Móbiovy inverzní formule podruhé Jako další aplikaci obecné abstraktní věty o Móbiových inverzních formulích uvedeme speciální případ této věty, který se týká množiny 91 všech kladných celých čísel částečně uspořádané dělitelností. Pro tuto částečně uspořádanou množinu 91 jsme již dříve vypočetli její Móbiovu funkci /x^t. Zjistili jsme, že pro libovolná kladná celá čísla m, n splňující ati|a7 je hodnota Móbiovy funkce fiyi na intervalu [m, n] rovna 1, jestliže a77 = a7, jestliže n/m = qiq2 ... qt, kde <7i, <72,..., <7t jsou vzájemně různá prvočísla, jestliže n/m = r2u pro nějaká kladná celá čísla r, u splňující r > 1. V teorii čísel bývá Móbiovou funkcí nazývána číselná funkce, obvykle označovaná symbolem ji, definovaná na množině všech kladných celých čísel předpisem (-l)ř 0. (-l)ř 0. jestliže k = 1, jestliže k = qiq2 ... qt, kde <7i, <72,..., qt jsou vzájemně různá prvočísla jestliže k = r2u pro nějaká kladná celá čísla r, splňující r > 1, a to pro každé kladné celé číslo k. Je pak jasné, že pro libovolná kladná celá čísla m. n splňující m\n máme rovnost ^9?(at7, n) = ii(n/m). Odtud pak také pocházejí námi používané termíny Móbiova funkce a Móbiovy inverzní formule v dříve studovaném abstraktním kontextu libovolných lokálně konečných uspořádaných množin. V částečně uspořádané množině 91 jsou očividně všechny hlavní ideály konečnými podmnožinami. Můžeme tedy na tuto částečně uspořádanou množinu aplikovat obecnou větu o Móbiových inverzních formulích. S přihlédnutím k předchozí poznámce o Móbiových funkcích takto dostáváme následující speciální případ zmíněné věty, který bývá též nazýván větou o Móbiových inverzních formulích. Věta Buď K těleso chrakteristiky 0. Pak pro libovolné dvě funkce f,g : 91 rovnosti g(n) = y, f(d) Pro všechna kladná celá čísla n din K platí právě tehdy, když platí rovnosti f(n) = ji{n/d)g{d) pro všechna kladná celá čísla n. □ d\n Jednou z aplikací Móbiových inverzních formulí je snadné odvození vztahu pro Eulerovu funkci. Připomeňme, že Eulerova funkce tp je funkcí na množině všech kladných celých čísel definovanou následovně. Pro každé kladné celé číslo a? je (f(n) počet všech těch kladných celých čísel, která nepřevyšují hodnotu n a jsou s číslem n nesoudělná. Lemma. Pro každé kladné celé číslo n platí a7. d\n Důkaz. Označme symbolem An množinu všech uspořádaných dvojic (c/, c) složených z navzájem nesoudělných kladných celých čísel c, d takových, že d\n a c ^ d. Označme dále symbolem Bn množinu všech kladných celých čísel e takových, že e ^ n. Ukážeme, že předpisem je definována bijekce množiny An na množinu Bn. Až to budeme mít ověřeno, bude stačit si jenom všimnout, že rovnost uvedená v našem lemmatu říká přesně to, že množiny An a Bn mají týž počet prvků. Uvedeným předpisem je skutečně definováno zobrazení množiny An do množiny Bn. Toto zobrazení je surjektivní, neboť každé kladné celé číslo e splňující e ^ n lze psát ve tvaru e = b-c, kde b je největší společný dělitel čísel e a n a c = |. Položíme-li tedy d = ^, pak b = ^ a máme e = ^-c, přičemž jistě c/|a?, c ^ d a čísla c, c/ jsou navzájem nesoudělná. Toto zobrazení je současně prosté, neboť je-li e = ^-c, kde čísla c, c/ splňují právě zmíněné podmínky, pak poněvadž také n = ^-d a čísla c, c/ jsou navzájem nesoudělná, číslo ^ musí být největším společným dělitelem čísel e a a?. Je tedy za těchto okolností číslo d číslem e určeno jednoznačně a totéž pak platí také pro číslo c. □ Definujeme-li funkce f,g.yi^K předpisy f(n) = (f(n) a g(n) = n pro všechna kladná celá čísla n, pak rovnosti uvedené v předchozím lemmatu pro všechna kladná celá čísla n se stanou prvními formulemi uvedenými v předchozí větě o Móbiových inverzních formulích. Podle této věty pak ovšem platí také druhé formule uvedené v této větě. To znamená, že platí rovnosti d\n pro všechna kladná celá čísla n. Nyní jsme připraveni dokázat známý vztah pro Eulerovu funkci tp. Pro každé kladné celé číslo n platí rovnost 1=1 Pl kde pi, P2,..., Pk jsou všechna navzájem různá prvočísla, která dělí n. Poznámka. Pro n = 1 součin v této formuli napravo zmizí Důkaz. Položíme-li nejprve v poslední formuli uvedené před tímto tvrzením c = ^, přejde tato formule do tvaru n z—' c c\n Tato rovnost platí pro všechna kladná celá čísla n. Takové číslo n můžeme psát ve tvaru £l £2 £k n = Pi 'P2 ' • • • 'Pk > kde pi,P2, • • • ,P/c jsou vzájemně různá prvočísla a £i,£2, • • • ,£k Jsou nějaká kladná celá čísla. Položme dále n = PvP2-• • • 'Pk- Pak z první formule uvedené výše v tomto důkazu vzhledem k definici Móbiovy funkce jjl vyplýva z—' c c\n* Tato rovnost zase platí pro všechna kladná celá čísla n. Rozepíšeme-li tuto rovnost podrobněji, dostaneme *"> = <■-E^ + E^-E^- + ■ -, P/ ^ P/"P/ PrPj-Pi 1=1 /