Vzorové příklady ke zkoušce – MIN201, jaro 2024
Příklad 1. Rozhodněte o konvergenci řad
∞
k=1
(ln k)−k
,
∞
k=1
ln 1 −
1
k
k
Nápověda: u 2. řady uvažte, jakých hodnot nabývá ln(1 − 1/k)
Příklad 2. Nalezněte interval (vč. krajních bodů), na kterém konverguje mocninná řada
∞
k=1
k
2k − k
xk
Příklad 3. Spočítejte neurčité integrály
x2
sin(2x) dx,
1
cos x
dx,
1
x
√
1 + x2
dx,
u posledního integrálu využijte substituci t =
√
1 + x2 a rozložení na parciální zlomky.
Příklad 4. Spočítejte určité integrály
π
2
0
cos x
1 + sin x
dx,
1
−1
x ln x dx
Příklad 5.
a) Určete obsah oblasti ohraničené křivkami f(x) = x2
− 1, g(x) = 3x + 3, h(x) = 3, která
obsahuje bod [0, 0].
b) Určete délku křivky grafu funkce f(x) = ln(cos x) na intervalu [−1
2
, 1
2
].
Příklad 6. Nalezněte součet následujících mocninných řad pro všechna x, pro která řady
konvergují. Nápověda1
∞
k=0
2k xk
,
∞
k=0
xk
k + 1
Příklad 7. Aproximujte integrál
1
−1
esin x
dx
pomocí Taylorova polynomu stupně 2 funkce f(x) = esin x
se středem v bodě x0 = 0.
Příklad 8. Nalezněte periodické prodloužení funkce f(x) = |x| na intervalu [−π, π]
Příklad 9. Uvažme vektorový podprostor U ⊆ S0
[0, 1] generovaný funkcemi 1, x, x2
.
a) Najděte ortonormální bázi U.
b) Spočítejte kolmou projekci f(x) = sin x na U.
Příklad 10. Určete vzdálenost funkcí f(x) = x a g(x) = x2
v prostoru spojitých funkcích na
intervalu [0, 1] s normou L1 a L∞.
1 ∞
k=0 2k xk
= 2x
∞
k=0 k xk−1
,
∞
k=0
xk
k+1 = 1
x
∞
k=0
xk+1
k+1