2. domácí úkol - MIN201 - jaro 2023 - odevzdat do 3.5.2023
(i) Uvažme funkci f(x) = (x + l)3e x na intervalu I = [—4,4]. Určete lokální a globální extrémy této funkce pro x £ I.
(ii) Uvažme funkci g(x) = e~5x, iGl. V každém bodě grafu této funkce uvažme tečnu ke grafu a trojúhelník určený touto tečnou a souřadnými osami. Určete bod na grafu, pro který má tento trojúhelník největší obsah v prvním kvadrantu.
(i) Spočteme f'(x) = — (x+l)2(x — 2)e~x. Odtud se lehce vidí, že x = —1 je stacionární bod, ve kterém není extrém, a v bodě x = 2 je lokální maximum. Abychom určili globální extrémy, potřebujeme dále hodnoty /(—4) = —27e4 a /(4) = 125e~4. Tedy globální minimum je v bodě —4 a globální maximum je v bodě x = 2 (na intervalu [2,4]) funkce klesá).
(ii) Tečna v bodě [x, e~5x] má směrový vektor (1, — 5e~5x), z čehož dopočítáme průsečíky se souřadnými osami [x + |,0] a [0, (5x + l)e~5:E]. Obsah, jehož maximum hledáme, je tedy
Řešení:
dán funkcí
S(x) = (x + -)(5x + l)e-5x = -(5x + l)2e
5x
pro kterou spočteme
S'(x) = -(5x + l)(5x- l)e
5x
Už z obrázku je vidět, že minimum této funkce je v bodě x grafu [i,e-1].
g, maximum je tedy v bodě