Matematika II Integrální počet Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 26. dubna 2023 Obsah Neurčitý integrál Určitý integrál Užití určitého integrálu Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 2 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Označení: F = f (x)dx. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Označení: F = f (x)dx. Alternativní názvy: Funkce F je neurčitý integrál z funkce f . Funkce F je antiderivace k funkci f . Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Vlastnosti primitivní funkce: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu [a, b] existuje na tomto intervalu funkce primitivní. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu [a, b] existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k f , pak také F + c je primitivní k f pro libovolnou konstantu c. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu [a, b] existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k f , pak také F + c je primitivní k f pro libovolnou konstantu c. • Primitivní funkce je aditivní: f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu [a, b] existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k f , pak také F + c je primitivní k f pro libovolnou konstantu c. • Primitivní funkce je aditivní: f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx. • Primitivní funkce je homogenní: cf (x) dx = c f (x)dx. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál Primitivní funkce a její vlastnosti Funkce F je primitivní k funkci f na intervalu [a, b], je-li na tomto intervalu spojitá a pro každé x ∈ (a, b) platí F (x) = f (x). Vlastnosti primitivní funkce: • Ke každé funkci spojité na intervalu [a, b] existuje na tomto intervalu funkce primitivní. • Primitivní funkce k dané funkci, pokud existuje, není určena jednoznačně. Je-li F primitivní k f , pak také F + c je primitivní k f pro libovolnou konstantu c. • Primitivní funkce je lineární: af (x) + bg(x) dx = a f (x)dx + b g(x)dx. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 3 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ xa dx = xa+1 a + 1 pro a = −1 1 (cos x)2 dx = tg x 1 x dx = ln |x| 1 (sin x)2 dx = − cotg x ex dx = ex 1 1 + x2 dx = arctg x = − arccotg x ax dx = ax ln a 1 √ 1 − x2 dx = arcsin x = − arccos x ln xdx = x(ln x − 1) 1 1 − x2 dx = 1 2 ln 1 + x 1 − x sin xdx = − cos x 1 √ x2 ± 1 dx = ln x + x2 ± 1 = − ln x − x2 ± 1 cos xdx = sin x 1 − x2 dx = 1 2 x 1 − x2 − arccos x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: 3x5 − 2x3 + x2 − 2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: 3x5 − 2x3 + x2 − 2 dx = 3 x6 6 − 2 x4 4 + x3 3 − 2x = 1 2 x6 − 1 2 x4 + 1 3 x2 − 2x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: 3x5 − 2x3 + x2 − 2 dx = 3 x6 6 − 2 x4 4 + x3 3 − 2x = 1 2 x6 − 1 2 x4 + 1 3 x2 − 2x 2x2 − x + 2x √ x − √ x √ x + 1 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: 3x5 − 2x3 + x2 − 2 dx = 3 x6 6 − 2 x4 4 + x3 3 − 2x = 1 2 x6 − 1 2 x4 + 1 3 x2 − 2x 2x2 − x + 2x √ x − √ x √ x + 1 dx = 2x √ x √ x + 1 − √ x √ x + 1 √ x + 1 dx = = 2x 3 2 − x 1 2 dx = 2 x 5 2 5 2 − x 3 2 3 2 = 4 5 x2 − 2 3 x √ x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: 3x5 − 2x3 + x2 − 2 dx = 3 x6 6 − 2 x4 4 + x3 3 − 2x = 1 2 x6 − 1 2 x4 + 1 3 x2 − 2x 2x2 − x + 2x √ x − √ x √ x + 1 dx = 2x √ x √ x + 1 − √ x √ x + 1 √ x + 1 dx = = 2x 3 2 − x 1 2 dx = 2 x 5 2 5 2 − x 3 2 3 2 = 4 5 x2 − 2 3 x √ x x − 1 3x 2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál „Tabulkové integrály“ Příklady: 3x5 − 2x3 + x2 − 2 dx = 3 x6 6 − 2 x4 4 + x3 3 − 2x = 1 2 x6 − 1 2 x4 + 1 3 x2 − 2x 2x2 − x + 2x √ x − √ x √ x + 1 dx = 2x √ x √ x + 1 − √ x √ x + 1 √ x + 1 dx = = 2x 3 2 − x 1 2 dx = 2 x 5 2 5 2 − x 3 2 3 2 = 4 5 x2 − 2 3 x √ x x − 1 3x 2 dx = x2 − 2x + 1 9x2 dx = 1 9 1 − 2 x + x−2 dx = = 1 9 x − 2 ln |x| − 1 x = 1 9 x2 − 1 x − ln x2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 4 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f