Numerické metody – příklady
Obsah
1 Prostá iterační metoda (metoda pevného bodu) 1
2 Newtonova metoda 3
3 Metoda sečen a regula falsi 4
4 Systémy nelineárních rovnic 5
5 Systémy lineárních rovnic – přímé metody 6
6 Polynomiální interpolace 8
7 Splajny 9
8 Bernsteinovy polynomy, Bézierovy křivky 10
9 Numerické derivování 10
10 Numerické integrování 11
11 Metoda nejmenších čtverců 12
12 Numerická optimalizace 13
1 Prostá iterační metoda (metoda pevného bodu)
Příklady ze skript
Příklad 1.
Funkce f(x) = x3
+ 4x2
− 10 má jediný kořen v intervalu [1; 1,5]. Uvažujte tyto iterační funkce pro
nalezení kořene (ξ ≈ 1,365230013):
g1(x) = x − x3
− 4x2
+ 10 g4(x) =
10
4 + x
1
2
g2(x) =
10
x
− 4x
1
2
g5(x) = x −
x3
+ 4x2
− 10
3x2 + 8x
g3(x) =
1
2
(10 − x3
)
1
2
Nechť počáteční aproximace x0 = 1,5. Ukažte, že funkce g3, g4, g5 jsou vhodné iterační funkce (tj.
posloupnost iterací konverguje ke kořenu ξ). Dále ukažte, že volba funkce g1 vede na divergentní
posloupnost a posloupnost {xk}, xk = g2(xk−1), x0 = 1,5, není definována (v oboru reálných čísel).
1
Příklad 2.
Ukažte, že funkce g(x) = 2−x
má jediný pevný bod v intervalu [1
3
; 1]. Najděte tento pevný bod
s chybou menší než 10−4
. Kolik iterací je třeba k dosažení této přesnosti?
(Řešení: Pro x0 = 1 je třeba 15 iterací.)
Příklad 3.
Je dána rovnice 3x2
− ex
= 0. Určete interval, ve kterém leží záporný kořen této rovnice. Najděte
vhodnou iterační funkci g, pro kterou iterační metoda xk+1 = g(xk) bude konvergovat k tomuto
kořenu.
Doplňující otázka: Kolik je kladných kořenů a jaké budou vhodné iterační funkce pro konvergenci
k nim?
Příklad 4.
Je dána rovnice 3x3
− x − 1 = 0. Určete interval, ve kterém leží kladný kořen této rovnice. Najděte
vhodnou iterační funkci g, pro kterou iterační metoda xk+1 = g(xk) bude konvergovat k tomuto
kladnému kořenu.
Příklad 5.
Je dána iterační funkce g(x) = (6 + x)1/2
. Pevný bod je ξ = 3. Znázorněte geometricky příslušný
iterační proces xk+1 = g(xk), x0 = 7. Bude tento iterační proces konvergovat?
Příklad 6.
Ukažte, že iterační funkce
g(x) =
1
2
x +
2
x
splňuje podmínky pro výpočet
√
2. Jaký tvar má funkce g pro výpočet
√
a, a > 0?
Příklad 7.
Je možné použít prostou iterační metodu v případě, že funkce g zobrazuje interval I = [a, b] do sebe
a platí |g′
(x)| ≤ 1, přičemž rovnost nastává pouze v některém z krajních bodů intervalu I? Proč?
2
Další příklady
Příklad 1.
Je dána iterační funkce g(x) = 1
6
(7 − x3
) − 1
2
(x − x2
).
(i) Ukažte, že x = 1 je pevný bod funkce g.
(ii) Ukažte, že funkce g je kontrakce na intervalu [0, 2].
(iii) Určete řád konvergence metody pevného bodu dané vztahem xk+1 = g(xk) na intervalu [0, 2].
Příklad 2.
Ukažte, že iterační funkce
g(x) =
A
2(x + 1) − A
, A > 0
má jediný kladný pevný bod ξ = A
2
. Určete, pro jaké hodnoty parametru A je funkce g kotrakce.
2 Newtonova metoda
Příklady ze skript
Příklad 1.
