\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[IL2]{fontenc}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{caption}
\usepackage{pgf}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[hyphens]{url}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{listings}
\usepackage{enumitem}

\usepackage{hyperref}
%\usepackage[all]{hypcap}

\hypersetup{
linkcolor=red,
citecolor=blue,
filecolor=magenta,
urlcolor=cyan,
pdfencoding=unicode,
linktoc=all,
breaklinks=true,
colorlinks=true,
pdfencoding=auto,
pdftoolbar=true,
pdfmenubar=true,
pdfauthor={Iveta Selingerova}
%% pro dalsi mozna nastaveni viz http://www.tug.org/applications/hyperref/manual.html
}



\theoremstyle{plain}
\newtheorem{priklad}{Příklad}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{poznamka}{Poznámka}
\newtheorem*{reseni}{Řešení}

%nastaveni listings
% Definicia farieb
\definecolor{dgray}{gray}{0.35} % farba cislovania (pismo ako text)
\definecolor{ao.green}{rgb}{0.0, 0.7, 0.0} % farba Rkomentara, zelena
% Definicia prostredia
\lstset{language=R,
basicstyle=\small\ttfamily, % ttfamily je typ pisma Rkodu
commentstyle=\ttfamily\color{ao.green}, % farba Rkomentara, zelena
numberstyle=\color{dgray}\footnotesize, % farba cislovania (pismo ako text mimo listings)
numbers=left,
stepnumber=1,
extendedchars=true,
keywordstyle=\color{blue}, % farba funkcii z Rka
showstringspaces=false,
showtabs=false,
frame=leftline,
breaklines=true,
breakatwhitespace=false,
backgroundcolor=\color{white}
}


\newcommand{\rlogo} {\includegraphics[angle=0,width=0.025\textwidth]{Rlogo.jpg}{ }}
\newcommand{\rlogom} {\includegraphics[angle=0,width=0.025\textwidth]{Rlogo.jpg}}
\newcommand*{\Lcode}{\lstinline[{language=[LaTeX]TeX}]}

\begin{document}
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead[R]{\thepage} 

\fancyfoot[C]{Aktualizace dne: \today}

\topskip0pt
%\vspace*{\fill}
\begin{center}
\textbf{Ústav matematiky a statistiky \\[0pt]
Přírodovědecká fakulta\\[0pt]
Masarykova univerzita\\[0pt]
} \rule{14cm}{0.2mm}

\vskip 6cm

%\textbf{{\Huge Cvičení k předmětu\\ M7985 Analýza přežití}}
\textbf{{\Large M7985 Analýza přežití II}}\\[0.5cm]

{\large Jaro 2024}\\[0.5cm]

\textit{{\Large Zadání domácích úloh}}

%\textit{{\large 1.část}}


\vskip 4cm
\textbf{Stanislav Katina, Iveta Selingerová}\\


\vskip 1cm



\texttt{katina@math.muni.cz, selingerova@math.muni.cz}

\end{center}

\vspace*{\fill}


\thispagestyle{empty}





\newpage
\begin{priklad}
Uvažujte arkus sinus odmocninovou škálu funkce přežití, tj. $\arcsin\left(\sqrt{S(t)}\right)$.

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Odvoďte $100\times(1-\alpha)\%$ intervaly spolehlivosti Waldova typu pro funkci přežití a kumulativní rizikovou funkci.
\item Naprogramujte v \rlogo funkci pro výpočet $100\times(1-\alpha)\%$ intervalů spolehlivosti Waldova typu funkce přežití v časech úmrtí.
\item Naprogramujte v \rlogo funkci pro výpočet $100\times(1-\alpha)\%$ intervalů spolehlivosti Waldova typu kumulativní rizikové funkce v časech úmrtí.
\item Naprogramujte v \rlogo funkci pro výpočet $100\times(1-\alpha)\%$ pásu spolehlivosti funkce přežití mezi nejmenším a největším časem události. Uvažujte Nairův i Hallův--Walnerův pás spolehlivosti.
\item Naprogramujte v \rlogo funkci pro výpočet $100\times(1-\alpha)\%$ pásu spolehlivosti kumulativní rizikové funkce mezi nejmenším a největším časem události. Uvažujte Nairův i Hallův--Walnerův pás spolehlivosti.
\item Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu zobrazte odhad funkce přežití spolu s 95\% empirickými intervaly spolehlivosti Waldova typu a oběma typy 95\% pásů spolehlivosti.
	\begin{itemize}
	\item Interval spolehlivosti zobrazte jako vertikální úsečky ve tvaru písmene \uv{I}.
	\item Pásy zobrazte jako schodovité křivky odlišené barevně pro jednotlivé metody.
	\item Zvolte vhodný typ odhadu funkce přežití a příslušného rozptylu.
	\end{itemize}
\item Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu zobrazte odhad kumulativní rizikové funkce spolu s 95\% empirickými intervaly spolehlivosti Waldova typu a oběma typy 95\% pásů spolehlivosti.
	\begin{itemize}
	\item Interval spolehlivosti zobrazte jako vertikální úsečky ve tvaru písmene \uv{I}.
	\item Pásy zobrazte jako schodovité křivky odlišené barevně pro jednotlivé metody.
	\item Zvolte vhodný typ odhadu kumulativní rizikové funkce a příslušného rozptylu.
	\end{itemize}
\item Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu určete odhad pětiletého a osmiletého přežití spolu s 95\% empirickými intervaly spolehlivosti Waldova typu. Uveďte také příslušné hodnoty 95\% pásů spolehlivosti.
\item Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu určete odhad pětiletého a osmiletého kumulativního rizika spolu s 95\% empirickými intervaly spolehlivosti Waldova typu. Uveďte také příslušné hodnoty hranic 95\% pásů spolehlivosti.
\end{enumerate}


