Fourierovy řady
Lehký úvod, zavedení a rozumné příklady
Petr Liška
Masarykova univerzita
24.4.2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 1 / 8
Pro připomenutí
Na množine P = C[a, b] definujeme skalární součin funkcí f a g
〈f, g〉 =
󰁝 b
a
f(x)g(x) dx
Řekneme, že funkce f a g jsou ortogonální na [a, b], jestliže
〈f, g〉 = 0.
Normou funkce (vektoru) pak rozumíme
||f|| =
󰁳
〈f, f〉 =
󰁶
󰁝 b
a
f2(x) dx .
Řekneme, že funkce f je normovaná, jestliže ||f|| = 1. Pokud ||f|| ∕= 0,
pak g = f
||f|| je normovaná.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 2 / 8
Definice
Řekneme, že konečný nebo spočetný systém funkcí ϕn ∈ C[a, b] je ortogonální,
jestliže
〈ϕi, ϕj〉 = 0 pro i ∕= j.
Jestliže navíc ||ϕi|| = 1 pro ∀i, pak ϕn je ortonormální.
Věta
Systém funkcí
{1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx, . . . }
je ortogonální na [−π, π].
Příslušná ortornormální posloupnost funkcí je
1
√
2π
,
sin x
√
π
,
cos x
√
π
,
sin 2x
√
π
,
cos 2x
√
π
, . . .
sin nx
√
π
,
cos nx
√
π
, . . .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 3 / 8
Fourierova řada funkce
Definice
Buď {ϕn} ortogonální posloupnost funkcí na intervalu [a, b], f integrovatelná
funkce na [a, b]. Pak čísla
cn =
〈f, ϕn〉
||ϕn||2
nazýváme Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k ortogonální posloupnosti
{ϕn} a řadu
∞󰁛
n=1
cnϕn
kde cn jsou Fourierovy koeficienty, Fourierovou řadou funkce f vzhledem
k ortogonální posloupnosti {ϕn}.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 4 / 8
Fourierovy řady vzhledem k systému {cos nx, sin nx}
Věta
Fourierova řada libovolné integrovatelné funkce f na intervalu [−π, π]
má vzhledem k systému {1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . } tvar
a0
2
+
∞󰁛
n=1
(an cos nx + bn sin nx),
kde an, bn jsou Fourierovy koeficienty funkce f, pro něž platí
an =
1
π
󰁝 π
−π
f(x) cos nx dx , n ∈ N ∪ {0},
bn =
1
π
󰁝 π
−π
f(x) sin nx dx , n ∈ N.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 5 / 8
Důsledek
Buď f integrovatelná funkce na intervalu [−π, π]. Je-li f sudá funkce,
má její Fourierova řada tvar
a0
2
+
∞󰁛
n=1
an cos nx, an =
2
π
󰁝 π
0
f(x) cos nx dx , n ∈ N ∪ {0}.
Je-li f lichá, má její Fourierova řada tvar
∞󰁛
n=1
bn sin nx, bn =
2
π
󰁝 π
0
f(x) sin nx dx , n ∈ N.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 6 / 8
Řadu jsme přiřadili, ale co jako?
Symbolem f(x0+) budeme rozumět číslo limx→x0+ f(x), pokud tato
limita existuje, podobně f(x0−).
Věta (Dirichletova)
Nechť funkce f je po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu
[−π, π]. Pak její Fourierova řada konverguje na [−π, π] a její součet
je roven:
1. f(x0) v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f spojitá,
2. 1
2 [f(x0−) + f(x0+)] v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f
nespojitá,
3. 1
2 [f(−π+) + f(π−)] v krajních bodech intervalu [−π, π].
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 7 / 8
Definice
Nechť f je integrovatelná na [−π, π]. Funkci f 󰂏 nazýváme 2π periodické
rozšíření funkce f, jestliže
f 󰂏
(x) =
󰀻
󰁁󰀿
󰁁󰀽
f(x) x ∈ (−π, π)
f(x − 2kπ) x ∈ ((2k − 1)π, (2k + 1)π)
1
2 (f(−π+) + f(π−)) x = (2k + 1)π
.
Definice
Nechť f je integrovatelná na [0, π]. Sudé rozšíření funkce f na interval
[−π, π] je funkce
fS(x) =
󰀫
f(x) x ∈ [0, π]
f(−x) x ∈ [−π, 0]
a příslušná Fourierova řada se nazývá kosinová.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Fourierovy řady 24.4.2023 8 / 8