Ústav matematiky a statistiky
Přírodovědecká fakulta
Masarykova univerzita
M7985 Analýza přežití II
Jaro 2024
Zadání domácích úloh
Stanislav Katina, Iveta Selingerová
katina@math.muni.cz, selingerova@math.muni.cz
2
Příklad 1. Uvažujte arkus sinus odmocninovou škálu funkce přežití, tj. arcsin S(t) .
(i) Odvoďte 100 × (1 − α)% intervaly spolehlivosti Waldova typu pro funkci přežití a
kumulativní rizikovou funkci.
(ii) Naprogramujte v funkci pro výpočet 100×(1−α)% intervalů spolehlivosti Waldova
typu funkce přežití v časech úmrtí.
(iii) Naprogramujte v funkci pro výpočet 100×(1−α)% intervalů spolehlivosti Waldova
typu kumulativní rizikové funkce v časech úmrtí.
(iv) Naprogramujte v funkci pro výpočet 100×(1−α)% pásu spolehlivosti funkce přežití
mezi nejmenším a největším časem události. Uvažujte Nairův i Hallův–Walnerův pás
spolehlivosti.
(v) Naprogramujte v funkci pro výpočet 100 × (1 − α)% pásu spolehlivosti kumulativní
rizikové funkce mezi nejmenším a největším časem události. Uvažujte Nairův i
Hallův–Walnerův pás spolehlivosti.
(vi) Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu
zobrazte odhad funkce přežití spolu s 95% empirickými intervaly spolehlivosti
Waldova typu a oběma typy 95% pásů spolehlivosti.
• Interval spolehlivosti zobrazte jako vertikální úsečky ve tvaru písmene „I .
• Pásy zobrazte jako schodovité křivky odlišené barevně pro jednotlivé metody.
• Zvolte vhodný typ odhadu funkce přežití a příslušného rozptylu.
(vii) Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu
zobrazte odhad kumulativní rizikové funkce spolu s 95% empirickými intervaly
spolehlivosti Waldova typu a oběma typy 95% pásů spolehlivosti.
• Interval spolehlivosti zobrazte jako vertikální úsečky ve tvaru písmene „I .
• Pásy zobrazte jako schodovité křivky odlišené barevně pro jednotlivé metody.
• Zvolte vhodný typ odhadu kumulativní rizikové funkce a příslušného rozptylu.
(viii) Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu
určete odhad pětiletého a osmiletého přežití spolu s 95% empirickými intervaly
spolehlivosti Waldova typu. Uveďte také příslušné hodnoty 95% pásů spolehlivosti.
(ix) Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu
určete odhad pětiletého a osmiletého kumulativního rizika spolu s 95% empirickými
intervaly spolehlivosti Waldova typu. Uveďte také příslušné hodnoty hranic 95%
pásů spolehlivosti.
Aktualizace dne: 4. května 2024
3
Příklad 2. Uvažujte data ze souboru prostate.xlsx. Popis těchto dat najdete v souboru
popis_prostata.pdf. Uvažujte dvě skupiny pacientů – léčení a neléčení. Jako léčení pacienti
jsou považováni ti, kteří dostávali aspoň 1 mg diethylstilbestrolu denně. Zajímáme se o
úmrtí těchto pacientů na karcinom prostaty a na kardiovaskulární onemocnění s ohledem
na léčbu.
(i) Cílem je porovnat přežití léčených a neléčených pacientů pro každou událost (úmrtí na
karcinom prostaty, na kardiovaskulární onemocnění a z ostatních příčin). Spočítejte
a zobrazte doplněk Kaplanova–Meierova odhadu (1 − ˆSKM (t)) a odhad kumulativní
incidenční funkce (CIF(t)) samostatně pro každou událost dle léčebných skupin. Oba
přístupy (1 − ˆSKM (t) a CIF(t)) porovnejte, okomentujte případné rozdíly. Interpretujte
výsledky CIF s ohledem na léčbu pacientů a sledovanou událost.
(ii) Naprogramujte v funkci pro výpočet odhadu rozptylu odhadu kumulativní incidenční
funkce (CIF) v časech událostí.
(iii) Naprogramujte v funkci pro výpočet 100×(1−α)% intervalů spolehlivosti Waldova
typu pro kumulativní incidenční funkci v časech událostí pro různé škály.
(iv) Zobrazte CIF(t) z (i) včetně intervalů spolehlivosti s použitím vhodné škály.
Příklad 3. Naprogramujte v funkce pro výpočet
(i) průměrného času přežití,
(ii) odhad rozptylu průměrného času přežití,
(iii) 100 × (1 − α)% intervalu spolehlivosti Waldova typu střední hodnoty času přežití.
Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu
spočítejte průměrný čas přežití spolu s 95% empirickým intervalem spolehlivosti Waldova
typu střední hodnoty času přežití. Výsledky porovnejte s hodnotami, které získáte pomocí
knihovny survival. Zvolte vhodný typ odhadu funkce přežití a příslušného rozptylu.
