3. DOMÁCÍ ÚLOHA Z MIN201, JARO 2024 Zadáno: 11.4.2024 Odevzdejte do: 18.4.2024
Příklad 1 (Konvergence řady). Uvažme řady
n=l   ^ ' n=l
H2
í (2n)!
n=l
i t171^ Slil - | X'".
V 2
Č7 řad i) a ii) rozhodněte o konvergencí řady a u řady iii) určete poloměr konvergence a rozhodněte o konvergencí v krajních bodech oboru konvergence.
Řešení. U řady i) využijeme využijeme odmocninového a u ii) podílového kritéria. Uvidíme, že řady konvergují.
i) lim
cos ■
n
lim   cos —
n^oo \ n
lim eln(cos")"
(*) lim n ln I cos
lim
ln (cos i)
n i     n^oo n
+ tgÁ lim -t
n^oo -2 • -
-2
ln(cosO) _ 0
0
lim n2 lnfcos — \ (*) 1
g n—>-oo V        71 /   — - <^
^- • (— sin -) • (—\)
1 -1
'íř  ,. cos
lim
2 I
n—>oo    —2 •
-1
'h cos -
= lim
lim
-2
n->oo 2 COS
2 1
1
2
((»+i)Q2
(2(n+l))l
n)  i™ (nl)2
(2n)!
(2n+2)(2n+l)j>ríf
Hm v„^n^^V: = Hm n +2n + l
n^oo [p*f n^oo An2 + 6n + 2
4n2
1
4*1
iii) Pro určení poloměru konvergence využijeme odmocninové kritérium. Posloupnost ^/j sin {pif) | nemá limitu v +00, protože se bude stále měnit mezi 0 a 1, má však limitu superior, tj. limitu ze suprem následujících hodnot.
p = lim sup ľ
/mr\
lim y/T = 1
Poloměr konvergence je tedy r = ^ = 1. Konverguje tedy na intervalu (—1,1). V krajních bodech zřejmě nekonverguje, protože limity částečných součtů ani neexistují. Pro x = 1 a x = — 1 máme:
5>
n=l
smi—J=1+0-1+0+1+0-1
n=l
5>(f )(-!>•
-1 + 0 + 1 + 0- 1 + 0 + 1
A
Bonusový příklad (Obor konvergence - krajní body). iVa cvičení jsme si ukázeli, že řada
konverguje pro všechna \z\ < y/2. Rozhodněte, zda konverguje pro nějaké \z\ = y/2. [Nápověda: Vyjádřete v goniometrickém tvaru.]
1
Příklad 2 (Průběh funkce). Popište průběh funkce
f(x) = ex + 3x - 8\n(ex + 1) + 5,
především spočítejte první derivací, určete intervaly na kterých funkce roste/klesá, najděte lokální extrémy a určete asymptoty (v ±oo). Dále odhadněte (nepočítejte) bod, kde graf funkce protíná osu x a graf načrtněte.
Řešení.
o 2x _ 4 z   i o
f[x) = ex + 3--— • ex =--
v ' ex + 1 ex + 1
Jmenovatel derivace je vždy kladný, tedy znaménko f'(x) se může změnit jen v nulovém bodě čitatele. Zavedeme substituci y = ex a najdeme stacionární body x1}x2.
y2 _ 4y + 3 = (ex)2 - Aex + 3 = 0
4±Vl6-4-3 Ž/1,2 =---= 2 ± 1
eXl = 1, eX2 = 3    =>•    ari = 0, x2 = ln 3
Znaménko derivace na intervalech vymezených stacionárními body zjistíme dosazením bodu ze vnitř intervalu a chováním v ±oo.
lim f{x) = 3,    /'(ln2) = * ~ 4 ' \ + 3 < 1,    lim /'(*) = oo
Na ose znázorníme, kde funkce roste/klesá, a je hned vidět, kde jsou jaké lok. extrémy.
f'(x)       + - +
-1-1--
0     \   ln3   / X
lok. max.   lok. min.
Z hodnoty limity f'(x) v — oo je hned jasný sklon asymptoty v — oo a neexistence asymptoty v +oo. Ale ještě to spočítáme běžným vzorečkem a dostaneme rovnici asymptoty v —oo.
lim f(x) = e-+3-8.HeX + 1h^
x^-oo X XX
0      „    „    0 5
-oo —oo    —oo
b=  lim f(x) - ax =  lim ex +^c- 8 \n(ex + 1) + 5 - %é = 5
X—> — OO X^ř — OO
p : y = 3x + 5 A
Hodnota v lokálním minimu je
/(ln3) = 3 + 31n3-81n4 + 5 = 0,2
tedy graf může protnout osu x pouze nalevo od lok. maxima. Při dosazení /(—1) = —0.1 vidíme, že graf musí protínat osu x mezi —1 a 0.
Poznámka. Vzdálenost d dvou bodů A = [a, b] B = [xo,yo] na rovině IR2 vyjádříme (podle Pythagorovy věty)
d = y/(x0 - af + (y0 - bf. (1) Tečna ke grafu funkce g(x) v bodě xq je tvaru
t: y = g(x0) +g'(x0)(x - x0) (2)
a její směrový vektor je tedy (l,g'(xo)). Normála také prochází bodem [xq,g(xo)], tedy její rovnice se bude oproti (2) lišit jen ve sklonu.
2
Příklad 3 (Nejbližší bod - normála). Uvažujme bod A = [a,b] a funkcí f{x), která je diferencovatelná na celém IR. Libovolný bod minimalizující vzdálenost bodu A od grafu funkce f, označme B = [xo,yo\. Dokažte, že přímka procházející body A a B je normálou k tečně grafu funkce f v bodě Xq. [Nápověda:
1) Napište si rovnici pro normálu ke grafu funkce f(x) v bodě [x,f(x)]. Zamyslete se, co musí platit, aby bod [a, b] na této normále ležel.
2) Jako funkci, kterou chcete minimalizovat, vezměte d{x) vyjadřující vzdálenost bodu [x, f(x)] od bodu A, viz (1). Spočítejte derivaci d{x), přičemž f{x) (jako vnitřní funkce) bude mít zase obecně nějakou derivaci f'{x). Napište si rovnici pro stacionární bod funkce d{x).]
Řešení. Normála v bodě [x, f(x)] musí mít směrový vektor kolmý ke směrovému vektoru tečny. Tedy směrový vektor normály musí být (1, jt^j), aby platilo
0 = ((lj\x)),(l,ýfc)) = l + f'(x)-ýfc Normála procházející bodem [x0, f(x0)] má tvar
1
n:y = f(x0) -        y ' (x ~ xo),
pokud bod A = [a, b] na ní leží, musí být pro něj rovnice splněna, tj.
1
b = f(x0) - j^—j-(a-x0). (3) Vezměme funkci d(x) podle nápovědy
d{x) = y/(x - a)2 + (f(x) - b)2,
spočítejme její derivaci
ď(x) = - 1 • (2(x -a) + 2(f(x) - b) ■ f'(x)).
V ;     2^/(x - a)2 + (f(x) - b)2   V V       ^      V V '     '     V "
Pokud graf funkce neprochází bodem A, je výraz pod odmocninou kladný (nenulový) a platí
1
ď(x) = 0 (x - a) + (f(x) - b) ■ f'(x) = 0 b = f(x) - ——- ■ (a - x)
J \x)
Tedy podle (3) vidíme, že dokonce v každém stacionárním bodě funkce d(x) prochází normála grafu funkce i bodem A = [a, b]. A
3