Diferenční počet
Buď K těleso charakteristiky 0. Buď f funkce definovaná na množině všech nezáporných celých čísel s hodnotami v tělese K. Definujeme novou funkci Af, zvanou první diference funkce f, formulí
Af(n) = f(n + l)-f(n)
pro všechna nezáporná celá čísla n. Operátor A definovaný takto na množině všech řečených funkcí f, zvaný operátor diference, lze aplikovat opakovaně. Dostáváme tak pro každé kladné celé číslo k operátor A^ definovaný indukcí prostřednictvím formule
Ak+1f = A(Akf). Funkci Akf nazýváme /c-tou diferencí funkce f.
Definujme jiný operátor E, zvaný operátor posunutí, na množině všech zmíněných funkcí f formulí
Ef(n) = f{n + l)
pro všechna nezáporná celá čísla n. Pak máme A = E — I, kde I je operátor identity. Pak pro každé nezáporné celé číslo n a pro každé kladné celé číslo k dostáváme
Akf(n) = (E - l)kf(n) = £(-l)*-f (k ) E'V(n)
/'=0
/=o
což dává explicitní formuli pro hodnotu Akf(n) vyjádřenou pomocí hodnot f(n), f(n + 1),..., f(n + k). Podobně máme E = A + I, odkud pro každé nezáporné celé číslo n a pro každé kladné celé číslo k dostáváme
f(n +k) = Ekf(n) = (A + I)kf{n) = ^ A'Y(n)
/=o ^ '
k A'Y(A7)
/'=0
kde A°f je rovno funkci f. Tuto formuli lze chápat jako rozvoj funkce f se
středem v bodě a? prostřednictvím diferencí f, Af, A2f, .. . , Akf
Buď nyní k libovolné kladné celé číslo a buď g libovolná funkce k + 2 proměnných nabývajících hodnot v tělese K. Potom vztah
g(n, y(n), Ay(n), A2y("),..., Aky(n)) = 0
mezi proměnnou n nabývající nezáporných celočíselných hodnot, neznámou funkcí y(n) nabývající hodnot v tělese K a mezi diferencemi Ay(n), A2y(n), .. . , Aky(n) této neznámé funkce se nazývá obyčejná diferenční rovnice. Vzhledem k předchozímu vyjádření diferencí Ay(n), A2y(n), . . . , Aky(n) naší nyní neznámé funkce y(n) pomocí hodnot y(n), y(n + 1),..., y(n + k) lze tuto obyčejnou diferenční rovnici zapsat také ve tvaru
h{n,y{n),y{n + l),y(n + 2),..., y{n + k)) = 0
pro jistou funkci h téhož počtu proměnných nabývajících hodnot v tělese K. Jestliže v této rovnici vystupují skutečně funkce y(n) i Aky(n), anebo funkce y(n) i y(n + k), říkáme, že tato diferenční rovnice je řádu k.
Řekneme, že naše diferenční rovnice je lineární, je-li lineární v neznámé funkci y(n) a v jejích diferencích Ay(n), A2y(n), ... , Aky(n), anebo též, je-li lineární ve funkci y(n) a také ve funkcích y(n + 1), y(n + 2), ... , y(n + k).
Obecný tvar lineární diferenční rovnice /c-tého řádu je potom
y(n + k) + qi(A7)y(A7 + k - 1) + q2(n)y(n + k - 2) + • • • + <fr(n)y(n) = ^(n),
kde <7i(a7), 92(^)5..., <7/c(^) a ^(a?) jsou nějaké funkce jedné proměnné a? nabývající nezáporných celočíselných hodnot; tyto funkce pak samy nabývají hodnot v tělese K. Je-li přitom funkce i/j(n) identicky rovna nule, mluvíme o homogenní lineární diferenční rovnici; v opačném případě mluvíme o nehomogenní lineární diferenční rovnici.
Takovou lineární diferenční rovnici lze potom zapsat také ve tvaru
y(n + k) = -qi(n)y(n + k - 1) - q2(n)y(n + k - 2) - ... - qk(n)y(n) + íp(n).
Tato formule má platit pro všechna nezáporná celá čísla n. Dostáváme tak fakticky rekurentní formuli pro posloupnost hodnot {y(n)}^0. Mluvíme pak o lineární rekurentní formuli. Je-li zde funkce i/j(n) identicky rovna nule, je řeč o homogenní lineární rekurentní formuli; v opačném případě je řeč o nehomogenní lineární rekurentní formuli.
Ve speciálním případě, jsou-li v předchozí lineární diferenční rovnici všechny funkce <7i(a7), (72(^7),..., qk(n) konstantní na množině všech nezáporných celých čísel, to jest platí-li rovnosti <7i(a7) = ai, q2(n) = ^2. ■ ■ ■ . Qk(n) = 3k pro všechna nezáporná celá čísla a?, kde ai, a2,..., Bk jsou nějaké prvky tělesa K, pak je řeč o lineární diferenční rovnici s konstantními koeficienty. Obecný tvar takové rovnice tedy je
y(n + k) + aiy(A7 + k - 1) + a2y(fi + k-2) + --- + aky(n) = ^(n),
kde ai, a2,..., 3k jsou zmíněné prvky tělesa K a i/j(n) je nějaká funkce proměnné n.
Můžeme k této poslední lineární diferenční rovnici opět pořídit příslušnou lineární rekurentní formuli, která bude nyní mít tvar
y(n + k) = —aiy(n + k - 1) - a2y(A? + k - 2) - ... - aky{n) + ^(n)
a má platit pro všechna nezáporná celá čísla n. V tomto případě mluvíme
o lineární rekurentní formuli s konstantními koeficienty. Je-li zde navíc b k 7^ 0.
jde o rekurentní formuli řádu k.