = const pro a; G íl. Vzhledem k rovnosti (5.49) a ze spojitosti funkce m na íl to znamená, že u (x) = 0 pro cc G íl, tedy funkce u\ a u2 splývají. Platí tedy: Tvrzení 6. Všechna řešení Neumannovy úlohy (5.45), (5.46) s a = 0 se liší o aditivní konstantu. Všechna řešení úlohy (5.45), (5.46) sq^0< aP, která jsou spojitá na Ú, jsou shodná; úloha má nejvýše jedno řešení. 5.2.2 Harmonické funkce Buď íl C R™ oblast (otevřená souvislá množina) s rozumnou hranicí (množina bodů hranice, ve kterých k ní neexistuje tečný prostor, má nulovou míru). 130 Definice 1. Funkce u : íl —> R se nazývá harmonická, pokud má spojité parciální derivace druhého řádu, na oblasti fž splňuje Laplaceovu rovnici Au = 0, x e n a pokud je fž neohraničená, platí navíc limsup \x\n~2u(x) < oo. (5.51) \x\—>oo Zavedeme ještě několik označení, která budou užitečné v následujících úvahách: &x = {?/<= Rn : \x — y\ < a} — otevřená koule se středem x a poloměrem a, S% = dB%, = {ye R™ : \x — y\ = a} — sféra se středem x a poloměrem a, \^x \ — (n — l)-rozměrná míra sféry S®. Pro míru sféry platí \S%\ = a," 11yS'jJ,| a míra c„ jednotkové sféry v prostoru R™ je dána vztahy 2irk 22k+1k\irk c2k — 77-7T7> c2fe+i — (jfc-l)!' {2k)\ ' zejména tedy c\ = 2, C2 = 2tt, c% = 4tt. Fundamentální harmonické funkce Budeme hledat funkce, které jsou harmonické v celém prostoru R™ s výjimkou počátku souřadnic a které jsou navíc sféricky symetrické, tj. jejich hodnota v bodě x závisí pouze na vzdálenosti \x\ tohoto bodu od počátku. Řešíme tedy úlohu Au = 0, iel"\ {o}, (5.52) u(x)=u(\x\), xeRn\{o}. (5.53) Úlohu budeme transformovat do n-rozměrných sférických souřadnic r, ipi, if2, ■ ■ ■, „_2 cos ipn-\, xn =r sin v?„_i. Pak platí M2 =aľ? + aľ?H-----\-xl =r2 a derivováním tohoto vztahu podle Xi dostaneme ^ dr 2xl = 2r— dxl takže dr — - El a d2r - r Xl dxi dxi r dx2 r2 131 Pro transformaci Laplaceova operátoru si nejdříve uvědomíme, že z podmínky symetrie (5.53), tj. ze závislosti funkce u pouze na průvodiči, nikoliv na úhlech, plyne nulovost derivací funkce u podle úhlů, du -^=0, j = 1,2,...,n-1 dipj a proto du dxt n n n—l ar ou ^—^ dxi dr ^-^ dtpj du dxi dtpj dr du dxi dr a dále d2u d / dr du\ d2r du dr d du d2r du / dr \ 2 d2u dx2 dxi \dxi dr J dxf dr 1 dxi dxi dr dxf dr \ dxiJ dr2 — x2 du ^»3 (^y* 2 d2u dr2 Odtud dostaneme vyjádření Laplaceova operátoru r2 — x2 du d2u nr2 — r2 du d2u n — 1 du i=i r n 2 02 a \ - xf d^u \ -Au = J2^dr^+J2- i=l ^»3 (^y* (^y*^ dr dr2 r dr Rovnice (5.52) transformovaná do sférických souřadnic je tedy d2u ^ n — 1 du q nebo v samoadjungovaném tvaru d_ dr 2-i du dr = 0. (5.54) Podmínka ohraničenosti harmonické funkce shora (5.51) má ve sférických souřadnicích tvar lim sup rn 1u{r) < oo. í—>oo (5.55) První integrací rovnice (5.54) dostaneme du dr — rX~nC kde Cn je integrační konstanta, druhou integrací dostaneme 'r>i + Cir, i(r) =Dn + Cn J s^ás = < D2 + C2 lnr. 2-n n = 1, n = 2, n > 3. Aby byla v případě n = 2 splněna podmínka (5.55), musí být C2 < 0. Nehledáme všechny sféricky symetrické harmonické funkce definované na R™ \ {o}, stačí nám jedna z nich. Zvolíme Dn = 0 a Cn = — 1 pro n = 1, 2, 3,.... Vrátíme se ke kartézským souřadnicím. Poněvadž r = \x\, nalezené řešení úlohy (5.52), (5.53) je tvaru / 1 n = 2, u(x) lnR' 1 1 .n-2 \x\n-2'' 132 2. Harmonické funkce vyjádřené předchozí formulí jsou harmonické všude s výjimkou jediného bodu, konkrétně počátku souřadnic. V tomto bodě nejsou pro n > 1 definovány, pro n = 1 je zde funkce nediferencovatelná. Tuto skutečnost vyjadřujeme frází, že nalezené funkce mají singularitu v bodě x = o. Tím je motivováno zavedení následujícího pojmu: Definice 2. Fundamentální (nebo elementární) harmonické funkce se singularitou v bodě y G R™ jsou pro každé x G R™, x =/= y definovány vztahem ln- 1 v(x,y) = < \x-y\ 1 1 Kn — 2\x — y\' n = 2, n ^ 2. Poznamenejme, že fundamentálni harmonické funkce bývají někdy pro n^2 definovány bez faktoru - a pro n = 1 se definuje v(x,y) = —\x — y\. Pro n G {1,2,3} obě možné definice n — 2 splývají. Ukážeme několik vlastností fundamentálních harmonických funkcí. 1. Fundamentální harmonické funkce jsou symetrické ve svých proměnných, v(x,y) = v(y,x). d2v(x,y) ^d2v(x,y) 2. Axv(x,y) = J2- dx2 = 0 a Ayv(x,y) = ■ dy2 = 0, i=l 1 i=l tedy fundamentální harmonická funkce je v obou proměnných harmonická na svém (klasickém) definičním oboru R2n \{(£,T)) £ = T)}. 3. Nechť y G S% a v = v(y) je jednotkový vektor vnější normály ke sféře S% v bodě y. Pak dv(x,y) 1 dv(y) a™-1 Důkaz: Vektor v je dán výrazem v = —(y — x), takže jeho souřadnice jsou ví = —--. a a Vzdálenost bodů a; a y je a=\x-y\ a proto je jeho derivace podle i-té proměnné d\x-y\ _ -2(xí -yi) dyi %i y i \x-y\ Pro n = 2 tak dostáváme dv(x,y) d , s -l^- = 0yS-lnlX-yl) a pro n =/= 2 dv(x,y) 1 3L ^_|2_„ _ \x - y\ \x - y\ \x - y[ dVi n — 2 dyi \x-y 1 /r, M íl— n I Xi V i (l-n)\x-y\ n-2 133 a" x% y% Celkem dostáváme dv(x,y) du{y) = Vyv(x, y) ■ v{y) = ^ —---— = -— ^(Xi - Vi) \x - y\ nn+l což po snadné úpravě dá dokazovaný vztah. □ /dv(x ■) —-y—dS = — \Sl,\; přitom IS1^ označuje (n — l)-rozměrnou míru sféry S^, (délku kružnice, obsah kulové plochy, .. .). Důkaz: Podle předchozího výsledku je dv(x, ■) což je dokazovaná rovnost. 1 dS= /--r dS =--t\Sx\ =--ta"~ / \ n"-l / „1-1 1 x 1 nn-l 1 x" ((-a]na)\Sl\, n = 2, 5. v(x,-)dS=< a tedy lim v(x,-)dS = 0. Důkaz: Pro n = 2 dostaneme y t>(cE, • )dSl = — J ln |cc — y\dSy = — ln a J dS = (— ln a)2iTa, a pro n =/= 2 Sv{*-)áS=é-2 S dSu 1 1 _ y|n 2 n — 2 a™ 2 S: dS = 1 1^1 . n - 2 a™-2 ' z toho již bezprostředně plyne dokazovaná rovnost. (1 -lna2) \Sl|, n = 2, 6. y u (a, -)dV B° '2(n-2) n ŕ 2, a tedy lim Jv(x, ■ )dS = 0. Důkaz: Integrál přepíšeme podle Fubiniovy věty □ □ v(x, -)dV = J J v(x, - )dS ] dr a využijeme předchozí výsledek. Na pravé straně rovnosti pro n = 2 dostaneme a -l*l/""* = -KI a pro n =/= 2 2 i x 2 r ln r---r 1 ľ r=0 = -\\Sl\a2 (lna2-l) -dr 1 a2 n-2 n-22 což jsou dokazované formule. □ 134 Nechť / je spojitá funkce na oblasti fž a bod x G Í2°. Budeme definovat nevlastní integrál ve smyslu hlavní hodnoty ze součinu funkcí fv(x, ■) jako limitu fv(x,-)dV= lim+ j fv(x, -)dV. Q\Bg (5.56) Tato definice má smysl, neboť fv(x,-)dV= j fv(x, -)dV + J fv(x, -)dV Q V\Bg Bg a podle věty o střední hodnotě integrálního počtu ke každému e > 0 existuje bod xe G takový, že fv(x, - )dV f(xE) J v(x, -)dV B: < 1/(^)1 v(x, - )dV Ze spojitosti funkce / plyne, že lim |/(a;e)| = |/(íc)| < oo a druhý výraz na pravé straně rovnosti (5.56) podle vlastnosti 6. konverguje k nule. Integrální reprezentace dvakrát diferencovatelné funkce Buď u : Q —>• Rn dvakrát spojitě diferencovatelná uvnitř oblasti fž, spojitá (nebo spojitě pro-dlužitelná) na Ú, x G Í2. Zvolíme kladné číslo e tak malé, že Bex C fž°, B%. C fž. Podle druhého Greenova vzorce (C.8) nyní platí (uAv(x, •) -v(x, -)Au)dV = J (udV^ ^ -v(x, -)|^) dS, (5.57) 9(Q\BJ) kde v(x, ■) je fundamentální harmonická funkce se singularitou x. Podívejme se nejprve na levou stranu této rovnosti. Poněvadž funkce v(x, •) je na celém integračním oboru harmonická, je Av(x, •) = 0 a první sčítanec (menšenec) v integrované funkci je roven nule, tedy levá strana rovnosti je rovna v(x, ■ )AudV. n\Bí Přechodem k limitě s —> 0+ dostaneme lim+ J (uAv(x, •) -v(x, -)Au)dV = - Jv(x, -)AudV, (5.58) Q\Bg Q kde integrál chápeme ve smyslu hlavní hodnoty. Levou stranu rovnosti (5.57) rozepíšeme jako rozdíl dvou povrchových integrálů d(Q\Bg) dQ 135 Druhý integrál opět můžeme rozepsat jako rozdíl dvou integrálů. Upravíme první z nich. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje bod r) G S^, tak, že s využitím vlastnosti 3. fundamentálních harmonických funkcí ze str. 133, platí následující rovnosti dv(x, - u---db au 1 ~n 1 db c-n 1 dS=-^\S^\ = -u(r1)\b1x\ první rovnost je právě zmíněná vlastnost a druhá plyne z věty o střední hodnotě integrálního počtu. Přechodem k limitě e —> 0+ nyní dostaneme rovnost lim f udV^' '^db = -u(x)\Sl\ (5.60) Dále odhadneme druhou část druhého integrálu na pravé straně rovnosti (5.59). Derivace funkce u ve směru vnější normály je spojitá, sféra je kompaktní množina a proto podle druhé Weierstrassovy věty existuje konstanta K taková, že d(x,y) veS°}• 0+. Dostaneme v(x,-)AudV = J (u^^-vix^^dS-uix^Sil. Q dQ Tímto způsobem jsme odvodili Tvrzení 7 (Lemma o třech potenciálech). Buďte fž C Rn oblast, funkce u : Q —>• R dvakrát spojitě diferencovatelná uvnitř oblasti Í2, spojitá (nebo spojitě prodlužitelná) na Ú a bod x G Í2. Pak platí u(x) = — f (v(x, .^_udv(x, ■)\dS_J_ ľv( .^AudVj (5.62) Cn J V OV ÚV ) c„ J dQ Q kde Cn je (n-l)-rozměrná míra jednotkové sféry v n-rozměrném prostoru; zejména c\ = 2, c2 = 2tt, c3 = 4-7t. Buď nyní tp testovací funkce na Rn jejíž nosič je částí vnitřku oblasti fž. Podle definice distributivní derivace (viz A.3) platí (Ayv(x,y) | ip(y) ) = (v(x,y) | Aip(y) ) = Jv(x,y)Aip(y)dVy = Jv(x,y)Aip(y)dVy, 136 neboť funkce ip i Aip jsou mimo vnitřek oblast fž nulové. Navíc na hranici oblasti fž je nulová funkce ip i její derivace ve směru vnější normály. V rovnosti (5.62) s funkcí ip místo funkce u je tedy povrchový integrál nulový, tj. v(x,y)Aip(y)dVy = -cnip(x). Q Celkem tak dostáváme, že (Ayv(x, y) | ip(y)) = -cnip{x) = { -cnó(y - x) \ ip(y)), kde S je Diracova distribuce. To znamená, že Ayv(x,y) = -cnS(y - x). (5.63) Vlastnosti harmonických funkcí Buď fž C R™ ohraničená oblast a u : Ú —> R harmonická funkce se spojitými parciálními derivacemi na Ú. 1. Věta o reprezentaci harmonické funkce. Funkce harmonická na oblasti fž je jednoznačně určena svými hodnotami a hodnotami své derivace ve směru vnější normály na hranici této oblasti: c„ J V du ov ) an Důkaz: Objemový integrál na pravé straně rovnosti (5.62) je pro funkci harmonickou na fž nulový. A to je dokazovaná rovnost. □ 2. Nutná podmínka řešitelnosti Neumannovy úlohy pro Laplaceovu rovnici, neboli Podmínka nulových zdrojů uvnitř fž. ov dQ Důkaz: Ve druhém Greenově vzorci (C.8) stačí volit v = 1. □ 3. Podmínka povrchového průměru. Buď x e íl a S% taková sféra, že S% C íl Pak platí u(x) = —— f udS =-— / udS. V ' \Sg\J a™-1^ J Důkaz: Podle věty o reprezentaci je Fundamentální harmonická funkce v(x, •) je na sféře konstantní, řekněme rovna K. Odtud a s využitím vlastnosti 3 fundamentální harmonické funkce dostaneme 137 První integrál je nulový podle první uvedené vlastnosti harmonických funkcí, a proto u(x) =-r / udS, což je dokazovaná rovnost. □ 4. Podmínka objemového průměru. Buď x G íl a Bx taková koule, že C íl Pak platí U[X) = \k\ I UáV' kde \BX\ = -— je objem (n-rozměrná míra) koule o poloměru a. n Důkaz: Podle Fubiniho věty a podle předchozího výsledku platí a i \ a J udV = J [J udS dr = u(x) J \Srx\dr = u{x)\Bax\ Bí 0 \SZ I 0 nebo také udS I dr = u(x)cn I rn 1dr = --u(x) o Tvrzení je tedy bezprostředním důsledkem tvrzení o povrchovém průměru. □ Princip maxima. Funkce u nabývá svého maxima a minima na hranici dfl definiční oblasti fž,tj. pro každé x e fl° platí min {u(y) : y G dfl} < u(x) < max{n(y) : y e dfl} . Zesílený princip maxima: Jedi harmonická funkce u nekonstantní na oblasti fž, pak jsou obě předchozí nerovnosti ostré. Nebo ekvivalentně: Pokud harmonická funkce nabývá své extrémní hodnoty uvnitř oblasti fž, pak je konstantní. Důkaz: Poněvadž oblast fž je podle předpokladu ohraničená, je její uzávěr Ú kompaktní. Podle Weierstrassovy věty tedy existuje bod xm G Ô takový, že v něm funkce u nabývá svého maxima um- Pokud x m G díl, princip maxima platí. Nechť xm G íl°. Pak existuje d > 0 takové, že otevřená koule BXM leží i se svou hranicí SXM uvnitř oblasti fž. Dále podle podmínek povrchového a objemového průměru platí, že um = u(xm) = průměr na sféře SXM = průměr na kouli BXM < um, neboť průměr funkčních hodnot na kouli nemůže být větší, než je maximální funkční hodnota. To ale znamená, že na celé uzavřené kouli B^M má funkce u stejnou hodnotu um- Nyní zvolíme libovolný bod x b G Í2°. Poněvadž je oblast fž souvislá a omezená, lze body x m &xb spojit konečným „řetízkem" koulí BXm, B^.1, Bx\, ■ ■ ■. BIX takových, že xx G B^, x2 G Š£, ..., xk G Brx\\\, xb G Bx\ a všechny tyto koule leží uvnitř oblasti íl. Stejnou úvahou, jakou jsme ukázali, že pro všechny body x G SXM platí u(x) = um, můžeme ukázat, že i pro všechny body x G Bx\ platí u{x) = um, pro všechny body x G Bx\ ... atd. Nakonec i pro všechny body x G Sxkk platí u{x) = um, zejména tedy u{xb) = um- 138 To znamená, že hodnota funkce u v bodě xb je u{xb) = um- Bod xb G 0° byl libovolný, tedy w(ce) = % pro každé x G íl°. Ze spojitosti funkce m na fž nyní plyne zesílený princip maxima. □ 6. Dirichletův princip minimální energie Nechť u je funkce harmonická na oblasti íl a w je libovolná spojitě diferencovatelná funkce ve vnitřku íl° a spojitá na íl taková, že w(cc) = u(x) pro všechna a; G díl. Pak > E(u), kde _B je zobecněná energie definovaná vztahem E(w) = i J\Vw\2dV. Q Důkaz: Definujme funkci v : íl —> R vztahem v = w — u. Pak je funkce v spojitě diferencovatelná a pro x G díl platí v(x) = 0. Z této vlastnosti a prvního Greenova vzorce (C.7) plyne E(w) = i J V (u + v) ■ X7(u + v) dV = i J (\Vu\2 + 2Vu ■ Vv Q Q = E (u) + J \7u ■ \7v dV + E (v) = E (u) + E (v) + f- \\7v\2)dV = du v—dS- / vAudV = du J Q = E (u) + E (v) a tvrzení nyní plyne ze skutečnosti, že E (v) > 0. □ Podívejme se ještě na interpretaci tohoto principu v případě í! C R2. Graf funkce w je plocha, jejíž obsah je dán integrálem S-- Q Q Obsah je minimální, pokud je také hodnota integrálu J J (l + \\7w(x, y)\2) dxdy minimálni, Q a to nastane tehdy pokud i hodnota i J J \Ww(x, y)\2dxdy = E(w) je minimálni. Q Princip minimální energie tedy říká, že obsah grafu harmonické funkce je nejmenší mezi všemi funkcemi, které mají funkční hodnoty zadané na hranici definiční oblasti. Pokud si graf funkce představíme jako nějakou membránu napnutou na křivku (třeba vytvořenou z drátu), pak tvar membrány daný funkcí harmonickou má nejmenší potenciální energii danou napětím. Harmonické funkce tedy vyjadřují stavy „soustav" s nejmenší potenciální energií, tedy nějaké stavy základní. 5.2.3 Greenovy funkce Greenova funkce Laplaceova operátoru na oblasti fž C R™ s okrajovou podmínkou typu (a,/3) je funkce G : fž x Ú —>• R, která splňuje podmínky: (i) Pro každé x G íl je funkce G(x, ■) harmonická na oblasti fž \ {a;}. (ii) Pro každé x G íl a každou nekonečněkrát diferencovatelnou funkci ip s kompaktním nosičem Supp-0 C íl platí J ipAG(x, - )dV = JipAG(x, - )dV = ip{x), 139 neboli AyG(x,y) = ô (y - x), kde S je Diracova distribuce, (iii) Pro všechna x e Q, y e dfl platí dG(x,y) aG(x, y) + /3 = 0. du{y) Následující příklad ukazuje, že nějaká Greenova funkce skutečně existuje, tj. že rozsah uvedené definice je neprázdný. Příklad. Uvažujme polorovinu Í2 = {(x, y) e M2 : y > 0}. Její hranice je dfl = {(x, 0) : x G M}, tedy osa x. Definujme funkci G předpisem G(x,y,£,v) = -^(v(x,y,tv) +v(x,y,£, -r/)) = l- (in ((x - o2 + (y- v)2) + in ((x - O2 + (y + v)2)) , 4-7t kde v je fundamentálni harmonická funkce. Ukážeme, že funkce G je Greenovou funkcí Laplaceova operátoru na polorovině fž s okrajovou podmínkou typu (0,1). Tato funkce je samozřejmě definována pro všechna x, £ G R, y > 0 a r) > 0, je tedy definována na fž x fž. První sčítanec v definici funkce G je fundamentální harmonickou funkcí a proto z definice pro (Lv) 7^ (x,y) platí Pro každou dvojici bodů (x, y) G Í2, (£, r/) G H je (x, y) 7^ (£, —nf) a proto je druhý sčítanec funkcí harmonickou na oblasti Í2, A(í^)^(aľ,y,^, -n) = 0. Podmínka (i) z definice Greenovy funkce je splněna. Podle (5.63) platí A(í,n)v(x,y,Lv) = -27r5((£,7/) - (x, y)) = -2nS(£ - x,rj - y). Celkem tedy A(í,n)G(x, y, £, tj) = ( - 2tt5(£ - x, tj - y) + O) = 6(£ - x,r] - y). Podmínka (ii) je také splněna. 