Móbiova funkce částečně uspořádané množiny všech rozkladů konečné množiny
Buď S neprázdná konečná množina. Označme symbolem ^J(S) množinu všech rozkladů množiny S. Na této množině ^J(S) uvažme částečné uspořádání ^ dané následovně. Pro libovolné dva rozklady a a r množiny S klademe a ^ r právě tehdy, když roklad a je zjemněním rozkladu r. Takto dostáváme konečnou částečně uspořádanou množinu ^J(S). Naším příštím úkolem bude najít Móbiovu funkci ^qj(s) této částečně uspořádané množiny ^J(S).
Připomeňme, že rozklad a = {/4i, A2,..., A^} množiny S je zjemněním rozkladu r = {61, 62,..., Bi} množiny S, jestliže pro každé / G {1, 2,..., k} existuje j G {1,2,..., £} takové, že Aj C Bj. To znamená, že každá z tříd 61, 62,..., Bi rozkladu r je disjunktním sjednocením několika tříd vzatých mezi třídami >4i, /I2,..., Ak rozkladu a. V této situaci vzniká rozklad r/a indukovaný na množině a = {/4i, A2,..., A^} rozkladem r následovně. Dvě množiny A;x, Aj2, kde iii h G {1, 2,..., /c}, leží v téže třídě rozkladu r/cr právě tehdy, když existuje j G {1,2,..., £} takové, že Ak C 6/ a A2 C 6/.
Věnujme se v takové situaci intervalu [a, r] v částečně uspořádané množině ^J(S). Vezměme tedy libovolný rozklad tv = {Q, C2,..., Cp} množiny S takový, že a ^ 7ľ ^ r. Uvažme rozklad iv/a indukovaný na množině a = {Aj., A2,..., A^} rozkladem tt. Je vidět, že pak předpisem tt 1—^ ir/a je dán izomorfismus intervalu [a, r] v částečně uspořádané množině ^J(S) na interval [a/a, r/a] v částečně uspořádané množině ty(a) všech rozkladů množiny a = {/4i,/42,... Ovšem a/a je triviální rozklad množiny a na jednoprvkové podmnožiny.
Poněvadž jmenované dva intervaly byly izomorfní, a poněvadž hodnota Móbiovy funkce na daném intervalu závisí pouze na tomto intervalu samotném, nikoliv na celé částečně uspořádané množině, v níž se tento interval bere, musí být jmenovitě hodnota Móbiovy funkce /iqj(s) na intervalu [a, r] rovna hodnotě Móbiovy funkce Mqj(cr) na intervalu [a/a, r/a], kde a/a je triviální rozklad na jednoprvkové třídy. Z této úvahy tedy plyne, že k tomu, abychom uměli počítat hodnoty Móbiovy funkce Mqj(s) na libovolných intervalech [a, r] v částečně uspořádaných množinách ^J(S) pro libovolné konečné množiny S, stačí umět počítat tyto hodnoty Móbiovy funkce jen na intervalech tvaru [o,t], kde oje triviální rozklad množiny S na jednoprvkové třídy, opět pro libovolné konečné množiny S.
Věnujme se tedy nyní úkolu určit hodnoty Móbiovy funkce Mqj(s) na libovolných intervalech tvaru [o,t] v částečně uspořádaných množinách ^j(S) všech rozkladů konečných množin S. Nechť opět r = {61, 62,..., 6^}.
Uvažme dále libovolný rozklad tt = {Q, C2,..., Cp} množiny S takový, že je splněno tt ^ r. Pak každá z tříd 61, 62,..., Bn rozkladu r je disjunktním sjednocením několika tříd vzatých mezi třídami Q, C2,..., Cp rozkladu tt. To ukazuje, že rozklad tv indukuje rozklady jednotlivých tříd Bi, 62,..., B^ rozkladu r. Označme 7Ti,7T2, ... ,7r^ tyto indukované rozklady. To znamená, že pro každé j £ {1, 2,...     je ttj rozklad množiny Bj, jehož třídami jsou právě ty množiny mezi Q, C2,..., Cp, jejichž disjunktním sjednocením je množina Bj. Nyní je patrno, že předpisem tt 1—^ (vri,^, • • •, ^t) je dán izomorfismus intervalu [o,r] v částečně uspořádané množině ^J(S) na součin částečně uspořádaných množin ^3(Bi) x ^(62) x • • • x ty(Bi) všech rozkladů množin 61, 62,..., B^.
Poněvadž jde o izomorfní částečně uspořádané množiny, je druhá z těchto uspořádaných množin rovněž intervalem a hodnota Móbiovy funkce Mqj(s) na intervalu [o,t] musí být rovna hodnotě odpovídající Móbiovy funkce na celé částečně uspořádané množině ^P(Bi) x ^(62) x • • • x ^J(S^). Z dřívějška víme, že hodnota této poslední Móbiovy funkce je rovna součinu hodnot jednotlivých Móbiových funkcí ^(81)5 Mq3(82)j • • • 5 M<£(^) na celých částečně uspořádaných množinách *}}(Bi), ^(62),..., ^P(B^). Tato úvaha ukazuje, že k tomu, abychom uměli počítat hodnoty Móbiovy funkce /iqj(s) na libovolných intervalech v částečně uspořádané množině ^J(S) pro libovolné konečné množiny S, stačí umět počítat jenom hodnotu Móbiovy funkce /iqj(s) na ce'é částečně uspořádané množině ^J(S), která je ovšem sama intervalem, avšak opět je třeba to umět pro libovolné konečné množinv S.