ϕ(x) ϕ (x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f ϕ(x) ϕ (x)dx substituce: ϕ(x) = s, dϕ(x) = ϕ (x)dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f ϕ(x) ϕ (x)dx substituce: ϕ(x) = s, dϕ(x) = ϕ (x)dx = ds f ϕ(x) ϕ (x)dx = f (s)ds = F(s) = F ϕ(x) Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f ϕ(x) ϕ (x)dx substituce: ϕ(x) = s, dϕ(x) = ϕ (x)dx = ds f ϕ(x) ϕ (x)dx = f (s)ds = F(s) = F ϕ(x) 2. Výpočet integrálu f (x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f ϕ(x) ϕ (x)dx substituce: ϕ(x) = s, dϕ(x) = ϕ (x)dx = ds f ϕ(x) ϕ (x)dx = f (s)ds = F(s) = F ϕ(x) 2. Výpočet integrálu f (x)dx substituce: x = ϕ(s), dx = dϕ(s) = ϕ (s)ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda F = f , F = f Derivace složené funkce: F ϕ(t) = d dt F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t) Odtud: F ϕ(t) = f ϕ(t) ϕ (t)dt Použití vzorce: 1. Výpočet integrálu f ϕ(x) ϕ (x)dx substituce: ϕ(x) = s, dϕ(x) = ϕ (x)dx = ds f ϕ(x) ϕ (x)dx = f (s)ds = F(s) = F ϕ(x) 2. Výpočet integrálu f (x)dx substituce: x = ϕ(s), dx = dϕ(s) = ϕ (s)ds f (x)dx = f ϕ(s) ϕ (s)ds = F ϕ(s) = F(x) Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx substituce: ln x = s, 1 x dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 substituce: ln x = s, 1 x dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx substituce: x2 = s, 2xdx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 substituce: x2 = s, 2xdx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx = 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx 1 4 4x3 x4 + 1 dx substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3 dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx 1 4 4x3 x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds = 1 4 ln |s| substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3 dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds = 1 4 ln |s| substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3 dx = ds substituce 2: x2 = t, 2xdx = dt Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds + 1 2 1 t2 + 1 dt = = 1 4 ln |s| + 1 2 arctg t substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3 dx = ds substituce 2: x2 = t, 2xdx = dt Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx = 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds + 1 2 1 t2 + 1 dt = = 1 4 ln |s| + 1 2 arctg t = 1 4 ln(x4 + 1) + 1 2 arctg x2 substituce 1: x4 + 1 = s, 4x3 dx = ds substituce 2: x2 = t, 2xdx = dt Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx = 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds + 1 2 1 t2 + 1 dt = = 1 4 ln |s| + 1 2 arctg t = 1 4 ln(x4 + 1) + 1 2 arctg x2 1 − 5x 3 − 5x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx = 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds + 1 2 1 t2 + 1 dt = = 1 4 ln |s| + 1 2 arctg t = 1 4 ln(x4 + 1) + 1 2 arctg x2 1 − 5x 3 − 5x dx = 3 − 5x − 2 3 − 5x dx = 1dx − 2 1 3 − 5x dx = x + 2 5 −5 3 − 5x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx = 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds + 1 2 1 t2 + 1 dt = = 1 4 ln |s| + 1 2 arctg t = 1 4 ln(x4 + 1) + 1 2 arctg x2 1 − 5x 3 − 5x dx = 3 − 5x − 2 3 − 5x dx = 1dx − 2 1 3 − 5x dx = x + 2 5 −5 3 − 5x dx substituce: 3 − 5x = s, −5dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (ln x)2 x dx = s2 ds = 1 3 s3 = 1 3 (ln x)3 xex2 dx = 1 2 2xex2 dx = 1 2 es ds = 1 2 es = 1 2 ex2 x3 + x x4 + 1 dx = 1 4 4x3 x4 + 1 dx + 1 2 2x x4 + 1 dx = 1 4 1 s ds + 1 2 1 t2 + 1 dt = = 1 4 ln |s| + 1 2 arctg t = 1 4 ln(x4 + 1) + 1 2 arctg x2 1 − 5x 3 − 5x dx = 3 − 5x − 2 3 − 5x dx = 1dx − 2 1 3 − 5x dx = x + 2 5 −5 3 − 5x dx= = x + 2 5 1 s ds = x + 2 5 ln |s| = x + 2 5 ln |3 − 5x| substituce: 3 − 5x = s, −5dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = 1 2 ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) substituce: 2x = s, 2dx = ds, dx = 1 2 ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx √ r2 − x2 x r Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx substituce: x = r cos s, dx = −r sin s ds r2 − (r cos s)2 = r2 1 − (cos s)2 = r sin s √ r2 − x2 x r Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s) substituce: x = r cos s, dx = −r sin s ds r2 − (r cos s)2 = r2 1 − (cos s)2 = r sin s √ r2 − x2 x r Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s) substituce: x = r cos s, dx = −r sin s ds r2 − (r cos s)2 = r2 1 − (cos s)2 = r sin s s = arccos x r , sin s = 1 − x r 2 = √ r2 − x2 r √ r2 − x2 x r Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s)= = 1 2 r2 √ r2 − x2 r x r − arccos x r = 1 2 x √ r2 − x2 − 1 2 r2 arccos x r substituce: x = r cos s, dx = −r sin s ds r2 − (r cos s)2 = r2 1 − (cos s)2 = r sin s s = arccos x r , sin s = 1 − x r 2 = √ r2 − x2 r √ r2 − x2 x r Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s)= = 1 2 r2 √ r2 − x2 r x r − arccos x r = 1 2 x √ r2 − x2 − 1 2 r2 arccos x r √ x 1 + √ x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s)= = 1 2 r2 √ r2 − x2 r x r − arccos x r = 1 2 x √ r2 − x2 − 1 2 r2 arccos x r √ x 1 + √ x dx substituce: x = s2 , dx = 2s ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s)= = 1 2 r2 √ r2 − x2 r x r − arccos x r = 1 2 x √ r2 − x2 − 1 2 r2 arccos x r √ x 1 + √ x dx = s 1 + s 2s ds = 2 s2 1 + s ds = 2 s2 − 1 + 1 s + 1 ds = = 2s − 2 + 2 1 s + 1 ds = s2 − 2s + 2 ln |s + 1| = x − 2 √ x + ln 1 + √ x 2 substituce: x = s2 , dx = 2s ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Příklady: (sin x)2 dx = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 dx − 1 2 cos 2xdx = 1 2 x − 1 2 cos 2xdx= = 1 2 x − 1 4 cos sds = 1 2 x − 1 4 sin s = 1 2 x − 1 4 sin 2x = 1 2 (x − sin x cos x) √ r2 − x2 dx = −r2 (sin s)2 ds = 1 2 r2 (sin s cos s − s)= = 1 2 r2 √ r2 − x2 r x r − arccos x r = 1 2 x √ r2 − x2 − 1 2 r2 arccos x r √ x 1 + √ x dx = s 1 + s 2s ds = 2 s2 1 + s ds = 2 s2 − 1 + 1 s + 1 ds = = 2s − 2 + 2 1 s + 1 ds = s2 − 2s + 2 ln |s + 1| = x − 2 √ x + ln 1 + √ x 2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = 1 a ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx = 1 a f (s)ds = 1 a F(s) = 1 a F(ax + b) substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = 1 a ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx = 1 a f (s)ds = 1 a F(s) = 1 a F(ax + b) substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = 1 a ds Logaritmická substituce: f (x) f (x) dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx = 1 a f (s)ds = 1 a F(s) = 1 a F(ax + b) substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = 1 a ds Logaritmická substituce: f (x) f (x) dx substituce: ln |f (x)| = s, 1 f (x) f (x)dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx = 1 a f (s)ds = 1 a F(s) = 1 a F(ax + b) substituce: ax + b = s, adx = ds, dx = 1 a ds Logaritmická substituce: f (x) f (x) dx = ds = s = ln |f (x)| substituce: ln |f (x)| = s, 1 f (x) f (x)dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Substituční metoda Lineární substituce: f (ax + b)dx = 1 a F(ax + b) Logaritmická substituce: f (x) f (x) dx = ln |f (x)| Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 5 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ Derivace součinu funkcí: u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x), Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ Derivace součinu funkcí: u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x), odtud u(x)v (x) = u(x)v(x) − u (x)v(x), Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ Derivace součinu funkcí: u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v (x), odtud u(x)v (x) = u(x)v(x) − u (x)v(x), tedy u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx u = 2 − 3x v = e1−x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx u = 2 − 3x u = −3 v = e1−x v = −e1−x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x u = 2 − 3x u = −3 v = e1−x v = −e1−x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx u = ln x u = 1 x v = 1 v = x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) u = ln x u = 1 x v = 1 v = x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) x2 cos x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) x2 cos x dx u = x2 u = 2x v = cos x v = sin x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx u = x2 u = 2x v = cos x v = sin x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx u = x u = 1 v = sin x v = − cos x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx = x2 sin x − 2 −x cos x + cos x dx u = x u = 1 v = sin x v = − cos x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Integrace „per partes“ u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx Příklady: (2 − 3x)e1−x dx = −(2 − 3x)e1−x − 3e1−x dx = (3x − 2)e1−x + 3e1−x = = (3x + 1)e1−x ln xdx = x ln x − 1dx = x ln x − x = x(ln x − 1) x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx = x2 sin x − 2 −x cos x + cos x dx = = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x = x2 − 2 sin x + 2x cos x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 6 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x x2 √ 1 − x2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x x2 √ 1 − x2 dx = 1 + x2 − 1 √ 1 − x2 dx = 1 √ 1 − x2 dx − 1 − x2 dx = = − arccos x − 1 2 x √ 1 − x2 + 1 2 arccos x = −1 2 arccos x + x √ 1 − x2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x x2 √ 1 − x2 dx = 1 + x2 − 1 √ 1 − x2 dx = 1 √ 1 − x2 dx − 1 − x2 dx = = − arccos x − 1 2 x √ 1 − x2 + 1 2 arccos x = −1 2 arccos x + x √ 1 − x2 3e−x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x x2 √ 1 − x2 dx = 1 + x2 − 1 √ 1 − x2 dx = 1 √ 1 − x2 dx − 1 − x2 dx = = − arccos x − 1 2 x √ 1 − x2 + 1 2 arccos x = −1 2 arccos x + x √ 1 − x2 3e−x dx = −3e−x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x x2 √ 1 − x2 dx = 1 + x2 − 1 √ 1 − x2 dx = 1 √ 1 − x2 dx − 1 − x2 dx = = − arccos x − 1 2 x √ 1 − x2 + 1 2 arccos x = −1 2 arccos x + x √ 1 − x2 3e−x dx = −3e−x (3x − 7)14 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x2√ x x5 dx = x2+ 1 2 −5 dx = x− 5 2 dx = x− 3 2 −3 2 = −2 3 1 √ x3 7ex − 6 x dx = 7ex − 6 ln |x| = 7ex − ln x6 (cotg x)2 dx = cos x sin x 2 dx = 1 − (sin x)2 (sin x)2 dx = 1 (sin x)2 − 1 dx = = − cotg x − x x2 √ 1 − x2 dx = 1 + x2 − 1 √ 1 − x2 dx = 1 √ 1 − x2 dx − 1 − x2 dx = = − arccos x − 1 2 x √ 1 − x2 + 1 2 arccos x = −1 2 arccos x + x √ 1 − x2 3e−x dx = −3e−x (3x − 7)14 dx = 1 3 (3x − 7)15 15 = (3x − 7)15 45 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds sin x √ 2 + cos x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds sin x √ 2 + cos x dx substituce: 2 + cos x = s, − sin xdx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds sin x √ 2 + cos x dx = − 1 √ s ds = − s− 1 2 ds = − s 1 2 1 2 = −2 √ s = −2 √ 2 + cos x substituce: 2 + cos x = s, − sin xdx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds sin x √ 2 + cos x dx = − 1 √ s ds = − s− 1 2 ds = − s 1 2 1 2 = −2 √ s = −2 √ 2 + cos x substituce: 2 + cos x = s, − sin xdx = ds e2x √ ex − 1 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds sin x √ 2 + cos x dx = − 1 √ s ds = − s− 1 2 ds = − s 1 2 1 2 = −2 √ s = −2 √ 2 + cos x substituce: 2 + cos x = s, − sin xdx = ds e2x √ ex − 1 dx substituce: ex − 1 = s, ex dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x x2 − 1 dx = 1 2 2x x2 − 1 dx = 1 2 1 s ds = 1 2 ln |s| = ln |x2 − 1| substituce: x2 − 1 = s, 2xdx = ds tg xdx = sin x cos x dx = − ds = −s = − ln | cos x| substituce: ln | cos x| = s, − sin x cos x dx = ds sin x √ 2 + cos x dx = − 1 √ s ds = − s− 1 2 ds = − s 1 2 1 2 = −2 √ s = −2 √ 2 + cos x substituce: 2 + cos x = s, − sin xdx = ds e2x √ ex − 1 dx = s + 1 √ s ds = s 1 2 + s− 1 2 ds = s 3 2 3 2 + s 1 2 1 2 = 2 3 s 1 2 (s + 3) = = 2 3 √ ex − 1(ex + 2) substituce: ex − 1 = s, ex dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx u = x3 u = 3x2 v = ex v = ex Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx u = x3 u = 3x2 v = ex v = ex Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx u = x2 u = 2x v = ex v = ex Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx u = x2 u = 2x v = ex v = ex Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx u = x u = 1 v = ex v = ex Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex u = x u = 1 v = ex v = ex Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx u = ln x u = 1 x v = x2 v = 1 3 x3 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 u = ln x u = 1 x v = x2 v = 1 3 x3 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx substituce: x = t2 , dx = 2tdt Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt substituce: x = t2 , dx = 2tdt Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt substituce: x = t2 , dx = 2tdt u = t u = 1 v = et v = et Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et substituce: x = t2 , dx = 2tdt u = t u = 1 v = et v = et Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x substituce: x = t2 , dx = 2tdt u = t u = 1 v = et v = et Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x I = sin ln x dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x I = sin ln x dx u = sin ln x u = 1 x cos ln x v = 1 v = x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x I = sin ln x dx = x sin ln x − cos ln x dx u = sin ln x u = 1 x cos ln x v = 1 v = x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x I = sin ln x dx = x sin ln x − cos ln x dx u = cos ln x u = − 1 x sin ln x v = 1 v = x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x I = sin ln x dx = x sin ln x − cos ln x dx = = x sin ln x − x cos ln x + sin ln x dx = x sin ln x − x cos ln x − I u = cos ln x u = − 1 x sin ln x v = 1 v = x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Neurčitý integrál Další příklady x3 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex dx = x3 ex − 3 x2 ex − 2 xex dx = = x3 ex − 3x2 ex + 6 xex dx = x3 ex − 3x2 ex + 6 (xex − ex ) = = x3 − 3x2 + 6x − 6 ex x2 ln x dx = 1 3 x3 ln x − 1 3 x2 dx = 1 3 x3 ln x − 1 9 x3 = 1 9 x3 ln x3 − 1 e √ x dx = 2 tet dt= 2 tet − et dt = 2(t − 1)et = 2 √ x − 1 e √ x I = sin ln x dx = x sin ln x − cos ln x dx = = x sin ln x − x cos ln x + sin ln x dx = x sin ln x − x cos ln x − I Tedy 2I = x sin ln x − x cos ln x, odtud I = 1 2 x (sin ln x − cos ln x) Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 7 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu Nechť f je spojitá funkce na [a, b] a F je funkce primitivní k f , F (x) = f (x) pro všechna x ∈ (a, b). Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu Nechť f je spojitá funkce na [a, b] a F je funkce primitivní k f , F (x) = f (x) pro všechna x ∈ (a, b). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako b a f (x)dx = F(b) − F(a) Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu Nechť f je spojitá funkce na [a, b] a F je funkce primitivní k f , F (x) = f (x) pro všechna x ∈ (a, b). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako b a f (x)dx = F(b) − F(a) Označení: F(b) − F(a) = F(x) b x=a Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu Nechť f je spojitá funkce na [a, b] a F je funkce primitivní k f , F (x) = f (x) pro všechna x ∈ (a, b). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako b a f (x)dx = F(b) − F(a) Označení: F(b) − F(a) = F(x) b x=a = F(x) b a Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu Nechť f je spojitá funkce na [a, b] a F je funkce primitivní k f , F (x) = f (x) pro všechna x ∈ (a, b). Newtonův určitý integrál z funkce f v mezích od a do b je definován jako b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a Označení: F(b) − F(a) = F(x) b x=a = F(x) b a Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • a a f (x)dx = 0, b a f (x)dx = − a b f (x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • a a f (x)dx = 0, b a f (x)dx = − a b f (x)dx • Linearita vzhledem k integrované funkci: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • a a f (x)dx = 0, b