Autonomní systémy
Jak spočítat parametry?
Petr Liška
Masarykova univerzita
06.04.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 1 / 16
Richardsonova teorie konfliktů
x′
= ky − αx + g
y′
= lx − βy + h
[x0, y0] =
kh + βg
αβ − kl
,
lg + αh
αβ − kl
αβ − kl > 0 =⇒ stabilní
αβ − kl < 0 =⇒ nestabilní
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 2 / 16
První oprava
x = U − U0, y = V − V0
• U je rozpočet Jedeslandu a U0 je export z Jedeslandu do
Anderslandu,
• V je rozpočet Anderslandu a V0 je export z Anderslandu do
Jedeslandu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 3 / 16
Hodnoty „nenávisti“
• g, h se v podstatě nedají měřit,
• nejsou to ani spojité funkce,
• jsou ale přibližně konstantní v dlouhodobém horizontu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 4 / 16
Odhady dle Richardsona - α, β
• první pozorování – jednotky α, β, k a l jsou 1
čas ,
• je-li y = 0 a g = 0 pak
x(t) = e−α(t−t0)x(t0)
a odtud
x(t0 + α−1
) =
x(t0)
e
,
• α−1 je volební období parlamentu Jedeslandu (tj. α = 0,2 pro
Velkou Británii).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 5 / 16
Odhady dle Richardsona - k, l
• uvažme hypotetický případ, kdy g = 0 a y = y1, tj.
x′
= ky1 − α,
• je-li zároveň někdy x = 0, pak
1
k
=
y1
x′
,
a odtud
x = ky1t =⇒ x
1
k
= y1
• vzhledem k situaci v letech 1933–1936 v Německu uvažujeme, že
efekt α a g se vynuluje a k = 0,3 pro Německo
• k je přímo úměrné velikosti ekonomiky
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 6 / 16
Situace před I. světovou válku a naše odhady
• Jedesland = Francie+Rusko
• Andersland = Německo + Rakousko–Uhersko
• k = l = 0,9
• α = β = 0,2
αβ − kl = α2
− k2
= −0,77
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 7 / 16
Jak odhady korespondují s realitou?
d
dt
(x + y) = (k − α)(x + y) + g + h
d
dt
(U+V ) = (k−α) U + V − U0 + V0 −
g + h
k − α
−
1
k − α
d
dt
(U0 + V0)
1909 1910 1911 1912 1913
Francie 48,6 50,9 57,1 63,2 74,7
Rusko 66,7 68,5 70,7 81,8 92,0
Německo 63,1 62,0 62,5 68,2 95,4
R–U 20,8 23,4 24,6 25,5 26,9
∆(U + V ) 5,6 10,1 23,8 50,3
(U + V ) 202,0 209,8 226,8 263,8
∆(U + V ) = 0,73(U + V + 194)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 8 / 16
Lanchasterovy modely bitev
změna bojové síly = posily − operační ztráty − bojové ztráty
Konvenční boj:
x′
= −ay + f(t)
y′
= −bx + g(t)
Konvenční vs guerilla:
x′
= −cxy + f(t)
y′
= −dx + g(t)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 9 / 16
Bitva o Iwo Jimu 19.2.1945–26.3.1945
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 10 / 16
x′
= −ay + f(t)
y′
= −bx
f(t) =



54000 0 ≤ t < 1
0 1 ≤ t < 2
6000 2 ≤ t < 3
0 3 ≤ t < 5
13000 5 ≤ t < 6
0 t ≥ 6
x(0) = 0, y(0) = 21500
x(t) = −
a
b
y0 cosh
√
abt +
t
0
cosh
√
ab(t − s)f(s) ds
y(t) = y0 cosh
√
abt −
b
a
t
0
sinh
√
ab(t − s)f(s) ds
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 11 / 16
Výpočet parametru b
Integrováním druhé rovnice obdržíme
y(s) − y0 = −b
s
0
x(t) dt
a odtud
b =
y0 − y(s)
s
0 x(t) dt
=
y0 − y(36)
36
0 x(t) dt
=
21 500
36
0 x(t) dt
,
36
0
x(t) dt ≈
36
i=1
x(i) =⇒ b =
21 500
2 037 000
= 0,0106 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 12 / 16
Výpočet parametru a
Integrováním první rovnice obdržíme
x(28) = −a
28
0
y(t) dt +
28
0
f(t) dt = −a
28
0
y(t) dt + 73 000
a odtud
a =
73 000 − 52 735
28
0 y(t)
≈
73 000 − 52 735
28
j=1 y(j)
.
Neznámou funkci y aproximujeme
y(j) = y0 − b
j
0
x(t) dt ≈ 21 500 − b
j
i=1
x(i) .
a =
20 265
372 500
= 0,0544 .
Engel, J.H. A verification of Lanchaster’s law, Operations Research, 2, 1954, 163–171.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 13 / 16
Porovnání s realitou
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 14 / 16
Model konkurence dvou druhů
x′
= (a − bx − cy)x
y′
= (α − βy − γx)y
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 15 / 16
Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy 06.04.2024 16 / 16