\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
%\textwidth=170mm
%\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}%[section]
\renewcommand{\theprik}{\arabic{prik}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   
%\newcommand{\cvicenii}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[Řešení: #1}\newcommand{\vysledek}[1]{[Řešení: #1]}\newcommand{\napoveda}[1]{}\newcommand{\poznamka}[1]{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large MIN401 Matematika IV - jaro 2022}
\end{center} 
%{\small \begin{itemize}
%\item Jde o seznam typových úloh, které se probírají na cvičení a dalších obdobných úloh na procvičení  za domácí úlohu. Na písemkách se objeví výhradně modifikace příkladů z této sbírky a~jim obdobné příklady. 
%\item Příklady označené hvězdičkou jsou určeny pro studenty, kteří by se na cvičení příliš nudili a jsou zde uvedeny pouze jako doplňující příklady, které nebudou obsahem písemek.
%\item Program jednotlivých cvičení si sestavují vyučující sami 
%a~mohou se lišit i v rámci jednotlivých cvičení jednoho vyučujícího.
%\item Velké množství příkladů je převzato ze sbírky \uv{Seminář ze středoškolské matematiky} autorů Herman, Kučera, Šimša (skriptum MU, 2004).
%\end{itemize}} 
}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%\hlavicka




%\cviceni{2.\ týden -- kongruence, Eulerova funkce}{21.\ 2.}

\centerline{\bf 2. cvičení z MIN401 -- Bezoutova a Eulerova věta}  

\priklad{[10.10]
\begin{itemize}
\item[(i)] Dokažte, že jsou-li čísla $m,n \in \mathbb{N}$ nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla 
$$
m^2+mn+n^2 \quad \text{a} \quad m^2-mn+n^2.
$$
\item[(ii)] Dokažte, že jsou-li lichá čísla $m,n \in \mathbb{N}$ nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla 
$$
m+2n \quad \text{a} \quad m^2+4n^2.
$$ 
\end{itemize}
}

\priklad{
Jaké jsou poslední dvě cifry čísel:
$4^{81}$, $7^{30}$, $3^{59}$?
}

\priklad{
Najděte největšího společného dělitele čísel
\begin{enumerate}
\item[(a)] 227, 133,
\item[(b)] 3441, 2665.
\end{enumerate}
}

\priklad{ 
Nalezněte celá čísla $x$ a $y$ tak, aby $883x+487y=d$ byl největší společný dělitel čísel $883$ a $487$. Spočtěte $x$  a $y$ i pro dvojice čísel z předchozího příkladu.
 }

\priklad{[10.4 a 10.5] Určete největší společný dělitel čísel $a,b \in \mathbb{Z}$
a určete příslušné koeficienty v Bezoutově rovnosti:
\begin{itemize}
\item[(i)] $a=10175$ a $b=2277$, 
\item[(ii)] $a=2^{49}-1$ a $b=2^{35}-1$.
\end{itemize}
}


\priklad{[10.15 a 10.16] 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Nechť $m,n \in \mathbb{N}$ a $a,b \in \mathbb{Z}$ splňují $a \equiv b \ (\!\!\!\!\mod m^n)$. Ukažte, že pak
$a^m \equiv b^m \ (\!\!\!\!\mod m^{n+1})$
\item Ukažte, že lichá čísla $a$ splňují $a^4 \equiv 1 \ (\!\!\!\!\mod 16)$.
\item Ukažte, že čísla $a$ nedělitelná třemi splňují $a^3 \equiv \pm 1 \ (\!\!\!\!\mod 9)$.
\end{enumerate}
}


\priklad{[10.19, 10.20, 10.21] 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Určete $\varphi(72)$.
\item Dokažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí $\varphi(4n+2)=\varphi(2n+1)$.
\item Určete všechna $n \in \mathbb{N}$ taková, že $\varphi(n)$ je liché.
\item Určete všechna $n \in \mathbb{N}$ taková, že $\varphi(n)=30$.
\item Určete všechna $n \in \mathbb{N}$ taková, že $\varphi(n)=\frac{n}{3}$.
\end{enumerate}
}

\priklad{[10.24, 10.26, 10.28, 10.29] 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Určete poslední dvojčíslí čísla $7^{2013}$.
\item Určete zbytek po dělení čísla $2^{50}+3^{50}+4^{50}$ číslem $17$.
\item Určete poslední číslici čísla $7^{9^{7^{5^3}}}$.
\item Určete poslední číslici čísla $14^{14^{14}}$.
\end{enumerate}
}



\end{document}

