\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
%\textwidth=170mm
%\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}%[section]
\renewcommand{\theprik}{\arabic{prik}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   
%\newcommand{\cvicenii}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[Řešení: #1}\newcommand{\vysledek}[1]{[Řešení: #1]}\newcommand{\napoveda}[1]{}\newcommand{\poznamka}[1]{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large MIN401 Matematika IV - jaro 2022}
\end{center} 
}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%\hlavicka



\centerline{\bf 10. cvičení z MIN401 -- Uspořádané množiny a grupy}  

\priklad{Nechť $X$ je množina. Dokažte, že zobrazení $f \colon (\mathcal{P}(X), \subseteq) \to (\mathcal{P}(X), \supseteq)$ dané předpisem $f(A) = X - A$ je izomorfismus uspořádaných množin.}

\priklad{Nechť svaz $G$ je řetězec. Ukažte, že svaz všech ideálů svazu $G$ je také řetězec.}

\priklad{[11.1] Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jakou algebraickou strukturu
tvoří (grupoid, monoid, pologrupa, grupa):
\begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
\item[(i)] podmnožiny množiny přirozených čísel s operací sjednocení,
\item[(ii)] množina $\mathbb{N}$ spolu s binární operací největší společný dělitel,
\item[(iii)] množina $\mathbb{N}$ spolu s binární operací nejmenší společný násobek,
\item[(iv)] množina reálných invertibilních matic 2x2 spolu s operací sčítání matic,
\item[(v)] množina reálných matic 2x2 spolu s operací násobení matic,
\item[(vi)] množina reálných matic 2x2 spolu s operací odčítán ímatic,
\item[(vii)] množina invertibilních matic 2x2 nad $\mathbb{Z}_2$ spolu s operací násobení matic,
\item[(viii)] množina $\mathbb{Z}_6$ spolu s operací násobení (modulo $6$),
\item[(ix)] množina $\mathbb{Z}_7$ spolu s operací násobení (modulo $7$).
\end{enumerate}
}

\priklad{[11.8]} Na množině $(\mathbb{R} \setminus \{0\}) \times \mathbb{R}$ definujeme operaci
$\odot$ jako 
$$
(x,y) \odot (u,v) = (xu, xv+y).
$$
Popište, o jakou algebraickou strukturu se jedná.

\priklad{[2.19] Rozložte následující permutaci v $\mathbb{S}_9$ na součin transpozic:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
3 & 1 & 6 & 7 & 8 & 9 & 5 & 4 & 2
\end{pmatrix}.
$$
}

\priklad{[11.10] Určete znaménko následujících permutací v $\mathbb{S}_{3n}$ a $\mathbb{S}_{2n}$:
\begin{align*}
&\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \ldots & 3n-2 & 3n-1 & 3n \\
2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 & \ldots & 3n-1 & 3n & 3n-2
\end{pmatrix}, \\
&\sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \ldots & n & n+1 & n+2 & \ldots & 2n \\
2 & 4 & 6 & \ldots & 2n & 1 & 3 & \ldots & 2n-1 \\
\end{pmatrix}.
\end{align*}
}

\priklad{[11.13] Mějme permutaci $\sigma \in \mathbb{S}_7$,
$$
\sigma = \begin{pmatrix} 
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
3 & 6 & 5 & 7 & 1 & 2 & 4
\end{pmatrix}.
$$
V grupě $(\mathbb{S}_7,\circ)$ určete řád $\sigma$, inverzi k $\sigma$, $\sigma^{2013}$
a ukažte, že $\sigma$ nekomutuje s transpozicí $\tau = (2,3)$.
}

\priklad{[11.16,11.17] Dokažte, že neexistuje čtyřprvková ani pětiprvková nekomutativní grupa.}


\end{document}