3Z „cvičných důvodů" můžeme tento závěr odvodit přímým výpočtem: Na množině {(x,y,£,n) et4: y > 0,rj > 0} platí ^ m ((x - n2 + (y + v)2)--_~2("~€)_- 2-(*-02-(y + y)2 + ^-Q2 _ í*2 U 0 +{y + v) >-d((x-02 + (y + v)2~ ((x-02 + (y + ri)2)2 (x - O2 - (y + -n)2 -2- ((*-€)2 + (í/ + >?)2) $in «* - <>a+fa+^=2 £:%itt%Ý' tedy A(^M<*-«a+<»+">a>=°- 140 Okrajová podmínka typu (0,1) je homogenní Neumannovou podmínkou. V libovolném bodě hranice (£, 0) je vektor vnější normály 0) = (0, —1), tj. d _ _d_ dv(£,0) ~ ~drj' Parciální derivace funkce G podle proměnné rj je —2(2/ — 77) 2(y + í?) d^(x,y,t,V) 47r ^a._^2 + ^_^2 ■ (x_Q2 + (y + Tíy a proto derivaci funkce G ve směru vnější normály v bodě (£, 0) na hranici oblasti fž je rovna dG dv(Z,r]) (x,y,Lv) OG -Q^{x,y,í,v) -22/ 2y n=0 4ir\(x-02 + y2 (x-02 + y2 Podmínka (iii) je také splněna. ■ Ukážeme že pomocí Greenovy funkce lze zapsat řešení obecné Robinovy okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici Au = f(x), du (x 1 au(x) + /3—-A-ý- = g(x), xedfí. (5.64) (5.65) Podle druhého Greenova vzorce (C.8) platí (uAG(x, ■)- G{x, -)Au)dV dQ du du ' Poněvadž podle definice Greenovy funkce je AyG(x, y) = S(y — x), můžeme z předchozí rovnosti a z úlohy (5.64), (5.65) vyjádřit u(x)= I fG(x, -)dV+ I [udG{*>-] -G(x, -)^)dS. du du (5.66) dQ Pokud a = 1 a P = 0, tedy pokud okrajová úloha (5.64), (5.65) je Dirichletova, můžeme bezprostředně napsat její řešení u(x) = j fG(x, -)dV+ j gdG{^ ']dS. (5.67) dQ Pokud je p 7^ 0, z podmínky (iii) v definici Greenovy funkce a z okrajové podmínky (5.64) vyjádříme dG(x,y) a du(x) l, , ~ , >. = --G(x,y) a = - {g{x) - au[x)) du(y) P a tyto výrazy dosadíme do rovnosti (5.66) u(x)= ífG(x, -)dV + du(x) p dQ P -G(x, ■))u- G(x, - )-(g-au) P dS. Po snadné úpravě odtud dostaneme řešení úlohy (5.64), (5.65) ve tvaru u(x) = j f G(x, • )dV - i j g G(x, • )dS. (5.68) dQ Pokud tedy známe Greenovu funkci Laplaceova operátoru na oblasti fž s příslušnou okrajovou podmínkou, můžeme bezprostředně napsat řešení okrajové úlohy (5.64), (5.65) 141 Příklad. Najdeme řešení Neumannovy okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici na polorovině Au = f(x,y), xeR, y>0, du(x, 0) . . ^ au Greenovu funkci na polorovině s Neumannovou podmínkou a = 0, j> = 1 G(x, y,(;11)=í-(ln ((x - if + (y- nf) + ln ((* - íf + (y + r?)2)) známe z předchozím příkladu. Řešení úlohy tedy podle (5.68) je u(x,y) = f(£, v) (ln ((x - if + (y- r?)2) + ln ((* - íf + (y + v)2))^dV- 1 4-7t Rx(0,oo) oo 1 2tt — OO g(0 ln((x-02+y2)dt Podmínku (ii) z definice Greenovy funkce můžeme vzhledem k rovnosti (5.63) přepsat do tvaru AyG(x, y) = S(y - x) = —-Ayv(x, y), kde v je fundamentální harmonická funkce. Toto pozorování napovídá, že Greenovu funkci můžeme hledat ve tvaru G(x, y) =--v(x, y) + h(y), kde harmonická funkce h je řešením počáteční úlohy Ah = o, y en, (5.69) ah{v)+p^) = -nv{x>v)+-n^w> yedn- (5-70) Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že takto definovaná funkce G je skutečně Greenovou funkcí. Greenova funkce pro Dirichletovu úlohu na speciálních oblastech Nechť otevřená oblast fž c Rn splňuje podmínku Nx e n)(3x' \ ú)Ny e díl) jX~y[ = i(x). (5.71) \x -y\ Tuto podmínku lze převyprávět tak, že ke každému bodu x z oblasti fž lze najít nějaký sdružený bod x', „bod symetrický podle hranice"; tato „symetrie podle hranice" znamená, že poměr vzdálenosti bodu x od nějakého bodu y na hranici a vzdálenosti sdruženého bodu x' od téhož bodu y nezávisí na poloze bodu y. 142 Pokud oblast fž splňuje podmínku (5.71) a okrajová podmínka (5.70) je Dirichletova, tj. a = 1, P = 0, pak funkce , ,i ,-r, n = 2, 27T 7(a;)|a; — y\ h(v) = { n_2 (5.72) (n-2)cn {>y(x)\x'-y\) ' ^2 je řešením úlohy (5.69), (5.70). Přesvědčíme se o tom snadným výpočtem: Z podmínky (5.71) plyne , / , \x-y\ x y = . To znamená, že ^-lnl-r> n = 2, 2-k \x — y\ y h(y) = { = —v(x,y) 1__1 Cn (n-2)cn\x-y\"-*' nr a okrajová podmínka (5.70) sa = l,/3 = 0je splněna. Je-li n = 2, pak ft(y)= 2^ (kV-yl ~ln7(a;)) =^(^;y)-^ln7(^), je-li n =/= 2, pak Mž/) = 7-^--/ \n-2 I / 1 ln-2 = ~~--/ ln-2 ^ " (n — 2)cn "/(x)n 1 \x — y\n 1 cn"/(xjn 1 Poněvadž x' g" Í2, je Aw/i(i/) = 0. Uvedeme některé konkrétní oblast, které mají vlastnost (5.71). Polorovina a poloprostor fž = {(xi,x2, ■ ■ ■ ,xn-i,xn) G Rn : xn > 0}. V tomto případě je hranicí oblasti fž přímka, rovina nebo nadrovina xn = 0. Bod sdružený s bodem x = (x\, x2, ■ ■ ■ , xn-i, xn) G Í2 je bod x' = (x\, x2, ■ ■ ■, xn-i, —xn). Vskutku, pro libovolný bod y = (yi, y2,..., yn—i, 0) G dfl je W -y\ = V(xi - yi)2 + (x2 - y2)2 H-----h (xn-i - yn-i)2 + x2n = \x- y\, a tedy j(x) = 1 nezávisí na y. Greenova funkce je G(x,y) lln \x~y\ n-2 1/1 1 2. (n - 2)c„ V W - y\n-2 \x - y\n-2 , Jednotkový vektor vnější normály na hranici je v = (0, 0,..., 0, —1). Proto pro y G dfl je d___d_ dv(y) dyn' a tedy {1 x2 -i-r, n = 2, ir\x-y\ 2 xn — i-~, n 7= 2. cn\x-y\n' 143 Kruh a koule íí = = {x e Rn : \x\ < R}. Hranicí oblasti je kružnice nebo sféra o poloměru R, kterou značíme S^. Bod sdružený s bodem cc je jeho obraz v kruhové nebo kulové inverzi, x = R2 x -x. Pro každý bod y e platí \y\ = R. Dále \x'-y\2 = R2 -x-y R2 x R \x\ \x\ R \x\2{^\\x\X* RV^ R2 E \x\* ^ \ \x\ 1 1 2—1 R2 R2 \xy 2 _ R2 Vl ) ~ \x R2-2j2^ + \x\2) = R2 n R2 n R2 Odtud plyne, že 7(a;) = —- nezávisí na y. R Greenova funkce je (J_ln R\x\\x-y\ 2tt \R2x — \x\2y\ G(x,y) = < 1 (n - 2)c„ R\x\ n—2 \R2x — \x\2y\ \x-y\ n = 2, n ^ 2. Jednotkový vektor vnější normály v bodě y je u(y) = —y a derivace ve směru normály R v tomto bodě je dG(x,y) Rn-2R2-\x\2 du{y) \S§\ \x-y\" ' přitom \So \ označuje (n — l)-rozměrnou míru n rozměrné sféry o poloměru R, tedy \S»\ 5.2.4 Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru Buď fž C Rn oblast s dostatečně hladkou hranicí díl. Číslo A G M nazveme vlastním číslem a funkci v definovanou na íl nazveme vlastní funkcí Dirichletovy úlohy pro Laplaceúv operátor, je-li D^Oa platí —Ať = Af, x e íl, v(x) = 0, x e díl. (5.73) (5.74) Platí: • Všechna vlastní čísla Laplaceova operátoru jsou kladná a všechny vlastní funkce jsou nekon-stantní. Důkaz: Úloha Av = 0, x eíl, v(x) =0, x e díl 144 má podle 5.2.1 jediné řešení a toto řešení je v = 0. Proto 0 není vlastním číslem Laplaceova operátoru. Proto také pro libovolné vlastní číslo A a libovolnou vlastní funkci v můžeme s využitím prvního Greenova vzorce (C.7) psát 0 > / v2dV = Í / vXvdV = -4- / vAvdV = A \7v \7vdV I = \ (Vv - VvdV = \\\Vv\\ A./ A \ki h ) Poněvadž ||Vi>||2 nemůže být záporné, dostaneme odtud, že A > 0 a ||Vi>|| > 0. Každé vlastní číslo je kladné a gradient příslušné vlastní funkce je nenulový. To znamená, že vlastní funkce nemůže být konstantní. □ • Jsou-li Ai A2 vlastní čísla a«i, v2 příslušné vlastní funkce Laplaceova operátoru, pak jsou funkce v\, f2 orthogonální na fž, tj. platí v\v2 dV = 0 . Důkaz: Poněvadž pro x G díl je v\{x) = 0 = V2(x), dostaneme s využitím