GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ
sbírka příkladů
Josef Janyška
25. ledna 2023
Obsah
1 Afinní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Shodná a podobná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Kruhové křivky a kruhová inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Úlohy řešené konstrukčně s využitím geometrických zobrazení . . 29
5 Apolloniovy úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
ii
Řešené úlohy a cvičení
V tomto textu naleznete úlohy k procvičení k textu Geometrická zobrazení. Výsledky
početních a teoretických úloh jsou uvedeny hned za zadáním úlohy v závorkách
{ }. U složitějších konstrukčních úloh je uváděn návod nebo rozbor řešení
úlohy. Popis konstrukce a diskusi ponecháváme na čtenáři. Obrázky jsou vytvořeny
v programu GeoGebra.
V části 4 textu jsou uvedeny typické planimetrické úlohy, při jejichž řešení se
dá využít shodnost, podobnost nebo kruhová inverze. V části 5 jsou rozebrány
Pappovy1
a Apolloniovy2
úlohy. U složitějších úloh je zpravidla uveden návod
na řešení v obecné i speciální poloze a návod, jak se při jejich řešení dají využít
geometrická zobrazení. Úlohy označené ♠ jsou konstrukčně složité a stačí proto
umět jen rozbor řešení. U ostatních úloh byste měli umět i popis konstrukce a
narýsovat řešení.
1 Afinní zobrazení
1.1. V A2 jsou dány tři body A, B, C v obecné poloze. Ve vhodně zvoleném
afinním repéru určete rovnice afinity, která zobrazí A na B, B na C a C na A.
Určete také rovnice inverzní afinity. Má tato afinita samodružný bod? Jestliže
ano, určete jej.
{ Rovnice afinity závisejí na zvoleném afinním repéru. Bez ohledu na jeho
volbu je samodružný bod T = 1
3
(A + B + C). }
1.2. V A2 je dán rovnoběžník ABCD. Rozhodněte, jaké zobrazení vznikne zobrazením
bodů:
a) A → B, B → C, C → D;
b) A → A, C → C, B → D;
c) A → A, B → B, C → D;
1
Pappos z Alexandrie byl řecký matematik a astronom 4. století, poslední významný matematik
starověku.
2
Apollónios z Pergy byl starověký řecký geometr, matematik a astronom ze 3.-2. století př.
n. l. Zabýval se především studiem kuželoseček.
1
1. Afinní zobrazení 2
d) B → B, C → C, A → B;
e) A → B, C → B, D → B.
{ a) Afinita se samodružným bodem ve středu rovnoběžníka ABCD; b)
Osová afinita s charakteristikou -1, tj. šikmá osová symetrie podle osy AC
ve směru
−−→
BD; c) Elace s osou AB; d) Rovnoběžná projekce na přímku
BC ve směru
−→
AB; e) Konstantní zobrazení na bod B. }
1.3. Určete maticovou rovnici afinního zobrazení f : A3 → A3 vzhledem k afinnímu
repéru R = ⟨P; u1, u2, u3⟩ , jestliže je dán obraz f(P) počátku a obrazy
vektorů u1, u2, u3:
a) f(P) = [−2; 3; 1], φf (u1) = u1 +u2 −u3,
φf (u2) = 2u1 +3u3,
φf (u3) = u1;
b) f(P) = [1; 2; 3], φf (u1) = u2 −2u3,
φf (u2) = u1 −u2 +2u3,
φf (u3) = −u1 +2u2.
{ a)


x′
1
x′
2
x′
3

 =


1 2 1
1 0 0
−1 3 0




x1
x2
x3

 +


−2
3
1

;
b)


x′
1
x′
2
x′
3

 =


0 1 −1
1 −1 2
−2 2 0




x1
x2
x3

 +


1
2
3

. }
1.4. Určete maticovou rovnici afinního zobrazení f : A3 → A3 vzhledem k afinnímu
repéru R = ⟨P; u1, u2, u3⟩ , jestliže je dán obraz f(P) = [−2; 3; 1] počátku
a vektory φf (u1), φf (u2) , φf (u3) splňují následující vztahy:
φf (u1) = u1 +u3,
φf (u1) +2φf (u3) = u2,
φf (u2) +φf (u3) = u1 −u2 +u2.
{


