Zkouška 2. termín - MIN201 - jaro 2023 - 5. 6. 2023
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (8 bodů)
(i) Rozložte funkci P(x) na parciální zlomky,
40x + 80
P{x) =
(x2 + 6x- 16) (x2 + 6x+ 16)'
(ii) Spočtěte
(iii) Najděte funkci f(x) takovou, že f'(x) = P(x) a /'(O) = 0.
2. (4 body) Spočtěte intergál
ř7r/42 + 7sin3(i-)
dx.
cos2(x)
3. (4 body) Uvažme oblast M C IR2,
M = {[x,y] e M2 | y > 0,y < x2,y < 2 - x}. Popište oblast M (včetně „vrcholů") a určete obsah této oblasti.
4. (4 body) Na prostoru spojitých reálných funkcí na intervalu [0,1] uvažme obvyklý skalární součin, který je pro dvě takové funkce / a g daný vztahem (/, g) = fQ f{x)g{x) dx. Najděte nenulový polynom
h(x) = ax2 + bx + c,  a, b, c G IR
takový, že
(h,l) = 0   a   {h,x} = 0
a navíc h(0) = 1.
Řešení a bodování:
1. [8 bodů]
(i) [4 body] Výpočtem dostaneneme
4Cte + 80 5(x + 2) 1
(x2 + 6x-16)(x2 + 6x + 16)       4(x2 + 6x + 16)     2(x - 2)    4(x + 8)'
(ii) [3 body] Integrováním dostaneneme
í i—n—7.-4?lt!° n-T7^dx = éln|x-2|+|ln|x+8|-|ln(x2+6x+16)+-4=arctan^-^+C",    C G
7 (x2 + 6x - 16)(x2 + 6x +16)        21      141      1   s   v '4^/7 s/l
(iii) [1 bod] Označme pravou stranu předchozího displeje jako f (x). Hledáme C takové, že
/(O) = Íln2+|ln2-|ln2+^ arctan j. + C = 0.
Tedy C* = arctan -3. - I ln 2.
2. [4 body] Rozdělením na součet dvou integrálů a substitucí m = cos(aľ) u druhého integrálu dostaneme 2 + 7sin3(x) f f    2 7sin3(x)s
dx = / ( -?7ľT H--) (ix = 2tan(x) + 7cos(x) H--— + C;   C e
2 + 7sin3(x) 21
cos2(x) 7  \^cos2(x)      cos2 (x) y w \ / ■ cos(x^
Tedy
COS2 (x) v 2
3. [4 body] Popis oblasti M [1.5 bodu]: jedná se o „křivočarý trojúhelník" s vrcholy [0, 0], [2, 0] a [1,1]. Výpočet plochy [2.5 bodu]: Obsah M je integrál
J x2dx + j (2 — x)dx =
4. [4 body] Spočteme
1
2
(h, 1) = /  (ax2 + for + c)č£r =     + ^6 + c = 0
o
(/i, x) =      (ax3 + for2 + cx)dx = ja + ^6 +     = 0. J o
Odtud        = a(x2 — x + i). Podmínka /i(0) = 1 znamená, že a = 6.