druhého Greenova vzorce (C.8) viv2dV =--— j (\i - \2)viv2 dV Q 1 J(X1V1V2 Ai — A2 Q 1 f í dv2 -A2 J dQ v2-^ )dS = 0. □ au J Úloha (5.73), (5.74) je vlastně zobecněním Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (B.2) pro obyčejné diferenciální rovnice. Uvedené jednoduché vlastnosti také odpovídají vlastnostem vlastních čísel a vlastních funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy. Obecně však není zaručeno, že by pro úlohu (5.73), (5.74) na obecné oblasti íl existovala spočetná množina vlastních čísel, posloupnost vlastních čísel by divergovala do nekonečna, každé vlastní číslo by bylo jednoduchého typu, tj. k jednomu vlastnímu číslu by příslušela jediná (až na násobek konstantou) vlastní funkce, a že by tyto funkce tvořily úplnou orthogonální soustavu (bázi) v prostoru funkcí splňujících okrajovou podmínku. Takovou vlastnost mají pouze některé jednoduché oblasti - kvádry, koule, válce, .... Ale tyto oblasti se právě v praxi objevují nejčastěji. Základní myšlenka řešení úlohy spočívá v separaci proměnných, tj hledání řešení ve tvaru v = w\W2, kde funkce w\ závisí pouze na proměnných x\, x2, ..., xm a funkce w2 pouze na proměnných xm+\,xm+2, ... ,xn. Po dosazení tohoto vyjádření do rovnice (5.73) a jednoduché úpravě dostaneme Awi Aw2 --=--h A, Wi w2 kde A označuje součet druhých parciálních derivací podle všech proměnných funkce, která se za tímto operátorem nachází. Levá strana této rovnosti závisí pouze na proměnných x\, x2,.. ., xm, pravá pouze na proměnných xm+\,xm+2,.. . ,xn. Proto musí být obě strany rovny nějaké konstantě, řekněme n. Původní úloha se tak rozpadne na dvě „menší" úlohy —Awi = kwi, a — Aw2 = (k — X)w2, s příslušnými „průměty" homogenních okrajových podmínek. 145 Pokud má Laplaceův operátor spočetnou množinu vlastních funkcí, které tvoří fundamentální množinu prostoru funkcí splňujících Dirichletovu podmínku, pak můžeme řešení úlohy Au = f(x), xett, (5.75) u{x) = 0, x G dtt (5.76) hledat ve tvaru nekonečné řady oo u(x) = ^2 Cnvn(x), n=l kde vn jsou vlastní funkce Dirichletovy úlohy pro Laplaceův operátor a Cn jsou reálné konstanty, n = 1,2,.... Jedi funkce / integrovatelná ve druhé mocnině (/ G £2(fž)), pak vídV. f(x) = S2Fnvn(x), kde Fn = 1 í fvndV a ||t;„||2 = í n—1 n n Buďte Ai, A2, ■ ■ ■ vlastní čísla příslušná k vlastním funkcím v\, f2,.... Pak je 00 00 A^2Cnvn(x) = ^2Fnvn(x), n—1 n—1 00 00 ^2CnAvn(x) = ^2Fnvn(x), 71—1 71—1 OO OO -^2Cn\nvn(x) = ^2Fnvn(x). 71—1 71 — 1 Odtud Cn = = / ||2 í fVndV. *n A„ \\Vn Řešení úlohy (5.75), (5.76) tedy je 1{X) = £ (-vhč IfVnáv)Vn{x) = íf £ (-rr¥)áv- 1 y A„ \\vn\\ J J J n=1 \ A„ |K|| To znamená, že Greenova funkce Laplaceova operátoru s okrajovou podmínkou u(x) = 0, x G <9Í7 je n=l An ||l>n|| kde Ai, A2, ■ ■ ■ jsou vlastní čísla a i>i, v2,... jsou vlastní funkce úlohy (5.73), (5.74). Vlastní čísla a vlastní funkce Laplaceova operátoru pro Dirichletovu úlohu na obdélníku Úlohu —Av(x, y) = \v(x, y) , 0 < x < a, 0 < y < b , v(x,0) = 0 = v(x,b), 0] Ještě vypočítáme Anm H^rj , ab ir2 (ma)2 + (nb)2 ab a b ab 22 ~ ~2' a dostaneme Greenovu funkci Laplaceova operátoru pro Dirichletovu úlohu na obdélníku 4ab 1 nir TĽK miř miř G(x,y,í,ri) =--- > 2 2 ,—2T2 sm—x sm—4 sm—y srn—77. 7rz z—' mzaz + nzoz a a b b n,m—1 147 148 Dodatek A Distribuce A.l Základní pojmy Nechť p : R™ —> R je funkce n proměnných definovaná na celém prostoru R™. Nosič funkce p definujeme jako uzávěr množiny {x G R™ : p(x) =/= 0} a značíme ho Supp. Na množině T> definujeme metriku p vztahem p(p,ip) = sup Qil+í2-\-----M dx1^ dx22 ■ ■ ■ dx%n (p(x) -ip{xj) x G (h,i2,...,in) e (Nu{0})r Množinu T> s touto metrikou nazýváme prostor testovacích funkcí, jeho prvky nazýváme testovací funkce. Příklady testovacích funkcí. Položme 10, x < 0. Funkce A má spojité derivace všech řádů, neboť dfe i /„,2 polynom v x , /n,2 , dfe , /n,2 e-iA = -e-iA a z toho plyne lim e-iA = o. dxfc polynom v x a;^o+ dxfc Funkce y> definovaná vztahem p{x) = A(x)A(l — x) má kompaktní nosič [0,1] a má derivace všech řádů. Pro libovolné reálné c > 0 položme nc{x) = w . --. (A.l) x ' X(x) + X(c-x) y ' Pak kc je neklesající nezáporná funkce, která má derivace všech řádů a platí pro ni K(*)-/°' Kc[X) — < II, X > c. 149 Funkce nc tedy na intervalu délky c vyhlazuje skok funkčních hodnot. Funkce ip definovaná vztahem i>(x) = 1 - kc {\x\ - \) je nezáporná funkce, která má derivace všech řádů a tp(x) 0, |x|>i + c, a tedy má kompaktní nosič [— ^ — c, ^ + c]. Funkce p, tp jsou typické testovací funkce z prostoru V(R). Testovací funkce z prostoru V(Rn) můžeme získat jako součin funkcí jednorozměrných", např. P„(x1,X2, ...,xn) = p(x1)p(x2) ■ ■ ■ p{xn), 1pn(xi,x2, ...,xn)= 1p(x1)lp(x2) ■ ■■1p(xn). Operace v prostoru testovacích funkcí Kromě standardních operací součtu a součinu funkcí a násobení funkce číslem zavádíme operace: • Posunutí (translace) testovací funkce o vektor y je definována vztahem py(x) = p(x + y). • Změna měřítka (přeškálování) nezávisle proměnné faktorem a > 0 je definováno vztahem pa(x) = p(ax). Pomocí těchto operací můžeme snadno vytvářet další testovací funkce ze známých. Lineární funkcionál Zobrazení T : T> —> R, pro které platí nazýváme lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Obraz funkce p při zobrazení T, tj. číslo T(p), budeme stručně značit Tp. Množinu všech lineárních funkcionálů T> —> R, která je zase vektorovým prostorem, nazýváme (algebraický) duální prostor k T> a značíme ji T>'. Definice distribuce Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá distribuce. Podrobněji: Zobrazení T : T> —> R nazveme distribuce, jestliže [Mp, tpeV) T(p + ip)=Tp + Tip, {Mp e V) (Vc e R) T (op) = cTp, (V{) (\/p G T>) pn —> p v prostoru (T>, p) => Tpn —> Tp y R s přirozenou metrikou. Množinu všech lineárních funkcionálů T> —> R nazýváme topologický duální prostor k T> a značíme ji V*. Příklady distribucí 1. Nechť / : Rn —>• R je funkce taková, že pro každou kompaktní množinu K C Rn existuje konečný integrál J f(x)dx (tzv. lokálně integrabilní funkce na Rn). Definujme distribuci T(p + ip)= T(p) + T(ip), T(cp) = cT(p), ceR K Tf e V* vztahem (A.2) R' 150 Distribuce T G T>* taková, že existuje lokálně integrabilní funkce / pro niž Tip= / f{x)p(x)dx pro všechny p G T>, se nazývá regulární distribuce. Distribuce, která není regulární, se někdy nazývá singulární. Každá lokálně integrabilní funkce určuje distribuci, můžeme tedy lokálně integrabilní funkce považovat za distribuce1. Z tohoto důvodu se distribuce někdy nazývají zobecněné funkce. 2. Funkce f(x) = — je lokálně integrabilní na otevřeném intervalu (0,oo), ale není lokálně x, integrabilní na celém R. Avšak pro všechna a, b, a < 0 < b je v / 7dx }dx\ v / s h\ v b h lim /--h / — = lim in -—- + in - = lim in -—- = in -—-. £=o+ \ J x j i e^o+ \ \a\ e J e^o+ \a\ \a\ b dx Tuto limitu označíme vp f — a nazveme integrál ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty. a x7 Tuto úvahu zobecníme. Nechť funkce / je lokálně integrabilní na R™ \ {xo}. Položme K0 = ix- \x- x0\ < r} (otevřená koule se středem Xq a poloměrem r). Integrál z funkce / ve smyslu hlavní hodnoty definujeme jako vp J f(x)dx = lim J f(x)dx, pokud limita na pravé straně existuje. Má-li funkce / pro každou kompaktní množinu K C R™ integrál ve smyslu hlavní hodnoty, pak zobrazení T f : T> —> R definované vztahem Tfp = vp J f(x)p(x)dx (A.3) je distribucí. 