1. vnitrosemestrální písemná práce z MIN201, jaro 2024
Jméno: Datum: 18. 4. 2024
UČO:
Příklad 1 (3b). Vyšetřete průběh funkce
f(x) =
1 − 2x
3x2
,
především určete definiční obor, obor hodnot a určete na jakých intervalech je funkce rostoucí/klesající
a konvexní/konkávní.
Řešení. Definiční obor je zřejmě D(f) = R {0}.
Nejprve spočítáme první a druhou derivaci.
f (x) =
−2 · 3x2
− (1 − 2x) · 6x
(3x2)2
=
6x2
− 6x
9x4
=
2x − 2
3x3
f (x) =
2 · 3x3
− (2x − 2) · 9x2
(3x3)2
=
−12x3
+ 18x2
9x6
=
−4x + 6
3x4
Nalezneme jejich nulové body (v prvním případě se to nazývá stacionární bod.)
f (x) = 0 ⇔ 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1
f (x) = 0 ⇔ −4x + 6 = 0 ⇔ x =
3
2
Určíme, kde má f (x) a f (x) kladné/záporné znaménko. Znaménko se může změnit pouze
v nulovém bodě nebo bodě nespojitosti. Tedy máme rozdělenou reálnou osu na podintervaly a
jejich znaménko zjistíme dosazením libovolného bodu zevnitř intervalu.
x
f (x)
0 1
lok. min.
+ − +
x
f (x)
0 3
2
− − +
Funkce je tedy rostoucí na intervalech (−∞, 0) a (1, ∞) a klesající na (0, 1). Konvexní je na
(−∞, 0), (0, 3
2
) a konkávní na (3
2
, ∞).
Ve stacionárním bodě x = 1 je lokální minimum. Abychom věděli, jakých nejnižších a
nejvyšších hodnot funkce nabývá, potřebujeme ještě spočítat následující limity.
lim
x→±∞
f(x) = lim
x→±∞
1 − 2x
3x2
=
2x
3x2
=
1
∞
= 0, lim
x→0±
f(x) = lim
x→0±
1 − 2x
3x2
=
1
0+
= ∞
V bodě x = 1 je tedy i globální maximum a funkce nabývá libovolně velkých hodnot, tedy
H(f) = [1, ∞).
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
0
Příklad 2 (3b). Zpočítejte následující limity:
1) lim
x→0
1 − 3
√
1 − x
x
2) lim
x→0
ln(ex
− 1) − ln(x) 3) lim
x→−∞
xex
Řešení.
1) lim
x→0
1 − 3
√
1 − x
x
=
1 − 3
√
1 − 0
0
=
0
0
H
= lim
x→0
−1
3
(1 − x)−2
3 · (−1)
1
=
1
3
(1 − 0)−2
3
1
=
1
3
2) lim
x→0+
ln(ex
− 1) − ln(x)
= lim
x→0+
ln
ex
− 1
x
= ln lim
x→0+
ex
− 1
x
= ln
0
0
H
= ln lim
x→0+
ex
1
= ln(1) = 0
3) lim
x→−∞
xex
= lim
x→−∞
x
e−x
=
∞
e∞
=
∞
∞
H
= = lim
x→−∞
1
−e−x
=
1
−∞
= 0
Příklad 3 (3b). Pomocí Taylorova polynomu funkce tg x stupně 2 se středem v x0 = 0 odhadněte
hodnotu tg 1.
Řešení.
f(x) = tg x → f(0) = 0
f (x) =
1
cos2 x
→ f (0) =
1
1
= 1
f (x) =
−2 cos x · (− sin x)
cos4 x
→ f (0) =
2 · 1 · 0
1
= 0
T2
0 (x) = f(x0) + f (x0)(x − x0) +
f (x0)
2
(x − x0)
tg 1 ≈ 0 + 1 · (1 − 0) +
0
2
· (1 − 0)2
= 1
Příklad 4 (1b). Uvažme funkce f(x) a g(x). Oboje funkce jsou rostoucí na R. Dále f(x) je
konvexní na R, g(x) je konkávní na R. Rozhodněte, jaké jsou možnosti počtu protnutí jejich
grafů.
[Nápověda: Vezměte funkci h(x) = f(x)−g(x) a ukažte, že h(x) má pouze jedno minimum.]
Řešení. Funkce h(x) je konvexní na R
h (x) = f (x)
>0
− g (x)
<0
> 0,
tedy h (x) je rostoucí, protože na R
h (x) = h (x) > 0.
Rostoucí funkce „může protnout osu x , tedy h (x) = 0, nejvýše v jednom bodě xmin.
(Nemusí se však rovnat nule, uvažme např. funkci ex
.) Pokud takový bod existuje, pak je v
tomto bodě minimum, protože h(x) je všude konvexní. Mohou nastat tyto možnosti:
1) h (x) > 0 na R, tedy h(x) je rostoucí a nemá minimum
a) h(x) > 0 na R, tedy f(x) a g(x) se neprotínají
b) f(x) a g(x) se protínají v jednom bodě
2) h (xmin) = 0, tedy h(x) na (−∞, xmin) klesající a na (xmin, ∞) rostoucí
a) h(xmin) > 0, funkce f(x), g(x) se neprotínají
b) h(xmin) = 0 a h (xmin) = 0, funkce se protínají v jednom bodě a v tomto bodě
jejich tečny splývají
c) h(xmin) < 0, pak nalevo i napravo od xmin musí protnout osu x, protože h(x) je
konvexní; funkce se tedy protnou dvakrát
Příklad možnosti 2) jsou vzájemě obrácené paraboly, podpřípady a), b) a c) dostaneme posouváním
jedné paraboly po ose y. Příklad možnosti 1) jsou funkce f(x) = ex
+x, g(x) = x−ln(ex
+1)
a jejich posunutí.