Bellova čísla Buď M konečná množina nající n prvků pro nějaké nezáporné celé číslo n. Označme Bn počet všech rozkladů množiny M. Takto definovaná čísla Bn se nazývají Bellova čísla. Platí ovšem rovnost Bn = Y^k=o^n,ki ^e $n,k Jsou Stirlingova čísla 2. druhu. Je jasné, že Bq = 1. K výpočtu Bellových čísel Bn pro n > 0 lze použít následující rekurentní formuli. Tvrzení Pro každé nezáporné celé číslo n platí rovnost n Bt k=0 Důkaz. Buď M množina mající n prvků a buď b £ M další prvek. Představme si všechny rozklady množiny M U {b}. Počet těchto rozkladů je dán číslem Bn+i. V každém z těchto rozkladů leží prvek b v některé třídě 7". Ostatní třídy takového rozkladu pak vytvoří rozklad množiny M — T. Množina M — 7" je podmnožinou množiny M a může mít k prvků pro kterékoliv k = 0,1, 2,..., n. Pro dané k je tedy tuto podmnožinu M — T možno vybrat (nk) způsoby. Je-li tato podmnožina už vybrána, pak je třeba uvážit kterýkoliv z jejích rozkladů. Počet těchto rozkladů je dán číslem B^. Tím je ověřena výše uvedená rekurentní formule. □ V následující větě nalezneme exponenciální generující funkci posloupnosti {Bn}^0 Bellových čísel. Věta Pro všechna x £ platí rovnost oo A7=0 Bn „n n\ Důkaz. Ověřme nejprve, že pro každé nezáporné celé číslo n platí nerovnost Bn ^ n\. Je 60 = 1 = 0!. Dále postupujeme indukcí s využitím rekurentní formule z předchozího tvrzení. Tak dostáváme = É (l)B^ É (l)k- = ŽH < Žn! = ("+w = ("+x)! k=Q k=0 k=0 Tím je ověřena výše zmíněná nerovnost. Odtud plyne, že výše uvedená mocninná řada má poloměr konvergence alespoň 1. Označme y(x) součet této mocninné řady. Podle dřívějších poznámek o součinu a derivaci exponenciálních generujících řad s použitím rekurentní formule z předchozího tvrzení pak postupně dostáváme oo v-^n í n \ d fl! A7=0 OO / OO x / — D I — D \ n=0 \n=0 v ■ I ■ Clil y(x)-ex=y'(x), což je homogenní lineární diferenciální rovnice 1. řádu pro neznámou funkci y(x) Z kurzu matematické analýzy víme, že její obecné řešení je tvaru C-e$eXdx = C~e x 3 kde C G M je libovolná konstanta. V našem případě ovšem navíc máme y(0) = Bo = 1, takže musí být C = e-1. Odtud konečně vychází y{x) = e^~1\ Přitom rozvoj této funkce do mocninné řady v bodě 0 konverguje pro všechna xGR, neboť se jedná o kompozici g(f(x)) dvou funkcí f(x) = ex — 1 a g(x) = ex splňujících /"(O) = 0, které obě tuto vlastnost mají. □ Na základě právě získaného poznatku nyní nalezneme explicitní formuli pro Bellova čísla. Víme tedy, že exponenciální generující funkcí pro Bélova čísla Bn je funkce oo R . YElxn = eV-l) = lmee?t ^ n\ e n=0 °o k Poněvadž pro každé reálné číslo t je k=0 dostáváme dále oo i