a f (x)dx = − a b f (x)dx • Linearita vzhledem k integrované funkci: aditivita: b a f (x) + g(x) dx = b a f (x)dx + b a g(x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • a a f (x)dx = 0, b a f (x)dx = − a b f (x)dx • Linearita vzhledem k integrované funkci: aditivita: b a f (x) + g(x) dx = b a f (x)dx + b a g(x)dx homogenita: b a cf (x)dx = c b a f (x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • a a f (x)dx = 0, b a f (x)dx = − a b f (x)dx • Linearita vzhledem k integrované funkci: aditivita: b a f (x) + g(x) dx = b a f (x)dx + b a g(x)dx homogenita: b a cf (x)dx = c b a f (x)dx • Aditivita vzhledem k integračnímu oboru: b a f (x)dx = c a f (x)dx + b c f (x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • Integrace „per partes“ pro určité integrály: b a u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b a − b a u (x)v(x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • Integrace „per partes“ pro určité integrály: b a u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b a − b a u (x)v(x)dx • Substituční metoda pro určité integrály: b a f ϕ(x) ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ(a) f (s)ds substituce: ϕ(x) = s, ϕ (x)dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Určitý integrál Definice a základní vlastnosti Newtonova integrálu b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x) b a • Integrace „per partes“ pro určité integrály: b a u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b a − b a u (x)v(x)dx • Substituční metoda pro určité integrály: b a f ϕ(x) ϕ (x)dx = ϕ(b) ϕ(a) f (s)ds substituce: ϕ(x) = s, ϕ (x)dx = ds b a f (x)dx = ϕ−1 (b) ϕ−1(a) f ϕ(s) ϕ (s)ds substituce: x = ϕ(s), tj. ϕ−1 (x) = s, ϕ (x)dx = ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 8 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y xa b S Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y xa bx1 xi xn−1. . . . . . ∆x f(xi) Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n a xi = a + i∆x, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y xa bx1 xi xn−1. . . . . . ∆x f(xi) Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n a xi = a + i∆x, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Pak je S ≈ n−1 i=0 f (xi)∆x, Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y xa bx1 xi xn−1. . . . . . ∆x f(xi) Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n a xi = a + i∆x, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Pak je S ≈ n−1 i=0 f (xi)∆x, lim n→∞ n−1 i=0 f (xi)∆x = b a f (x)dx, Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y xa bx1 xi xn−1. . . . . . ∆x f(xi) Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n a xi = a + i∆x, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Pak je S ≈ n−1 i=0 f (xi)∆x, lim n→∞ n−1 i=0 f (xi)∆x = b a f (x)dx, S = b a f (x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x−1 2 a 1 2 a v y x Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x−1 2 a 1 2 a v y x Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a. f (x) = v 1 − 4 a2 x2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x−1 2 a 1 2 a v y x Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a. f (x) = v 1 − 4 a2 x2 S = a 2 − a 2 v 1 − 4 a2 x2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x−1 2 a 1 2 a v y x Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah parabolické úseče, která má výšku v a délku základny a. f (x) = v 1 − 4 a2 x2 S = a 2 − a 2 v 1 − 4 a2 x2 dx = v a 2 − a 2 dx − 4v a2 a 2 − a 2 x2 dx = v x a 2 − a 2 − 4v a2 x3 3 a 2 − a 2 = = v a 2 + a 2 − 4v a2 a3 24 + a3 24 = 2 3 va Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x b a Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x b a Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. x2 a2 + y2 b2 = 1 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x b a Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. x2 a2 + y2 b2 = 1 → y = b a a2 − x2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x