Náhradní příklady za účast na cvičení v druhé polovině semestru
Příklad 1. Určete počet prvků grupy G symetrií pravidelného dvanáctistěnu - ten má stěny tvaru pravidelných pětiúhelníků a u každého vrcholu se potkávají tři stěny; doporučený postup: označme stěny jako Fi,..., F12 a uvažte podmnožinu Gn C G těch symetrií, které zobrazují stěnu Fi na stěnu Fn; ukažte, že Gi C G je podgrupa a identifikujte ji s nějakou známou grupou; dále nechť gn G Gn je nějaká symetrie, potom g \—ř gng je bijekce G\ —?■ Gn (rozmyslete si to); na závěr G = \JGn, každá podmnožina má stejný počet prvků a je jich 12.
Mělo by vyjít 120 symetrií, přičemž stejně prvků má i symetrická grupa S5. Zkuste si rozmyslet, že neexistuje symetrie dvanáctistěnu řádu 4, takže tato grupa nemůže být isomorfní S5 (ta obsahuje cyklus délky 4, který má řád 4).
Příklad 2. Dokažte, že grupy Zq, 1S3 nejsou isomorfní (jaké mají řády prvků/jsou komutativní?). Které z těchto grup je isomorfní Z2 x Z3? Najděte nějaký konkrétní isomorfismus (nápověda: čínská zbytková věta).
Příklad 3. Označme IR = IR U {00}. Dokažte, že množina všech zobrazení IR —y IR tvaru x 1—>• (ax + b)/[ex + d), pro a, b, c, d G IR splňující ad — bc = 1, tvoří grupu vzhledem ke skládání.
Příklad 4. Dokažte, že v libovolné grupě platí ((71(72)_1 = g^di1 (v tomto pořadí!). Dokažte pomocí tohoto, že pokud platí g2 = 1 pro každé g G G, pak grupa G je komutativní (jaký je vztah mezi g, g-1?). Také pomocí tohoto dokažte, že zobrazení G —> Gop, g H> g~ľ je isomorfismus grup, kde Gop značí grupu mající stejnou množinu jako G, ale s operací definovanou "opačně" (71 • (72 = í?2(?i-
Příklad 5. Tvoří podmnožina {a + by/b \ a, b G Z} C ]R
• podgrupu vzhledem ke sčítání?
• podgrupu vzhledem k násobení?
• podokruh?
Příklad 6. Rozložte na součin nezávislých cyklů permutaci
//12345678 9\ ^3  4567298   l) '
Příklad 7. Určete řád permutace
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ ^3  456721   10  9 8^
a spočtěte a2024.
1
2
Příklad 8. Určete znaménko permutace
íl   2   •••       n      7i + l   n + 2   ■■■ 2n\ ^1  3  •■■   2n-l     2        4     ■■■   2n) '
Příklad 9. Najděte Grôbnerovu bázi ideálu I vzhledem k lexikografickému monomiálnímu uspořádání x > y, kde J je generovaný polynomy
fi = x3 - x2 - y2,    f2 = xy-1 a s její pomocí vyřešte (přibližně) nad ir soustavu rovnic f\ = 0, f2 = 0. Kolik bude existovat řešení nad c?
Příklad 10. Popište pomocí polynomiální rovnice obraz zobrazení c —> C2, t H> (t2 — 1, t3 — t) pomocí Grôbnerovy báze ideálu J = (x — t2 + 1, y — t3 + t) vzhledem k lexikografickému monomiálnímu uspořádání t > x > y.