3. Diracova distribuce S přiřadí každé testovací funkci p G T> hodnotu ip(0). Diracova distribuce není regulární. Výrazy na pravých stranách rovností (A.2) a (A.3) formálně připomínají skalární součin. Proto hodnoty těchto distribucí zapisujeme ve tvaru ( f(x) | p(x) ) , nebo stručně ( / | p ) Přestože Diracova distribuce není regulární ani není definována pomocí nějaké (klasické) funkce, používáme pro ni zápis (S\p) = (S(x)\p(x)) = f 5{x)p{x)dx = p(0). -'-Povšimněme si, že dvě různé funkce mohou určovat tutéž distribuci; konkrétně jde o funkce, které se od sebe liší na množině nulové míry. Funkce / a g takové, že j f(x)dx = j g(x)dx pro každou kompaktní K c 1" jsou K K pro určení regulární distribuce ekvivalentní. Přesněji bychom tedy měli říkat, že ztotožňujeme distribuce a třídy ekvivalentních funkcí. 151 Podobným způsobem budeme zapisovat jakékoliv distribuce. V Diracově terminologii je tedy distribuce bravektorem a testovací funkce ketvektorem. Diracovu distribuci (S budeme jednoduše psát jako S, případně 6(x) pro zdůraznění nezávisle proměnné testovacích funkcí. Symbolem L11oc(Mrt) označme množinu lokálně integrovatelných funkcí na Rn (přesněji, množinu tříd ekvivalentních lokálně integrabilních funkcí). Testovací funkce jakožto spojité funkce jsou lokálně integrabilní. Určují tedy regulární distribuce. Platí tedy V(Rn) C Llc(Rn) C V*(Rn). Nosič distribuce Řekneme, že distribuce T G T>* je na množině A C Rn nulová, jestliže Tp = 0 pro každou testovací funkci p G T> takovou, že Supp p C A. Nosič distribuce T je nejmenší (vzhledem k množinové inklusi) uzavřená množina taková, že na jejím komplementu je T nulová. Nosič distribuce T označíme Supp T. Nosič Diracovy distribuce je jednoprvková množina {0}. Základní operace v prostoru distribucí • Součet distribucí T, S G T>*: T + S G T>* je distribuce, která splňuje rovnost (T + S)p = Tp + Sp pro každou testovací funkci p G T>. • Násobení distribuce T G T>* funkcí a : Rn —> R třídy C°°: Je-li p G T> testovací funkce, pak p má kompaktní nosič. To znamená, že také funkce ap má kompaktní nosič, tedy ap G T>. aT G T>' je distribuce, která splňuje rovnost (aT)ip = T{ap) pro každou testovací funkci p G T>. • Posunutí (translace) distribuce T G T> o vektor y G Rn: VT G T>* je distribuce, která splňuje rovnost VTp = Tpy pro každou testovací funkci p G T>. Pro regulární distribuci určenou funkcí / platí (yTf)p = J f(x)p(x + y)dx = J f(z-y)p(z)dz; R" R" v integrálu jsme použili substituci z = x + y. S pomoci Diracovy symboliky můžeme definice operací s distribucemi zapsat ve tvaru: • Součet: (f + g\p) = (f\p) = (f\p) + (g\p) • Násobek funkcí: (af \p} = ^ / | ) • Translace: ( f(x — y) | p(x) ) = ( f(x) | p(x + y)) 152 Zejména pro Diracovu distribuci platí ( S(x - y) I p(x) ) = ( S(x) \p{x + y)) = p(y), J ô (x - y)p(x)dx = p(y); R™ ( S(y - x) I p(x) ) = J 5(y- x)(p{x)dx = j 5(z)p(y - z)dz = p(y). R™ R" Translace Diracovy distribuce o vektor y, tedy distribuce zapisovaná jako S(x — y) se nazývá Diracova distribuce soustředěná v bodě y. Přitom platí S(x-y) =S(y -x). (A.4) A.2 Konvergence v prostoru distribucí Řekneme, že posloupnost distribucí {Tfc}fcLi - 'D* konverguje pro k —> oo k distribuci T G T>* a píšeme lim Tk = T, k—>oo jestliže pro každou testovací funkci ip G T> je lim Tkp = T p (v tomto případě jde o konvergenci k—>oo číselných posloupností). Definici lze zapsat také v Diracově symbolice: Řekneme, že posloupnost distribucí {(/fe}feLi konverguje pro k —> oo k distribuci (/ a píšeme lim (fk = (/, jestliže pro každou testovací funkci k—>oo ^P* je lim (fk\p) = (f\p). k—>oo Pro konvergenci v prostoru distribucí platí následující věty: Věta 1: Nechť {Ife}^^ C T>* je posloupnost distribucí taková, že pro každou testovací funkci p G T> existuje limita posloupnosti čísel {Tkp}^^ - Definujme zobrazení T : T> —> R předpisem T(p) = lim Tkp. k—>oo Pak T je distribuce, T e V*. Linearita plyne z linearity každé z distribucí Tk a z linearity operátoru limity posloupností), spojitost je dokázána např. v knize: Laurent Schwartz. Théorie des distributions, Paris 1973. Věta 2: Ke každé distribuci T E V* existuje posloupnost testovacích funkcí {pk}^^ C T>, že lim (y>fc = T, neboli (V G T>) lim (pk\p)= Tp. tj. že tato posloupnost testovacích funkcí konverguje k T ve smyslu distribucí. Každou distribuci lze aproximovat pomocí posloupnosti testovacích funkcí. A.2.1 5-vytvořující posloupnosti Nechť {/fe}feLi je posloupnost lokálně integrabilních funkcí na Rn takových, že posloupnost regulárních distribucí {í/fc}^_1 konverguje k Diracově distribuci, tj. lim (fk\p) = p(0) k—>oo pro každou testovací funkci p G T>. Pak posloupnost {/fe}feLi se nazývá 5-vytvořující posloupnost, funkce fk se nazývají impulsní funkce. 153 Příklady 5-vytvořujících posloupností: Následující posloupnosti funkcí konvergují k Diracově distribuci na prostoru T>*(R). ík, \x\<±- \k-P\x\, \x\<- [0, \x\>- [O, \x\>- V 2ir irx fk(x) =--2—~—2 ' ^de {ak}'k'=i Je libovolná posloupnost kladných čísel taková, že lim ak = 0 , 7T X | Qí'k ^oo ( 1 2 27TTO . . , „ [O, |x|>±£ Na obrázcích Ad je znázorněno několik prvních členů některých 5-vytvořujících posloupností. A.3 Derivování distribucí Nechť / : Rn —>• R je diferencovatelná (a tedy lokálně integrabilní) funkce, p G T> je testovací funkce. Pak platí oo oo oo / oo J ^{x)p(x)dx= J J ■■■ J í y ■^(x)ip(x)dx1 j dx2 .. .dx„_idx„ = K11- —oo —oo —oo \—oo / 000000/ oo \ = / /•••/ í [/(»M»)]~=-oo - / /(x)^-(a:)da;1Jda;2...da;n_1da;n = oo \ —oo / oo oo oo j j ■■■ j f(x)-^-(x)dx1dx2 ■ ■ .dx„_idx„ = - J f(x)-^-(x)dx . -oo —oo —oo oo oo oo -oo —oo —oo poněvadž Supp p je kompaktní. Provedený výpočet motivuje následující definici. Definice derivace distribuce d Parciální derivace distribuce T G T>* podle první proměnné je distribuce ——T, pro niž platí oxi dxi ^) ^ ^ (ydxi ) pro každou testovací funkci p G T>. Obecně definujeme parciální derivace distribuce podle libovolných proměnných libovolného řádu rovností ---:-—T ) p = (_iyi+Í2+~i»T [ -_-:- pro každou testovací funkci p a každý multiindex (ii,ij,..., in) G (NU{0})™. Je zřejmé, že parciální derivace distribuce je lineární operátor na prostoru distribucí T>*. 154 155 Každá distribuce má derivace libovolného řádu. Každá lokálně integrabilní funkce / určuje regulární distribuci. Tato distribuce má derivaci libovolného řádu definovanou rovností íl+Í2 + -"ín QÍl+Í2 + ---Ín dx^dx^2 ■■■dx^ ■p V tomto smyslu lze říci, že každá lokálně integrabilní funkce / má derivaci libovolného řádu. Tato distribuce však obecně není funkcí ale distribucí. Nazýváme ji distributivní derivací funkce f. Příklady distributivních derivací funkcí • Derivace absolutní hodnoty: Pro každou testovací funkci p g T> platí oo ( I • R definovaná vztahem 1, x > 0 0, x < 0 H(x) = je lokálně integrabilní. Určuje tedy regulární distribuci, pro niž platí oo oo (iř|) = / H{x)p{x)dx = l p{x)dx. Povšimněme si, že Heavisidova funkce je limitou funkcí Ki/k definovaných vztahem (A.l); tuto limitu můžeme chápat tak, že lim K1/fc(x) = H{x) pro každé x^O, nebo, při použití k—>oo Diracovy symboliky, že lim (/íi/fc = (H ve smyslu distribucí. Dále platí (H'\p) = -{H\p') = - / p'(x)dx = -{p(x)}™ = p(0) = (S\p) tedy distributivní derivací Heavisidovy funkce H je Diracova distribuce, H' = S, podrobněji H'(x) = S(x). Analogicky lze ukázat, že H'(x — xq) = S(x — xq) a H'(xq — x) = —5(x — xq). Obecně: Funkce H : Rn —>• R definovaná vztahem H(xi,x2, ...,xn) 1, X\ > 0, X2 > 0,... xn > 0 0, jinak 156 určuje regulární distribuci: oo oo (H\f) = J J "J H(x1,x2,...,xn)p(x1,x2,...,xn)dx1dx2---dxn = oo oo oo — oo —oo —oo oo oo oo Z výpočtu 0 0 0 Qn dx\dx2 ■■ ■ dxn H (-1) dx\dx2 ■■ ■ dxn