Metoda variace konstant
Umíme už najít všechna řešení homogenní lineární rekurentní formule s konstantními koeficienty. Našim dalším cílem je řešit nehomogenní lineární rekurentní formule s konstantními koeficienty. K tomu účelu slouží metoda variace konstant, kterou nyní popíšeme.
Viděli jsme už, že nehomogenní lineární rekurentní formule /c-tého řádu
s konstantními koeficienty pro neznámou funkci y(n) jedné nezáporné celočíselné
proměnné a? je podmínka tvaru
y(n + k) + axy{n + k - 1) + a2y(n + k - 2) + • • • + aky{n) = ^(n),
kde 3i, a2,... ,3k jsou reálné konstanty, ak 7^ 0, a i/j(n) je reálná funkce proměnné n, která není identicky rovna nule. Tato podmínka má být splněna pro všechna nezáporná celá čísla n.
K této dané nehomogenní lineární rekurentní formuli přiřadíme homogenní lineární rekurentní formuli
z(a7 + k) + aiz(n + k - 1) + a2z(n + k - 2) + • • • + akz(n) = 0
s nulovou pravou stranou. Je vidět, že jsou-li funkce y(n) a y(n) libovolnými
řešeními naší nehomogenní lineární rekurentní formule, pak jejich rozdíl
z(n) = y(n) — y(n) je řešením příslušné homogenní lineární rekurentní formule.
Potom platí y(n) = y(n) + z(n). Naopak je-li funkce y(n) nějakým řešením nehomogenní lineární rekurentní formule a je-li funkce z(n) libovolným řešením homogenní lineární rekurentní formule, pak funkce y(n) = y(n) + z(n) je rovněž řešením nehomogenní lineární rekurentní formule. Známe-li tedy jedno řešení y(n) nehomogenní lineární rekurentní formule a všechna řešení z(n) homogenní lineární rekurentní formule, dostaneme odtud všechna řešení y(n) nehomogenní lineární rekurentní formule jako všechny součty y(n) + z(a?), kde z(n) probíhá všechna řešení homogenní lineární rekurentní formule. Poněvadž všechna řešení z(n) homogenní lineární rekurentní formule už umíme najít, zbývá najít jedno vybrané, takzvané partikulární řešení y(n) nehomogenní lineární rekurentní formule.
Víme, že všechna řešení homogenní lineární rekurentní formule tvoří vektorový prostor dimenze k nad tělesem všech reálných čísel. Buď
Zi(a7), z2(a7), ... , zk(n)
nějaká báze tohoto vektorového prostoru. Říkáme, že jde o fundamentální systém řešení homogenní lineární rekurentní formule. Libovolné řešení homogenní lineární rekurentní formule lze pak vyjádřit jako lineární kombinaci
CiZi(a7) + c2z2(n) H-----h ckzk(n)
funkcí této báze s nějakými reálnými konstantami ci, C2,..., ck. Idea metody variace konstant spočívá v tom, že konstanty ci, C2,..., ck nahradíme funkcemi ^1(^)5 £2(^)5 • • • 5 Qc(fl) proměnné n.
Takže jedno partikulární řešení y(n) nehomogenní lineární rekurentní formule budeme hledat ve tvaru
y{ri) = Ci(a7)zi(a7) + c2(n)z2(n) H-----h ck(n)zk(n)
pro nějaké funkce ci(n), C2(n),..., ck(n) proměnné n, které je třeba určit. Stručněji zapsáno, hledáme toto partikulární řešení y(n) ve tvaru
k
kde funkce Cj(n) pro / = 1, 2,..., k je třeba určit.
Dosadíme-li toto vyjádření partikulárního řešení y(n) do naší nehomogenní lineární rekurentní formule, dostaneme tak jednu rovnici pro k neznámých funkcí c,(a7), kde / = 1, 2,..., k. Můžeme tedy podrobit tyto funkce ještě dalším k — 1 podmínkám, což učiníme následujícím způsobem. Máme
/=i
k
y{n + 1) =      Ci{n + l)z/(n + 1)
i=l
k k
=      Cj(n)zj(n + 1) + 5^(c/(n + 1) - C/(n))z/(n + 1)
= ^ Cj{n)zj{n + 1) + ^ Acj{n)zj{n + 1),
kde Aci(n) jsou první diference funkcí Ci(n) pro / = 1, 2,..., k. Stanovíme-li nyní podmínku
5^Ac/(n)z/(n + l) = 0
/=i
pro funkce q(a7), kde / = 1, 2,..., /c, vyplyne odtud rovnost
k
y(a7 + l) = ^C/(a7)z/(a7+1).
/'=1
Předpokládejme nyní s použitím indukce, že už pro nějaké £ = 1, 2,..., k — 2 máme rovnost ,
k
y(n + £) = ^2 Ci(n)zi(n + i).
i=l
Pak odtud dostáváme
k
y(n + £+l) = Y^ Ci(n + l)z/(n + ť + 1)
/=i
= ^ c/(fi)z/(fi + ť + 1) + ^2(ci(n + 1) - Cj(n))zj(n + e + l)
i=l i=l
k k =      Ci(n)Zi(n + l + 1) +      Ac/(a7)z/(a7 + Í+1).
i=l i=l
Stanovíme-li nyní podmínku
k
^2Aq{n)zi(n + e+l) = 0,
i=l
pro funkce q(a7), kde / = 1, 2,..., /c, vyplyne odtud rovnost
k
y(n + £ + 1) =      ci(n)zi(n + ^ + 1)-
i=l
Stanovili jsme tak celkem k — 1 podmínek tvaru
^Ac,(a7)z,(a7 + f) = 0
i=l
pro všechna £ = 1, 2,..., k — 1.
Odtud jsme odvodili /c — 1 rovností tvaru
y(n +    = ^ Ci(n)zi(n + ť).
i=l
opět pro všechna ^ = 1, 2,..., k — 1.
Nakonec z poslední z těchto rovností pro i = k — 1 ještě odvodíme
k
y{n +k) = Y^ Q{n + l)z/(n + /c)
/=i
=      Ci{n)zi{n + k) + 5^(c/(n + 1) - C/(n))z/(n + /c)
/=i /=i
=      q{n)zi{n + /c) +      Aq{n)zi{n + /c).
/=i /=i
Dosadíme-li nyní z těchto /c právě odvozených rovností a také z našeho výchozího vyjádření y(n) = Xw=i ci(n)zi(n) do naší nehomogenní lineární rekurentní formule, obdržíme tak podmínku
c/(n) (z/(a7 + /c) + aiz/(n + /c - 1) + 32z,(a7 + k - 2) + • • • + a^z/(n))
i=l
k
+ ^2Aci{n)zi{n + k) = il>{n).
i=l
Ale funkce Zj(n) pro / = 1, 2,..., k jsou řešeními příslušné homogenní lineární rekurentní formule.
Proto odtud plyne podmínka
k
5^Ac/(n)z/(n + /c) = i/>{n).
i=l
Přidáme-li tuto poslední podmínku k předchozím k — 1 podmínkám, dostaneme tak celkem k podmínek, to jest k rovnic pro první diference Aci(n) funkcí q(a7) pro / = 1, 2,..., k.
Řešením této soustavy rovnic obdržíme tyto první diference a následnou sumací (to je obrácená operace k diferenci) i funkce Cj(n) pro / = 1, 2,..., k. Tak
nakonec najdeme i partikulární řešení y(n) = Xw=i ci(n)zi(n) naší nehomogenní lineární rekurentní formule.