Autonomní systémy Zvláštnosti nelineárních systémů Petr Liška Masarykova univerzita 04.03.2024 Nulová reálná cast je opravdu problém Dva podobné, ale různé systémy Dokažte, že nulová řešení následujících systému mají různou stabilitu: x — y — x{x2 + y2) Vr = -x - y(x2 + y2) x = y + x(x + y ) yr = -x + y(x2 + y2) Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 04.03.2024 2/7 Existence „zvláštního" cyklu Limitní cykl Ukažte, že následující systém má jako trajektorii alespoň jeden cyklus xf — —y + x{l — x2 — y2) yf = x + y(l - x2 - y2) V čem se liší systém x1 = -2/(1 - x2 - y2)2 + x(l - x2 - y2)3 - y3 y' = x(i - x2 - y2)2 + y(l - x2 - y2)3 + xy2, který „numericky" vypadá „stejně"? Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 04.03.2024 3/7 Uvažme opět náš systém x' = f (x) (1) Definice ((Asymptoticky) stabilní cykly) Cyklus Cu rovnice (1) se nazývá stabilní, jestliže pro každou otevřenou množinu V C Kn, která obsahuje Cu, existuje otevřená množina W C V taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G W v čase nula, zůstane v množině V pro všechna t > 0. Cyklus Cu se nazývá asymptoticky stabilní, jestliže navíc existuje množina X C ]Rn taková, že každé řešení, které začíná v bodě xq G X, se asymptoticky blíží k Cu pro t —>> oo. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 04.03.2024 4/7 Jak poznat, že cyklus neexistuje? x' = f(x,y) y' = g(x,y) (2) Věta (Dulacovo kritérium, Bendixson-Dulac) Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Existuje-li spojitě diferencovatelná funkce (f){x,y) taková, že výraz d d (x,y)f(x,y)] + — [(/)(x,y)g(x,y)] dx dy nemění znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny íí, pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2). Dulac, H., Points singuliers des équations différentielles, Memoriál des Sciences Mathématiques, fasc. 61, Paris : Gauthier-Villar, 1934. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 04.03.2024 5/7 Důsledek (Bendixsonovo kritérium) Nechť Q je jednoduše souvislá oblast ve fázovém prostoru. Nemění-li výraz f(x,y) + -z-g{x,y) dxJ v 1 *7 ' dy znaménko v Q a není identicky roven nule v žádné otevřené podmnožině množiny pak v Q neexistuje uzavřená trajektorie systému (2). Bendixson, I., Sur les courbes définies par des equations différentielles, Acta Mathematica 24(1), 1901, 1-88. Příklad Ukažte, že daný systém nemá žádné uzavřené trajektorie d = y y' = -x - y + x2 + y2 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 04.03.2024 6/7 Jednoduché rozšíření Věta Nechť Q je otevřená souvislá oblast ve fázovém prostoru. Existuje-li spojitě diferencovatelná funkce (f){x,y) taková, že výraz d d {x, y)f{x, y)] + — [(x, y)g(x, y)] ^ 0 pro V(x, y) e íí dx dy Má-li Qc (doplněk Q) k komponent, potom (2) má nejvýše k cyklů v íí Příklad Ukažte, že van der Polova rovnice x" + s(x2 - l)x' + x = 0 má nejvýšše jeden limitní cyklus pro e ^ 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 04.03.2024