p(x1,x2,. .. ,x„)dxidx2 • • • dxn . OO OO oo 0 0 0 oo oo oo = (-1) = -(-1) oo o dx\dx2 ■ ■ ■dxj{ Qu- 1 _dx2dx3 ■ ■ ■ oxn oo f dn -i ip(xi,x2,. .. ,x„)dxidx2 • • • dxn daľ2daľ3 • • • dxn = a; i=0 dx2dxz■■ ■ dxn oo o = (-1)2)V(0,0,...,0) = 0+ x—>0— Pak je tato funkce lokálně integrabilní na R, určuje tedy regulární distribuci Tf. Pro každou testovací funkci ip G T> platí oo 0 oo T'fp = -(f(x)\p'(x)) = - J f{x)p'{x)dx = - J f{x)p'{x)dx - J f{x)p'{x)dx = — OO —OO 0 0 oo = -{f(x)p(x)}°_oo+ í f(x)p(x)dx-{f(x)p(x)}™+ íf'(x)p(x)dx = lim f(x)(p(x) — lim f(x)íp(x) + / ff(x)íp(x)dx x—^0+ x—^0 — oo = ^(0) ( lim f(x) - lim f(x))+ í f(x)p(x)dx = yx—>0-\- x^0— I J — oo oo = cw(0)+ / f'(x)p(x)dx = cr0 ( S | p) + (/' I p) = ctq ( 5 I p) + Tf,p, 157 (V^eO)^Í/ p^ =cr0(S\p) + (f'\p), symbolicky T'f = a0ô + Tľ . Obecně: Nechť funkce / : R —>• R je třídy C°° na každém z intervalů (—00, 0), (0, 00) a nechť každá její derivace je lokálně integrabilní. Tato funkce určuje regulární distribuci Tf. Označme .m = alim /(»)(,)-fcn_ /(»)(,) a T>f = T? = ..., = ^T. Pak pro každou testovací funkci 93 G 2? platí v) = E (-i)fe"m_1^ (51 ^-"-d ) + (/« 1 ^) Qk dxk ^ m=0 tj- Symbolicky fc-i ^ m=0 J fc-1 T/fe) = E^Ä(fe"m_1)+T/« m=0 Greenova funkce hyperbolické rovnice v jedné prostorové proměnné Nechť a > 0. Pro všechna (t,x) el2 a libovolný reálný parametr £ definujme 1 G(x,U)={ 2a 0, jinak x — at < £ < x + at, d povšimněme si také, že pro t < 0 je G(x£, ť) = 0. Vypočítáme distributivní derivaci — G(x, £, ŕ). ar Pro každou testovací funkci p G 2?(M2) platí ^G(x,£,í) f d 1 f d = - G(x,£,t) — p(t,x)dtdx=- — / — p(t,x)dtda Množina A C M2 je taková, že na ní je funkce G( ■, £, •) nenulová, tj. A = {(t,x) G R2 : 0 < í, £ - aŕ < x < £ + at} = £-x = Ut, x) G Rz : x < £,-- < í > U < (í, x) G M : £ < x x-£ < í Podle Fubiniovy věty tedy můžeme poslední integrál rozepsat ve tvaru £ / 00 1 2a OO / OO (p(t, x)dt dx + —00 \s- 1 2a . Ve druhém z integrálů zavedeme substituci s = - a upravíme ho analogickým způsobem 2 í Celkem tak dostáváme 9 OO V?(í,x) J - \ ( H(t)S(x - (£ - aí)) | • C°(a,/3) definujeme předpisem Ly{x) = a(x)y"(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x), x g {a, (í). Rovnice Ly = g, kde g g C°(a,j3) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu; v případě g = 0 homogenní, v opačném nehomogenní. Buďte p g C1(qí,/3), q g C°(a,/3). Pak operátor L(—p, —p', q) daný vztahem L(-p,-p',q)y(x) = -p(x)y"(x) -p'(x)y'(x) + q(x)y(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) nazveme samoadjungovaný. Každý lineární diferenciální operátor druhého řádu L (a, b, c), pro jehož koeficienty a, b platí b (x) = a'(x), x g (ot,/3) je samoadjungovaný. Rovnice -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = f (x) , x g (a, j3) se nazývá samoadjungovaná nebo Sturmova-Liouvilleova rovnice. Tvrzení 8. Každou lineární diferenciální rovnici s koeficientem a g C1 (a, j3) lze vyjádřit v samo-adjungovaném tvaru. Důkaz: Buď /• b(x) - a'(s) h(a;) h(x) = / -^-dx, glx) = e w. 7 a(x) 161 Pak (g(x)a(x))' = (eh^a(x)y = eh^h'(x)a(x) + eh^a'(x) = = g(x) ^ ^ ^ ^ a(x) + g(x)a' (x) = g(x)b(x), a(xj tedy g(x)a(x)y" (x) + g(x)b(x)y'(x) + g(x)c(x)y(x) = g{x)g(x) je samoadjungovaná rovnice, p = —ga, q = gc, f = gg. □ Okrajové podmínky Budeme hledat řešení rovnice Ly = f, na intervalu (a,/3), které splňuje některé z následujících podmínek. • Dirichletovy podmínky: y(a)=Vo, v(P)=Vi, pokud —oo < a < P < oo, lim y(x) = y0, lim y(x) = yx x—>a+ x^>p — obecně. • Neumannovy podmínky: y'{a)=Y0, y'(P)=Y1, pokud —oo < a < P < oo, lim y'(x) = Yq, lim y'(x) = Y\ x—>a+ x—>/} — obecně. • Robinovy (Newtonovy) podmínky: aoy(a) + í30y'(a) = r/0, axy(P) + Piy'(P) = yi, pokud —oo < a < P < oo, lim (a0y(x) +/30y'(x)) = r/0, lim (a1y(x) + Piy'(x)) = 771 x^ra+ x^rfí — obecně; přitom platí a2, + /32 7^ 0 7^ a\ + P\. • Podmínky omezenosti: limsup < 00, limsup < 00. X—>a+ x^r(í — • Podmínky periodičnosti (periodické podmínky): y(a)=y(a), y\p) = y'{p), pokud —00 < a < P < 00, y{x) = y(x + l), pro každé iel, x > a, pokud p = 00; přitom l > 0. 162 Dirichletovy podmínky jsou zvláštním případem podmínek Robinových pro ag = a\ = 1, /3q = fii = 0; Neumannovy podmínky jsou zvláštním případem Robinových podmínek pro ag = a\ = 0, A, = pi = l. Podmínky různého typu lze kombinovat; můžeme například požadovat splnění Neumanovy podmínky v levém krajním bodě a podmínky omezenosti v pravém krajním bodě. Jakékoliv okrajové podmínky nazveme homogenní, jestliže s libovolnými dvěma funkcemi yi, y2, které této podmínce vyhovují, vyhovuje téže podmínce i jejich libovolná lineární kombinace kiyi + ^2^2- Robinovy podmínky s yo = y\ = 0, podmínky periodičnosti i podmínky omezenosti s y\ = 0 nebo yo = 0 jsou homogenní. Okrajová úloha, v níž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní se nazývá homogenní okrajová úloha, v opačném případě nehomogenní okrajová úloha. Symetrický diferenciální operátor Řekneme, že operátor L je symetricky na množině M C C2(a,j3), jestliže pro všechny u,v G M platí Lu(x)v(x)dx = j u(x)Lv(x)dx . a Buď L = L(—p, —p', q) samoadjungovaný operátor. Pak platí (při výpočtu využíváme integraci „per partes", pokud je některá z integračních mezí nevlastní, při výpočtu uvažujeme příslušnou jednostrannou limitu) /3 /3 Lu(x)v(x)dx — I u(x)Lv(x)dx = (p(x)u'(x)Y + q(x)u(x) j v(x) — u(x) ( — (p(x)v'(x)Y + q(x)v(x) dx (p(x)v'(x)Yu(x) — (p(x)u'(x)Yv(x)) dx = [p(x)v'(x)u(x)]a — j p(x)v'(x)u (x)dx — [p(x)u (x)v(x)]a + j p(x)u'(x)v'(x)dx = a a = p(P)v''(P)u(P) - p(a)v'(a)u(a) - p(P)u'(P)v(P) + p(a)u'(a)v(a) = = p(P)(v'(P)u(P) -u'(P)v(P)) -p(a)(v'(a)u(a) -u'(a)v(a)). Z tohoto výpočtu plyne: • Samoadjungovaný operátor L = L(—p, —p', q) je symetrický na množině funkcí, které splňují homogenní Robinovy podmínky. Důkaz: Je-li (5$ ^ 0, pak u'(0) = ——u(0),v'(a) = ——v(a), takže Po Po v'{a)u{a) — u'(a)v(a) = 0. A) Po Je-li ag =/= 0, pak u(a) =--u'{a), v (a) =--v'(a), takže opět v '(a)u(a) — u' (a)v (a) = 0. Analogicky ověříme, že v'((3)u((3) — u'((3)v((3) =0. □ • Pokud funkce p je Z-periodická, přičemž l = — a, pak samoadjungovaný operátor L = L(—p, —p', q) je symetrický na množině Z-periodických funkcí. 163 B.2 Homogenní okrajová úloha s parametrem Nechť A G M. Uvažujme homogenní okrajovou úlohu pro rovnici Lv{x) = \v(x). Tato úloha má vždy triviální řešení v = 0. Pokud existuje netriviální řešení v = v (x), nazveme ho vlastní funkcí okrajové úlohy a parametr A nazveme vlastním číslem operátoru L. Je-li A vlastní číslo operátoru L a v = v (x) je příslušná vlastní funkce uvažované okrajové úlohy, pak také funkce cv je pro libovolnou konstantu c G M vlastní funkcí. Jestliže vlastnímu číslu A odpovídá k lineárně nezávislých vlastních funkcí, řekneme, že A je k-násobné vlastní číslo. Příklady: Uvažujme samoadjungovaný operátor L = L{—a2, 0, 0), kde a je nějaká nenulová konstanta. Rovnici -a2y"(x) = \y(x) můžeme přepsat na tvar y"(x) + ±y(x) = 0. (B.l) Řešení této homogenní lineární rovnice druhého řádu závisí na znaménku parametru A. Obecné řešení rovnice je dáno vztahem y(x) = < A exp ( —|—^-x\ + B exp V m / Ax + B, A COS -r—rX + B Sin -r-rX, -A i], A < 0, A = 0, A > 0, kde A, B jsou nějaké konstanty. 