Užitím Newtonovy metody vypočtěte
√
13. Zvolte vhodnou funkci a počáteční aproximaci.
Příklad 2.
Newtonovou metodou nalezněte řešení rovnice x = cos x.
Příklad 3.
Užitím Newtonovy metody s počáteční aproximací x0 = 10 vypočtěte
√
91.
Příklad 4.
Na parabole y = x2
najděte užitím Newtonovy metody bod nejbližší bodu (1, 3).
Návod:
1. Určete druhou mocninu vzdálenosti d2
(x) bodu X = (x, x2
) ležícího na parabole a bodu (1, 3).
2. Řešte rovnici (d2
(x))′
= f(x) = 0. Za počáteční aproximaci zvolte x0 = 1, 0.
Příklad 5.
Užijte Newtonovu metodu k nalezení kořenů funkcí
• x3
− 2x2
− 5 = 0, ξ ∈ [1, 4],
• x − 0,8 − 0,2 sin x = 0, ξ ∈ [0, π
2
],
• 3x2
− ex
= 0, ξ ∈ [0, 2].
Příklad 6.
Je dána rovnice 4x−7
x−2
= 0. Je x0 = 3 vhodná počáteční aproximace pro použití Newtonovy metody?
Příklad 7.
Je dána funkce f(x) = cos x. Newtonovou metodou chceme najít kořen ξ = 3π
2
. Můžeme použít
počáteční aproximaci x0
= 3? Proč?
Můžeme použít počáteční aproximaci x0 = 5? Proč?
Příklad 8.
Je dána funkce f(x) = (x − 3). Můžeme užít Newtonovu metodu pro nalezení kořene s počáteční
aproximací x0 = 4? Proč?
Jaká je vhodná počáteční aproximace?
3
Další příklady
Příklad 1.
Je dána rovnice 3x2
= ex
. Pokuste se najít všechna řešení s pomocí Newtonovy metody.
Příklad 2.
Funkce f(x) = x sin x má kořen v 0 a f′
(0) = 0. Ukažte, že Newtonova metoda přesto konverguje k 0
pro x0 = 1.
Dokažte, že řád konvergence je roven 1.
Příklad 3.
Funkce f(x) = 2−
√
x je klesající a konvexní (viz Fourierovy podmínky) na intervalu [0, 5]. Je x0 = 0
vhodná počáteční iterace?
Příklad 4.
Funkce f(x) = ex2+x3
− 2 má jediný kladný kořen. Nalezněte interval, v němž kořen leží a na kterém
jsou splněny Fourierovy podmínky pro konvergenci Newtonovy metody. Tyto podmínky ověřte. Pak
zvolte vhodně počáteční iteraci (a spočtěte další tři iterace pomocí Newtonovy metody).
Příklad 5.
Uvažujme Newtonovu metodu pro funkci f(x) = xe− 1
|x| . Ukažte, že pro x0 = 1 platí xn = 1
n+1
.
Příklad 6.
Vyzkoušejte Newtonovu metodu na funkci f(x) = |x|.
3 Metoda sečen a regula falsi
Příklady ze skript
Příklad 1.
Užijte a) metodu sečen, b) metodu regula falsi k nalezení kořenů funkcí
• x3
− 2x2
− 5 = 0, ξ ∈ [1, 4],
• x − 0,8 − 0,2 sin x = 0, ξ ∈ [0, π
2
],
• 3x2
− ex
= 0, ξ ∈ [0, 2].
Příklad 2.
Je dána rovnice 4x−7
x−2
= 0. Jaké jsou vhodné počáteční aproximace pro metodu regula falsi? Co se
stane, pokud zvolíme počáteční iterace nesprávně?
Příklad 3.
Metodou sečen a regula falsi najděte kladný kořen rovnice x2
− 7 = 0.
Další příklady
Příklad 1.
Pokud použijeme metodu sečen pro nalezení
√
a, a > 0 (funkce f(x) = x2
− a) a zvolíme počáteční
iterace větší než
√
a, je možné, aby metoda nekonvergovala?
Příklad 2.
Newtonova metoda nekonverguje pro funkci f(x) = arctan x, pokud zvolíme příliš velkou počáteční
iteraci (větší než 1.4). Jak je to s konvergencí metody sečen a regula falsi? Jak zvolit počáteční iterace?