Aktualizace dne: 4. května 2024
4
Příklad 4. Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt), pacienty rozdělte do třech skupin
dle věku – 0–60 let, 61–70 let a 71 a více let. Naprogramujte v funkce pro testování
rovnosti tří a více funkcí přežití.
(i) Zobrazte do jednoho grafu odhady funkce přežití podle věkové skupiny. Uvažujte jak
Kaplanův–Meierův typ odhadu, tak Breslowův typ odhadu.
(ii) Zobrazte do jednoho grafu odhady kumulativní rizikové funkce podle věkové skupiny.
Uvažujte jak Kaplanův–Meierův typ odhadu, tak Nelsonův–Aalenův typ odhadu.
(iii) Testujte H0 : λ1(t) = λ2(t) = λ3(t) proti H1 : ∃ aspoň jedno i < j, λi(t) ̸= λj(t) pomocí
zevšeobecněného Wilcoxonova testu, Cox–Mantelova testu, Tarone–Ware testu,
Mantel–Haenszelův testu a Peto–Peto–Wilcoxonova testu.
(iv) Testy, u kterých je to možné, proveďte také pomocí knihovny survival.
Aktualizace dne: 4. května 2024
5
Příklad 5. Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt) a postupně exponenciální, Weibullovo,
log-normální a log-logistické rozdělení.
(i) Zapište tvar funkce přežití pro každé rozdělení, tento vztah následně upravte tak,
abyste získali výraz, který je lineárně závislý na ln(t), tj. g(S(t)) = a + b ln(t). Pomocí
této závislosti graficky ověřte, zda je možné čas úmrtí po operaci ve skupinách
s diabetem a bez modelovat těmito rozděleními. Obě skupiny zobrazte do jednoho
grafu. Pomůcka: Na ose x bude ln(t) a na ose y bude g( ˆS(t)) dle typu rozdělení, kde
použijte vhodný neparametrický odhad funkce přežití. Získané body proložte přímkou
pomocí lineární regrese.
(ii) Pomocí funkce survreg odhadněte parametry každého rozdělení pro čas úmrtí po
operaci ve skupinách s diabetem a bez. Získané odhady porovnejte s výsledky lineární
regrese z (i).
(iii) Označme S0(t) funkci přežití pro skupinu pacientů bez diabetu a S1(t) pro skupinu
pacientů s diabetem. Zapište vztah mezi funkcemi přežití S0(t) a S1(t) při platnosti
modelu zrychleného času s využitím akceleračního parametru θ. Dále opět s využitím
akceleračního parametru θ odvoďte vztah mezi kvantily, kde t0p je p-tý kvantil pro
skupinu bez diabetu a t1p je p-tý kvantil pro skupinu s diabetem. Pomocí kvantil–
kvantilového grafu graficky ověřte vhodnost modelu zrychleného času pro popis vlivu
přítomnosti diabetu na čas úmrtí po operaci a odhadněte akcelerační parametr.
(iv) Odhadněte akcelerační parametr modelu zrychleného času pro popis vlivu přítomnosti
diabetu pomocí funkce survreg a výsledek porovnejte s výsledky z (iii).
Aktualizace dne: 4. května 2024
6
Příklad 6. Uvažujte data Diabetes (soubor diabetes.txt). Modelujte závislost času úmrtí
po operaci na vysvětlujících proměnných pomocí následujících variant Coxova modelu proporcionálních
rizik:
1. Jako vysvětlující proměnnou uvažujte pouze věk.
2. Jako vysvětlující proměnnou uvažujte pouze přítomnost diabetu.
3. Jako vysvětlující proměnné uvažujte věk a přítomnost diabetu.
4. Jako vysvětlující proměnné uvažujte věk, přítomnost diabetu a interakci mezi přítomností
diabetu a věkem.
5. Uvažujte stratifikovaný Coxův model, kde stratifikační proměnná je přítomnost diabetu
(tj. strata(diab)) a vysvětlující proměnnou je věk.
6. Uvažujte stratifikovaný Coxův model stejně jako v předchozím bodě, ale navíc uvažujte
i interakční člen.
7. Uvažujte Coxovy modely s věkem jako vysvětlující proměnnou samostatně pro skupiny
s diabetem a bez.
Pro každou variantu zapište tvar Coxova modelu pomocí rizikové funkce a odhadněte parametry
těchto modelů pomocí funkce coxph z knihovny survival. Spočítejte poměry rizik
(hazard ratio) včetně příslušného 95% intervalu spolehlivosti a interpretujte výsledky jednotlivých
modelů. Pro každou variantu otestujte významnost jednotlivých parametrů a celého
modelu.
Uvažujte všechny modely, ve kterých je zahrnut věk, a spočítejte poměr rizik pro věk
včetně příslušného 95% intervalu spolehlivosti samostatně pro skupiny pacientů s diabetem
a bez. Výsledky dle jednotlivých modelů porovnejte, interpretujte a okomentujte.
Pomůcka: Varianční matici pro koeficienty získáte z výstupu funkce coxph pomocí $var.
Předpokládejte Waldův typ intervalů spolehlivosti.
Aktualizace dne: 4. května 2024
7
Aktualizace dne: 4. května 2024