Matematika II Posloupnosti Zdeněk Pospíšil 707@mail.muni.cz Masarykova univerzita 15. března 2023 Obsah Jednoduché vlastnosti Limitní vlastnosti Hromadný bod Limita Nevlastní limita Rozšíření oboru reálných čísel Diference Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 2 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Označení: a posloupnost, n ∈ Dom(a). a(n) = an – n-tý člen posloupnosti. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Označení: a posloupnost, n ∈ Dom(a). a(n) = an – n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti: {an}∞ n=k Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Označení: a posloupnost, n ∈ Dom(a). a(n) = an – n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti: {an}∞ n=k Vlastnosti: • ohraničenost • periodicita (s přirozenou periodou) ◦ monotonnost Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Označení: a posloupnost, n ∈ Dom(a). a(n) = an – n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti: {an}∞ n=k Vlastnosti: • ohraničenost • periodicita (s přirozenou periodou) ◦ monotonnost Operace skládání není obecně definována. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Označení: a posloupnost, n ∈ Dom(a). a(n) = an – n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti: {an}∞ n=k Vlastnosti: • ohraničenost • periodicita (s přirozenou periodou) ◦ monotonnost Operace skládání není obecně definována. Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem • rekurentně Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Pojem posloupnosti Posloupnost je funkce s definičním oborem {k, k + 1, k + 2, . . . }; obvykle k = 0 nebo k = 1. Označení: a posloupnost, n ∈ Dom(a). a(n) = an – n-tý člen posloupnosti. Alternativní zápis posloupnosti: {an}∞ n=k Vlastnosti: • ohraničenost • periodicita (s přirozenou periodou) ◦ monotonnost Operace skládání není obecně definována. Zadávání posloupnosti: • obecným předpisem • rekurentně Rekurentní zápis posloupnosti: předpis pro výpočet obecného členu posloupnosti pomocí předchozího (nebo několika předchozích) současně se zadáním počátečního členu (nebo několika počátečních členů) Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 3 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) d > 0 neohraničená ryze rostoucí d < 0 neohraničená ryze klesající, d = 0 ohraničená stacionární Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) geometrická an+1 = qan qn a0 q – kvocient, an = an−1an+1 Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) geometrická an+1 = qan qn a0 q – kvocient, an = an−1an+1 q > 1, a0 = 0 neohraničená, a0 > 0 ryze rostoucí, a0 < 0 ryze klesající q = 1 ohraničená (stacionární) 0 < q < 1, a0 = 0 ohraničená, a0 > 0 ryze klesající, a0 < 0 ryze rostoucí q = 0, a0 = 0 ohraničená, a0 > 0 klesající, a0 < 0 rostoucí −1 < q < 0, a0 = 0 ohraničená, „tlumené oscilace“ q = −1, a0 = 0 ohraničená, periodická s periodou 2 q < −1, a0 = 0 neohraničená, „netlumené oscilace“ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) geometrická an+1 = qan qn a0 q – kvocient, an = an−1an+1 Fibonacciho an+2 = an+1 + an, a0 = 1, a1 = 1 (1 + √ 5)n+1 − (1 − √ 5)n+1 2n+1 √ 5 Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) geometrická an+1 = qan qn a0 q – kvocient, an = an−1an+1 Fibonacciho an+2 = an+1 + an, a0 = 1, a1 = 1 (1 + √ 5)n+1 − (1 − √ 5)n+1 2n+1 √ 5 pro „velká“ n „se chová“ jako geometrická s kvocientem 1 2 (1 + √ 5) a s počátečním členem 1 10 (5 + √ 5) Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) geometrická an+1 = qan qn a0 q – kvocient, an = an−1an+1 Fibonacciho an+2 = an+1 + an, a0 = 1, a1 = 1 (1 + √ 5)n+1 − (1 − √ 5)n+1 2n+1 √ 5 logistická an+1 = ran 1 − r − 1 r an K r – růstový koeficient, K – kapacita (úživnost) Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Jednoduché vlastnosti Příklady posloupností Název rekurentní vztah obecný člen an poznámka aritmetická an+1 = an + d a0 + nd d – diference, an = 1 2 (an−1 + an+1) geometrická an+1 = qan qn a0 q – kvocient, an = an−1an+1 Fibonacciho an+2 = an+1 + an, a0 = 1, a1 = 1 (1 + √ 5)n+1 − (1 − √ 5)n+1 2n+1 √ 5 logistická an+1 = ran 1 − r − 1 r an K r – růstový koeficient, K – kapacita (úživnost) r = 2, K = 1 2 , an+1 = 2an(1 − an): an = 1 2 1 − (1 − 2a0)2n r = 4, K = 3 4 , an+1 = 4an(1 − an): an = [sin (2n arcsin √ a0)]2 Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 4 / 15 Limitní vlastnosti Hromadný bod Hromadné body posloupnosti κ ∈ R je hromadný bod posloupnosti {an}: (∀ε > 0)(∀n ∈ Z)(∃m ∈ Z) m ≥ n ∧ |am − κ| < ε Příklady: 3 4 n nemá hromadné body. −3 4 n má jediný hromadný bod 0. (−1)n 1 + 3 4 n má dva hromadné body 1 a −1. Každé nezáporné celé číslo je hromadným bodem posloupnosti {0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, . . . }. Každé reálné číslo z intervalu [0, 1] je hromadným bodem posloupnosti 1, 0, 1, 0, 1 2 , 1, 0, 1 3 , 2 3 , 1, 0, 1 4 , 2 4 , 3 4 , 1, 0, 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , . . . . Množina všech hromadných bodů posloupnosti je uzavřená. Je-li posloupnost {an} ohraničená, pak existuje její hromadný bod. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 5 / 15 Limitní vlastnosti Limita Limita posloupnosti Je-li množina hromadných bodů posloupnosti jednoprvková, nazveme tento hromadný bod limitou posloupnosti. lim n→∞ an = α : (∀ε > 0)(∃n0 ∈ Z)(∀n ∈ Z) n > n0 ⇒ |an − α| < ε Pokud existuje limita posloupnosti {an}, řekneme, že tato posloupnost je konvergentní. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 6 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Existuje nejvýše jedna limita dané posloupnosti. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Existuje nejvýše jedna limita dané posloupnosti. • Konvergentní posloupnost je ohraničená. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Existuje nejvýše jedna limita dané posloupnosti. • Konvergentní posloupnost je ohraničená. • Posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je Cauchyovská, (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n1, n2 ∈ N) min{n1, n2} > n0 ⇒ |an1 − an2 | < ε. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Existuje nejvýše jedna limita dané posloupnosti. • Konvergentní posloupnost je ohraničená. • Posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je Cauchyovská, (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n1, n2 ∈ N) min{n1, n2} > n0 ⇒ |an1 − an2 | < ε. • Jsou-li posloupnosti {an} a {bn} konvergentní pak • lim n→∞ can = c lim n→∞ an pro každé číslo c, lim n→∞ je homogenní zobrazení množiny konvergentních posloupností do množiny čísel, • lim n→∞ (an + bn) = lim n→∞ an + lim n→∞ bn, lim n→∞ je aditivní zobrazení množiny konvergentních posloupností do množiny čísel; tj. lim n→∞ je lineární zobrazení množiny konvergentních posloupností do množiny čísel. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Jsou-li posloupnosti {an} a {bn} konvergentní pak lim n→∞ anbn = lim n→∞ an lim n→∞ bn . Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Jsou-li posloupnosti {an} a {bn} konvergentní pak lim n→∞ anbn = lim n→∞ an lim n→∞ bn . • Je-li posloupnosti {an} konvergentní, pak • lim n→∞ an = 0 ⇒ lim n→∞ 1 an = 1 lim n→∞ an , • lim n→∞ an = 0 a {bn} je ohraničená ⇒ lim n→∞ anbn. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity nezávislé na uspořádání reálných čísel • Jsou-li posloupnosti {an} a {bn} konvergentní pak lim n→∞ anbn = lim n→∞ an lim n→∞ bn . • Je-li posloupnosti {an} konvergentní, pak • lim n→∞ an = 0 ⇒ lim n→∞ 1 an = 1 lim n→∞ an , • lim n→∞ an = 0 a {bn} je ohraničená ⇒ lim n→∞ anbn. • lim n→∞ 1 nk = 0 pro každé k > 0, lim n→∞ qn = 0 pro každé q takové, že |q| < 1. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 7 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity využívající uspořádání reálných čísel Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 8 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity využívající uspořádání reálných čísel ◦ Je-li posloupnost {an} monotonní a ohraničená, pak je konvergentní. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 8 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity využívající uspořádání reálných čísel ◦ Je-li posloupnost {an} monotonní a ohraničená, pak je konvergentní. Podrobněji: ◦ Je-li {an} rostoucí a ohraničená shora, pak lim n→∞ an = sup {an : n ∈ Dom a} ◦ Je-li {an} klesající a ohraničená zdola, pak lim n→∞ an = inf {an : n ∈ Dom a} Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 8 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity využívající uspořádání reálných čísel ◦ Je-li posloupnost {an} monotonní a ohraničená, pak je konvergentní. Podrobněji: ◦ Je-li {an} rostoucí a ohraničená shora, pak lim n→∞ an = sup {an : n ∈ Dom a} ◦ Je-li {an} klesající a ohraničená zdola, pak lim n→∞ an = inf {an : n ∈ Dom a} ◦ Pokud lim n→∞ an = α, lim n→∞ bn = β a pro všechny členy posloupností {an}, {bn} od jistého indexu počínaje platí an < bn, pak α ≤ β. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 8 / 15 Limitní vlastnosti Limita Vlastnosti limity využívající uspořádání reálných čísel ◦ Je-li posloupnost {an} monotonní a ohraničená, pak je konvergentní. Podrobněji: ◦ Je-li {an} rostoucí a ohraničená shora, pak lim n→∞ an = sup {an : n ∈ Dom a} ◦ Je-li {an} klesající a ohraničená zdola, pak lim n→∞ an = inf {an : n ∈ Dom a} ◦ Pokud lim n→∞ an = α, lim n→∞ bn = β a pro všechny členy posloupností {an}, {bn} od jistého indexu počínaje platí an < bn, pak α ≤ β. ◦ Pokud lim n→∞ an = α = lim n→∞ bn a pro všechny členy posloupností {an}, {bn} a {cn} od jistého indexu počínaje platí an ≤ cn ≤ bn, pak lim n→∞ cn = α. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 8 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Nevlastní limity Posloupnost {an}∞ n=k diverguje do nekonečna. lim n→∞ an = ∞ : (∀H ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n > n0) an > H Posloupnost {an}∞ n=k diverguje do minus nekonečna. lim n→∞ an = −∞ : (∀H ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n > n0) an < H Nevlastní limita není limita. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 9 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim n→∞ an = ∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = ∞ lim n→∞ an = −∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = −∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim n→∞ an = ∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = ∞ lim n→∞ an = −∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = −∞ • lim n→∞ an = ±∞, bn ≥ δ > 0 ⇒ lim n→∞ anbn = ±∞ lim n→∞ an = ±∞, bn ≤ δ < 0 ⇒ lim n→∞ anbn = ∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim n→∞ an = ∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = ∞ lim n→∞ an = −∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = −∞ • lim n→∞ an = ±∞, bn ≥ δ > 0 ⇒ lim n→∞ anbn = ±∞ lim n→∞ an = ±∞, bn ≤ δ < 0 ⇒ lim n→∞ anbn = ∞ • lim n→∞ an = ±∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ bn an = 0 Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Limitní vlastnosti Nevlastní limita Vlastnosti nevlastní limity • Existuje nejvýše jedna nevlastní limita posloupnosti. • Divergentní posloupnost je neohraničená. • lim n→∞ an = ∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = ∞ lim n→∞ an = −∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ (an ± bn) = −∞ • lim n→∞ an = ±∞, bn ≥ δ > 0 ⇒ lim n→∞ anbn = ±∞ lim n→∞ an = ±∞, bn ≤ δ < 0 ⇒ lim n→∞ anbn = ∞ • lim n→∞ an = ±∞, {bn}∞ n=0 je ohraničená ⇒ lim n→∞ bn an = 0 • lim n→∞ an = 0, an > 0 ⇒ lim n→∞ 1 an = ∞ lim n→∞ an = 0, an < 0 ⇒ lim n→∞ 1 an = −∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 10 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Reálná čísla Množina R s operacemi +, · a s relací < (x + y) + z = x + (y + z) x + y = y + z (∃0)(∀x) x + 0 = x (R, +) je abelovská grupa (∀x)(∃ −x) x + (−x) = 0 (x · y) · z = x · (y · z) x · y = y · z (∃1 = 0)(∀x) 1x = x (R \ {0}, ·) je abelovská grupa (∀x = 0)(∃x−1 ) x−1 · x = 1 x · (y + z) = x · y + x · z (R, +, ·) je pole x < y a y < z ⇒ x < z x < y nebo y < x nebo x = y lineární uspořádání x < y ⇒ x + z < y + z x < y a 0 < z ⇒ x · z < y · z (R, +, ·, <) je uspořádané pole (∀A ⊆ R) (∃H)(∀x ∈ A) x ≤ H ⇒ (∃s) s = sup A množina R tvoří kontinuum Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 11 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c > 0 ⇒ c · ∞ = ∞ ∧ c < 0 ⇒ c · ∞ = −∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c > 0 ⇒ c · ∞ = ∞ ∧ c < 0 ⇒ c · ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c ∞ = c −∞ = 0 Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c > 0 ⇒ c · ∞ = ∞ ∧ c < 0 ⇒ c · ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c ∞ = c −∞ = 0 • 1 0 = ∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c > 0 ⇒ c · ∞ = ∞ ∧ c < 0 ⇒ c · ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c ∞ = c −∞ = 0 • 1 0 = ∞ • ∞ + ∞ = ∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c > 0 ⇒ c · ∞ = ∞ ∧ c < 0 ⇒ c · ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c ∞ = c −∞ = 0 • 1 0 = ∞ • ∞ + ∞ = ∞ • ∞ · ∞ = ∞, ∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞, (−∞) · (−∞) = ∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞} • (∀x ∈ R) − ∞ < x < ∞ • (∀c ∈ R) c + ∞ = ∞ ∧ c + (−∞) = c − ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c > 0 ⇒ c · ∞ = ∞ ∧ c < 0 ⇒ c · ∞ = −∞ • (∀c ∈ R) c ∞ = c −∞ = 0 • 1 0 = ∞ • ∞ + ∞ = ∞ • ∞ · ∞ = ∞, ∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞, (−∞) · (−∞) = ∞ Neurčité výrazy: ∞ ∞ , 0 0 , ∞ 0 , 0 · ∞, ∞ − ∞ Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 12 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel Okolí bodů Okolí bodu a ∈ R∗ : O(a) =    {x ∈ R : a − ε1 < x < a + ε2}, a ∈ R, {x ∈ R : h < x}, a = ∞, {x ∈ R : h > x}, a = −∞. Pravé okolí: O+(a) =    {x ∈ R : x ≤ a + ε}, a ∈ R, {x ∈ R : h > x}, a = −∞. Levé okolí: O−(a) =    {x ∈ R : a − ε ≤ x}, a ∈ R, {x ∈ R : h < x}, a = ∞. Přitom ε, ε1, ε2, h ∈ R, ε > 0, ε1 > 0, ε2 > 0. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 13 / 15 Rozšíření oboru reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel Definice limity lim n→∞ an = α ∈ R∗ : ∀O(α) ∃O(∞) ∀n ∈ Z n ∈ O(∞) ⇒ an ∈ O(α) Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 14 / 15 Diference Diference a její význam První diference vpřed: ∆an = an+1 − an Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 15 / 15 Diference Diference a její význam První diference vpřed: ∆an = an+1 − an (∀n)∆an > 0 ⇒ posloupnost je ryze rostoucí, (∀n)∆an < 0 ⇒ posloupnost je ryze klesající (∀n)∆an ≥ 0 ⇒ posloupnost je rostoucí (neklesající) (∀n)∆an ≤ 0 ⇒ posloupnost je klesající (nerostoucí) Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 15 / 15 Diference Diference a její význam První diference vpřed: ∆an = an+1 − an (∀n)∆an > 0 ⇒ posloupnost je ryze rostoucí, (∀n)∆an < 0 ⇒ posloupnost je ryze klesající (∀n)∆an ≥ 0 ⇒ posloupnost je rostoucí (neklesající) (∀n)∆an ≤ 0 ⇒ posloupnost je klesající (nerostoucí) ∆an lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci ∆ lze chápat jako zobrazení množiny posloupností do sebe. Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 15 / 15 Diference Diference a její význam První diference vpřed: ∆an = an+1 − an (∀n)∆an > 0 ⇒ posloupnost je ryze rostoucí, (∀n)∆an < 0 ⇒ posloupnost je ryze klesající (∀n)∆an ≥ 0 ⇒ posloupnost je rostoucí (neklesající) (∀n)∆an ≤ 0 ⇒ posloupnost je klesající (nerostoucí) ∆an lze chápat jako n-tý člen nějaké posloupnosti; diferenci ∆ lze chápat jako zobrazení množiny posloupností do sebe. Rekurentní formuli lze přepsat pomocí diference: Příklad: an+1 = ran 1 − r − 1 r an K an+1 − an = ran − (r − 1) a2 n K − an ∆an = (r − 1)an 1 − an K Z. Pospíšil ·MIN201 ·15. března 2023 15 / 15