5. domácí úloha z MIN401, jaro 2024
Příklad 1. Pomocí Grôbnerovy báze vyřešte soustavu polynomiálních rovnic
x2 + y + z = 1 x + y2 + z = 1 x + y + z2 = 1 tj. najděte všechna řešení této soustavy.
Řešení. Začneme s polynomy
f1 = x2 + y + z-l, f2=x + y2 + z-l, f3 = x + y + z2-l
x2 —ř —y — z + 1, x —> —y2 — z + 1, x —)• —y — z2 + 1
Použijeme třetí redukci na redukci druhého polynomu,
f2^(-y-z2 + l)+y2 + z-l = y2-y-z2 + z
a položíme tedy
72 = y2 - y - z2 + z
y2 ^y + z2 - z Nyní s použitím f2 a /3 zredukujeme první polynom:
{-y - z2 + l)2 + y +z-l = y2 + 2yz2 - y + z4 - 2z2 + z (y + z2 - z) + 2yz2 - y + z4 - 2z2 + z = 2yz2 + z4 - z2
a položíme tedy
7i = ^2 +k - ¥2
yz2^\{-z4 + z2)
Jediné dva polynomy z fx, /2, /3 se soudělnými vedoucími členy jsou první dva, spočítáme a zredukujeme tedy S-polynom
s(7i,72) = ž/(^2 + k - f) - *V - v - z2 + z)
= \yz4 + i^2 + z4-z3
-> \{-z4 + z2)z2 + \(-z4 + ^2) + z4 - z3
= \(-z6 + 4z4 - Az3 + z2)
a položíme tedy
f4 = ze - Az4 + Az3 - z2 z6 -> 4^4 - Az3 + ^2
Případně ještě zkontrolujeme 5,(/1,/4) —)• 0, abychom mohli říct, že Grobnerovou bází ideálu f2, /3) je čtveřice polynomů fx, /2, /3, ^4. Soustavu vyřešíme „odzadu", tj. prvně řešíme f4 = 0, přičemž
f4 = z2(z- l)2{z2 + 2z- 1) 1
2
a dostaneme tak řešení z = 0, z = 1, z = — 1 ± \/2- Dosazením do f2 = 0 v prvních dvou případech a do f1 v posledních dvou případech pak obdržíme
1- z2
y2-y = 0,   resp.   y = —-— = z = -\±y/2;
v prvních dvou případech jsou řešeními y = 0 a y = 1, přičemž řešením f1 budou pouze ty kombinace, ve kterých y = 0 nebo z = 0; v posledních dvou případech je y = — 1 ± y/2 zároveň i řešením /2. Zbývá proto vyřešit /3 = 0, přičemž příslušné x existuje jediné
x = —y — z2 + 1
a dostáváme tak ve finále těchto pět řešení:
(1, 0, 0), (0,1,0), (0, 0,1), (-1 - y/2,-1 - y/2,-1 - \/2), (-1 + y/2,-1 + y/2,-1 + V2).
□