Numerické derivování
Příklady ze skript
Příklad 1.
Pro evidistantní body a funkční hodnoty (x−1, f−1), (x0, f0), (x1, f1) odovďte formule
f′
(x−1) ≈
1
2h
(−3f−1 + 4f0 − f1)
f′
(x1) ≈
1
2h
(f−1 − 4f0 + 3f1)
Příklad 2.
Odvoďte pětibodovou formuli pro ekvidistantní uzly ve tvaru
f′
0 ≈
1
12h
(f−2 − 8f−1 + 8f1 − f2).
Příklad 3.
Užitím tříbodových formulí vypočtěte derivace funkce v daných bodech
xi −0,3 −0,1 0,1 0,3
fi −0,20431 −0,08993 0,11007 0,39569
Pro body −0,1 a 0,1 použijte centrální i necentrální formule.
(f′
(−0,3) ≈ 0,35785, f′
(−0,1) ≈ 0,78595, f′
(0,1) ≈ 1,2141, f′
(0,3) ≈ 61,6422.)
Příklad 4.
• Nechť f(x) = 2x
sin x. Aproximujte hodnotu f′
(1,05) užitím h = 0,05 a h = 0,01 a tříbodové
centrální formule jsou-li dány hodnoty:
xi 1,0 1,04 1,06 1,10
f(xi) 1,6829420 1,7732994 1,8188014 1,9103448
• Opakujte část a) pro případ, že všechny funkční hodnoty zaokrouhlíte na čtyři desetinná místa.
(2,27403, 2,27510.)
Příklad 5.
Užitím tříbodové centrální formule najděte první derivaci funkce f(x) = 1/(1 + x) v bodě x = 0,005.
Užijte a) h = 1,0, b) h = 0,01 a výsledky porovnejte s přesnou hodnotou. Vysvětlete!
Úkoly v Matlabu
Příklad 1. Odhad derivace funkce y = x3
.
a) Na intervalu [0, 3] vytvořte síť ekvidistantních uzlů postupně s krokem h = 0, 1, h = 0, 05 a
h = 0, 01, funkční hodnoty jsou hodnoty funkce y = x3
. Ve vnitřních uzlech vypočtěte odhad derivace
y′
pomocí tříbodové centrální formule. Výsledek pro každou hodnotu h porovnejte s přesnou derivací.
b) K funkčním hodnotám přidejte normální šum (y=x.^ 3+0.1*randn(size(x));), určete odhad
derivace ze zašuměných dat pro každé h a výsledek porovnejte s přesnou derivací.
c) Zašuměná data vyhlaďte (např. pomocí funkce polyfit) a udělajte odhady derivace pro vyhlazená
data.
Příklad 2.
Dokončete program EEM dodelat pro numerrické řešení počátečního problému explicitní Eulerovou
metodou a otestujte jej na vhodných příkladech.
1