Odsud až do nekonečna
Nevlastní integrál
Petr Liška
Masarykova univerzita
09.04.2024
Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 09.04.2024 1 / 6
Definice
Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná na intervalu [a, ∞), která
je integrovatelná na každém intervalu [a, b], kde b > a. Definujme
funkci F na intervalu [a, ∞) vztahem
F(b) =
b
a
f(x) dx .
Jestliže existuje vlastní limita lim
b→∞
F(b), říkáme, že nevlastní integrál
∞
a
f(x) dx konverguje a klademe
∞
a
f(x) dx = lim
b→∞
F(b) = lim
b→∞
b
a
f(x) dx .
Neexistuje-li vlastní limita lim
b→∞
F(b) říkáme, že nevlastní integrál di-
verguje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 09.04.2024 2 / 6
Několik poznámek
• Je-li limita lim
b→∞
F(b) nevlastní, říkáme, že integrál určitě diverguje.
V případě, že tato limita neexistuje, říkáme, že integrál osciluje.
• Nevlastní integrál
a
−∞
f(x) dx, kde a ∈ R, definujeme analogicky
a
−∞
f(x) dx = lim
c→−∞
a
c
f(x) dx .
• Je-li funkce f definovaná na R a integrovatelná na každém
omezeném intervalu, řekneme, že nevlastní integrál
∞
−∞
f(x) dx
konverguje, jestliže pro nějaké a ∈ R konvergují oba nevlastní
integrály
a
−∞
f(x) dx a
∞
a
f(x) dx. V tomto případě klademe
∞
−∞
f(x) dx =
a
−∞
f(x) dx +
∞
a
f(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 09.04.2024 3 / 6
Prosté srovnávací kritérium
Věta
Nechť funkce f, g splňují pro x ∈ [a, ∞) nerovnosti 0 ≤ f(x) ≤ g(x).
(i) Konverguje-li integrál
∞
a
g(x) dx, konverguje i integrál
∞
a
f(x) dx a
platí
0 ≤
∞
a
f(x) dx ≤
∞
a
g(x) dx .
(ii) Diverguje-li integrál
∞
a
f(x) dx, diverguje i integrál
∞
a
g(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 09.04.2024 4 / 6
Limitní srovnávací kritérium
Věta
Nechť funkce f, g jsou nezáporné na [a, ∞) a nechť existuje
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= L .
(i) Je-li L < ∞ a konverguje-li integrál
∞
a
g(x) dx, konverguje i inte-
grál
∞
a
f(x) dx.
(ii) Je-li L > 0 a diverguje-li integrál
∞
a
g(x) dx, diverguje i integrál
∞
a
f(x) dx.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 09.04.2024 5 / 6
Definice
Nechť a, b ∈ R, a < b, a nechť f je funkce definovaná na intervalu
[a, b). Řekneme, že b je singulární bod funkce f, jestliže f je ohraničená
na každém intervalu [a, b − ε], kde 0 < ε < b − a, není ohraničená na
intervalu [b − ε, b] a je integrovatelná na každém intervalu [a, b − ε].
Definice
Nechť f je funkce definovaná na intervalu [a, b) a nechť b je jejím singulárním
bodem. Nechť funkce F je definovaná na intervalu [a, b) předpisem
F(x) =
x
a
f(t) dt. Existuje-li vlastní limita lim
x→b−
F(x), řekneme,
že nevlastní integrál
b
a
f(x) dx konverguje a platí
b
a
f(x) dx = lim
x→b−
F(x) =
x
a
f(t) dt .
Neexistuje-li vlastní limita lim
x→b−
F(x), říkáme, že integrál diverguje.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Odsud až do nekonečna 09.04.2024 6 / 6