(Lze zkusit i v Matlabu.)
4
4 Systémy nelineárních rovnic
Příklady ze skript
Příklad 1.
Uvažujme systém nelineárních rovnic
x1 =
2x1 − x2
1 + x2
2
(parabola),
x2 =
2x1 − x2
1 + 8
9
+
4x2 − x2
2
4
(elipsa).
Zvolte x0
= (1,4; 2,0)T
a vypočtěte 2 iterace
1. iterační metodou xk
= G(xk−1
),
2. Seidelovou metodou.
Výsledky porovnejte s přesným řešením ξ
.
= (1,4076401; 1,9814506)T
.
Příklad 2.
Je dána soustava nelineárních rovnic
x1 =
7x3
1 − x2 − 1
10
≡ g1(x1, x2)
x2 =
8x3
2 + x1 − 1
11
≡ g2(x1, x2)
Tato soustava má 9 pevných bodů.
Ověřte, že v okolí bodu (0,0) splňuje tato soustava podmínku pro konvergenci iteračního procesu
xk+1
1 = g1(xk
1, xk
2)
xk+1
2 = g2(xk
1, xk
2)
.
Bude tato podmínka splněna v okolí bodu (1,1)?
Příklad 3.
Je dán systém nelineárních rovnic
x2
1 − x2 − 0,2 = 0,
x2
2 − x1 − 0,3 = 0.
Užitím Newtonovy metody nalezněte kořen ležící v 1. kvadrantu. Počáteční aproximaci určete graficky.
(x0
= (1,2; 1,2)T
)
Další příklady
Příklad 1.
Střelec vystřelí projektil směrem na pohybující se terč, který je v okamžiku výstřelu 50 m daleko
a 80 m vysoko a pohybuje se směrem od střelce ve vodorovném směru. Jeho počáteční rychlost je
v1 = 2 m/s a má zrychlení a = 1 m/s2
. Projektil má počáteční rychlost v2 = 100 m/s, gravitační
zrychlení je g = 10 m/s2
, odpor vzduchu zanedbáme. Pod jakým úhlem θ musí střelec vystřelit
směrem k terči, aby ho zasáhl? Použijte Newtonovu metodu pro nalezení obou řešení a určete také
čas do zásahu pro jednotlivé případy.
Pohybové rovnice (s – vodorovná vzdálenost, h – výška)
terč: s1 = v1t + 1
2
at2
, h1 = 80
projektil: s2 = v2t cos θ, h2 = v2t sin θ − 1
2
gt2
.
Zásah nastane pro s2 = s1 + 50, h2 = h1.
5
Příklad 2.
Použijte Newtonovu metodou na první dva příklady z předchozí části.
Příklad 3.
Problém zkřížených žebříků
Dva žebříky o délkách 2 a 3 metry jsou opřeny v uličce mezi dvěma zdmi a to tak, že každý z nich
stojí u jedné zdi a opírá se o druhou. Žebříky se kříží ve výšce 1 metr. Jaká je šířka uličky?
Návod: Pokud označíme x šířku uličky, y a z výšky, ve kterých se žebříky opírají, získáme z podobnosti
trojúhelníků a z Pythagorovy věty systém tři rovnic pro x, y a z, který můžeme vyřešit Newtonovou
metodou.
5 Systémy lineárních rovnic – přímé metody
Příklady ze skript
Příklad 1.
Řešte systém GEM a) bez výběru hlavního prvku, b) s částečným výběrem hlavního prvku:
x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8
2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = −20
x1 + x2 + x3 = −2
x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4
(Řešení: x1 = −7, x2 = 3, x3 = 2, x4 = 2.)
Příklad 2.
Užijte Gaussovu eliminační metodu s částečným výběrem hlavního prvku pro řešení soustavy
x2 + x3 = 0
2x1 + 2x2 + 3x3 = 1
x1 + 2x2 + x3 = 5
.
Příklad 3.
Ukažte že matici A nelze rozložit na součin horní a dolní trojúhelníkové matice:
A =