x′
1
x′
2
x′
3

 =


1 −1
2
3
2
0 1
2
−3
2
1 −1
2
3
2




x1
x2
x3

 +


−2
3
1

. }
1.5. Určete maticovou rovnici afinního zobrazení f : An → An vzhledem k afinnímu
repéru R = ⟨P; u1, ..., un⟩ , je-li :
a) n = 2, φf (u1) = (−1; 1), φf (u2) = (0; 2),
B = [−1; 0], f(B) = [1; 1] ;
b) n = 3, φf (u1) = (−1; 0; 1), φf (u2) = (0; −2; −1),
φf (u3) = (2; 3; 1), B = [−1; 2; 1] , f(B) = [2; −5; 4];
c) n = 3, φf (u1) = (−1; 2; 3), φf (u2) = (0; 2; −2);
φf (u3) = (3; −1; 1), B = [1; −1; 0] , f(B) = [−2; 0; 3] .
1. Afinní zobrazení 3
{ a)
x′
y′ =
−1 0
1 2
x
y
+
0
2
;
b)


x′
y′
z′

 =


−1 0 2
0 −2 3
1 −1 1




x
y
z

 +


−1
−6
6

;
c)


x′
y′
z′

 =


−1 0 3
2 2 −1
3 −2 1




x
y
z

 +


−1
0
−2

. }
1.6. Afinní zobrazení f na A3 je dáno obrazem jednoho bodu a obrazy tří lineárně
nezávislých vektorů. Určete rovnice f v daném afinním repéru, ve kterém jsou
body a vektory zadány:
a) [1; 0; 1] → [4; −6; 4], (1; 2; 0) → (7; 8; −14),
(2; −1; 1) → (4; −13; 10), (−1; 2; 1) → (1; 8; −11);
b) [0; 1; 1] → [−14; 10; 13], (0; 2; 1) → (−21; 13; 17),
(1; −1; 2) → (−24; 10; 20), (1; 2; −1) → (−6; 7; 5);
c) [0; 0; 0] → [1; 0; −3], (0; 1; 1) → (2; 4; 4),
(1; 0; 0) → (−1; −3; −3), (2; 1; 0) → (1; −1; −3);
d) [0; 0; 0] → [1; −1; 0], (1; 2; 0) → (1; −1; 0),
(0; 1; −1) → (1; 1; −1), (−1; 1; 2) → (0; 1; 1).
{ a)


x′
y′
z′

 =


3 2 0
−2 5 −4
0 −7 3




x
y
z

 +


1
0
1

;
b)


x′
y′
z′

 =


−7 −5 −11
4 4 5
6 4 9




x
y
z

 +


2
1
0

;
c)


x′
y′
z′

 =


3 2 0
−2 5 −4
0 −7 3




x
y
z

 +


1
0
−3

;
d)


x′
y′
z′

 =


−1/5 3/5 −2/5
−9/5 2/5 −3/5
2/5 −1/5 4/5




x
y
z

 +


1
−1
0

 . }
1.7. Pro zobrazení z Cvičení 1.6 a), b) a c) určete samodružné body, charakteristickou
rovnici, vlastní čísla a vlastní směry směry.
{ a) S = [−7
8
; 3
8
; 13
16
], λ3
− 11λ2
+ 15λ + 27 = 0, λ1 = −1, u1 = (−2; 4; 7),
λ2 = 3, u2 = (−2; 0; 1), λ3 = 9, u2 = (2; −6; 7);
b) Nemá samodružný bod, λ3
− 6λ2
− 11λ − 6 = 0, λ1 = 1, u1 =
(2; −1; −1), λ2 = 2, u2 = (3; −1; −2), λ3 = 3, u3 = (7; −3; −5);
c) S = [1
8
; −5
8
; −11
16
], λ3
− 11λ2
+ 15λ + 27 = 0, λ1 = −1, u1 = (−2; 4; 7),
λ2 = 3, u2 = (−2; 0; 1), λ3 = 9, u2 = (−2; −6; 7). }
1. Afinní zobrazení 4
1.8. Ztransformujte rovnice afinního zobrazení


x′
y′
z′

 =


1 −1
1 1
0 1

 x
y
+


0
3
−2


do nových reperů R = ⟨P; e1, e2⟩ na A2 a R′
= ⟨Q; d1, d2, d3⟩ na A3, kde ve
starých souřadnicích je P = [1; 1], e1 = (1; 1), e2 = (2; −1), Q = [2; 1; 1], d1 =
(0; 1; 2), d2 = (2; 1; 2), d3 = (3; 1; 0).
{


