3. domácí úloha z MIN201, jaro 2024
Zadáno: 11. 4. 2024 Odevzdejte do: 18. 4. 2024
Příklad 1 (Konvergence řady). Uvažme řady
i)
∞
n=1
cos
1
n
n3
ii)
∞
n=1
(n!)2
(2n)!
iii)
∞
n=1
sin
nπ
2
xn
.
U řad i) a ii) rozhodněte o konvergenci řady a u řady iii) určete poloměr konvergence a rozhodněte
o konvergenci v krajních bodech oboru konvergence.
Bonusový příklad (Obor konvergence - krajní body). Na cvičení jsme si ukázeli, že řada
∞
n=1
zn
(1 + i)n
konverguje pro všechna |z| <
√
2. Rozhodněte, zda konverguje pro nějaké |z| =
√
2.
[Nápověda: Vyjádřete v goniometrickém tvaru.]
Poznámka.
Příklad 2 (Průběh funkce). Popište průběh funkce
f(x) = ex
+ 3x − 8 ln(ex
+ 1) + 5,
především spočítejte první derivaci, uřčete intervaly na kterých funkce roste/klesá, najděte lokální
extrémy a určete asymptoty (v ±∞). Dále odhadněte (nepočítejte) bod, kde graf funkce
protíná osu x a graf načrtněte.
Poznámka. Tečna ke grafu funkce g(x) v bodě x0 je tvaru
t: y = g(x0) + g (x0)(x − x0), (1)
tedy její směrový vektor je (1, g (x0)). Normála také prochází bodem [x0, g(x0)], tedy její rovnice
se bude oproti (1) lišit jen ve sklonu.
Příklad 3 (Nejbližší bod - normála). Uvažujme bod A = [x0, y0] a funkci f(x), která je diferencovatelná
na celém R. Libovolný bod minimalizující vzdálenost bodu A od grafu funkce f,
označme B = [x1, y1]. Dokažte, že přímka procházející body A a B je normálou k tečně grafu
funkce f v bodě x1.
1