1) Hledáme řešení rovnice (B.l) na intervalu (0, l), které splňuje Dirichletovy homogenní okrajové podmínky 2/(0) = 0 = 2/(0- Je-li A = 0, pak má platit 2/(0) =0 = S, y(l) = 0 = Al + B, takže B = 0av důsledku toho také A = 0 a rovnice má pouze triviální řešení. Je-li A < 0, pak má platit y(0)=0 = A + B, tj.B = -A, y(l) = 0 = Ae^T1 - Ae~^1 = 2Asinh^^Z; a pro —A > 0 je však sinh —:—— l > 0 a z toho plyne, že A = 0. Rovnice (B.l) má opět pouze triviální \a\ řešení. Je-li A > 0, pak má platit y(0) = 0 = A, y (l) = 0 = B sin^-Z Odtud plyne, že —-l = kir pro k G Z, k ^ 0, tedy A = ( —— ) pro k = 1, 2, 3,..., neboť A > 0 kira 164 Vlastní čísla operátoru L{—a2, 0,0) s homogenními Dirichletovými podmínkami na intervalu (0,1) a příslušné vlastní funkce jsou /kira\ 2 . kir Afe=l——J , vk(x) = sm— x, k = 1,2, 3,.... 2) Nyní hledáme řešení rovnice (B.l) na R, které splňuje podmínky periodičnosti y(x) = y(x + Z). Je-li A < 0, pak je řešení y(x) je monotónní; konkrétně rostoucí pro A > 0 nebo A = 0, B < 0, klesající pro A < 0 nebo A = 0, B > 0 a konstantní nulové pro A = B = 0. Úloha má tedy pouze triviální řešení. Pro A = 0 má rovnice řešení y(x) = Ax + B, které je periodické a netriviální pouze pro A = 0, B =/= 0. První vlastní číslo tedy je Ao = 0 a příslušná vlastní funkce vq je nenulová konstanta. Pro A > 0 má rovnice řešení y(x) = A cos -—-x + B sin -—-x které má splňovat podmínku \a\ \a\ acos -r-rX + iíSin -r—rX = a COS -r-r(X + Z) + B Sin -r-r(X + Z) = \a\ \a\ \a\ \a\ ,( V\ y/X . y/X • VÄA /.VÄ y/X y/X . y/X \ = a COS -r—rX cos ——Z — sm -r—rx sm ——Z + B \ Sin -p-rX cos ——Z + cos —i sin ——Z = V lal lal m m ) V lal lal lal lal / = A cos ——Z + Bsm ——Z cos -r-rx + —Asm ——Z + iícos ——Z sm -r-rx. V lal m J m V iai iai / iai Poněvadž funkce cos^—'-x a sin^-—j-x jsou nezávislé, plyne odtud \a\ \a\ Acos^-^-Z + B sin*^-Z = A, — Asin^-^-Z + B cos*^-Z = B, \a\ \a\ \a\ \a\ neboli {^l-1)A+{^l)B = °' {-^l)A+{^l-1)B = °- Tato homogenní soustava lineárních algebraických rovnic pro neznámé A, B má nenulové řešení právě tehdy, když determinant její matice je nulový, tj. právě tehdy, když (,~w,-i)a+K'í=o- Tato rovnost je splněna právě tehdy, když cos^-—-Z = 1 a sin^-—-Z = 0, což znamená, že^—-Z = 2/j7T, \a\ \a\ \a\ k e Z. Celkem tedy vlastní čísla operátoru L(—a2, 0, 0) s podmínkami periodičnosti a příslušné vlastní funkce jsou Ao = 0, vq(x) = const ^ 0, (2kira\2 2kir _ . 2kir Afe = I —-— I , vk(x) = cos—— x, vk(x) = sm—— x, k = 1,2,3,.... 165 Kladná vlastní čísla jsou tedy dvojnásobná. 3) Nakonec najdeme řešení rovnice (B.l) na (0, oo), které splňuje podmínky omezenosti y(x) je omezená pro x —> 0 + a pro x —> oo . Je-li A < 0, pak lim \y(x) \ = oo, a t^O, 0, a = 0. V tomto případě tedy všechna záporná čísla A_ jsou vlastními čísly a příslušné vlastní funkce jsou v-(x) = e h x. Podobně pro A = 0 je lim = < ' ^ ' ^°oliA n \b, a = o. Číslo Ao = 0 je vlastním číslem a příslušná vlastní funkce je vq(x) = const =/= 0. Pro A > 0 jsou všechna řešení omezená, takže jakékoliv kladné číslo A+ je vlastním číslem a příslušné vlastní funkce jsou v+(x) = cos ———x, v+(x) = sm ———x. a a Tvrzení 9. Označme Ml C C2(a,(3) množinu funkcí splňujících nějaké homogenní okrajové podmínky. Je-li operátor L symetrický na množině Ml a 0 7^ Ai 7^ A2 jsou jeho dvě vlastní čísla, pak odpovídající vlastní funkce jsou orthogonální v prostoru L2(a, j3). Důkaz: 13/3 13 1 f 1 f Vi(x)v2(x)dx = — I Aifi(x)v2(x)dx = — I Lvi(x)v2(x)dx = Ai J Ai J a a 13 13 = j- Jvi(x)Lv2{x)dx = y~ Jvi(x)v2(x)dx. A \ (Í 1 - -r- ) / v1(x)v2(x)dx = 0 Odtud ^ ~ Ai a 13 a poněvadž Ai 7^ A2, musí platit Jvi(x)v2(x)dx = 0. □ 1 Prostor C2(a,/3): 13 2 Množina funkcí definovaných na intervalu (a, /3) takových, že j (f (x)) dx < 00, tvoří vektorový prostor. Skalární a součin funkcí /, g v tomto prostoru definujeme vztahem ( / | 9) = / f(x)g(x)dx a normu funkce / vztahem ||/|| = i-i- 9 2 \ (/ I /)• Funkce f a g v tomto prostoru považujeme za ekvivalentní, pokud ||/ — g\\ = j (f (x) — g(xj) dx = 0. a Pokud ekvivalentní funkce ztotožníme, dostaneme prostor C2(a, 0). 166 Sturmova-Liouvilleova úloha Jedná se o samoadjungovanou rovnici na konečném intervalu s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \y(x), x G (0,1), (B2, a0y(0) + /30y'(0) = 0 = a1y(l)+í3iy'(l)- 1 '' Věta 3. Platí následující tvrzení: • Sturmova-Liouvilleova úloha má nekonečně mnoho vlastních čísel Ai, A2, ■ ■ ■, pro která platí min{g(x) : i€ [0,1]} < Ai < A2 < ■■■ ; lim A„ = 00 . • Každému vlastnímu číslu Sturmovy-Liouvilleovy úlohy přísluší právě jedna normovaná vlastní funkce. • Vlastní funkce vn = vn(x) odpovídající vlastnímu číslu \n má v intervalu (0,1) právě n — 1 nulových bodů. Mezi každými dvěma sousedními nulovými body vlastní funkce vn leží právě jeden nulový bod vlastní funkce tVi+i- Zejména vlastní funkce v\ nemění znaménko na intervalu (0,l). • Posloupnost {fn}^Li normovaných vlastních funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy tvoří úplnou orthonormální posloupnost na [0,1]. Tj. je-li funkce f G L2(0,ľ), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k orthonormální posloupnosti {fn}^Li konveryuje k funkci f podle středu (konveryence v prostoru L2(0, l)). Je-li funkce f navíc spojitá a splňuje homoyenní okrajové podmínky, je tato konveryence stejnoměrná. Důkaz: Viz J. KALAS, M. RÁB: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, str. 158-163. Důkaz je tam proveden pro případ p = 1. □ Tvrzení věty jsou ilustrována třemi příklady na str. 164-166: Dirichletova úloha -a2y" = Xy 0 < x < l, 2/(0) = 0 = 2/(0 má vlastní čísla nira \ 2 K = ( ——J , n = 1,2,3, která evidentně tvoří rostoucí posloupnost s nevlastní limitou 00, ke každému vlastnímu číslu přísluší právě jedna normovaná vlastní funkce 2 mr vn(x) = - sin — x. Přitom nulové body vlastní funkce vn uvnitř intervalu (0,1) a nulové body vlastní funkce vn+\ uvnitř intervalu (0,1) a jsou kl kI X]~ = , k = 1,2,3,... ,n 1, a xK = ; —, k = 1,2,3,..., n n n + 1 a pro tyto hodnoty platí (q - 1)1 ql ql < ——r < —, 1 = i>2, n n + 1 n Poslední tvrzení věty plyne z teorie trigonometrických Fourierových řad. 167 Periodická úloha -a2y" = \y x e R, y (x) = y(x + 1) x e R má vlastní čísla \n = í—— J , n = 0,l,2,..., která opět tvoří rostoucí posloupnost s nevlastní limitou oo. Ovšem ke každému z vlastních čísel \n, n = 1,2,... existují dvě nezávislé vlastní funkce cos ~~~x a sin ~j~x' Předpoklad věty, že homogenní okrajová podmínka je Robinova, tedy nelze zeslabit tak, že by okrajová podmínka mohla být i periodická. Libovolné reálné číslo je vlasním číslem okrajové úloha s podmínkami ohraničenosti —a2y" = \y x e (0, oo), limsup |y(x)| < oo. x—>oo Tato vlastní čísla netvoří posloupnost; říkáme, že spektrum operátoru je spojité (není diskrétní). Vlastní čísla a vlastní funkce některých speciálních (ale důležitých) Sturmových-Liouvilleových úloh tvaru -a2y" = Xy, 0 < x < l, R nazveme Greenovou funkcí homogenní okrajové úlohy Ly(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = 0, x e (0,1), a0y(0) + pV(0) = 0 = aiz/(/) + /W(0- kde p(x) > 0 pro x G [0, l], jestliže (i) G je spojitá pro x G [0, l] x [0, Z], (ii) G je symetrická, tj. G(x,£) = G(£,x), (iii) pro každé £ G [0, l] má funkce G(-, £) spojité derivace druhého řádu, (iv) pro každé £ G [0, l] je funkce G(-, £) řešením uvažované okrajové úlohy, 171 (v) lim Gx(x,£)- lim Gx(x,£) =---— pro £ G (0, Z). Věta 4. Má-li uvažovaná homogenní okrajová úloha jen triviální řešení y = 0 a jsou-li funkce p G C1(0, Z), q G C2(0, Z), existuje právě jedna její Greenova funkce. Nehomogenní okrajová úloha Ly(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = f(x), x e (0,1), a0y(0) + /W(0) = 0 = aiz/(/) + aV(0- má pak jediné řešení tvaru i V(x) = J f(Z)G(x,OdZ. o Důkaz: Viz I. KlGURADZE: Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1997, str. 82. Důkaz je proveden pro mnohem obecnější situaci. □ _ * B.4 Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami Ly(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = f(x), x e (0,1), a0y(0) + Poy'(0) = Vo, «12/(0 + plV'(l) = m- Jestliže funkce w = w(x) splňuje okrajové podmínky a0w(0) + f30w'(0) = rjo, a\w(ľ) + fiiw1 (l) = rji a funkce u = u(x) je řešením úlohy Lu(x) = f(x) — Lw(x) s homogenními okrajovými podmínkami a0u(0) + /V*'(0) = 0 = alU(l) + j3lU'(l), pak funkce y(x) = u(x) + w(x) je řešením uvažované úlohy, jak se snadno přesvědčíme přímým výpočtem. Funkci w je vhodné volit v co nejjednodušším tvaru, například polynom. Konkrétně lze volit polynom nejvýše druhého stupně ve tvaru -F7—, , oft n,—x + 1TX> Po(ail + 2/3i)Ý 0, pQ(a\l + 2/3i)Z /30 aoVi - aiVo 2 , Vo --x J-- ag(ail + 2/3i)Z ag ' A, = 0 ^ ail + 201 ,,(r) - J &im - &om . Pim + Porn , . oa n , a . « oíitjo - a0t]i r/i -;-2ľH--, QíqQíIÍ Cíl a±l + 2fii = 0 = aoj3i + a±j3o Vi Vo Cti Ctg a.