x′
y′
z′

 = 1
4


11 1
−9 −3
6 6

 x
y
+ 1
4


30
−34
20

 . }
1.9. Určete rovnice afinního zobrazení, které má bod B jako samodružný bod a
vektor ui je vlastní vektor pro vlastní číslo λi:
a) B = [2; 3; 3], u1 = (1; 1; 0), λ1 = −2,
u2 = (0; 1; 1), λ2 = −2 , u3 = (1; 1; 2), λ3 = 4;
b) B = [1; 0; 2], u1 = (1; 0; 0), λ1 = 2,
u2 = (1; 1; 0), λ2 = 2 , u3 = (0; 1; 2), λ3 = −1;
c) B = [
√
2; 0; 0], u1 = (1; 1; 0), λ1 = 2,
u2 = (1; −1; 0), λ2 = 2 , u3 = (0; 1; 2), λ3 = −1;
d) B = [1; 2; 3], u1 = (2; 1; 0), λ1 = 1,
u2 = (1; 0; −1), λ2 = 1 , u3 = (1; 2; 1), λ3 = −1;
e) B = [6; 0; 7], u1 = (−1; 1; 2), λ1 = −1,
u2 = (−2; 1; 0), λ2 = −2 , u3 = (1; 0; 1), λ3 = 3.
{ a)


x′
y′
z′

 =


1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4




x
y
z

 +


0
2
−3

;
b)


x′
y′
z′

 =


2 0 0
0 2 −3
0 0 −1




x
y
z

 +


−1
6
4

;
c)


x′
y′
z′

 =


2 0 0
0 2 −3/2
0 0 −1




x
y
z

 −


√
2
0
0

;
d)


x′
y′
z′

 =


2 −2 1
2 −3 2
1 −2 2




x
y
z

;
e)


x′
y′
z′

 =


9 22 −6
−1 −4 1
8 16 −5




x
y
z

 −


6
1
6

. }
1. Afinní zobrazení 5
1.10. Afinní zobrazení f : A2 → A2 je dáno obrazy tří bodů v obecné poloze.
Určete rovnice tohoto zobrazení:
a) [1; 1] → [−7; 5] , [3; −2] → [5; −3] , [−1; −1] → [11; −7] ;
b) [2; 1] → [−16; 7] , [3; 5] → [−33; 17] , [2; 0] → [−12; 14
3
] ;
c) [2; 1] → [4
3
; 2
3
] , [3; 1] → [3; 1] , [2; 3] → [4
3
; 4
3
] .
{ a)
x′
y′ =
−3 −6
2 4
x
y
+
2
−1
;
b)
x′
y′ =
−1 −4
2
3
7
3
x
y
+
−10
10
3
;
c)
x′
y′ =
5
3
−4
3
1
3
1
3
x
y
+
−2
3
−1
3
. }
1.11. Podle počtu samodružných bodů a vlastních směrů určete u zobrazení z
Úlohy 1.10 o jaké zobrazení se jedná.
{ a) Zobrazení má přímku samodružných bodů p ≡ 2 x+3 y−1 = 0. Charakteristická
rovnice je λ2
−λ = 0 s kořeny λ1 = 1 a λ2 = 0. Vlastní vektor
odpovídající λ1 je směrový vektor přímky p. Vlastní vektor u = (−2; 1)
odpovídající λ2 generuje jádro asociovaného lineárního zobrazení. Jedná
se o rovnoběžnou projekci na přímku p ve směru vektoru u.
b) Zobrazení má přímku samodružných bodů o ≡ x + 2 y + 5 = 0. Charakteristická
rovnice je λ2
− 4
3
λ+ 1
3
= 0 s kořeny λ1 = 1 a λ2 = 1
3
. Vlastní
vektor odpovídající λ1 je směrový vektor přímky o. Vlastní vektor odpovídající
λ2 je u = (−3; 1) Jedná se o osovou afinitu s osou o, směrem
určeným vektorem u a charakteristikou λ2.
c) Zobrazení má přímku samodružných bodů o ≡ x − 2 y − 1 = 0. Charakteristická
rovnice je λ2
−2 λ+1 = 0 s kořeny λ1,2 = 1. Vlastní vektory
odpovídající λ1,2 jsou směrové vektory přímky o. Jedná se o elaci s osou
o. }
1.12. Afinní zobrazení f : A3 → A3 je dáno obrazy čtyř bodů v obecné poloze.
Určete rovnice tohoto zobrazení:
1. Afinní zobrazení 6
a) [1; 1; 1] → [3; −5; −4] , [2; 0; 1] → [6; −6; −3] ,
[0; 1; 1] → [2; −7; −6] , [0; 0; −1] → [0; −2; −3] ;
b) [1; −1; 1] → [2; −4; 2] , [0; 2; −2] → [12; −4; −28] ,
[2; −3; −1] → [2; −14; 2] , [3; −2; 0] → [14; −18; −16] ;
c) [1; −1; 3] → [5; −1; 0] , [0; −1; 1] → [−2; 0; 3] ,
[−2; 0; 5] → [0; 0; −1] , [1; 1; −2] → [10; −2; 1] ;
d) [1; −1; 0] → [4; 11; 9] , [1; 0; −1] → [−2; 3; −1] ,
[1; 1; 1] → [1; 4; 1] , [0; 1; −1] → [−6; −5; −13] ;
e) [1; 1; 0] → [−2; 1; −3] , [0; 1; 1] → [0; 1; −5] ,
[1; 0; 1] → [4; 9; 7] , [1; 1; 1] → [1; 4; 1] ;
f) [1; 1; 1] → [2; −1; 2] , [2; 0; 1] → [2; −5; 0] ,
[1; 2; 0] → [4; 2; 2] , [0; 1; 1] → [1; 1; 3] ;
g) [1; 1; 1] → [1; 1; 1] , [1; 2; 3] → [−7; −8; −9] ,
[2; 0; 3] → [3; −16; 0] , [−1; −2; 3] → [−11; −16; 21] ;
h) [1; 2; 3] → [−1; 0; 1] , [−1; 2; −3] → [−2; −1; −5] ,
[2; 0; 1] → [0; 1; 3] , [0; 3; 0] → [−1; 3; 1] .
{ a)


