3
J{ L4-A + ß *2bi-lr~0
c+c --CP
ô.
3
-2
(vylepšená věta o střední hodnotě)
Pro názornost nejprve dokáži pro speciální případ f(a)=f(b). Z nákresu je patrné, že pro funkci f(x) splňující podmínky pro Lagrangeovu větu o stř. hodnotě na intervalu [a,b]. Tedy spojitou na [a,b] a diferencovatelnou na (a,b) bude platit pro f(a)=f(b) věta Rolleova. Tedy bude existovat alespoň jeden bod f (c)=0 max/min
cl      £i £*
funkce f(x). Tečna funkce v bodě c pak bude konstantní funkce g(x)=f(c). Pokud bude existovat jediný bod c splňující f (c)=0 je zřejmé, že pro x(a,b) bude platit g(x)>=f(x) pro c maximum a g(x)<=f(x) pro c minimum. Pro případ konstantní funkce bude g(x)=f(c) na celém intervalu [a,b].
Pro R je [a,b] uzavřená množina, f(x) je na intervalu [a,b] spojitá, a tak je množina i ohraničená (kompaktní). Dle topologické charakterizace spojitosti bude pro spojitou funkci platit, že obrazem kompaktní množiny je opět kompaktní množina, která bude obsahovat supremum a infimum.
=> f(x) bude mít na [a,b] buď maximum, nebo minimum cx splňující, že tečna g(cx)>=f(x), nebo g(cx)<=f(x). Důkaz pro speciální případ f(a)=f(b) lze zobecnit aby splňoval Lagrangeovu větu o stř. hodnot.
Zavedeme funkci h(x):
h(x) bude rozdílem nějaké funkce f(x) a přímky. Oba procházející body [a,f(a)] a [b,f(b)]
/     ,/     Ml-ML
=>h(a)=h(b))
Obdobně bude tedy existovat alespoň jeden bod splňující h'()=0 pro který bude platit naše "vylepšená věta o střední hodnotě".