\l + 2/3i = 0 = oíqPi + a.\Po, a^ai = 0. 172 Cvičení Řešte okrajové úlohy 2 1) -y"--y' = 0, x G (0,1); y(í) = y0, y je omezená pro x ->• 0+. x 2) - (x2y')' = 0, x G (l,oo); y(l) = y0, lim = 0. x—>oo 3) — (xyf) = 0, x G (1, oo); y(l) = í/q? V Je omezená pro re —> oo. 4) -xy" - y' = 0, x G (1, 2); y(l) = y1; y(2) = 0. 5) —x2y" — xy' + A;2y = 0, x G (0, Z); y(Z) = 1, y je omezená pro x —> 0+; k je parametr. 6) -xy" - y' = -x, x G (0, l); y(0) = y(l) = 0. 7) -y" = sinx, x G (0, 2tt); y'(0) = y'(27r) = 0. Najděte vlastní funkce okrajových úloh a vlastní čísla příslušných operátorů 8) -v" = Xv, x G (0, l); v'(0) = v'(l) = 0. 9) -v" = Xv, x G R; v(x) = v(x + 2tt). 10) —v" + qv = Xv, x G (0, l); v'(0) = 0, v(l) = 0; g je parametr. Řešte okrajové úlohy 11) ~y" - u2y = f(x), x G (0, l); y(0) = y(l) = 0; uj je parametr. 12) -y"-3y=^y^, i£(0,f); y(0) = y(tt) = 0. 13) Najděte Greenovu funkci úlohy —y" + y = 0, y(0) = y(l) = 0. 14) Ověřte výsledky uvedené v tabulce B.l. Výsledky: I) y(x) = y0 2) y(x) = f 3) y(x) = y0 4) y(x) = yi1^^ 5) y(x) = (f )|fe| 6) nemá řešení 7) y(x) = sin x — x + C, C je libovolná konstanta 8) Xn = (2f)2, vn(x) = cos 2fx, n = 0,1, 2,... 9) Xn = n2, vn{x) = Cn cosnx+Dn sin na;, Cn, Dn jsou libovolné konstanty, Co 7^ 0, n = 0,1, 2, 10) Xn = q+(^^)\vn{x) = cosQ^p-: II) y(x) = Bsm!fx + ±f /(£) sin !f(£ - x)d£ pro f = k G N a / / (O sin = 0, o o B je libovolná konstanta; x l x oo . k7v c . k7v y(z) = hl /(O sin u(£ - x)d^ - ^ / /(O sin c(4 - x)d^ = 21 j /(£) E ""^L" I*^ o 00 fe=i pro f £ N OO 12) y(x) = E fc(fc"-3) = I (c°sV3a; - cotgVŠTr sinV^x) + ±(x - tt) 13) G(x,£) = sinh(l—a;) sinh f r\ ^ ŕ ^ ^- 1 —4^—£, o<£ d2 u ^ d í du dqj \ ^ / dqj ^ d2 u dqk du d2 q j dx2 ^ dxl \dqj dxl) \ dxl f-^ dqjdqk dxl dqj dx2 >—^ >—^ d2 u dqj dqk ^ du d2 q j i i, dqjdqk dxt dxt ^ dqj dx2 j—l k—l J j—l J L n, — ± V^lk ^^1 ^^1 ^hj pro i = 1,2,... ,n. Tedy a _ " I " J^d^dq^ " du d2q, i=i \j,k=i d1Jd1k dx* dx* Jťi d1j dxi y íydgjdqA d2u | " / " ^ n gu \~t dx*dx* J d R. Vyjádříme dvojný integrál df(x,y) dy dxdy. v{x,y) b x Výpočet ukážeme za jednoduché situace: Oblast íl je jednoduše souvislá, její hranice má tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je tečna rovnoběžná s osou y a právě dva body, v nichž je tečna rovnoběžná s osou x. Průmět množiny íl na osu x označíme jako interval [a,b]. Vzhledem k oválnému tvaru hranice oblasti íl můžeme její „dolní" a „horní" oblouk považovat za funkce proměnné x; označíme je a(x) a fi(x). Předpokládejme, že hranice oblasti díl je dána parametrickými rovnicemi x = ip(s), y = i>(s), s g [s0,s2]. Předpokládejme dále, že parametrizace hranice je souhlasná s její orientací, platí (s2)) a pro hodnotu parametru si, sq < si < s2 platí if(si) = a. Za této situace je a(x) = a(ip(s)) = ip(s), s e [h,t2] a j3(x) = /3(ip(s)) = ip(s), s e [ŕ0, Tečný vektor t = T(x,y) ke hranici díl v bodě (x,y) = ((p(s),ip(s)) má souřadnice ((f(s),tp(s)), kde ' označuje obyčejnou derivaci podle parametru. Jednotkový vektor vnější normály v = u(x, y) ke hranici díl v bodě (x,y) = ((p(s),ip(s)) má souřadnice {V1,V2} = 1' p(s)2 +ip(s)2 Hledaný integrál rozepíšeme podle Fubiniho věty (p(s) ip(s)2 + y)(sf df(x,y) dy /3(x) dxdy = a \a(x) W^yldy\dx= [ (f(x,f3(x),)-f(x,a(x))) Poslední integrál přepíšeme jako rozdíl dvou integrálů a zavedeme substituci x = f (s). Pak je dx = (p(s)ds pro s g [íi,Í2] a dx = — (p(s)ds pro s g [ío,íi], neboť v tomto oboru parametru (na horním oblouku) je hranice orientována „proti" orientaci osy x. Dostaneme tak /( f (x, y)v2(x, y)ds, dy Q dQ nebo stručně |^dxdy = f fv2db. (C.l) Q dQ Pokud by oblast fž byla nějak „komplikovanější", bylo by potřebné hranici rozdělit na více částí, výpočty by ale byly v podstatě stejné. Analogicky odvodíme rovnost ^ dxdy = J jvx dS. Q dQ Položíme-li / = uv, kde u, v jsou diferencovatelné funkce na fž, dostaneme vzorce pro integraci per partes u dvojných integrálů: /dv ľ ľ du ľ dv ľ ľ du u—dxdy = i uvv\db — I v — dxdy, / u— dxdy = i uvv2db — I v— dxdy. (C.2) dx J J dx J dy J J dy Q dQ Q Q dQ Q 11 i , , dv dv Na miste výrazu v budeme v prvm z těchto rovnosti psat — a ve druhé —. dx dy d2v f dv f du dv f d2v f dv f du dv u—^dxdy = / u——vidb — / ——dxdy, / u——dxdy = / u—v2db - / ——dxdy. dxz J dx J dx dx J dyz J dy J dy dy Q dQ Q Q dQ Q Sečtením těchto rovností dostaneme dv d v ^ í du dv du dv \ uAvdxdy = lul ^-vi + ^-v2 ) db - I — — + ttT" dxdy ■ dx dy J J \dx dx dy dy J Q dQ Q dv dv Výraz — v\ + — v2 je derivace funkce v ve směru jednotkového vektoru vnější normály. Označíme dx dy dv ho —— a dostaneme první Greenuv vzorec dv a i i ľ 9v f (du dv du dv\ uAvdxdy = / u—db - / — — + — — dxdy. (0.3) J dv J \dx dx dy dy J Q dQ Q Výměnou funkcí u a v y tomto vzorci dostaneme du , „ f ( du dv du dv \ v Au dxdy = v—db- / [—— + ——) dxdy, J dv J \dx dx dy dy) Q dQ Q a odečtením těchto dvou tvarů prvního Greenova vzorce dostaneme druhý Greenův vzorec /( dv du \ u---v— db. (CA) \ dv dv J Q dQ Podíváme se na analogie těchto formulí v jednorozměrné oblasti, to je na intervalu (a,b). Hranice této oblasti je dvoubodová, d(a, b) = {a, b}, vektor vnější normály v bodě a míří doleva, 178 v bodě a doprava, tedy i/(a) = — 1 a i/(b) = 1. Povrchovým integrálem přes hranici intervalu budeme rozumět součet funkčních hodnot. Analogií formule (Cl) je v jednorozměrném případě b f(x)dx = J f(x)i/(x)ds = -f(a) + f(b) = [f(x)]bx=a. a {a,b} To je Newtonova-Leibnizova formule, tedy formule platná. Formule (C.2) má tvar b u(x)v'(x)dx= [u(x)v(x)]x—a~J u'(x)v(x)dx, a což je standardní formule pro integraci per partes. Greenovy vzorce (C.3) a (C.4) mají v jednorozměrném případě tvar b b u(x)v"(x)dx= [u(x)v(x)]b — / u'(x)v'(x)dx (u(x)v"(x) — u"(x)v(x)) dx = [u(x)v'(x) — u'(x)v(x)] b ', tyto vzorce bezprostředně plynou z formule pro integraci per partes. Odvodili jsme tedy vzorce obsahující „objemový" a „povrchový" integrál z funkcí R™ —> R, které platí pro n = 1,2. Indukcí, naprosto neúplnou, odtud uhodneme správný závěr1: Nechť fž c Rn je oblast s dostatečně hladkou hranicí dfl, u, v dvakrát diferencovatelné funkce na fž a v = (v\, i/2,... , i/n) jednotkový vektor vnější normály k díl. Pak platí: • Newtonova-Leibnizova formule p-dV = í f^dS. (C.5) an • Integrace per partes 3d ľ ľ 3ii u—dV= / uvi/.dS- / v— dV, i = 1,2,..., n. (C.6) óxl J J óxl díl Q První Greenův vzorec q an q an • Druhý Greenův vzorec (uAv-vAu)dV = I [u^-v^)dS. (C.8) ' 1 ov ov ' an 1 „Odvození" vzorců samozřejmě není dostatečné. Je ale jednoduché a intuitivní, proto (snad) umožňuje vzorce, jejichž přesný důkaz je technicky náročný, s klidným svědomím přijmout. 179