Řady funkcí Mocninné řady Petr Liška Masarykova univerzita 30.04.2024 – 13.5.2024 Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 1 / 14 Základní otázky o funkčních řadách jsou: 1. Je součtem řady spojitých funkcí na intervalu I také funkce spojitá na intervalu I? 2. Pro která x můžeme řadu derivovat člen po členu? 3. Pro která x můžeme řadu integrovat člen po členu? Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 2 / 14 Bodová konvergence Definice Nechť {fn(x)}∞ n=1 je posloupnost funkcí na intervalu I a x0 ∈ I je libovolné. Je-li číselná posloupnost {fn(x0)}∞ n=1 konvergentní, říkáme, že posloupnost {fn(x)}∞ n=1 je konvergentní v bodě x0. Řekneme, že posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci f(x) na intervalu I, jestliže konverguje v každém bodě x ∈ I. (∀x ∈ I)(∀ε ∈ R, ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0)(|fn(x) − f(x)| < ε) Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 3 / 14 Nekonečná řada funkcí Definice Nechť {fn(x)}∞ n=1 je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I. Symbol ∞󰁛 n=1 fn(x) nazýváme nekonečnou řadou funkcí. Posloupnost {sn(x)}∞ n=1, kde sn(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x), nazýváme posloupností částečných součtů řady ∞󰁓 n=1 fn(x). Jestliže posloupnost částečných součtů {sn(x)}∞ n=1 konverguje pro všechny x ∈ I, řekneme, že řada ∞󰁓 n=1 fn(x) bodově konverguje na intervalu I a funkci s(x) = lim n→∞ sn(x) nazýváme součtem řady ∞󰁓 n=1 fn(x) . Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 4 / 14 Stejnoměrná konvergence Definice Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}∞ n=1 konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) − f(x)| < ε. Píšeme fn 󰃃 f na I. Definice Řekneme, že řada funkcí ∞󰁓 n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I ke svému součtu s(x), jestliže posloupnost {sn(x)}∞ n=1 jejích částečných součtů stejnoměrně konverguje na I k funkci s(x). Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 5 / 14 Jak to poznat? Věta (Weirstrassovo kritérium) Nechť {fn(x)}∞ n=1 je posloupnost funkcí na I. Nechť existuje posloupnost nezáporných čísel {an}∞ n=1 taková, že řada ∞󰁓 n=1 konverguje a platí |fn(x)| ≤ an po všechna x ∈ I a n ∈ N. Pak řada ∞󰁓 n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 6 / 14 Proboha proč? Věta Nechť posloupnost funkcí {fn(x)}∞ n=1 stejnoměrně konverguje na intervalu I k funkci f. Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, je i f(x) spojitá na I. Věta Nechť řada funkcí ∞󰁓 n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I a má součet s(x). Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, pak je i s(x) spojitá na I. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 7 / 14 Mocninné řady Definice Buď {an}∞ n=0 posloupnost reálných čísel a x0 libovolné reálné číslo. Mocninnou řadou se středem v bodě x0 a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · · = ∞󰁛 n=0 an(x − x0)n . Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat, že středem mocninné řady je číslo x0 = 0, jelikož pomocí substituce x − x0 = y můžeme převést řadu se středem v bodě x0 na řadu se středem v bodě 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 8 / 14 Poloměr konvergence Věta Nechť 󰁓 anxn je mocninná řada a nechť a = lim supn→∞ n 󰁳 |an|. Je-li a = 0, pak řada absolutně konverguje pro všechna x ∈ R. Je-li a = ∞, pak řada diverguje pro všechna x ∕= 0. Je-li 0 < a < ∞, pak řada absolutně konverguje pro |x| < 1 a a diverguje pro |x| > 1 a . Je-li 0 < a < ∞, pak se číslo r = 1 a nazývá poloměr konvergence a interval (−r, r) se nazývá konvergenční interval. Oborem konvergence pak rozumíme tento interval, případně tento interval s jeho krajními body, pokud zde řada konverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 9 / 14 Existuje-li limita lim n→∞ n 󰁳 |an| = a, pak má mocninná řada 󰁓 anxn poloměr konvergence r = lim n→∞ n 󰁳 |an| = lim n→∞ 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 an an+1 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 . Mohou nastat tři možnosti: 1. Je-li 0 < r < ∞, pak řada konverguje pro x ∈ (−r, r) a diverguje pro |x| > r. Pro hodnoty x = ±r musíme rozhodnout zvlášť pomocí některého z kritérií konvergence pro číselné řady. 2. Je-li r = ∞, pak řada konverguje pro všechna x. 3. Je-li r = 0, pak řada diverguje pro všechna x ∕= 0 a říkáme, že řada vždy diverguje. Věta Nechť r > 0 je poloměr konvergence mocninné řady 󰁓 anxn. Pak tato řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném podintervalu [−󰂄, 󰂄] intervalu (−r, r). Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 10 / 14 Věta Nechť mocninná řada 󰁓 anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak součet této řady je spojitá funkce na intervalu (−r, r). Věta Nechť mocninná řada 󰁓 anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak pro všechna x ∈ (−r, r) platí 󰀣 ∞󰁛 n=0 anxn 󰀤′ = (a0 + a1x + a2x2 + · · · )′ = a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · · = ∞󰁛 n=1 nanxn−1 a 󰁝 x 0 󰀣 ∞󰁛 n=0 antn 󰀤 dt = 󰁝 x 0 (a0 + a1t + a2t2 + · · · ) dt = a0x + a1x2 2 + · · · = ∞󰁛 n=1 an xn+1 n + 1 . Přitom výrazy na pravé straně mají stejný poloměr konvergence. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 11 / 14 Taylorova a Maclaurinova řada Raději si připomeňme: Na intervalu I s krajními body x a x0 f(x) = f(x0) + f′(x0) 1! (x − x0) + · · · + f(n)(x0) n! (x − x0)n + Rn(x), kde Rn(x) = (x − x0)n+1 (n + 1)! f(n+1) (ν), kde ν ∈ I, ν ∕= x, x0 . Definice Nechť funkce f má v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu ∞󰁛 n=0 f(n)(x0) n! (x − x0)n nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x0. Je-li x0 = 0, mluvíme o Maclaurinově řadě. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 12 / 14 Věta Nechť funkce f má v nějakém bodě x0 derivace všech řádů. Pak platí f(x) = ∞󰁛 n=0 f(n)(x0) n! (x − x0)n na intervalu I, x0 ∈ I, právě tehdy, když pro posloupnost {Rn(x)} zbytků platí lim n→∞ Rn(x) = 0 pro všechna x ∈ I. Věta Nechť funkce f má na otevřeném intervalu I derivace všech řádů a nechť existuje k ∈ R, k > 0 takové, že pro ∀n ∈ N a ∀x ∈ I platí󰀏 󰀏f(n)(x) 󰀏 󰀏 < k. Pak pro ∀x0 ∈ I platí f(x) = ∞󰁛 n=0 f(n)(x0) n! (x − x0)n . Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 13 / 14 Maclaurinovy řady elementární funkcí ex = 1 + x 1! + x2 2! + · · · + xn n! + · · · = ∞󰁛 n=0 xn n! , r = ∞ sin x = x − x3 3! + · · · + (−1)n x2n+1 (2n + 1)! + · · · = ∞󰁛 n=0 (−1)n x2n+1 (2n + 1)! , r = ∞ cos x = 1 − x2 2! + · · · + (−1)n x2n (2n)! + · · · = ∞󰁛 n=0 (−1)n x2n (2n)! , r = ∞ ln(1 + x) = x − x2 2 + · · · + (−1)n+1 xn n + · · · = ∞󰁛 n=1 (−1)n+1 xn n , r = 1 Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 30.04.2024 – 13.5.2024 14 / 14