x′
y′
z′

 =


1 −2 2
2 3 −4
2 1 −2




x
y
z

 +


2
−6
−5

;
b)


x′
y′
z′

 =


8 5 −1
−6 0 2
−12 −10 4




x
y
z

;
c)


x′
y′
z′

 =


4 4 3
2
−2
3
−2
3
−1
6
−2
3
−2
3
−7
2




x
y
z

 +


1
2
−1
2
7
2

;
d)


x′
y′
z′

 =


1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4




x
y
z

 +


0
3
−3

;
e)


x′
y′
z′

 =


1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4




x
y
z

 +


0
3
−3

;
f)


x′
y′
z′

 =


1 1 −1
−2 2 −1
−1 1 1




x
y
z

 +


1
0
1

;
g)


x′
y′
z′

 =


6 −2 −3
−2 3 −6
−3 −6 −2




x
y
z

 +


0
6
12

;
2. Shodná a podobná zobrazení 7
h)


x′
y′
z′

 =


7/5 1/2 −3/10
5 7/2 −3/2
6 3 −1




x
y
z

 −


5/2
15/2
8

. }
1.13. Pro zobrazení z Cvičení 1.12 a), b), d), f) a g) určete samodružné body,
charakteristickou rovnici, vlastní čísla a vlastní vektory.
{ a) Přímka samodružných bodů X = [2; 1; 0] + t(1; 1; 1),
−λ3
+ 2λ2
− λ − 2 = 0, λ1 = 1, u1 = (1; 1; 1), λ2 = −1, u2 = (0; 1; 1),
λ3 = 2, u3 = (2; 0; 1);
b) S = [0; 0; 0], λ3
− 12λ2
+ 70λ − 100 = 0, λ1 = 2, u1 = (4; −2; 9),
λ2,3 = 5 ± 5 i;
d) S = [2; 3; 3], λ3
− 12λ − 16 = 0, λ1,2 = −2, u1 = (1; 1; 0), u2 =
(1; 0; −1), λ3 = 4, u3 = (1; 1; 2);
f) S = [−1
2
; −3
2
; −1
2
], −λ3
+ 4λ2
− 7λ + 6 = 0, λ1 = 2, u1 = (−1; 1; 2),
λ2,3 = 1 ±
√
2 i;
g) S = [1; 1; 1], −λ3
+ 7λ2
+ 49λ − 343 = 0, λ1 = λ2 = 7, u1 = (−2; 1; 0),
u2 = (−3; 0; 1), λ3 = −7, u3 = (1; 2; 3). }
1.14. Afinitu
x′
y′ =
2 −1
1 2
x
y
+
3
−1
v A2 rozložte na základní afinity.
1.15. Afinitu 

