Autonomní systémy
Charakteristika stacionárních bodů, nelineární systémy
Petr Liška
Masarykova univerzita
26.2.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 1 / 10
Lineární autonomní systém
Uvažujme lineární autonomní systém, tj.
x′
= Ax, kde x =
x
y
, A =
a b
c d
. (1)
Věta
Nechť A je regulární matice systému (1) a nechť λ1, λ2 jsou vlastní
čísla matice A. Stacionární bod [0, 0] je
• nestabilní uzel, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 ≥ λ2 > 0;
• stabilní uzel, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 ≤ λ2 < 0;
• sedlo, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 < 0 < λ2;
• nestabilní ohnisko, jsou-li λ1,2 = α ± βi a α > 0;
• stabilní ohnisko, jsou-li λ1,2 = α ± βi a α < 0;
• střed, jsou-li λ1,2 = ±βi.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 2 / 10
Malá odbočka - asymptotická stabilita
Definice
Řešení rovnice
x′
= f(x), (2)
se nazývá asymptoticky stabilní, když je stabilní a když ke každému
t1 ≥ t0 existuje δ = δ(t1) > 0 tak, že pro každé řešení x rovnice (2)
splňující nerovnost |x(t1) − x0(t1)| < δ platí
lim
t→∞
|x(t) − x0(t)| = 0.
Věta
Nulové řešení rovnice (1) je asymptoticky stabilní právě tehdy, když
každý kořen charakteristické rovnice matice A má zápornou reálnou
část.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 3 / 10
Nejjednodušší nelineární autonomní systém
Uvažujme systém
x′
= Ax + g(x), (3)
kde A je konstantní matice a g(x)
||x|| je spojitá funkce taková, že g(0) = 0
a
g(x)
||x||
→ 0 pro t → 0.
Věta
a) Nechť všechna vlastní čísla matice A mají zápornou reálnou část,
pak stacionární řešení x(t) ≡ 0 rovnice (3) je asymptoticky sta-
bilní.
b) Má-li alespoň jedno vlastní číslo matice A kladnou reálnou část,
pak je stacionární řešení x(t) ≡ 0 rovnice (3) nestabilní.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 4 / 10
Věta (Routh-Hurwitz)
Nechť
p(z) = zn
+ a1zn−1
+ a2zn−2
+ · · · + an−1z + an
je polynom s reálnými koeficienty, tj. ak ∈ R. Všechny kořeny polynomu
p mají zápornou reálnou část právě tehdy, když D1 > 0,
D2 > 0, . . . , Dn > 0, kde Dk je determinant matice řádu k
Dk =
a1 1 0 0 0 0 · · · 0
a3 a2 a1 1 0 0 · · · 0
a5 a4 a3 a2 a1 1 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
...
a2k−1 a2k−2 a2k−3 a2k−4 a2k−5 a2k−6 · · · ak
,
kde ak = 0 pro k > n.
Hurwitz, A.; Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur
Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt. Math. Ann. 46, 273–284
(1895).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 5 / 10
Takto šla historie
Uvažujme systémy
x′
=ax + by + P(x, y)
y′
=cx + dy + Q(x, y)
(4)
x′
=ax + by
y′
=cx + dy
(5)
Věta (Grobman-Hartman)
Nemá-li matice systému (5) čistě imaginární vlastní čísla a P a Q mají
spojité parciální derivace, pak existuje bijektivní zobrazení mezi trajektoriemi
rovnice (4) a trajektoriemi rovnice (5) z okolí stacionárního
bodu (4) do okolí bodu (0, 0).
Hartman, P; A lemma in the theory of structural stability of differential
equations. Proc. A.M.S. 11 (4), 1960. 610–620.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 6 / 10
Věta
Buďte P, Q funkce spojité v okolí počátku, které zde mají spojité parciální
derivace. Nechť ad − bc ̸= 0 a nechť existuje ε > 0 tak, že
lim
(x,y)→(0,0)
|P(x, y)| + |Q(x, y)|
(|x| + |y|)1+ε
= 0.
Pak je počátek uzel/ohnisko/sedlo pro systém (4), je-li stejného typu
pro systém (5). Je-li však počátek střed pro systém (5), je buď bodem
rotace nebo ohniskem pro systém (4).
Coddington, E. A., Levinson, N.; Theory of Ordinary Differential
Equations, McGraw-Hill, New York, 1965.
H. Poincaré (1892), I. Bendixson (1901), O. Perron (1922), H. Dulac
(1934), A. Wintner (1946).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 7 / 10
Metoda linearizace
Pro funkci dvou proměnných
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(y − a)+
+
1
2
[fxx(a, b)(x−a)2
+2fxy(a, b)(x−a)(x−b)+fyy(a, b)(y −b)2
]+· · ·
f(x) = f(a) + ∇f(a)(x − a) +
1
2
(x − a)T
D2
f(a)(x − a) + · · ·
Pro funkci více proměnných analogicky
f(x) = f(x⋆
) + Df(x⋆
)(x − x⋆
) + · · · ,
kde
[Df(x⋆
)]ij =
∂fi
∂xj x=x⋆
je Jacobiho matice.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 8 / 10
Metoda linearizace
f(x) ≈ f(x⋆
) + Df(x⋆
)(x − x⋆
)
Uvažujme
x′
= f(x), (6)
kde f(x) je hladká a nechť x⋆ je stac. bod, tj. f(x⋆) = 0, pak
x′
= f(x) = f(x⋆
) + Df(x⋆
)(x − x⋆
) + · · ·
a
x′
≈ Df(x⋆
)(x − x⋆
)
d
dt
(x − x⋆
) ≈ Df(x⋆
)(x − x⋆
)
y′
= Jy (7)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 9 / 10
Věta
Předpokládejme, že funkce f(x, y), g(x, y) jsou spojité a mají spojité parciální derivace
druhého řádu v okolí bodu [x0, y0] a že f(x0, y0) = g(x0, y0) = 0. Nechť
∂f(x0,y0)
∂x
∂f(x0,y0)
∂y
∂g(x0,y0)
∂x
∂g(x0,y0)
∂y
̸= 0 .
Pak je bod [x0, y0] izolovaným singulárním bodem systému
x′
= f(x, y)
y′
= g(x, y) .
(8)
Přitom je bod [x0, y0] asymptoticky stabilní/nestabilní uzel/ohnisko nebo sedlo pro systém
(8), je-li počátek singulárním bodem stejného typu pro systém
x′
=
∂f(x0, y0)
∂x
x +
∂f(x0, y0)
∂y
y
y′
=
∂g(x0, y0)
∂x
x +
∂g(x0, y0)
∂y
y .
(9)
Je-li však počátek střed pro systém (9), je bod [x0, y0] buď bod rotace nebo ohnisko pro
systém (8)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 26.2.2024 10 / 10