1 1 1 1
1 1 0 2
2 2 3 0
−1 −1 −2 2



 .
Řešte nyní systémy Ax = b1, Ax = b2, kde b1 = (7, 8, 10, 0)T
, b2 = (7, 5, 10, 0)T
. Užijte GEM a
ukažte, že systém Ax = b1 má nekonečně mnoho řešení a systém Ax = b2 nemá žádné řešení.
Příklad 4.
Přesné řešení systému
1,133x1 + 5,281x2 = 6,414
24,14x1 − 1,210x2 = 22,93
je x = (1, 1)T
. Řešte tento systém se zaokrouhlováním na 4 cifry
1. GEM bez výběru hlavního prvku,
2. GEM s částečným výběrem hlavního prvku.
( 1. x1 = 0,9956, x2 = 1,001; 2. x1 = 1,000, x2 = 1,000.)
6
Příklad 5.
Najděte LU rozklad A = LU (lii = 1, i = 1, 2, 3)
A =


−5 2 −1
1 0 3
3 1 6


(Řešení: L =


1 0 0
−0,2 1 0
−0,6 5,5 1

, U =


−5 2 −1
0 0,4 2,8
0 0 −10

)
Příklad 6.
Nechť A je pozitivně definitní matice. Ukažte, že
1. aii > 0, i = 1, 2, . . . , n,
2. max
1≤i≤n
aii = max
i,j
|aij|.
Příklad 7.
Je možné provést rozklad A = LR, respektive PA = LR pro singulární matici A?
Příklad 8.
Je možné rozložit matici
A =


3 3 2
−1 −1 4
2 8 −2


na součin dolní a horní trojúhelníkové matice?
Příklad 9.
Choleského metodou řešte soustavu
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 5x2 + 5x3 = 11
x1 + 5x2 + 14x3 = 20
.
Příklad 10.
Choleského metodou řešte soustavu
x1 + 2x2 − x3 = 4
2x1 + 2x2 + 4x3 = 1
−x1 + 4x2 + 8x3 = −8
Příklad 11.
Croutovou metodou řešte systém
4x1 + 3x2 = 24
3x1 + 4x2 − x3 = 30
−x2 + 4x3 = −24
(Řešení: x∗
= (3, 4, −5)T
)
Příklad 12.
Nechť A je pozitivně definitní matice. Ukažte, že
1. aii > 0, i = 1, 2, . . . , n,
2. max
1≤i≤n
aii = max
i,j
|aij|.
Příklad 13.
Lze použít Choleského metodu pro řešení systému s maticí
A =
0 1
1 0
?
7
Další příklady
Příklad 1. (ukázka vlivu špatné podmíněnosti matice)
Řešení systému rovnic
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
4x1 + 5x2 + 6x3 = 15
7x1 + 8x2 + 9.001x3 = 24.001
.
je [1, 1, 1]T
. Určete řešení pro zaokrouhlenou pravou stranu [6, 15, 24]T
.
Příklad 2.
Croutovou metodou najděte rozklad mnatice
A =