x′
y′
z′

 =


−2 −2 2
2 3 −3
0 1 1




x
y
z

 +


1
0
4


v A3 rozložte na základní afinity.
2 Shodná a podobná zobrazení
2.1. Jako symetrii rovinného útvaru v euklidovské rovině rozumíme shodnost,
která zobrazí daný útvar na sebe. Grupa symetrií daného útvaru je potom množina
všech symetrií tohoto útvaru spolu s operací skládání zobrazení.
Popište grupu symetrií (určete počet prvků grupy, počet středových a osových
symetrií v grupě) následujících rovinných útvarů:
a) Rovnostranného trojúhelníka.
b) Čtverce.
c) Obdélníka o hranách a, b, a ̸= b.
d) Pravidelného 5-úhelníku..
e) Pravidelného n-úhelníku (n ≥ 6).
2. Shodná a podobná zobrazení 8
f) Elipsy.
g) Hyperboly.
h) Paraboly.
ch) Kružnice.
i) Kosočtverce.
j)Kosodélníku.
k) Srdce (karetní herce).
{ a) Grupa symetrií má 6 prvků, z toho jsou 3 osové symetrie, žádná
středová symetrie.
b) Grupa symetrií má 8 prvků, z toho jsou 4 osové symetrie, jedna středová
symetrie.
c) Grupa symetrií má 4 prvky, z toho jsou 2 osové symetrie, jedna středová
symetrie.
d) Grupa symetrií má 10 prvků, z toho je 5 osových symetrií, žádná středová
symetrie.
e) Grupa symetrií má 2 n prvků, z toho je n osových symetrií, Pro n
sudé je v grupě jedna středová symetrie, pro n liché není v grupě žádná
středová symetrie.
f) Grupa symetrií elipsy má 4 prvky - identitu, dvě osové symetrie podle
os elipsy a jednu středovou symetrii se středem ve středu elipsy.
g) Grupa symetrií hyperboly má 4 prvky - identitu, dvě osové symetrie
podle os hyperboly a jednu středovou symetrii se středem ve středu hy-
perboly.
h) Grupa symetrií paraboly má 2 prvky - identitu a osovou symetrii podle
osy paraboly.
ch) Grupa symetrií kružnice má nekonečně mnoho prvků - identitu, otočení
kolem středu kružnice o libovolný úhel (zahrnuje i středovou symetrii),
osové symetrie podle všech přímek procházejících středem kružnice.
i) Grupa symetrií kosočtverce má 4 prvky - identitu, dvě osové symetrie
a jednu středovou symetrii.
j) Grupa symetrií kosodélníku má 2 prvky - identitu a jednu středovou
symetrii.
k) Grupa symetrií srdce má 2 prvky - identitu a jednu osovou symetrii.
}
2.2. V E2 je dán rovnostranný trojúhelník ABC.
a) Určete, jaké zobrazení vznikne složením otočení (v daném pořadí vždy ve
směru hodinových ručiček) kolem bodu A o úhel α, kolem bodu B o úhel β a
kolem bodu C o úhel γ. Řešte konstrukčně a zobrazte body A, B, C ve výsledném
zobrazení.
b) Určete, jaké zobrazení vznikne složením středových symetrií (v daném pořadí)
se středem v bodech A a B. Řešte konstrukčně a zobrazte body A, B, C ve
2. Shodná a podobná zobrazení 9
výsledném zobrazení.
c) Určete, jaké zobrazení vznikne složením středových symetrií (v daném pořadí)
se středem v bodech A, B a C. Řešte konstrukčně a zobrazte body A, B, C
ve výsledném zobrazení.
d) Určete, jaké zobrazení vznikne složením (v daném pořadí) osových symetrií
podle přímek a, b. Řešte konstrukčně a zobrazte body A, B, C ve výsledném
zobrazení.
e) Určete, jaké zobrazení vznikne složením (v daném pořadí) osových symetrií
podle přímek a, b, c. Řešte konstrukčně a zobrazte body A, B, C ve výsledném
zobrazení.
{ a) Středová symetrie se středem S = 1
2
(A + C).
b) Posunutí o vektor 2
−→
AB.
c) Středová symetrie se středem S = C +
−→
BA.
d) Otočení se středem C o úhel 2 γ = 120◦
(ve směru hodinových ručiček).
