10. cvičení z MIN401 — Uspořádané množiny a grupy
Příklad 1: Nechť X je množina. Dokažte, že zobrazení /: (V(X), C.) —y (V(X),D) dané předpisem f (A) = X — A je izomorfismus uspořádaných množin.
Příklad 2:   Nechť svaz G je řetězec. Ukažte, že svaz všech ideálů svazu G je také řetězec.
Příklad 3: [11.1] Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jakou algebraickou strukturu tvoří (grupoid, monoid, pologrupa, grupa):
(i) podmnožiny množiny přirozených čísel s operací sjednocení,
(ii) množina N spolu s binární operací největší společný dělitel,
(iii) množina N spolu s binární operací nej menší společný násobek,
(iv) množina reálných invertibilních matic 2x2 spolu s operací sčítání matic,
(v) množina reálných matic 2x2 spolu s operací násobení matic,
(vi) množina reálných matic 2x2 spolu s operací odčítán ímatic,
(vii) množina invertibilních matic 2x2 nad Z2 spolu s operací násobení matic,
(viii) množina Z@ spolu s operací násobení (modulo 6), (ix) množina Z7 spolu s operací násobení (modulo 7).
Příklad 4:   [11.8] Na množině (IR \ {0}) x IR definujeme operaci 0 jako
(x, y) 0 (u, v) = (xu, xv + y). Popište, o jakou algebraickou strukturu se jedná.
Příklad 5:   [2.19] Rozložte následující permutaci v §9 na součin transpozic:
/12345678 9\ ^3 16789542^'
Příklad 6:   [11.10] Určete znaménko následujících permutací v §3n a B>2n'-
_/l  23456...  3n-2  3n-l     3n \ 01 ~ \ 2  3  1  5  6  4  ...  3n - 1     3n     3n - 2 J ;
_/l   2  3   ...   n   n + 1   n + 2   ...     2n \ a2 ~ \2  4  6  ...  2n     1        3     ...  2n - 1) '
Příklad 7:   [11.13] Mějme permutaci o G §7,
_ fl  2  3  4  5  6 7\ í7~\v3 657124yr
V grupě (§7, o) určete řád a, inverzi k a, a2013 a ukažte, že a nekomutuje s transpozicí r = (2, 3).
Příklad 8: [11.16,11.17] Dokažte, že neexistuje čtyřprvková ani pětiprvková nekomutativní grupa.