2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 2






6 Polynomiální interpolace
Příklady ze skript
Příklad 1.
Najděte Lagrangeův interpolační polynom, je-li dáno
xi 0 1 2 5
fi 2 3 12 147
.
Vyzkoušejte přímý výpočet Lagrangeových fundamentálních polynomů i výpočet s využitím funkce
ωn+1 a Hornerova schematu. (P3(x) = x3
+ x2
− x + 2.)
Příklad 2.
S jakou přesností lze vypočítat
√
115 pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu pro funkci y =√
x, když vybereme za uzly interpolace x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144?
(|E(115)| ≤ 1,6.10−3
.)
Příklad 3.
Nechť li, i = 0, 1, . . . , n jsou Lagrangeovy fundamentální polynomy pro uzly x0,. . . ,xn. Dokažte:
1. Je-li li(0) = ci, i = 0, 1, . . . , n, pak
n
i=0
cixj
i =



1 pro j = 0
0 pro j = 1, 2, . . . , n
(−1)n
x0x1 . . . xn pro j = n + 1
(Návod: Využijte jednoznačnosti interpolačního polynomu. Pro poslední rovnost využijte první příklad
z následující části.)
Příklad 4.
Najděte Newtonův interpolační polynom, je-li dáno
xi 0 2 3 5
fi 1 3 2 5
(P3(x) = 3
10
x3
− 13
6
x2
+ 62
15
x + 1.)
8
Další příklady
Příklad 1.
Polynom Q(x) = xn+1
můžeme pro uzly x0,. . . ,xn vyjádřit jako Q(x) = ωn+1(x) + P(x), kde stupeň
polynomu P je nejvýše roven n. Ukažte, že P je interpolační polynom funkce Q na uzlech x0,. . . ,xn.
Příklad 2.
Pro přibližný výpočet sin 1 použije interpolační polynom a uzly
a) π
6
, π
3
b) π
6
, π
3
, π
2
c) 0, π
6
, π
3
, π
2
Jaká je maximální chyba v jednotlivých případech?
7 Splajny
Příklady ze skript
Příklad 1.
Nalezněte přirozený kubický interpolační splajn pro f(x) = cos2
x a uzly x0 = 0, x1 = π
2
, x2 = 3
4
π.
(S0(x) = 1 − 10
3π
x + 16
3π3 x3
, S1(x) = 2
3π
(x − π
2
) + 8
π2 (x − π
2
)2
− 32
3π3 (x − π
2
)3
.)
Další příklady
Příklad 1.
Pro uzly 0, 2, 3, 4, 6, 8, a funkční hodnoty 3, 1, 2, 0, −1, 1, určete explicitně lineární interpolační
splajn.
Příklad 2.
Mějme uzly x0, x1, x2 a nechť body [x0, f0], [x1, f1] a [x2, f2] leží na přímce. Uvažujme přirozený
kubický splajn, úplný kubický splajn a splajn s not-a-knot podmínkami. Kdy je některý z těchto
splajnů lineární funkcí?
Příklad 3.
Je některý ze splajnů z předchozího příkladu parabolou, pokud neleží body na přímce?
Příklad 4.
Pro uzly 0, 1, 2, 3 a odpovídající funkční hodnoty 1, −1, −3, 1 určí matlabovská funkce spline tabulku
koeficientů splajnu
1 −3 0 1
1 0 −3 −1
1 3 0 −3
.
Ukažte, že ve skutečnosti se jedná o interpolační polynom.
Příklad 5.
Ověřte, že koeficienty přirozeného kubického splajnu pro data z předchozího příkladu jsou
−0.4 0 −1.6 1
2 −1.2 −2.8 −1
−1.6 4.8 0.8 −3
.
9
8 Bernsteinovy polynomy, Bézierovy křivky
Početní příklady
Příklad 1.
