Matematika II
Derivace
Zdeněk Pospíšil
707@mail.muni.cz
Masarykova univerzita
23. března 2023
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
(cf ) (x0) = lim
h→0
cf (x0 + h) − cf (x0)
h
= c lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
= cf (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
(f + g) (x0) = lim
x→x0
f (x) + g(x) − f (x0) + g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
+
g(x) − g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
+ lim
x→x0
g(x) − g(x0)
x − x0
= f (x0) + g (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
(f − g) (x0) = lim
x→x0
f (x) − g(x) − f (x0) − g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
−
g(x) − g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
− lim
x→x0
g(x) − g(x0)
x − x0
= f (x0) − g (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
(fg) (x0) = lim
x→x0
f (x)g(x) − f (x0)g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x)g(x) − f (x0)g(x) + f (x0)g(x) − f (x0)g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
g(x) + f (x0)
g(x) − g(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
lim
x→x0
g(x) + f (x0) lim
x→x0
g(x) − g(x0)
x − x0
=
= f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
1
g
(x0) = lim
x→x0
1
g(x)
− 1
g(x0)
x − x0
= lim
x→x0
g(x0) − g(x)
(x − x0)g(x)g(x0)
=
= lim
x→x0
−
g(x) − g(x0)
x − x0
1
g(x)g(x0)
= −
g (x0)
g(x0)2
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
1
g
(x0) = −
g (x0)
g(x0)2
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
1
g
(x0) = −
g (x0)
g(x0)2
f
g
(x0) = f
1
g
(x0) = f (x0)
1
g
(x0) + f (x0)
1
g
(x0) =
=
f (x0)
g(x0)
− f (x0)
g (x0)
g(x0)2
=
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
g(x0)2
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
g(x0)2
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
g(x0)2
(f ◦ ϕ) (x0) = lim
x→x0
f ϕ(x) − f ϕ(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f ϕ(x) − f ϕ(x0)
ϕ(x) − ϕ(x0)
ϕ(x) − ϕ(x0)
x − x0
=
= lim
x→x0
f ϕ(x) − f ϕ(x0)
ϕ(x) − ϕ(x0)
lim
x→x0
ϕ(x) − ϕ(x0)
x − x0
= f ϕ(x0) ϕ (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
g(x0)2
• (f ◦ ϕ) (x0) = f ϕ(x0) ϕ (x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
g(x0)2
• (f ◦ ϕ) (x0) = f ϕ(x0) ϕ (x0)
f −1
(x0) = y0
x0 = f (y0)
x0 = f f −1
(x0)
1 = f f −1
(x0) f −1
(x0)
1
f f −1(x0)
= f −1
(x0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Operace s derivacemi
Nechť existují derivace f (x0), g (x0), ϕ (x0), f ϕ(x0)
• (cf ) (x0) = cf (x0)
• (f ± g) (x0) = f (x0) ± g (x0)
• (fg) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0)
•
f
g
(x0) =
f (x0)g(x0) − f (x0)g (x0)
g(x0)2
• (f ◦ ϕ) (x0) = f ϕ(x0) ϕ (x0)
• f −1
(x0) =
1
f f −1(x0)
=
1
f (y0)
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 2 / 3
Derivace elementárních funkcí
f (x) f (x) f (x) f (x)
c 0 tg x
1
(cos x)2
xn
nxn−1
cotg x −
1
(sin x)2
ex
ex
arcsin x
1
√
1 − x2
ln x
1
x
arccos x −
1
√
1 − x2
ax
ax
ln a arctg x
1
1 + x2
loga x
1
x ln a
arccotg x −
1
1 + x2
sin x cos x ln x ±
√
1 + x2 ±
1
√
1 + x2
cos x − sin x ln
1 + x
1 − x
1
1 − x2
Z. Pospíšil ·MIN201 ·23. března 2023 3 / 3