e) Posunutá osová symetrie - posunutí o vektor 2
−→
CC1 (C1 je střed strany
AB) složené s osovou symetrií podle osy o, B ∈ o a o ∥ b. }
2.3. V E2 je dán čtverec ABCD. Rozhodněte, jaké zobrazení je dáno:
a) složením osových symetrií podle os AB a AC (v tomto pořadí);
b) obrazy f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D;
c) složením osových symetrií podle os AB a CD;
d) obrazy f(A) = A, f(B) = D, f(C) = C;
e) složením středových symetrií podle středů A a C (v tomto pořadí);
f) obrazy f(A) = C, f(B) = D, f(C) = A.
a) Otočení kolem bodu A o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček.
b) Otočení kolem středu čtverce o 90 stupňů proti směru hodinových
ručiček.
c) Posunutí o vektor 2
−−→
AD.
d) Osová symetrie podle úhlopříčky AC.
e) Posunutí o vektor 2
−→
AC,
f) Středová symetrie podle středu čtverce. }
2.4. V E2 je dán pravidelný 5-úhelník ABCDE. Rozhodněte, jaké zobrazení je
dáno:
a) složením osových symetrií podle os AB a AC (v tomto pořadí);
b) obrazy f(A) = B, f(B) = C, f(D) = E;
c) složením osových symetrií podle os AB a CE;
d) obrazy f(A) = B, f(C) = E, f(D) = D;
e) složením středových symetrií podle středů A a C (v tomto pořadí).
2. Shodná a podobná zobrazení 10
a) Otočení kolem bodu A o 54 stupňů proti směru hodinových ručiček.
b) Otočení kolem středu kružnice opsané o 72 stupňů proti směru hodinových
ručiček.
c) Posunutí o vektor kolmý na stranu AB.
d) Osová symetrie podle kolmice spuštěné z bodu D na stranu AB.
e) Posunutí o vektor 2
−→
AC }
2.5. V E2 je dán pravidelný 6-úhelník ABCDEF. Rozhodněte, jaké zobrazení je
dáno
a) složením osových symetrií podle os AB a AC (v tomto pořadí);
b) obrazy f(A) = C, f(B) = D, f(D) = F;
c) složením osových symetrií podle os AB a CF (v tomto pořadí);
d) obrazy f(A) = A, f(B) = F, f(C) = E;
e) složením středových symetrií podle středů A a B (v tomto pořadí).
a) Otočení kolem bodu A o 60 stupňů proti směru hodinových ručiček.
b) Otočení kolem středu 6-úhelníka o 120 stupňů proti směru hodinových
ručiček.
c) Posunutí o vektor
−→
AE.
d) Osová symetrie podle osy AD.
e) Posunutí o vektor 2
−−→
EC =
−−→
EC. }
2.6. Dokažte, že zobrazení, které je dáno obrazy tří bodů v obecné poloze, je
shodnost a rozložte ji na osové souměrnosti, jestliže [1; 1] → [−1; 3] , [1; −3] →
[−5; 3] , [6; 1] → [−1; −2] .
{ o1 : x − y + 2 = 0; h1 :
x′
y′ =
0 1
1 0
x
y
+
−2
2
,
o2 : y − 3 = 0 , h2 :
x′
y′ =
1 0
0 −1
x
y
+
0
6
,
f = h2 ◦ h1 má rovnice
x′
y′ =
0 1
−1 0
x
y
+
−2
4
; S = [1; 3],
λ1,2 = ±i; otočení se středem v bodě S o 90 stupňů. }
2.7. V rovině E2 je dána osová symetrie osou o. Určete její rovnice, je-li dáno:
a) o ≡ x − 2y + 1 = 0;
b) o ≡ 2x + y + 1 = 0.
{ o1 ≡
x′
y′ =
3/5 4/5
4/5 −3/5
x
y
+
−2/5
2/5
;
o2 ≡
x′
y′ =
−3/5 −4/5
−4/5 3/5
x
y
+
−4/5
−2/5
. }
2. Shodná a podobná zobrazení 11
2.8. V rovině E2 je dána osová symetrie, která zobrazí bod A na bod A′
. Určete
její rovnice je-li dáno:
a) A = [0; 0] , A′
= [3; 3];
b) A = [0; −1] , A′
= [3; 1].
{ o1 ≡
x′
y′ =
0 −1
−1 0
x
y
+
3
3
;
o2 ≡
x′
y′ =
−5/13 −12/13
−12/13 5/13
x
y
+
27/13
18/13
. }
2.9. V rovině E2 jsou dány dvě osové symetrie Obrázkem 2.1. Určete jejich rovnice.
{ o1 ≡
x′
y′ =
4/5 3/5
3/5 −4/5
x
y
;
o2 ≡
x′
y′ =
−4/5 −3/5
−3/5 4/5
x
y
+
3/5
1/5
; }
Obrázek 2.1: K Úloze 2.9
2.10. V rovině E2 jsou dány osové symetrie o1, která zobrazuje bod A na bod A′