Určete Bernsteinovy polynomy stupně 2, 3 a 4 pro funkci f(x) = x2
.
Příklad 2.
Funkce f je spojitá, po částech lineární se zlomem v bodě 0.5, f(0) = 0, f(0.5) = 0, f(1) = 1. Určete
Bernsteinovy polynomy stupně 2, 3, 4 a 5 pro funkci f.
Příklad 3.
Určete transformace pro výpočet Bernsteinova polynomy na libovolném intervalu [a, b].
Příklad 4.
Kdy je Bézierova křivka rovna Bernsteinovu polynomu?
Příklad 5.
Bézierova křivka pro řídící body P0,. . . ,Pn je uzavřená, pokud P0 = Pn. Kdy je tato křivka hladká?
Příklad 6.
Jak vypadá Bézierova křivka pro řídící body P0, P1, P2, pokud P0 = P2?
9 Numerické derivování
Příklady ze skript
Příklad 1.
Pro evidistantní body a funkční hodnoty (x−1, f−1), (x0, f0), (x1, f1) odovďte formule
f′
(x−1) ≈
1
2h
(−3f−1 + 4f0 − f1)
f′
(x1) ≈
1
2h
(f−1 − 4f0 + 3f1)
Příklad 2.
Odvoďte pětibodovou formuli pro ekvidistantní uzly ve tvaru
f′
0 ≈
1
12h
(f−2 − 8f−1 + 8f1 − f2).
Příklad 3.
Užitím tříbodových formulí vypočtěte derivace funkce v daných bodech
xi −0,3 −0,1 0,1 0,3
fi −0,20431 −0,08993 0,11007 0,39569
Pro body −0,1 a 0,1 použijte centrální i necentrální formule.
(f′
(−0,3) ≈ 0,35785, f′
(−0,1) ≈ 0,78595, f′
(0,1) ≈ 1,2141, f′
(0,3) ≈ 61,6422.)
Příklad 4.
• Nechť f(x) = 2x
sin x. Aproximujte hodnotu f′
(1,05) užitím h = 0,05 a h = 0,01 a tříbodové
centrální formule jsou-li dány hodnoty:
xi 1,0 1,04 1,06 1,10
f(xi) 1,6829420 1,7732994 1,8188014 1,9103448
10
• Opakujte část a) pro případ, že všechny funkční hodnoty zaokrouhlíte na čtyři desetinná místa.
(2,27403, 2,27510.)
Příklad 5.
Užitím tříbodové centrální formule najděte první derivaci funkce f(x) = 1/(1 + x) v bodě x = 0,005.
Užijte a) h = 1,0, b) h = 0,01 a výsledky porovnejte s přesnou hodnotou. Vysvětlete!
10 Numerické integrování
Příklady ze skript
Příklad 1.
Určete koeficienty A0, A1, A2 tak, aby přesnost kvadraturní formule
1
−1
f(x) dx ≈ A0f −1
2
+ A1f(0) + A2f 1
2
byla alespoň 2.
(A0 = 4
3
, A1 = −2
3
, A2 = 4
3
.)
Příklad 2.
Určete koeficienty A0, A1 a uzel x0 pro formuli
1
0
√
xf(x) dx ≈ A0f(x0) + A1f(1).
(A0 = 7
15
, A1 = 1
5
, x0 = 3
7
.)
Příklad 3.
Určete algebraicky neznámé uzly x0, x1 a koeficienty A0, A1 pro formuli
π
0
sin xf(x) dx ≈ A0f(x0) + A1f(x1)
tak, aby bylo dosaženo maximálního stupně přesnosti.
(A0 = A1 = 1, x0,1 =
π
2
±
π2
4
− 2. )
Příklad 4.
Odvoďte Newtonovu-Cotesovu formuli otevřeného typu pro interval [−2, 3] s krokem h = 1.
(
3
−2
f(x) dx ≈ 5
24
(11f(−1) + f(0) + f(1) + 11f(2)))
Příklad 5.
Odvoďte Newtonovu-Cotesovu formuli uzavřeného typu pro interval [a, b] a n = 3 (tzv. pravidlo 3/8).
b
a
f(x) dx ≈
b − a
8
f(a) + 3f a +
b − a
3
+ 3f a +
b − a
3
+ f(b)
Příklad 6.
Aproximujte integrál π
4
0
