Topologie reálné přímky a komplexní roviny
Pojmy a symbolika
K – množina R reálných nebo množina C komplexních čísel
Vzdálenost čísel x, y ∈ K definujeme (x, y) = |x − y|
: K × K → R – metrika na K
Vlastnosti metriky:
(i) (∀x, y ∈ K) (x, y) ≥ 0 ∧ (x, y) = 0 ⇔ x = y ,
(ii) (∀x, y ∈ K) (x, y) = (y, x), (symetrie)
(iii) (∀x, y, z ∈ K) (x, z) ≤ (x, y) + (y, z), (trojúhelníková nerovnost)
(Symetrické otevřené) δ-okolí bodu x ∈ K – Oδ(x) = {y ∈ K : |x − y| < δ}, přitom
δ > 0.
Z. Pospíšil ·MIN201 ·2. 3. 2023 1 / 4
Topologie reálné přímky a komplexní roviny
Klasifikace bodů vzhledem k množině
A ⊆ K, bod x ∈ K se nazývá
vnitřní bod množiny A: (∃δ > 0) Oδ(x) ⊆ A,
hraniční bod množiny A: (∀δ > 0) Oδ(x) ∩ A = ∅ = Oδ(x) ∩ (K \ A),
vnější bod množiny A: (∀δ > 0) Oδ(x) ∩ A = ∅,
izolovaný bod množiny A: (∃δ > 0) Oδ(x) ∩ A = {x},
hromadný bod množiny A: (∀δ > 0) Oδ(x) \ {x} ∩ A = ∅.
• Každý bod základní množiny K je buď vnitřní nebo hraniční nebo vnější
vzhledem k libovolné množině A.
• Vnitřní bod množiny A je jejím prvkem, vnější bod množiny A není jejím
prvkem, hraniční bod množiny A v této množině být může, ale nemusí.
• Izolovaný bod množiny A je jejím prvkem, hromadný bod množiny A
v této množině být může, ale nemusí.
• V každém okolí hromadného bodu množiny A je nekonečně mnoho
bodů této množiny.
Z. Pospíšil ·MIN201 ·2. 3. 2023 2 / 4
Topologie reálné přímky a komplexní roviny
Klasifikace množin A ⊆ K
vnitřek množiny A: A◦
= {x ∈ K : (∃δ > 0) Oδ(x) ⊆ A},
tj. množina všech vnitřních bodů množiny A,
hranice množiny A: ∂A = {x ∈ K : (∀δ > 0) Oδ(x) ∩ A = ∅ = Oδ(x) ∩ (K \ A)},
tj. množina všech hraničních bodů množiny A,
uzávěr množiny A: A = A◦
∪ ∂A.
Množina A ⊆ K se nazývá
otevřená: A = A◦
,
uzavřená: K \ A je otevřená, tj. A = A,
obojetná: A není otevřená ani uzavřená,
hustá v K: A = K,
ohraničená: (∃h > 0) A ⊆ Oh(0),
kompaktní: A je ohraničená a uzavřená.
Pozor! Při vymezení kompaktní množiny výše uvedeným způsobem je
podstatné, že se jedná o podmnožinu K, podmnožinu
konečnědimensionálního prostoru.
Z. Pospíšil ·MIN201 ·2. 3. 2023 3 / 4
Topologie reálné přímky
A ⊆ R
h ∈ R je horní závora množiny A – (∀x ∈ A) x ≤ h.
Množina A je ohraničená shora – (∃h)(∀x ∈ A) x ≤ h.
Číslo s ∈ R se nazývá supremum množiny A pokud je splněna jedna
z ekvivalentních podmínek:
s je nejmenší horní závorou množiny A,
(∀a ∈ A)s ≥ a ∧ (∃b ∈ A)b < s ⇒ (∃c ∈ A)c > b .
h ∈ R je dolní závora množiny A – (∀x ∈ A) x ≥ h.
Množina A je ohraničená zdola – (∃h)(∀x ∈ A) x ≥ h.
Číslo s ∈ R se nazývá infimum množiny A pokud je splněna jedna
z ekvivalentních podmínek:
s je největší dolní závorou množiny A,
(∀a ∈ A)s ≤ a ∧ (∃b ∈ A)b > s ⇒ (∃c ∈ A)c < b .
Z. Pospíšil ·MIN201 ·2. 3. 2023 4 / 4