Převedli jsme tak naši výchozí úlohu na následující úlohu. Buď S libovolná neprázdná konečná množina. Pak částečně uspořádaná množina ^J(S) všech rozkladů množiny S je sama o sobě intervalem. Nejmenším rozkladem je triviální rozklad o množiny S na jednoprvkové třídy a největším rozkladem je rozklad jehož jedinou třídou je celá množina S. Má se určit hodnota Móbiovy funkce Mqj(S) ^to částečně uspořádané množiny ^J(S) na intervalu [e>,s], to jest na největším intervalu, jímž je ale částečně uspořádaná množina ^J(S) sama.
K tomu účelu aplikujeme duální variantu obecné věty o Móbiových vzájemně inverzních formulích.
Buď T jiná dostatečně velká neprázdná konečná množina. Uvažme libovolná zobrazení h : S —>* 7~. Pro každý rozklad tt množiny S označme symbolem f(7r) počet všech těch zobrazení h : S —>* 7~, která na množině S indukují rozklad tt. Poněvadž množina T je dostatečně velká, je f {ti) 7^ 0 pro každý rozklad tt množiny S. Formulujme to poněkud přesněji takto. Rozepišme pro určitost rozklad 7T ve tvaru tt = {Q, C2,..., Cp}. Pak zobrazení h : S —>► 7", která na množině S indukují rozklad tt, jsou těmi zobrazeními, která jsou konstantní na všech třídách Q, C2,..., Cp rozkladu tt a prvkům z různých těchto tříd přiřazují různé prvky množiny 7". Tato zobrazení h : S —>* 7" evidentně korespondují s injektivními zobrazeními 9 : tt —>* 7". Počet těchto zobrazení je ovšem roven číslu ľ 7"
Podotkněme ještě, že p = |7r|. Celkem to znamená, že platí f {ti) = [|7~| ^ pro
každý rozklad tt množiny S. Nalezené hodnoty f {ti) pak dohromady skládají celé zobrazení f : ^J(S) —>* N. Uvažme nyní pro každý rozklad 7r množiny S sumu J2t>tz ^(T)- Tato suma udává pro daný rozklad tt počet všech těch zobrazení h : S —>* 7", která na množině S indukují takový rozklad r, že rozklad 7r je zjemněním rozkladu r. Je jasné, že taková zobrazení h : S —>* 7" jsou právě těmi zobrazeními, která jsou konstantní na všech třídách Q, C2,..., Cp rozkladu tt, a nic dalšího se nepožaduje. Taková zobrazení ale korespondují s libovolnými zobrazeními ů : tt —>* 7". Počet posledně jmenovaných zobrazení je však roven číslu T\p. Podotkněme znovu, že p = |vr|. Uvažme v této souvislosti ještě zobrazení g : ^J(S) —)► N dané pro každý rozklad tt množiny S předpisem g{Tr) = ITI^L Z dosavadních úvah tak dostáváme rovnost
která platí pro každý rozklad 7r množiny S. Tento soubor rovností ale má tvar prvních rovností v duální variantě věty o Móbiových inverzních formulích. Podle této věty pak platí také rovnosti
opět pro každý rozklad tt množiny S. Zde /iqj(s) Je Móbiova funkce částečně
Přepsáno nazpět prostřednictvím zadání funkcí f a g toto zjištění dává, že rovnosti
r0ki = ^2ms)(^T)\T
t
T^7T
platí pro každý rozklad tv množiny S. V těchto rovnostech vystupují hodnoty |7~|     a |7"|lrl, které lze vnímat jako hodnoty polynomů [x]^ a x'rl v proměnné
x vzaté v číslech |7~| pro všechny dostatečně velké konečné množiny T. Posledně jmenované rovnosti tak jsou rovnostmi hodnot dvou polynomů v proměnné x po dosazení všech dostatečně velkých kladných celočíselných hodnot |7~| za proměnnou x. To ale znamená, že i dotyčné polynomy v proměnné x se sobě musí rovnat. Takto dospíváme k rovnostem polynomů
M
7T
V¥(s)(n' T)xl
t
T^7T
v proměnné x platným pro každý rozklad tv množiny S. Zejména pro triviální rozklad o množiny S vzatý jako rozklad tv odtud dostáváme rovnost polynomů
M|5| =   5ľ /iWS)(°>r)x|r|>
poněvadž \o\ = \S\. Tyto dva polynomy se sobě budou rovnat, budou-li si rovny koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x.
Jmenovitě pro první mocninu x této proměnné máme vlevo koeficient
(-l)(-2).-.(-|S| + l) = (-l)lsl-1(|S|-l)! a vpravo máme koeficient
poněvadž jedině pro rozklad S pozůstávající pouze ze samotné množiny S, když ho vezmeme jako rozklad r, máme x1^1 = x. Dostáváme tak rovnost
^(S)(o,9) = (-l)|S|-1(|S|-l)!, což je ten výsledek, ke kterému jsme potřebovali dospět.