Nekonečné řady Petr Liška Masarykova univerzita 16.04.2024 23.04.2024 30.04.2024 Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 1 / 16 Posloupnosti – pamatujete si je ještě? Definice Posloupnost je funkce definovaná na množině M ⊆ N. Posloupnost označujeme {an} nebo {an}∞ n=1, n-tý prvek označujeme nejčastěji an. Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu L, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n > n0 platí |an − L| < ε. Definice Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ∞, jestliže ke každému M ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n > n0 platí an > M. Pokud takováto limita existuje, říkáme, že posloupnost konverguje. Má-li posloupnost limitu ∞ nebo −∞, říkáme, že diverguje. Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 2 / 16 Číselná řada Definice Nechť {an}∞ n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol ∞󰁛 n=1 an nebo a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}∞ n=1, kde s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . sn = a1 + a2 + · · · + an, . . . , nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. Existuje-li vlastní limita lim n→∞ sn = s, řekneme, že řada ∞󰁓 n=1 an konverguje a má součet s. Neexistuje-li vlastní limita lim n→∞ sn, řekneme, že řada ∞󰁓 n=1 an diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 3 / 16 Pravidla pro počítání s nekonečnými řadami Věta Nechť ∞󰁓 n=1 an a ∞󰁓 n=1 bn jsou konvergentní řady a nechť ∞󰁓 n=1 an = u a ∞󰁓 n=1 bn = v. Pak je konvergentní i řada ∞󰁓 n=1 (an + bn) a platí ∞󰁓 n=1 (an + bn) = u + v. Věta Jestliže řada ∞󰁓 n=1 an konverguje, pak pro libovolné k ∈ R konverguje též řada ∞󰁓 n=1 k · an a platí ∞󰁓 n=1 k · an = k ∞󰁓 n=1 an. Naopak konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 k · an, kde k ∈ R, k ∕= 0, konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 4 / 16 Asociativní zákon Věta Nechť ∞󰁓 n=1 an je konvergentní řada a nechť {nk} je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Položme n0 = 0 a pro k ∈ N označme bk = ank−1+1 + ank−1+2 + · · · + ank . Pak řada ∞󰁓 k=1 bk konverguje a platí ∞󰁛 k=1 bk = ∞󰁛 n=1 an. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 5 / 16 Kritéria konvergence Věta (Nutná podmínka konvergence) Nechť ∞󰁓 n=1 an konverguje. Pak lim n→∞ an = 0. Věta (Integrální kritérium) Nechť funkce f je nezáporná a nerostoucí na intervalu [1, ∞). Nechť an = f(n). Pak ∞󰁓 n=1 an konverguje právě tehdy, když konverguje integrál 󰁕 ∞ 1 f(x) dx. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 6 / 16 Numerická sumace Je-li ∞󰁓 n=1 an konvergentní řada, tak její součet s lze psát ve tvaru s = sn + Rn, kde sn je n-tý částečný součet a Rn = an+1 + an+2 + · · · se nazývá zbytek po n-tém členu. Věta Nechť ∞󰁓 n=1 an je konvergentní řada s nezápornými členy. Nechť an = f(n) je nezáporná a nerostoucí funkce na intervalu [1, ∞). Pak pro zbytek Rn této řady platí Rn ≤ 󰁝 ∞ n f(x) dx . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 7 / 16 Věta (Srovnávací kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an a ∞󰁓 n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť an ≤ bn pro skoro všechna n ∈ N. Potom platí: konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an; diverguje-li řada ∞󰁓 n=1 an, diverguje i ∞󰁓 n=1 bn. Věta (Limitní srovnávací kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an a ∞󰁓 n=1 bn jsou řady s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ an bn = L . Je-li L < ∞ a konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, pak konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an. Je-li L > 0 a diverguje-li řada ∞󰁓 n=1 bn, pak diverguje i řada ∞󰁓 n=1 an . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 8 / 16 Věta (Limitní podílové kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada s kladnými členy a nechť existuje lim n→∞ an+1 an = q. Je-li q < 1, pak ∞󰁓 n=1 an konverguje, je-li q > 1, pak ∞󰁓 n=1 an diverguje. Věta (Limitní odmocninové kritérium) Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada s nezápornými členy a nechť existuje lim n→∞ n √ an = q, kde q ∈ R 󰂏 . Je-li q < 1, pak ∞󰁓 n=1 an konverguje a je-li q > 1, pak ∞󰁓 n=1 an diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 9 / 16 Věta Nechť ∞󰁓 n=1 an je číselná řada, pro kterou platí 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 an+1 an 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 ≤ q ≤ 1 pro všechna n ∈ N. Pak pro zbytek Rn této řady platí |Rn| ≤ |an| q 1 − q . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 10 / 16 Alternují řady aneb když nutná je i dostatečná Definice Nekonečná řada ∞󰁓 n=1 an se nazývá alternující, právě když platí sgn an+1 = −sgn an pro všechna n ∈ N. Věta (Leibnitzovo kritérium) Nechť an je nerostoucí posloupnost kladných čísel. Pak alternující řada ∞󰁓 n=1 (−1)n−1an konverguje právě tehdy, když platí lim n→∞ an = 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 11 / 16 Poslední odhad zbytku Věta Nechť {an}∞ n=0 je nerostoucí posloupnost kladných čísel taková, že lim n→∞ an = 0. Pak pro zbytek Rn alternující řady ∞󰁓 n=1 (−1)n−1an platí |Rn| < an+1 . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 12 / 16 Absolutní konvergence Věta Konverguje-li řada ∞󰁓 n=1 |an|, pak konverguje i řada ∞󰁓 n=1 an . Definice Řekneme, že řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∞󰁓 n=1 |an|. Jestliže řada ∞󰁓 n=1 an konverguje a ∞󰁓 n=1 |an| diverguje, říkáme, že řada ∞󰁓 n=1 an konverguje neabsolutně. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 13 / 16 Kritéria konvergence Věta Nechť ∞󰁓 n=1 bn je konvergentní řada s nezápornými členy a ∞󰁓 n=1 an je řada s libovolnými členy. Jestliže pro všechna n ∈ N platí |an| ≤ bn, pak řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně. Věta Existuje-li lim n→∞ n 󰁳 |an| = q ∈ R 󰂏, pak v případě q < 1 řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Věta Existuje-li lim n→∞ 󰀏 󰀏 󰀏 an+1 an 󰀏 󰀏 󰀏 = q ∈ R 󰂏, pak v případě q < 1 řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně a v případě q > 1 řada diverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 14 / 16 Přerovnání řad Definice Nechť ∞󰁓 n=1 an je řada, {kn} permutace množiny N. Pak říkáme, že řada ∞󰁓 n=1 akn vznikla přerovnáním řady ∞󰁓 n=1 an. Věta Nechť řada ∞󰁓 n=1 an konverguje absolutně. Pak konverguje absolutně také každá řada ∞󰁓 n=1 akn vzniklá přerovnáním řady ∞󰁓 n=1 an a platí ∞󰁛 n=1 an = ∞󰁛 n=1 akn . Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 15 / 16 Hodně překvapivý výsledek Věta (Riemann) Nechť řada ∞󰁓 n=1 an konverguje neabsolutně a nechť s ∈ R je libovolné. Pak existuje takové přerovnání řady ∞󰁓 n=1 an, že ∞󰁓 n=1 akn = s, takové přerovnání, že ∞󰁓 n=1 apn určitě diverguje a takové přerovnání, že ∞󰁓 n=1 aqn osciluje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Nekonečné řady 16.04.–30.04.2024 16 / 16