MIN401 Matematika IV - jaro 2022) 1   Cvičení — středoškolská dělitelnost
Cvičení konané 14. 2. 2021.
Příklad 1.1: Jak poznáme, že je celé číslo dělitelné 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Svá tvrzení zdůvodněte.
Příklad 1.2:   Ukažte, že součin pěti po sobě jdoucích čísel je dělitelný 120.
Příklad 1.3:   Nejdříve pro n = 2,3 a potom pro další n G N si připomeňte
a) vzorec pro rozdíl n-tých mocnin dvou čísel,
b) vzorec pro součet n-tých mocnin dvou čísel,
c) vzorec pro n-tou mocninu součtu, tzv. binomický vzorec.
Příklad 1.4:   [10.2] Dokažte, že pro libovolné a G Z platí:
(i) a2 dává po dělení čtyřmi zbytek 0 nebo 1,
(ii) a2 dává po dělení osmi zbytek 0, 1 nebo 4,
(iii) a4 dává po dělení šestnácti zbytek 0 nebo 1.
Příklad 1.5:
(i) Ukažte, že pro každé n G N platí 3|4n — 1.
(ii) Ukažte, že pro každé n G N platí 5 [n5 — n.
(iii) Ukažte, že pro každé n G N platí 5|33n+1 + 2n+1.
Příklad 1.6: [10.1] Určete, pro která přirozená čísla n G N je číslo n3 + 1 dělitelné číslem n — 1.
Příklad 1.7: Dokažte, že pro přirozená čísla a, k a n platí: jestliže k | n, pak ak — 1 | an — 1. Pomocí toho dokažte: Je-li 2n — 1 prvočíslo, pak n musí být také prvočíslo. Proto se "největší" prvočísla hledají ve tvaru 2P — 1, kde p je prvočíslo.
Příklad 1.8:   Dokažte, že 25 | 42n+1 - lOn - 4. Příklad 1.9:
(i) Nechť a, b G N, a ^ b. Ukažte, že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že čísla a + n a b + n jsou nesoudělná.
(ii) Nechť má číslo n G N, n > 1 následující vlastnost: pro každou dvojici dělitelů a > 1, 6 > 1 čísla n platí, že (a, 6) > 1. Co můžeme říci o číslu nl
Příklad 1.10: [10.10]
(i) Dokažte, že jsou-li čísla m, n G N nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla
m2 + mn + n2   a   m2 — mn + n2.
(ii) Dokažte, že jsou-li lichá čísla m, n G N nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla
m + 2n   a   m2 + 4n2.