Obarvení několika rulet
Na kulatém stole podél jeho okraje je v kruhu umístěno n rulet. Každá ruleta má tvar kola rozděleného do m sektorů. K dispozici je k barev, kterými lze obarvit jednotlivé sektory všech rulet. Klademe otázku, kolik soustav obarvených rulet takto může vzniknout, považujeme-li za stejná každá taková dvě obarvení, z nichž jedno vznikne z druhého nějakým pootočením stolu a nějakými pootočeními jednotlivých rulet.
i
Uvidíme, že jde o situaci, kterou lze postihnout konstrukcí kompozice permutačních grup popsanou v předchozím paragrafu. Množinou M zde bude množina všech m sektorů jedné rulety. Množinou N zde bude množina všech n pozic u okraje kulatého stolu, na nichž jsou umístěny jednotlivé rulety. Množinu N x M lze pak vnímat jako množinu všech sektorů všech rulet rozmístěných okolo stolu. Množinou Y zde bude množina všech k použitých barev. Obarvení všech sektorů všech rulet těmito barvami lze interpretovat jako libovolná zobrazení množiny N x M do množiny Y. Podgrupou H grupy Sm zde bude grupa všech otočení jedné rulety. Pak H bude cyklická grupa řádu m na množině M, kterou jsme značili symbolem Cm- Podgrupou K grupy S/v zde bude grupa všech otočení kulatého stolu. Pak K bude cyklická grupa řádu n na množině A/, kterou jsme značili symbolem C/v.
Zastavme se u kompozice K[H] permutačních grup H a K, to jest u kompozice Cn[Cm] cyklických grup Cm a C/v. Pak C/v[Cm] je permutační grupa na množině N x M všech sektorů všech rulet. Každá permutace [r, (crp)p(E/v   z grupy C/v[Cm] každému sektoru (q, a) E N x /W každé rulety, to jest sektoru a rulety na pozici q, předepisuje, do které rulety, to jest do rulety na které pozici r(q) se ruleta s tímto sektorem otočí, a v závislosti na tom, na které pozici q byla původní ruleta obsahující tento sektor a, pak do kterého sektoru crq(a) se tento sektor pootočí. Je jasné, že taková permutace je kompozicí nějakého otočení kulatého stolu s následnými pootočeními jednotlivých rulet umístěných kolem stolu. Vystihuje tedy kompozice Cn[Cm\ cyklických grup Cm a C/v plně situaci popsanou v naší úloze. Orbity libovolných zobrazení WxM^Vv podgrupě ECn^Cm^ pak budou odpovídat navzájem odlišným obarvením sektorů všech rulet, když nerozlišujeme mezi obarveními, která mohou na sebe navzájem přejít nějakým otočením kulatého stolu a nějakými pootočeními jednotlivých rulet.
Ptáme se tedy na počet orbit libovolných zobrazení N x M —>► Y v podgrupě £Ca/[Cm]( to jest na počet orbit v množině ÍXJIynxm,cn[cm]- ^      souvisí otázka ohledně příslušného enumerátoru j(YNxM, C/v[C/v?]). Ovšem podle Pólyovy věty máme pro tento enumerátor vztah
r)(YNxM\ C/\i[Cm]) = Z(C/v[Cm]; si, S2,..., smA7),
kde pro každé ^ = 1,2,..., mn je S£ = x-f + x| + • • • + x^, neboť množina Y obsahuje k barev.
Vime, že počet orbit v množině DJtyNxM,cN[cM] dostaneme, když dosadíme hodnotu 1 za všechny proměnné do enumerátoru. Kromě toho na základě ústřední věty z minulého paragrafu víme, že pro cyklové indexy permutačních grup obsažených v předchozím vyjádření enumerátoru ^y(YNxM, C/\i[Cm]) platí rovnost
Z(C/v[Cm]; ŕi, £2, • • •, tmn) = Z(C/v; Z(Cm\ £i, £2, • • •, tm),
Z(Cm\ £2, £4, ... , tm)? • • • 5 Z(Cm\ tni Í2n, • • • , tmn)).
Dosazením sum si, S2,..., smn za proměnné £1, £2,..., £mA7 do této rovnosti obdržíme vztah
Z(C/v[Cm]; si, S2,..., smn) = Z(C/v; Z(Cm; si, S2,..., sm),
; S2, S4,..., S2m), • • •, Z( C/vy; sn,
Dosazením z tohoto vztahu do vztahu pro enumerator 7(V/VxM, Cn[Cm]), který byl uveden výše, obdržíme rovnost
r){YNxM\ C/\i[Cm]) = Z(C/v; Z(Cm; si, S2,..., sm),
; S2, S4,..., S2m)5 • • • 5 Z( C/vy; sn, S2n3 • • • 3 smA7)).
Dosazením hodnoty 1 za všechny proměnné do kterékoliv z uvedených sum
= xf + x| + • • • + x^, kde ^ = 1,2,..., m/7, dostaneme pokaždé hodnotu k. Takže tímto dosazením do enumerátoru 7(V/VxM, Cn[Cm\) nám pro počet orbit v množině %JlYN*M,cN[cM] vyjde vztah
Y"xm,Cn[Cm]
Z(CN; Z(CM\ k, k,..., /c),
Z(CM; /c, /c,..., /c),..., Z(CM; /c, /c,..., k)).
Zbývá hodnotu napravo v této rovnosti vypočítat. Z dřívějška vime, že cyklový index Z(Cm) cyklické grupy Cm řádu /r? má tvar
Odtud plyne, že
1 v—> m
Z {CM) = -l^(f(c)tcc.
c\m
Z(CM; /c, /c,..., k) = — V" (f (c) k
m
rn c
c\m
Rovněž víme, že cyklový index Z(C/v) cyklické grupy C/v řádu n má tvar
d\n
Do tohoto cyklového indexu následně dosazujeme výše vypočtenou hodnotu Z(Cm\ k, /c,..., k) za všechny proměnné td pro d\n. Tak obdržíme rovnost
YN*M,CN[CM]
d\n \ dm
ji
d
rn c
Tolik je tedy všech navzájem odlišitelných obarvení sektorů rulet umístěných po obvodu kulatého stolu, nezáleží-li nám na otáčení stolu a na otáčení jednotlivých rulet.