Vnitrosemestrální písemka - MIN401 - jaro 2021 - 30. 4. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3 body)
(i) Ukažte, že 5|(6741 + 2)9 + 1.
(ii) Rozhodněte, zda 25|(6741 + 2)9 + 1.
2. (5 bodů)
(i) Rozhodněte, zda existuje primitivní kořen modulo 32.
(ii) Určete inverzní prvek k 5 modulo 32.
(iii) Určete řád 5 modulo 32.
(iv) Najděte nějaké a E Z řádu 2 modulo 32.
(v) Určete počet prvků v množinách
M1 = {1,5,52,53,...}      a      M2 = {-1,-5,-52,-53,...}
modulo 32 a rozhodněte, které z těchto prvků jsou invertibilní.
(vi) Ukažte, M1 n M2 = 0 modulo 32.
(vii) Ukažte, že každé x splňující kongruenci
x3 = 25   mod 32 je invertibilní modulo 32 a pak tuto kongruenci vyřešte.
3. (2 body) Nalezněte všechna řešení kongruence
3a-2 - 4x + 17 = 0   mod 13.