sin x dx = 1 −
√
2
2
a) obdélníkovým, b) lichoběžníkovým, c) Simpsonovým pravidlem.
( a) 0,30055887, b) 0,27768018, c) 0,29293264. )
11
Příklad 7.
Následující integrály vypočtěte a) lichoběžníkovým, b) Simpsonovým pravidlem. Výsledky porovnejte
s přesnými hodnotami
1.
2
1
ln x dx, 2.
0,1
0
x
1
3 dx, 3.
π
3
0
(sin x)2
dx.
( a) 1. 0,34657, 2. 0,023208, 3. 0,39270,
b) 1. 0,38583, 2. 0,032296, 3. 0,30543. )
Příklad 8.
Užijte a) složeného lichoběžníkového, b) složeného Simpsonova pravidla pro výpočet integrálů:
1.
3
0
x
√
1 + x2 dx, M = 6,
2.
1
0
sin πx dx, M = 6,
3.
2π
0
x sin x dx, M = 8,
4.
1
0
x2
ex
dx, M = 8.
Porovnejte získané aproximace s přesnými hodnotami.
( a) 1. 10,3122, 2. 0,62201, 3. −5,9568, 4. 0,72889,
b) 1. 10,20751, 2. 0,6366357, 3. −6,284027, 4. 0,7182830. )
11 Metoda nejmenších čtverců
Příklady ze skript
Příklad 1.
Užijte metody nejmenších čtverců k nalezení nejlepší lineární aproximace pro hodnoty
xi -1 1 3 5 7
fi 1 3 4 5 6
Příklad 2.
Pro hodnoty
xi 0,00 0,25 0,5 0,75 1,00
fi 1,0000 1,2840 1,6487 2,1170 2,7183
nalezněte nejlepší aproximaci polynomem 1. a 2: stupně.
(Řešení: P1(x) = l, 7078x + 0, 8997, P2(x) = 0.8435x2
+ 0.8643x + 1.0051)
Příklad 3.
Pro hodnoty v předchozím příkladě:
1. Užijte tříbodové formule a vypočtěte derivace v bodech 0,25; 0,5; 0,75. V každém případě položte
střed formule do toho bodu, v němž počítáte derivaci.
2. Užijte aproximace získané metodou nejmenších čtverců v předchozím příkladě a vypočtěte derivace
P2 v uvedených bodech.
3. Porovnejte výsledky s hodnotami derivace přesné funkce f(x) = ex
.
12
Další příklady
Příklad 1.
Užijte metody nejmenších čtverců k nalezení aproximace hodnot
xi 0 2 4 6 8 10 12
fi 1 2 1 -2 4 6 11
lomenou čarou (spojitá po částech lineární funkce), která má zlom v bodě 6.
12 Numerická optimalizace
Příklady
Příklad 1.
Je možné použít metodu půlení intervalu a metodu zlatého řezu pro numerické hledání minima
klesající funkce? Pokud ano, co pak můžeme říci o posloupnostech generovaných metodami?
Příklad 2.
Použijte metodu půlení intervalu na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte aspoň
3 iterace.
Příklad 3.
Použijte metodu zlatého řezu na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte aspoň 3
iterace.
Příklad 4.
Použijte metodu kvadratické interpolace na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte
aspoň 3 iterace.
Příklad 5.
Použijte Newtonovu metodu na nalezení minima funkce ex
sin x na intervalu [4, 6), spočtěte aspoň 3
iterace. Je x0 = 4 vhodná počáteční iterace? K čemu konverguje metoda v tomto případě?
Příklad 6.
Jak bude fungovat Newtonova metoda pro nalezení minima funkce pro polynom 2. stupně?
13