9. cvičení z MIN401 — Polynomy a okruhy
Příklad 1: [11.79]
(i) Eisensteinovo kritérium ireducibility nad Z (tedy i nad Q).
(ii) Určete polynom s racionálními koeficienty co nejmenšího stupně, jehož kořenem je číslo
Příklad 2:   [11.82, 11.83]
(i) Pro liché prvočíslo p určete v Zp všechny kořeny polynomu
f(x) =xp-2 + xp-3 + ... + x + 2.
(ii) Rozložte polynom g(x) = x2 + x + 1 v Z5[:r] a 1*7[x].
Příklad 3:   [11.84, 11.85]
(i) Rozložte polynom f = x6 — x4 — 5x2 — 3 v C[x], M[x], Q[x], 1*[x], 1*5[x] a 1*7[x] víte-li o něm, že má vícenásobný kořen.
(ii) Rozložte polynom p = x6 + x5 + 4x4 + 2x3 + 5x2 + x + 2 v C[x], M[x], ^[x], 7Lf\x\ a rL7\x\ víte-li o něm, že má vícenásobný kořen i.
(iii) Řešte soustavu p = q = 0 nad C, kde q = x2y2 + y2 + xy + íc2y + 2y + 1.
Příklad 4: [11.65] Rozhodněte, zda množina R s operacemi © a 0 tvoří okruh, komutativní okruh, obor integrity nebo těleso.
(i) R = Z, a © b = a + b + 3, a Q b = -3.
(ii) R = Z, a®b = a + b-3, a®b = a-b-l.
(iii) R = Z, aQ)b = a + b—l,aQb = a + b — a-b.
(iv) -R = Q, a©6 = a + 6, aQb = b.
(v) -R = Q, a©6 = a + 6+l, a 0 6 = a + 6 + a&.
(vi) -R = Q, a®b = a + b-l, a®b = a + b + ab.
Příklad 5: [11.66] Dokažte, že podmožina komplexních čísel Z[i] = {a + 6«|a, 6 G Z} tvoří obor integrity. Jedná se o těleso?
Příklad 6:   [11.67] V okruhu matic Mat2,2ÍM) uvažme podokruh matic tvaru
fa -b\ \b a)'
a, b G IR. Dokažte, že tento podokruh je izomorfní s tělesem C.
Příklad 7:   [11.68] Ukažte, že identita je jediný automorfismu tělesa reálných čísel.