,
a o2, která zobrazuje bod B na bod B′
. Určete jejich rovnice, rovnice složených
zobrazení o2 ◦ o1 a o1 ◦ o2. Určete, co jsou tato složená zobrazení.
a) A = [1; −2], A′
= [3; 2], B = [2; −1], B′
= [1; 2];
b) A = [1; −2], A′
= [3; 2], B = [0; 1], B′
= [2; 0];
c) A = [−1; −1], A′
= [1; 1], B = [1; 3], B′
= [−1; 1].
{ a) o1 ≡
x′
y′ =
3/5 −4/5
−4/5 −3/5
x
y
+
4/5
8/5
;
o2 ≡
x′
y′ =
4/5 3/5
3/5 −4/5
x
y
;
2. Shodná a podobná zobrazení 12
o2 ◦ o1 ≡
x′
y′ =
0 −1
1 0
x
y
+
8/5
−4/5
;
o1 ◦ o2 ≡
x′
y′ =
0 1
−1 0
x
y
+
4/5
8/5
.
Zobrazení o2 ◦ o1 je otočení kolem bodu S = [6/5; 2/5] o úhel α = 90◦
po směru hodinových ručiček a zobrazení o1 ◦ o2 je otočení kolem bodu
S = [6/5; 2/5] o úhel α = 90◦
proti směru hodinových ručiček.
b) o1 ≡
x′
y′ =
3/5 −4/5
−4/5 −3/5
x
y
+
4/5
8/5
;
o2 ≡
x′
y′ =
−3/5 4/5
4/5 3/5
x
y
+
6/5
−3/5
;
o2 ◦ o1 ≡ o1 ◦ o2 ≡
x′
y′ =
−1 0
0 −1
x
y
+
2
1
.
Obě zobrazení o2 ◦ o1 a o1 ◦ o2 jsou totožná a je to středová symetrie se
středem S = [1; 1/2].
c) o1 ≡
x′
y′ =
0 −1
−1 0
x
y
;
o2 ≡
x′
y′ =
0 −1
−1 0
x
y
+
2
2
;
o2 ◦ o1 ≡
x′
y′ =
1 0
0 1
x
y
+
2
2
;
o1 ◦ o2 ≡
x′
y′ =
1 0
0 1
x
y
+
−2
−2
.
Zobrazení o2 ◦ o1 je posunutí o vektor u = (2; 2) a zobrazení o1 ◦ o2 je
posunutí o vektor u = (−2; −2). }
2.11. Jako symetrii prostorového útvaru v euklidovském prostoru rozumíme shodnost,
která zobrazí daný útvar na sebe. Grupa symetrií daného útvaru je potom
množina všech symetrií tohoto útvaru spolu s operací skládání zobrazení.
Popište grupu symetrií (určete počet prvků grupy, počet středových, osových
a rovinných symetrií v grupě) následujících prostorových útvarů:
a) Pravidelného 4-stěnu.
b) Krychle.
c) Pravoúhlého hranolu o délkách hran a, a, b, a ̸= b.
d) Pravoúhlého kvádru o délkách hran a, b, c, a ̸= b ̸= c ̸= a.
e) Pravidelného 8-stěnu.
f) Trojosého elipsoidu (délky všech tří poloos jsou navzájem různé).
g) Trojosého hyperboloidu (délky všech tří poloos jsou navzájem různé).
h) Eliptického nerotačního paraboloidu.
ch) Hyperbolického paraboloidu.
i) Kulové plochy.
2. Shodná a podobná zobrazení 13
{ a) Grupa symetrií pravidelného 4-stěnu má 24 prvků, z toho je 6 rovinných
symetrií, 3 osové symetrie a žádná středová symetrie.
b) Grupa symetrií krychle má 48 prvků, z toho je 9 rovinných symetrií,
9 osových symetrií a jedna středová symetrie.
c) Grupa symetrií hranolu má 16 prvků, z toho je 5 rovinných symetrií,
5 osových symetrií a jedna středová symetrie.
d) Grupa symetrií kvádru má 8 prvků, z toho jsou 3 rovinné symetrie, 3
osové symetrie a jedna středová symetrie.
e) Grupa symetrií pravidelného 8-stěnu je totožná s grupou symetrií
krychle (jsou to duální pravidelná tělesa).
f) Grupa symetrií trojosého elipsoidu má 8 prvků - identitu, tři rovinné
symetrie podle rovin procházejících středem a obsahujících vždy dvě osy
elipsoidu, 3 osové symetrie podle os elipsoidu a jednu středovou symetrii
se středem ve středu elipsoidu.
g) Grupa symetrií trojosého hyperboloidu má 8 prvků - identitu, 3 rovinné
symetrie podle rovin procházejících středem a obsahujících vždy
dvě osy hyperboloidu, 3 osové symetrie podle os hyperboloidu a jednu
středovou symetrii se středem ve středu hyperboloidu.
h) Grupa symetrií eliptického nerotačního paraboloidu má 4 prvky identitu,
dvě rovinné symetrie podle rovin obsahujících osu papaboloidu