\end{priklad}

\newpage


\begin{priklad}
Uvažujte data ze souboru \lstinline|prostate.xlsx|. Popis těchto dat najdete v souboru \lstinline|popis_prostata.pdf|. Uvažujte dvě skupiny pacientů -- léčení a neléčení. Jako léčení pacienti jsou považováni ti, kteří dostávali aspoň  1 mg diethylstilbestrolu denně. Zajímáme se o úmrtí těchto pacientů na karcinom prostaty a na kardiovaskulární onemocnění s ohledem na léčbu.

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Cílem je porovnat přežití léčených a neléčených pacientů pro každou událost (úmrtí na karcinom prostaty, na kardiovaskulární onemocnění a z ostatních příčin). Spočítejte a zobrazte doplněk Kaplanova--Meierova odhadu ($1-\hat{S}_{KM}(t)$) a odhad kumulativní incidenční funkce ($\widehat{CIF}(t)$) samostatně pro každou událost dle léčebných skupin. Oba přístupy ($1-\hat{S}_{KM}(t)$ a $\widehat{CIF}(t)$) porovnejte, okomentujte případné rozdíly. Interpretujte výsledky CIF s ohledem na léčbu pacientů a sledovanou událost.

\item Naprogramujte v \rlogo funkci pro výpočet odhadu rozptylu odhadu kumulativní incidenční funkce (CIF) v časech událostí.

\item Naprogramujte v \rlogo funkci pro výpočet $100\times(1-\alpha)\%$ intervalů spolehlivosti Waldova typu pro kumulativní incidenční funkci v časech událostí pro různé škály.

\item Zobrazte $\widehat{CIF}(t)$ z (i) včetně intervalů spolehlivosti s použitím vhodné škály.

\end{enumerate}

\end{priklad}


\begin{priklad}
Naprogramujte v \rlogo funkce pro výpočet
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item průměrného času přežití,
\item odhad rozptylu průměrného času přežití,
\item $100\times(1-\alpha)\%$ intervalu spolehlivosti Waldova typu střední hodnoty času přežití.
\end{enumerate}
Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|), zvlášť muže a ženy. Pro každou skupinu spočítejte průměrný čas přežití spolu s 95\% empirickým intervalem spolehlivosti Waldova typu střední hodnoty času přežití. Výsledky porovnejte s hodnotami, které získáte pomocí knihovny \lstinline|survival|. Zvolte vhodný typ odhadu funkce přežití a příslušného rozptylu.
\end{priklad}
\newpage




\begin{priklad}
Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|), pacienty rozdělte do třech skupin dle věku -- 0--60 let, 61--70 let a 71 a více let.
Naprogramujte v \rlogo funkce pro testování rovnosti tří a více funkcí přežití.

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Zobrazte do jednoho grafu odhady funkce přežití podle věkové skupiny. Uvažujte jak Kaplanův--Meierův typ odhadu, tak Breslowův typ odhadu.
\item Zobrazte do jednoho grafu odhady kumulativní rizikové funkce podle věkové skupiny. Uvažujte jak Kaplanův--Meierův typ odhadu, tak Nelsonův--Aalenův typ odhadu.
\item Testujte $H_0: \lambda_1(t)=\lambda_2(t)=\lambda_3(t)$ proti $H_1: \exists \text{ aspoň jedno } i<j, \lambda_i(t)\neq\lambda_j(t)$ pomocí  zevšeobecněného Wilcoxonova testu, Cox--Mantelova testu, Tarone--Ware testu, Mantel--Haenszelův testu a Peto--Peto--Wilcoxonova testu.
\item Testy, u kterých je to možné, proveďte také pomocí  knihovny \lstinline|survival|.

