2. domácí úloha z MIN201, jaro 2024
Zadáno: 25. 3. 2024 Odevzdejte do: 4. 4. 2024
Příklad 1 (Vztah mezi logaritmy různých základů). Dokažte, že pro libovolné a, b ∈ R+
platí
loga x =
logb x
logb a
.
Řešení. Rovnici si upravíme a obě strany dáme do exponentu
logb a · loga x = logb x /b( ... )
blogb a · loga x
= blogb x
x = aloga x
= blogb a loga x
= blogb x
= x
Vidíme, že poslední rovnost je splněná a prováděli jsme jen ekvivalentní úpravy (protože exponenciální
funkce je bijektivní), tedy platí i první rovnost.
Příklad 2 (Derivace). Spočítejte derivaci funkce
f(x) = x · ln x +
√
1 + x2 −
√
1 + x2,
upravte ji do co nejjednoduššího tvaru a ukažte, že je funkce f(x) rostoucí pro x > 0 a klesající
pro x < 0.
Řešení.
f (x) = x · ln x +
√
1 + x2 + x · ln x +
√
1 + x2 −
√
1 + x2
= ln x +
√
1 + x2 + x ·
1
x +
√
1 + x2
· x +
√
1 + x2 − (1 + x2
)
1
2
= ln x +
√
1 + x2 +
x
x +
√
1 + x2
· 1 +
1
2
(1 + x2
)−1
2 · (1 + x2
) −
1
2
(1 + x2
)−1
2 · (1 + x2
)
= ln x +
√
1 + x2 +
x
x +
√
1 + x2
· 1 +
1
2
√
1 + x2
· 2x −
1
2
√
1 + x2
· 2x
= ln x +
√
1 + x2 +
x
x +
√
1 + x2
·
√
1 + x2 + x
√
1 + x2
−
x
√
1 + x2
= ln x +
√
1 + x2 +
x
@@@@@@@
x +
√
1 + x2
·
@@@@@@@√
1 + x2 + x
√
1 + x2
−
x
√
1 + x2
= ln x +
√
1 + x2 +
x
√
1 + x2
−
x
√
1 + x2
= ln x +
√
1 + x2
Derivace je deﬁnovaná na celém R, protože vnitřek logaritmu je vždy kladný:
x +
√
1 + x2 ≥
√
1 + x2 −
√
x2 > 0.
Podle znaménka f (x) ukážeme, že na daných intervalech je funkce rostoucí/klesající:
pro x > 0 : f (x) = ln x +
√
1 + x2 > ln 0 +
√
1 + 0 = ln 1 = 0
pro x < 0 : x +
√
1 + x2 =
√
1 + x2 −
√
x2 ≤
√
1 + x2 −
√
x2
√
1 + x2 +
√
x2
≤ 1 + x2
− x2
= 1 ⇒ f (x) < 0.
1
Bonusový příklad (Rovnice s logaritmy). Nalezněte všechna řešení rovnice
15log5 3
· x1+log5 9x
= 1.
[Nápověda: Obě strany zlogaritmujte log5( ), upravte rovnici a pomocí substituce vyřešte.]
Příklad 3 (l’Hôpital). Pomocí l’Hôpitalova pravidla spočítejte limity:
i) lim
x→0
ln(1 + 4x)
3x − 1
ii) lim
x→0+
ln x + e
1
x
iii) lim
x→1
x
1
1−x2
iv) lim
x→1+
ln x ln(1 − x)
Řešení.
i) lim
x→0
ln(1 + 4x)
3x − 1
=
ln 1
30 − 1
=
0
0
H
= lim
x→0
(ln(1 + 4x))
(3x − 1)
= lim
x→0
1
1+4x
· 4
3x · ln 3
=
1
1+0
· 4
30 · ln 3
=
4
ln 3
ii) lim
x→0+
ln x + e
1
x = |−∞ + ∞| = lim
x→0+
ln x + ln e
x√
e
= lim
x→0+
ln x · e
x√
e
= ln lim
x→0+
e
x√
e
1
x
= ln
∞
∞
H
= ln lim
x→0+
e
x√
e
· e
1
x · 
 −1
x2
−
1
x2
= ln(ee∞
· e∞
) = ln(∞) = ∞
iii) lim
x→1
x
1
1−x2
= lim
x→1
e
ln x
1
1−x2
= e
limx→1
1
1−x2 ·ln x
= lim
x→1
ln x
1 − x2
H
= lim
x→1
1
x
−2x
= −
1
2
= e−1
2 =
1
√
e
iv) lim
x→1+
ln x ln(1 − x) = lim
x→1+
ln(1 − x)
(ln x)−1 =
−∞
∞
H
= lim
x→1+
1
1−x
· (−1)
(−1) (ln x)−2
· 1
x
= lim
x→1+
(ln x)2
· x
1 − x
=
0
0
H
= lim
x→1+
2 ln x · x + (ln x)2
−1
=
0
−1
= 0
Příklad 4 (K větám o střední hodnotě). S využitím elementárních funkcí dejte příklad funkce f
deﬁnované po částech na intervalu [−1, 1] ⊆ R, kde f(−1) = f(1), a je diferencovatelná na
celém intervalu [−1, −1] kromě jednoho bodu a splňuje:
i) nabývá všech hodnot na R, její derivace nabývá uvnitř intervalu všech hodnot kromě hodnoty
zaručené Rolleovou větou o střední hodnotě, tedy
H(f) = R, f ((−1, 1)) = R {0}
[Nápověda: Zamyslete se nad grafem funkce 1
x2−1
, „rozstřihněte jej na dvě vhodné části a
vhodnou úpravou předpisu posuňte/obraťte jednotlivé části a deﬁnujte z nich jednu funkci.]
ii) f je spojitá na [−1, 1] (tudíž nemůže nabývat všech hodnot) a f ((−1, 1)) = R {0}
[Nápověda: Pohrajte si s předpisem funkce pro graf půlkružnice.]
2
Řešení.
i) Taková funkce neexistuje.
Aby nabývala všech hodnot, musí v bodě nespojitosti utíkat z jedné strany do ∞ a z
druhé strany do −∞. Bod nespojitosti může být jenom jeden, protože v něm není funkce
diferencovatelná. Tedy nutně nalevo i napravo od bodu nespojitosti musí mít f (x) stejné
znaménko, dejme tomu kladné.
Aby f (x) mohla změnit znaménko a nabývat i záporných hodnot, musí projít bodem,
kde f (x) = 0, jenže to jsme právě nechtěli.
ii) f(x) =
1 − 1 − (x + 1)2 pro x ∈ [−1, 0)
1 − 1 − (x − 1)2 pro x ∈ [0, 1]
−2 −1 1 2
−1
1
0
Bonusový příklad (Vylepšená věta o střední hodnotě). Uvažme funkci f splňující na intervalu
[a, b] podmínku pro Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Dokažtě (nebo vyvraťte?), že můžeme
najít takový bod ¯c ∈ (a, b) ze znění této věty, pro který navíc platí, že tečna ke grafu funkce v
tomto bodě je nad nebo pod grafem této funkce na celém intervalu [a, b].
Jinak řečeno, pro všechna x ∈ [a, b] existuje ¯c ∈ (a, b), že platí
f(x) ≤ f(¯c) +
f(b) − f(a)
b − a
(x − ¯c) nebo f(x) ≥ f(¯c) +
f(b) − f(a)
b − a
(x − ¯c).
3