Barevné náhrdelníky
Klademe otázku, kolik barevných náhrdelníků pozůstávajících z n korálků lze vytvořit, máme-li k dispozici korálky k různých barev, ode všech barev v dostatečném množství.
Jsme tedy v situaci, kdy nerozlišujeme mezi náhrdelníky, které vzniknou jeden z druhého nějakým pootočením náhrdelníku, avšak také nerozlišujeme mezi náhrdelníky, které vzniknou jeden z druhého překlopením náhrdelníku kolem některé z jeho os.
Chystáme se aplikovat Pólyovu větu pro libovolná zobrazení. Konečnou množinou M bude množina všech n pozic, kam lze umísťovat korálky na náhrdelník, chápeme-li pro tuto chvíli náhrdelník jako pevný objekt, kterým nelze otáčet ani ho nelze překlápět. Množinou obrazců Y bude množina všech k možných barev korálků. Vytvořit náhrdelník chápaný jako pevný objekt znamená pro každou z daných n pozic na náhrdelníku určit, korálek jaké barvy ze všech možných k barev bude na tuto pozici umístěn. Pevné náhrdelníky budou tedy odpovídat libovolným zobrazením f : M —>* Y.
Nyní se vraťme do situace, kdy je možno s náhrdelníkem otáčet nebo ho lze překlápět, aniž by tím vznikaly nové náhrdelníky.
Takto pojatým náhrdelníkům už neodpovídají jednotlivá zobrazení f : M —>* Y, ale odpovídají jim orbity těchto zobrazení v permutační grupě na množině YM indukované grupou pozůstávající ze všech pootočení a ze všech překlopení náhrdelníku. To je ale dihedrální grupa Dm stupně n. Ptáme se tedy na počet orbit libovolných zobrazení f : M —>* Y v permutační grupě E°M na množině YM.
Podle Pólyovy věty pro libovolná zobrazení ale máme pro příslušný enumerátor 1(YM1DM) vztah
7(yM,DM) = Z(DM;si,s2,...,sA?).
Víme, že počet náhrdelníků, které se budou navzájem lišit, i když budeme moci náhrdelníky otáčet neboje budeme překlápět, dostaneme, když dosadíme hodnotu 1 za všechny proměnné do enumerátoru. Máme celkem k proměnných, poněvadž množina Y obsahuje k barev, a sumy Si,S2,..., s„ jednotlivých mocnin těchto proměnných tedy mají k sčítanců. Po dosazení hodnoty 1 za všechny proměnné pak všechny tyto sumy přejdou v hodnotu k. Takže pro počet navzájem odlišitelných náhrdelníků dostáváme vztah
^ym,dm \ = Z(DM] k,k,..., k).
V tomto vztahu se vyskytuje cyklový index Z (Dm) dihedrální grupy Dm-Z dřívějška víme, že tento cyklový index má tvar
Z(DM) = ^Z(CM) + ^t1t^\ je-li počet n korálků na náhrdelníku lichý, a
Z(DM) = \Z{CM) + \{t\ + t\tf),
je-li tento počet n sudý. Přitom Cm je cyklická grupa řádu n a o jejím cyklovém indexu Z(Cm) víme, že má tvar
Z(CM) = -n^(d)tl
d\n
Dohromady tak dostáváme je-li a? liché číslo, a
c/|n
je-li a? sudé číslo.
Dosazením hodnoty k za všechny proměnné ri, t2l..., tn do těchto vztahů tak v souladu s výše uvedeným vztahem pro počet navzájem odlišitelných náhrdelníků konečně obdržíme
1 1 i
d\n
je-li n liché číslo, a
je-li n sudé číslo.