Vnitrosemestrální písemka - MIN201 - jaro 2023 - 19. 4. 2023
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3 body) Je dána řada ^
(! = 1
Určete střed, poloměr konvergence a interval konvergence této řady.
2. (5 bodů) Určete průběh funkce f(x) = (x — 2)e~1lx. Tedy určete definiční obor a obor hodnot, intervaly, kde funkce roste/klesá, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost, inflexní body, asymptoty a načrtněte graf.
3. (2 body) Uvažme funkce
f(x) = \nx   a   g{x) = x2 + a
pro x > 0, kde a G IR je parametr.
(i) Určete x > 0 takové, že tečna ke grafu funkce f{x) prochází bodem [0,1].
(ii) Určete hodnotu parametru a takovou, že grafy funkcí f{x) a g{x) se protínají v jednom bodě.
Řešení a bodování:
1. [3 body] Nejprve řadu upravíme
oo oo
5>l)n ^(4x + 4)™ = J^-l)-^ + ly
n—1 n—1
Střed je tedy v bodě xq = —1. Dále
lim r/|(-l)n^L_|
n—^oo   V ,ŕ °
poloměr konvergence je r = 3 a tedy řada určitě konverguje na intervalu (—4, 2), [2b]. Dosazením krajních bodů dostáváme číselné řady
oo oo oo oo
£(-i)n^(-4 + i)n = ££ = °° a £(-i)n^(2 + i)n = £(-!)"£ = 0.
n—1 n—1 n—1 n—1
Interval konvergence tedy je (—4,2], [lb]. 2. [5 bodů] Platí D(f) = R\ {0}. Chování kolem nuly je určeno limitami
lim f(x) = 0   a     lim f(x) = — oo, [0.5b].
Dále platí
f(x) = f(x) = {x- 2)e~1'x,       f(x) = z^e-1'*,       f"(x) = ^^e^, [lb].
Funkce roste na intervalech (—oo, —2] a [1, oo) a klesá na intervalech [—2, 0) a (0,1]. Lokální extrémy jsou dva - lokální maximum v bodě x = —2, /(—2) = —4y/ě, a lokální minimum v bodě x = 1, /(l) = — ^, [lb]. Odtud vidíme, že íř(/) = M \ (—4-y/ě, — ^). Funkce je konkávni na intervalech (—oo,0) a (0, |) a konvexní na intervalu (|,oo), [lb]. Inflexní bod je x = |. Asymptoty jsou dvě x = 0 (bez směrnice) a y = x — 3 (se směrnicí), [lb]. Ještě je potřeba načtrnout graf, [0.5b].
Detaily počítání asymptoty se směrnicí jsou následující. Je-li asymptota tvaru ax + b, pak
a=   lim   í^l=   lim   £^e-V* = i.
x—>±oo    a" a-—>±oo X
Dále, po úpravě a s využitím ĽHospitalova pravidla dostaneme
b =   lim  f(x) -ax=   lim (x - 2)e-1/x -x=   lim  x(e-1/x - 1) - 2e-1/a; =
a;—^±oo x—>-±oo a;—^±00
= -2 +   lim   e'1/1x-1 = -2 -   lim  e"1/2-' = -3.
a;—^±oo       — a;—^±oo a;
3. [2 body]
(i) Tečna je přímka procházející bodem [x, f(x)] se směrovým vektorem (1, f'(x)). Řešíme tedy rovnici
[x,lnx] + S(l,i) = [0,l].
Odtud s = —x a tedy x = e2, [lb].
(ii) Grafy obou funkcí musí mít společnou tečnu, tj. f'(x) = g'(x). Odtud x = Dále v tomto bodě musí platit f(x) = g(x), tj. ff(^) = ln ^ = — \ ln 2. Odtud se dopočítá a = —^(1 + ln 2), [lb].