Zkouška 1. termín - MIN201 - jaro 2023 - 29. 5. 2023
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (8 bodů)
(i) Rozložte funkci P(x) na parciální zlomky,
3x + 1
(ii) Spočtěte
x** + 25x2
P(x)dx.
(iii) Najděte funkci f(x) takovou, že f'{x) = P(x) a /(5) = — Jjln2.
2. (3 body) Spočtěte intergál
(2 + 5x)ex/3dx.
'o
3. (5 bodů) Uvažme oblast M CM.2 ohraničenou grafy funkcí
y = -\ + \\nx,  y = \-\\\x,  y = -2,  y = 1.
Poznamenejme, že M je složena ze dvou menších oblastí, které se protínají v jednom bodě. Popište oblast AI (včetně „vrcholů") a určete obsah této oblasti.
Jako nápovědu připomeňme, že f lnx dx = x ln x — x + C.
4. (4 body) Určete Fourierovu řadu pro periodické prodloužení funkce
{)     U     *e [2,4).
Řešení a bodování:
1. [8 bodů]
(i) [4 body] Výpočtem dostaneneme
3x + 1 3 1 3x +1
x4 + 25x2     2bx    25x2     25(x2 + 25)'
(ii) [3 body] Integrováním dostaneneme
f   3x + l    1       3 ,   . .      1       3 ,  . 9 1 x
1 ^25**°=-^- —--M* +25)-—^- + 0, Ce
(iii) [1 bod] Ounačme pravou stranu předchozího displeje jako f(x). Hledáme C takové, že
«« = -is-sb2-i5Í+c=-étaí-
Tedy C = i(l + f)-2. [3 body] Integrováním (metodou per partes) dostaneme
j{2 + 5x)ex/3dx = 3(2 + 5x)ex/3 - Abex/3 + C, Cel.
Tedy
(2 + 5x)ea;/3íia; = 51e2 + 39.
/o
3. [5 bodů] Popis oblasti M [2 body]: Horní „křivočarý trojúhelník" M\ má vrcholy [1,1], [e, 0], [e3, 1] a dolní „křivočarý trojúhelník" M2 má vrcholy [p-,—2], [e, 0], [e3,l].
Výpočet plochy [3 body]: Obsah M\ je
J [í-(í-]nx)]dx + J   [1 - {-\ + \\nx)]dx = 1
Obsah M2 je
/    [~I + \      + 2]dx + /   [1 - lnx + 2)]dx = e
Je-3 Je
ie3 -2 2
3  , Ie-3_3 2 2
Obsah oblasti M je tedy §e3 + ±e~3 - 3e + 1. 4. [4 body] Perioda je 4, takže uj =     = ^. Dále funkce        je lichá, takže v rozvoji této funkce
00
h(x) =      +       ^a„ cos(na;aľ) + 6„ sin(na;aľ)
n=+
máme an = 0 pro každé n. Dále
an =    J h(x) s'm(nujx)dx = | ^— y sin(n:|aľ)íiaľ + y sin{n^x)dx^ =
= ~\ h^cos(nf x)]l + \ [-^cos(nlx)]t =     [2cos^ - cosO - cos(2n7r) 0        n even
— [-1 + (-1)"1
n odd.
717T L \ /J j 4
l ri7r
Tedy
M^) = -E(24rvsin((2fc + 1)^
fe=0