2. cvičení z MIN401 — Bezoutova a Eulerova věta
Příklad 1: [10.10]
(i) Dokážte, že jsou-li čísla m, n G N nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla
m2 + mn + n2   a   m2 — mn + n2.
(ii) Dokažte, že jsou-li lichá čísla m, n G N nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla
m + 2n   a   m2 + 4n2.
Příklad 2:   Jaké jsou poslední dvě cifry čísel: 481, 730 , 359?
Příklad 3:   Najděte největšího společného dělitele čísel
(a) 227, 133,
(b) 3441, 2665.
Příklad 4: Nalezněte celá čísla x a, y tak, aby 883x + A87y = d byl největší společný dělitel čísel 883 a 487. Spočtěte x a y i pro dvojice čísel z předchozího příkladu.
Příklad 5: [10.4 a 10.5] Určete největší společný dělitel čísel a,b G Za určete příslušné koeficienty v Bezoutově rovnosti:
(i) a = 10175 a b = 2277,
(ii) a = 249 - 1 a b = 235 - 1.
Příklad 6:   [10.15 a 10.16]
(i) Nechť m,nGNao,i£Z splňují a = b (mod mn). Ukažte, že pak am = 6m (mod mn+1)
(ii) Ukažte, že lichá čísla a splňují a4 = 1 (mod 16).
(iii) Ukažte, že čísla a nedělitelná třemi splňují a3 = ±1 (mod 9).
Příklad 7:   [10.19, 10.20, 10.21]
(i) Určete <p(72).
(ii) Dokažte, že pro každé n G N platí y?(4n + 2) = íp(2n + 1).
(iii) Určete všechna n G N taková, že </?(n) je liché.
(iv) Určete všechna n G N taková, že (p(n) = 30.
(v) Určete všechna n G N taková, že </?(n) = |.
Příklad 8:   [10.24, 10.26, 10.28, 10.29]
(i) Určete poslední dvojčíslí čísla 72013.
(ii) Určete zbytek po dělení čísla 250 + 350 + 450 číslem 17.
(iii) Určete poslední číslici čísla 7
(iv) Určete poslední číslici čísla 141414.