\end{enumerate}

\end{priklad}

\newpage
\begin{priklad}
Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|) a postupně exponenciální, Weibullovo, log-normální a log-logistické rozdělení.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Zapište tvar funkce přežití pro každé rozdělení, tento vztah následně upravte tak, abyste získali výraz, který je lineárně závislý na $\ln(t)$, tj. $g(S(t))=a+b\ln(t)$. Pomocí této závislosti graficky ověřte, zda je možné čas úmrtí po operaci ve skupinách s~diabetem a bez modelovat těmito rozděleními. Obě skupiny zobrazte do jednoho grafu. Pomůcka: Na ose x bude $\ln(t)$ a na ose y bude $g(\hat{S}(t))$ dle typu rozdělení, kde použijte vhodný neparametrický odhad funkce přežití. Získané body proložte přímkou pomocí lineární regrese.
\item Pomocí funkce \lstinline|survreg| odhadněte parametry každého rozdělení pro čas úmrtí po operaci ve skupinách s diabetem a bez. Získané odhady porovnejte s výsledky lineární regrese z (i).
\item Označme $S_0(t)$ funkci přežití pro skupinu pacientů bez diabetu a $S_1(t)$ pro skupinu pacientů s diabetem. Zapište vztah mezi funkcemi přežití $S_0(t)$ a $S_1(t)$ při platnosti modelu zrychleného času s využitím akceleračního parametru $\theta$. Dále opět s využitím akceleračního parametru $\theta$ odvoďte vztah mezi kvantily, kde $t_{0p}$ je p-tý kvantil pro skupinu bez diabetu a $t_{1p}$ je p-tý kvantil pro skupinu s diabetem. Pomocí kvantil--kvantilového grafu graficky ověřte vhodnost modelu zrychleného času pro popis vlivu přítomnosti diabetu na čas úmrtí po operaci a odhadněte akcelerační parametr. 
\item Odhadněte akcelerační parametr modelu zrychleného času pro popis vlivu přítomnosti diabetu pomocí funkce \lstinline|survreg| a výsledek porovnejte s výsledky z (iii).
\end{enumerate}
\end{priklad}


\newpage
\begin{priklad}
Uvažujte data Diabetes (soubor \lstinline|diabetes.txt|). Modelujte závislost času úmrtí po operaci na vysvětlujících proměnných pomocí následujících variant Coxova modelu proporcionálních rizik:
\begin{enumerate}
\item Jako vysvětlující proměnnou uvažujte pouze věk.
\item Jako vysvětlující proměnnou uvažujte pouze přítomnost diabetu.
\item Jako vysvětlující proměnné uvažujte věk a přítomnost diabetu.
\item Jako vysvětlující proměnné uvažujte věk, přítomnost diabetu a interakci mezi přítomností diabetu a věkem.
\item Uvažujte stratifikovaný Coxův model, kde stratifikační proměnná je přítomnost diabetu (tj. \lstinline|strata(diab)|) a vysvětlující proměnnou je věk.
\item Uvažujte stratifikovaný Coxův model stejně jako v předchozím bodě, ale navíc uvažujte i interakční člen.
\item Uvažujte Coxovy modely s věkem jako vysvětlující proměnnou samostatně pro skupiny s diabetem a bez.
\end{enumerate}
Pro každou variantu zapište tvar Coxova modelu pomocí rizikové funkce a odhadněte parametry těchto modelů pomocí funkce \lstinline|coxph| z knihovny \lstinline|survival|. Spočítejte poměry rizik (hazard ratio) včetně příslušného 95\% intervalu spolehlivosti a interpretujte výsledky jednotlivých modelů. Pro každou variantu otestujte významnost jednotlivých parametrů a celého modelu.

Uvažujte všechny modely, ve kterých je zahrnut věk, a spočítejte poměr rizik pro věk včetně příslušného 95\% intervalu spolehlivosti samostatně pro skupiny pacientů s diabetem a bez. Výsledky dle jednotlivých modelů porovnejte, interpretujte a okomentujte. 

\noindent \textit{Pomůcka: } Varianční matici pro koeficienty získáte z výstupu funkce \lstinline|coxph| pomocí \lstinline|$var|. Předpokládejte Waldův typ intervalů spolehlivosti.

\end{priklad}

\end{document}