3. domácí úloha z MIN401, jaro 2024
Příklad 1. Vyřešte polynomiální kongruenci 7x6 + Ax + 12 = 0 (mod 135), celkem byste měli najít 2 řešení modulo 135.
Řešení. Protože 135 = 33 • 5, budeme prvně řešit kongruenci zvlášť modulo 5, pak modulo
3, 32, 33.
Modulo 5 ji lze s přihlédnutím k x ^ 0 (mod 5) podle Eulerovy věty x4 = 1 (mod 5) upravit na
7xe + Ax + 12 = 2x2 + Ax + 2 = 2(x + l)2 = 0   (mod 5).
Jediným řešením je tak x = A (mod 5).
Modulo 3 máme buď x = 0 (mod 3) nebo opět podle Eulerovy věty x2 = 1 (mod 3) můžeme kongruenci upravit na
7x6 + Ax + 12 = 1 + x = 0   (mod 3)
a dalším řešením je tak x = 2 (mod 3).
Nyní přejděme k modulu 9: Pro x = 0 (mod 3), tj. x = 3t dostáváme
7(3ť)6 + 4(3í) + 12 = 3t + 3 = 0   (mod 9) t+ 1 = 0   (mod 3)
a tedy ŕ = 2 (mod 3) neboli x = 9s + 6; dále
7(9s + 6)6 + 4(9s + 6) + 12 = 9s + 9 = 0   (mod 27)    ^    s + 1 = 0   (mod 3)
a tedy s = 2 (mod 3) neboli x = 27r + 24. Podobně pro x = 2 (mod 3), tj. x = 3t + 2 dostáváme
7(3í + 2)6 + 4(3í + 2) + 12 = 7 • 26 + 3r + 2 = 0   (mod 9) t = 0   (mod 3)
a tedy ŕ = 0 (mod 3) neboli x = 9s + 2; dále
7(9s + 2)6 + 4(9s + 2) + 12 = 7-26 + 9s + 20 = 0   (mod 27)    ^    s + l = 0   (mod 3)
a tedy s = 2 (mod 3) neboli x = 27r + 20. Dostali jsme tak dvě řešení x = 20, 24 (mod 27).
Nyní je potřeba dát tyto výsledky dohromady. Standardním způsobem dostaneme vyřešením soustav
x = A   (mod 5) x = A   (mod 5)
x = 20   (mod 27) x = 24   (mod 27)
finální řešení x = 74 (mod 135) a x = 24 (mod 135). □
Příklad 2. Rozložte polynom
f(x) = x6 - 2x5 + 2x + 1
na součin ireducibilních polynomů nad C, když víte, že f(x) obsahuje násobné kořeny. Jak bude rozklad vypadat nad IR?
i
2
Řešení. Spočítáme největší společný dělitel (f(x), f'{x)):
(x6 - 2x5 + 2x + l, 6x5 - 10x4 + 2) = (6x5 - 10x4 + 2, x4 - 3x - 2)
= (x2 — x — 1,0)= x2 — x — 1. Násobné kořeny f{x) jsou proto kořeny x2 — x — 1, tedy
1 ± y/E
Xl'2 = —2~-
Vydělením (x — ^±^-)2{x — ^-^)2 = (x2 — x — l)2 dostáváme
f(x)/(x2 - x - l)2 = x2 + 1 = (x - i)(x + i) a příslušné rozklady nad C a nad IR jsou
f(x) = (x- ^)2(x - ^)2(x -i)(x + i) = (x- ±±fi)2(x - ^fi)2(x2 + 1).
□