Aplikace Riemannova integrálu
Jiné než geometrické
Petr Liška
Masarykova univerzita
09.04.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 09.04.2024 1 / 5
Interpretace integrálu
Spotřeba přírodních zdrojů
Odhaduje se, že světová spotřeba stříbra (v tisíci tunách) se řídí funkcí
f(t) = 21,4e0,01t, kde t značí počet let, které uběhnou od současnosti.
Celkové zásoby stříbra se odhaduji na 400 000 tun. Odhadněte, kdy
tyto zásoby stříbra dojdou.
Množství semen
Hustota semen kolem rodičovského stromu je
D(r) = D0e− r2
a2 ,
kde r je vzdálenost od stromu. Určete počet semen do vzdálenost R od
stromu.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 09.04.2024 2 / 5
Lorenzova křivka a Giniho index
Pro měření nerovnosti ekonomové počítají jaká část celkového příjmu je získána nejchudšími
dvaceti procenty populace, nejchudšími čtyřiceti procenty populace atd. Například pro
Českou republiku v roce 2018 tato data vypadala takto
část populace část příjmů
0,2 0,102
0,4 0,249
0,6 0,426
0,8 0,646
1,0 1,000
Graficky tato data reprezentuje tzv. Lorenzova křivka L(x), která udává, jaká část celkového
příjmu je získána nejchudší částí x populace. Pro naše data je její přibližná rovnice
L(x) = x1,57.
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L(x)
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 09.04.2024 3 / 5
Absolutní rovnost příjmů znamená, že všichni vydělávají stejně, tj. dolních 10 % získá 10 %
všech příjmů, dolních 20 % získá 20 % všech příjmů atd. Lorenzova křivka v tomto případě
je tedy graf lineární funkce y = x.
Ke změření nerovnosti spočítáme obsah oblasti mezi aktuální Lorenzovou křivkou L(x) a
její ideální verzí y = x a tento výsledek vynásobíme dvěma, abychom dostali číslo mezi 0
(absolutní rovnost) a 1 (absolutní nerovnost). Tomutu číslu se říká Giniho index.
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
L(x)
y = x
Matematicky tedy definujeme Giniho index jako
GI = 2
1
0
(x − L(x)) dx .
Pro Českou republiku dostaneme
GI = 2
1
0
(x − L(x)) dx = GI = 2
1
0
x − x1,57
dx = 2
x2
2
−
x2,57
2,57
1
0
= 0,22 .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 09.04.2024 4 / 5
Těžiště rovinného obrazce
Věta
Nechť f je spojitá a nezáporná funkce na intervalu [a, b] a M je množina
tvořená jejím podgrafem. Je-li množina M pokrytá rovnoměrně
hmotou o konstantní hustotě, potom těžištěm množiny M je bod T o
souřadnicích [¯x, ¯y], kde
¯x =
b
a
xf(x) dx
b
a
f(x) dx
, ¯y =
1
2
b
a
f2(x) dx
b
a
f(x) dx
.
Věta (Pappova-Guldinova)
Nechť R je část roviny o obsahu A, která leží celá v jedné polorovině
určené přímkou l. Objem tělesa, které vznikne rotací množiny R kolem
přímky l, je roven součinu obsahu A a vzdálenosti d, kterou urazí těžiště
množiny R.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 09.04.2024 5 / 5