Móbiovy inverzní formule
Dokážeme obecnou abstraktní větu o Móbiových inverzních formulích
Věta
Buď P částečně uspořádaná množina, v níž všechny hlavní ideály jsou konečnými podmnožinami. Buď K těleso chrakteristiky 0. Pak pro libovolné funkce f,g:P^K platí rovnosti
g(a) =      f(x)   pro všechna a E P
X<3
právě tehdy když platí rovnosti
f (a) = ^^g"(x)/ip(x, a)   pro všechna a £ P.
X<3
kde lip je Môbiova funkce částečně uspořádané množiny P.
Nechť rovnosti g(a) = J2x<a ^(x) P'at^ Pro všechna a E P. Pak dosazením za g(x) do sumy J2x<a ^(x)mp(x? 3) Pro kterékoliv a E P postupně vyjde
řM^^ a) = ^p(x' ^
x^Ca x^Ca yšCx
= E(E f(y)Cp(y,*))M*>a)
x^Ca yšCx x^a y^x y^a y^x^a
= EfM( E Cp(y,x)Mx,a))
y^a y^x^a
= E ř(y)(^p * Mp)(y,a)
y^a
= E/rw^a) = ř(a)'
y^a
což bylo třeba ukázat.
Nechť naopak rovnosti f(a) = J2x^a g(x)vp(xi 3) platí zase pro všechna a G P. Pak rozepsáním f (x) v sumě J2X<^ f(x) Pro kterékoliv a E P postupně vyjde
x^a x^ay^x
x^ayšCx
= Y1 ř(y)Mp(y,^)Cp(^,a)
yšCa yšCxšCa
= J^(y)( XI My>x)Cp(*,a)
y^a y^x^a
y^a
y^a
opět jak bylo třeba ukázat. □
Budeme potřebovat i následující duální formulaci věty o Móbiových inverzních formulích, kterou lze dokázat obdobným způsobem.
Buď P částečně uspořádaná množina, v níž všechny hlavní filtry jsou konečnými podmnožinami. Buď K těleso chrakteristiky 0. Pak pro libovolné funkce f,g:P^K platí rovnosti
g(a) =      f(x)   pro všechna a E P
právě tehdy když platí rovnosti
f (a) = ^^/jJp(a,x)g(x)   pro všechna a £ P.
kde lip je Môbiova funkce částečně uspořádané množiny P.
□