b a Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. x2 a2 + y2 b2 = 1 → y = b a a2 − x2 S = 4 a 0 b a a2 − x2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x b a Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. x2 a2 + y2 b2 = 1 → y = b a a2 − x2 S = 4 a 0 b a a2 − x2 dx = 4b a π 2 0 a2 (cos s)2 ds = 4ab π 2 0 1 + cos 2s 2 ds = substituce: x = a sin s, dx = a cos s ds, a2 − x2 = a2 1 − (sin s)2 = a2(cos s)2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Obsah rovinného obrazce y x b a Obrazec ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (a < b) a grafem spojité funkce f definované na intervalu [a, b]. S = b a f (x)dx Příklady: Vypočítejte obsah elipsy s poloosami a a b. x2 a2 + y2 b2 = 1 → y = b a a2 − x2 S = 4 a 0 b a a2 − x2 dx = 4b a π 2 0 a2 (cos s)2 ds = 4ab π 2 0 1 + cos 2s 2 ds = = 2ab s + sin 2s 2 π 2 s=0 = πab substituce: x = a sin s, dx = a cos s ds, a2 − x2 = a2 1 − (sin s)2 = a2(cos s)2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 9 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky y xa b Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky y xx0 = a b = xn f(xi+1) f(xi) x1 xi xi+1 . . .. . . ∆x ∆yi Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n , x0 = a, xi = a + i∆x, ∆yi = f (xi+1) − f (xi), i = 1, 2, . . . , n. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky y xx0 = a b = xn f(xi+1) f(xi) x1 xi xi+1 . . .. . . ∆x ∆yi Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n , x0 = a, xi = a + i∆x, ∆yi = f (xi+1) − f (xi), i = 1, 2, . . . , n. Pak je lim ∆x→0 ∆yi ∆x = f (xi), tedy ∆yi ∆x ≈ f (xi) ≈ n−1 i=0 (∆x)2 + (∆yi)2 = n−1 i=0 1 + ∆yi ∆x 2 ∆x ≈ n−1 i=0 1 + (f (xi))2 ∆x lim n→∞ n−1 i=0 1 + (f (xi))2 ∆x = b a 1 + (f (x))2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. n ∈ N, položíme ∆x = b − a n , x0 = a, xi = a + i∆x, ∆yi = f (xi+1) − f (xi), i = 1, 2, . . . , n. Pak je lim ∆x→0 ∆yi ∆x = f (xi), tedy ∆yi ∆x ≈ f (xi) ≈ n−1 i=0 (∆x)2 + (∆yi)2 = n−1 i=0 1 + ∆yi ∆x 2 ∆x ≈ n−1 i=0 1 + (f (xi))2 ∆x lim n→∞ n−1 i=0 1 + (f (xi))2 ∆x = b a 1 + (f (x))2 dx, tedy = b a 1 + (f (x))2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. Její délka je dána integrálem = b a 1 + (f (x))2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f (x) = √ r2 − x2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f (x) = √ r2 − x2, f (x) = −x √ r2 − x2 , (f (x)) 2 = x2 r2 − x2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f (x) = √ r2 − x2, f (x) = −x √ r2 − x2 , (f (x)) 2 = x2 r2 − x2 = 4 r 0 1 + x2 r2 − x2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f (x) = √ r2 − x2, f (x) = −x √ r2 − x2 , (f (x)) 2 = x2 r2 − x2 = 4 r 0 1 + x2 r2 − x2 dx = 4 r 0 r √ r2 − x2 dx substituce: x = r sin s, dx = r cos s ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Délka rovinné křivky Křivka je grafem spojité funkce na intervalu [a, b]. = b a 1 + (f (x))2 dx Příklad: Vypočítejte délku kružnice o poloměru r. f (x) = √ r2 − x2, f (x) = −x √ r2 − x2 , (f (x)) 2 = x2 r2 − x2 = 4 r 0 1 + x2 r2 − x2 dx = 4 r 0 r √ r2 − x2 dx = 4r2 π 2 0 cos s r 1 − (sin s)2 ds = = 4r π 2 0 ds = 4r π 2 = 2πr substituce: x = r sin s, dx = r cos s ds Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 10 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o ∆x. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o ∆x. Nechť roviny protínají osu x v bodech x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b. Přitom xi+1 − xi = ∆x, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o ∆x. Nechť roviny protínají osu x v bodech x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b. Přitom xi+1 − xi = ∆x, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xi). Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o ∆x. Nechť roviny protínají osu x v bodech x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b. Přitom xi+1 − xi = ∆x, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xi). Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i − 1)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)∆x. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o ∆x. Nechť roviny protínají osu x v bodech x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b. Přitom xi+1 − xi = ∆x, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xi). Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i − 1)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)∆x. Pro objem tělesa tedy platí: V ≈ n i=1 S(xi)∆x Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) Těleso umístěné v souřadné soustavě. Uvažujeme jeho řezy rovinami kolmými k ose x, které jsou od sebe vzdáleny o ∆x. Nechť roviny protínají osu x v bodech x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b. Přitom xi+1 − xi = ∆x, celé těleso se nachází mezi 0-tou a n-tou rovinou. Obsah řezu (průniku) tělesa i-tou rovinou označíme S(xi). Objem (tenké) vrstvy tělesa mezi (i − 1)-ní a i-tou rovinou je přibližně roven S(xi)∆x. Pro objem tělesa tedy platí: V ≈ n i=1 S(xi)∆x Limitním přechodem n → ∞ dostaneme V = b a S(x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b, c. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b, c. x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 ≤ 1. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b, c. x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 ≤ 1. Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x: y2 b2 + z2 c2 = 1 − x2 a2 , tj. y2 1 − x2 a2 b2 + z2 1 − x2 a2 c2 = 1 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b, c. x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 ≤ 1. Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x: y2 b2 + z2 c2 = 1 − x2 a2 , tj. y2 1 − x2 a2 b2 + z2 1 − x2 a2 c2 = 1 S(x) = πbc 1 − x2 a2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Příklad: Vypočítejte objem trojosého elipsoidu s poloosami a, b, c. x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 ≤ 1. Obvodová křivka řezu rovinou kolmou k ose x: y2 b2 + z2 c2 = 1 − x2 a2 , tj. y2 1 − x2 a2 b2 + z2 1 − x2 a2 c2 = 1 S(x) = πbc 1 − x2 a2 V = 2 a 0 πbc 1 − x2 a2 dx = 2πbc x − x3 3a2 a 0 = 2πbc a − a3 3a2 = 4 3 πabc Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = b a S(x)dx Speciální případ: těleso vzniklé rotací „podgrafu“ funkce y = f (x) definované na intervalu [a, b] kolem osy x. S(x) = π f (x) 2 , tj. V = π b 0 f (x) 2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = π b 0 f (x) 2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx = π 2 x a+h a − 1 3 x3 a+h a = = π 2 h − 1 3 (3a2 h + 3ah2 + h3 ) Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx = π 2 x a+h a − 1 3 x3 a+h a = = π 2 h − 1 3 (3a2 h + 3ah2 + h3 ) a2 = 2 − R2 (a + h)2 = 2 − r2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx = π 2 x a+h a − 1 3 x3 a+h a = = π 2 h − 1 3 (3a2 h + 3ah2 + h3 ) a2 = 2 − R2 (a + h)2 = 2 − r2 → 2ah + h2 = R2 − r2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx = π 2 x a+h a − 1 3 x3 a+h a = = π 2 h − 1 3 (3a2 h + 3ah2 + h3 ) a2 = 2 − R2 (a + h)2 = 2 − r2 → 2ah + h2 = R2 − r2 →    a = R2 − r2 − h2 2h 2 = R2 − r2 − h2 2 4h2 + R2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx = π 2 x a+h a − 1 3 x3 a+h a = = π 2 h − 1 3 (3a2 h + 3ah2 + h3 ) a2 = 2 − R2 (a + h)2 = 2 − r2 → 2ah + h2 = R2 − r2 →    a = R2 − r2 − h2 2h 2 = R2 − r2 − h2 2 4h2 + R2 Celkem: V = 1 6 πh 3(R2 + r2 ) + h2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11 Užití určitého integrálu Objem tělesa (exhaustivní metoda) x ha R r ̺V = π b 0 f (x) 2 dx Příklad: Vypočítejte objem kulové vrstvy tloušťky h s poloměry podstav R a r. V = π a+h a 2 − x2 dx = π 2 x a+h a − 1 3 x3 a+h a = = π 2 h − 1 3 (3a2 h + 3ah2 + h3 ) a2 = 2 − R2 (a + h)2 = 2 − r2 → 2ah + h2 = R2 − r2 →    a = R2 − r2 − h2 2h 2 = R2 − r2 − h2 2 4h2 + R2 Celkem: V = 1 6 πh 3(R2 + r2 ) + h2 Specielně – Kulová úseč (r = 0): V = 1 6 πh 3R2 + h2 Polokoule (r = 0, h = R): V = 2 3 πR3 Z. Pospíšil ·MIN201 ·26. dubna 2023 11 / 11