Buď P částečně uspořádaná množina. Intervalem v množině P rozumíme libovolnou podmnožinu tvaru
[a, b] = {x G P : a ^ x ^ b)
pro jakákoliv a, b G P splňující a ^ b. Řekneme, že částečně uspořádaná množina P je lokálně konečná, jestliže všechny intervaly v množině P jsou konečné podmnožiny. Hlavním ideálem v množině P určeným prvkem a G P rozumíme podmnožinu
(a] = {x G P : x ^ a}. Hlavním filtrem v množině P určeným prvkem a G P rozumíme podmnožinu
[a) = {x G P : a ^ x}.
Silnějšími požadavky, které je možno klást na částečně uspořádanou množinu P, než je požadavek lokální konečnosti množiny P, jsou požadavky, aby všechny hlavní ideály v množině P byly konečné podmnožiny, případně aby všechny hlavní filtry v množině P byly konečné podmnožiny.
Buď P lokálně konečná částečně uspořádaná množina. Označme symbolem Int(P) množinu všech intervalů v množině P. Buď dále K libovolné těleso charakteristiky 0. Uvažme množinu funkcí
IK{P) = {f : Int(P) -> K}.
Pak množina I/<(P) spolu s obvyklými operacemi sčítání funkcí a násobení funkcí prvky z K tvoří vektorový prostor nad tělesem K. Pro libovolné prvky a, b G P splňující aOa pro libovolnou funkci f : Int(P) —>► K píšeme místo f ([a, b]) krátce jen /"(a, b). Součinem anebo též konvolucí dvou funkcí f,g : Int(P) —>* K rozumíme funkci f * g : Int(P) —>* K definovanou pro libovolná a, b G P splňující a ^ b předpisem
(f*g)(3,b)= J2 f(a,x)g(x,b).
Výše uvedená suma je konečná, a tedy konvoluce funkcí je korektně definovaná, poněvadž částečně uspořádaná množina P je lokálně konečná. Snadno se vidí, že konvoluce funkcí je asociativní binární operací na množině I/<(P) a že množina Ik(P) spolu s operacemi sčítání funkcí a konvoluce funkcí tvoří okruh s jednotkovým prvkem. Tento jednotkový prvek, který bývá označován symbolem ô a bývá nazýván Kroneckerovo delta, je pro libovolná a, b G P splňující a ^ b definován předpisem
S(a, b) =
1, jestliže a = b, O,   jestliže a ^ b.
Brzy nás budou zajímat jednotky takto vzniklého okruhu I/<(P). Nejprve ale dokončeme dosavadní úvahy konstatováním, že dohromady množina I/<(P) spolu se všemi doposud uvažovanými operacemi tvoří asociativní algebru nad tělesem K, která bývá nazývána incidenční algebrou částečně uspořádané množiny P.
Vraťme se nyní k jednotkám incidenční algebry I/<(P), to jest k funkcím
f : Int(P) —>* K majícím v I/<(P) inverzní prvek vzhledem k operaci konvoluce
funkcí. Platí následující tvrzení:
Tvrzení.
Funkce f : Int(P) —>* K je jednotkou incidenční algebry Ik(P) právě tehdy, když platí f (a, a) 7^ 0 pro všechna a E P.
Důkaz.
Je-li g : Int(P) —>► K inverzním prvkem k funkci f : Int(P) —)► K\ to jest platí-li f * g = 5, pak zejména pro každé a E P platí rovnost (f * g")(a, a) = 5(a, a), neboli /"(a, a)g"(a, a) = 1, takže nutně f (a, a) ^ 0.
Naopak, je-li splněno f (s, a) 7^ 0 pro všechna a E P, pak uvažujme následujícím způsobem. Má-li nějaká funkce g : Int(P) —>* K být pravým inverzním prvkem k funkci f : Int(P) —>► K\ to jest má-li platit f * g = 6, znamená to, že pro každé a G P musí platit (f * g")(a, a) = 5(a, a), neboli f (a, a)g(a, a) = 1, a pro každá a, b E P splňující a < b musí platit (f * g")(a, fa) = 5(a, fa), neboli Sa<x<b ^(a> x)g"(x5 ^) = 0- Takže nutně pro každé a E P je g(a, a) = /"(a, a)-1. Dále pro každá a, b E P splňující a < fa lze poslední sumu a jí příslušnou rovnost rozepsat ve tvaru
f(a,a)g(a,b) + ^ f (a, x)g(x, fa) = 0,
odkud nutně plyne
g(3,b) = -f(3,3)-1- J2 f(a,x)g(x,b),
a<x^b
kde uvedená suma je neprázdná, poněvadž a < fa. Známe-li tedy už hodnoty g(x, fa) pro všechna a < x ^ fa, vyplyne odtud jednoznačně, jaká musí být hodnota g(a, fa). Takto lze tedy počítat hodnoty g(a, fa) indukcí vzhledem k velikosti intervalu [a, fa]. Je jasné, že pak takto vypočtená funkce g : Int(P) —>* K bude pravým inverzním prvkem k funkci f : Int(P) —>* K.
Obdobným způsobem se vypočte funkce h : Int(P) —>* K, která bude levým inverzním prvkem k funkci f : Int(P) —>* K, to jest bude takovou funkcí, že bude platit h* f = S. Pak ale vyjde h = h*ô = h*f*g = ô*g = g, takže g = h bude oboustranným inverzním prvkem k funkci f : Int(P) —>* K\ □
Významnou funkcí v incidenční algebře I/<(P) je tak zvaná zeta funkce (p definovaná pro každá a, b G P splňující a ^ b jednoduchým předpisem
£p(a,b) = l.
Tato zeta funkce samozřejmě splňuje podmínku z předchozího tvrzení, takže podle tohoto tvrzení existuje v incidenční algebře I/<(P) k zeta funkci (p prvek inverzní. Tento inverzní prvek se obvykle značí symbolem fip a nazývá se Móbiovou funkcí částečně uspořádané množiny P.
Zeta funkce (p a k ní inverzní prvek, jímž je Móbiova funkce fip, tedy vyhovují podmínce (p * fip = 5, čili pro každá a, b G P splňující a ^ b vyhovují podmínce
(Cp *Mp)(*, b) = S(a,b). Podrobněji rozepsáno to znamená, že pro každá a, b G P splňující a ^ b platí
^ Cp(a,x)/iP(x,b) =
Vzhledem k definici zeta funkce (p to ale znamená, že pro každá a, fa £ P splňující a ^ fa platí
^2 Vp(*,b) = 5{a,b).
Odtud použitím podobných obratů jako v důkazu předchozího tvrzení odvodíme, že pro inverzní prvek k zeta funkci (p v incidenční algebře I/<(P), to jest pro Móbiovu funkci iip platí formule
//p(a, a) = 1   pro všechna a E P,
jjip(a, b) = — ^2 Mp(x5 ^)   Pro všechna a, b G P splňující a < b.
a<x^b
Tyto formule lze vzít jako alternativní definici Móbiovy funkce iip částečně uspořádané množiny P, která neodkazuje na pojem incidenční algebry I/<(P). Tímto způsobem je Móbiova funkce iip na množině Int(P) definována indukcí vzhledem k velikosti intervalu [a, fa].