Užití binomické věty k dokazování kombinatorických identit
Naším úkolem je dokázat, že pro každé nezáporné celé číslo n platí rovnost
n
K tomu účelu využijeme evidentně platné rovnosti polynomů
((x-1)2-l)n =xn(x-2)n.
V tomto vztahu rozvineme všechny závorky podle binomické věty a porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x.
Rozvoj závorky na levé straně vztahu vychází
((x-l)2-
1)B = E (Í) (*- i)2;(-ir; = Éí-1)""7' (•) (
j=o v/ j=o v/
x-1)
2j
Rozvoj poslední závorky v této sumě je
2/        -\ 2A7
xk
k=0   v    y /c=0
neboť (2^) =0 pro /c > 2j. Odtud pak po dosazení do předchozí rovnosti vychází
n / \    / 2n
((x-1)2 -1)" = £(-irj" (") (B-1)27"* (2í
xk
j=0 x ' \k=0
~~-{-irJ-k(^ (2i)xk
j=0 k=0 2n In
i \k
= E(-irl E(-iv (;) /
k=Q \j=0 v/ V
Rozvoj závorky na pravé straně výše uvedeného vztahu je
xk.
(* - 2)n = É (?) xé(-2r-é = É(-2)
£=0  v 7 ^=0
takže dostáváme
2n
x"(x - 2)" = 5>2)»-' (j) x^ = Y.{-2f-k i n_ n)
£=0 ^   ' k=n ^ '
Odtud porovnáním koeficientů u mocnin x  proměnné x pro všechny hodnoty 0 ^ k ^ 2n v rozvojích obou stran vztahu obdržíme
X>iy (") (2/) =0      pro 0 < k < n,
p-v (;) (2/)=(-y- („:„) 2»-
Zejména pro k = n z poslední rovnosti plyne dokazovaná kombinatorická identita.