a 1 osovou symetrii podle osy papaboloidu.
ch) Grupa symetrií hyperbolického paraboloidu má 4 prvky - identitu,
dvě rovinné symetrie symetrie podle rovin obsahujících osu paraboloidu
a 1 osovou symetrii podle osy paraboloidu.
i) Grupa symetrií kulové plochy má nekonečně mnoho prvků - identitu,
otočení kolem libovolné přímky procházející středu kulové plochy o libovolný
úhel, rovinné symetrie podle všech rovin procházejících středem
kulové plochy, symetrie podle středu kulové plochy. }
2.12. V euklidovském prostoru E3 je dána středová symetrie s se středem v bodě
S a nenulový vektor u. Jaké zobrazení vznikne složením středové symetrie s a
posunutí tu (v libovolném pořadí)?
Řešení: Středová symetrie se středem v bodě S se dá vyjádřit jako s ≡ X′
=
−X + 2S a posunutí o vektor u má vyjádření tu ≡ X′
= X + u. Potom s ◦ tu ≡
X′
= −X + (2S − u), což je středová symetrie se středem v bodě S′
= S − 1
2
u.
Podobně tu ◦ s ≡ X′
= −X + (2S + u), což je středová symetrie se středem v
bodě S′
= S + 1
2
u.
2.13. V euklidovském prostoru E3 je dána středová symetrie s se středem v bodě
S a symetrie rρ podle roviny ρ. Jaké zobrazení vznikne složením středové symetrie
s a symetrie rρ (v libovolném pořadí)?
2. Shodná a podobná zobrazení 14
Řešení: Úlohu vyřešíme ve vhodně zvoleném kartézském repéru, který zvolíme
tak, že rovina ρ je souřadná rovina xy a střed S leží na ose z a má souřadnice
S = [0; 0; c]. Potom symetrie podle roviny ρ má vyjádření [x; y; z] → [x; y; −z]
a středová symetrie s má vyjádření [x; y; z] → [−x; −y; −z + 2c]. Potom složené
zobrazení rρ ◦ s má vyjádření
[x; y; z] → [−x; −y; −z + 2c] → [−x; −y; z − 2c] ,
což je pro c = 0 symetrie podle přímky, kterou je osa z. Pro c ̸= 0 je to posunutá
osová symetrie s osou z a posunutím ve směru osy z o vektor (0; 0; −2c).
Podobně, složené zobrazení s ◦ rρ má vyjádření
[x; y; z] → [x; y; −z] → [−x; −y; z + 2c] ,
což je pro c = 0 opět symetrie podle přímky, kterou je osa z. Pro c ̸= 0 je to
posunutá osová symetrie s osou z a posunutím ve směru osy z o vektor (0; 0; 2c).
Odpověď tedy je: Složením středové symetrie se středem symetrie v bodě S
a symetrie podle roviny ρ je, v případě, že S ∈ ρ, symetrie podle kolmice vedené
bodem S na rovinu ρ. Pokud S ̸∈ ρ, je složené zobrazení posunutá osová symetrie,
která je složením osové symetrie,jejíž osa je kolmice spuštěná z bodu S na rovinu
ρ, a posunutí ve směru kolmém na rovinu ρ o vektor, jehož délka je dvojnásobek
v(S, ρ). Orientace posunutí závisí na pořadí skládání daných zobrazení.
2.14. V euklidovském prostoru E3 je dána středová symetrie s se středem v bodě
S a symetrie o podle přímky o. Jaké zobrazení vznikne složením středové symetrie
s a osové symetrie o (v libovolném pořadí)?
Řešení: Úlohu vyřešíme ve vhodně zvoleném kartézském repéru, který zvolíme
tak, že osa o je souřadná osa z a střed S leží na ose x a má souřadnice S =
[c; 0; 0]. Potom symetrie podle osy o má vyjádření [x; y; z] → [−x; −y; z] a středová
symetrie s má vyjádření [x; y; z] → [−x + 2c; −y; −z]. Potom složené zobrazení
o ◦ s má vyjádření
[x; y; z] → [−x + 2c; −y; −z] → [x − 2c; y; −z] ,
což je pro c = 0 (tj. S ∈ o) symetrie podle roviny xy. Pro c ̸= 0 (tj. S ̸∈ o) je to
posunutá symetrie podle roviny, kde rovina symetrie je rovina xy, a posunutím
ve směru osy x o vektor (−2c; 0; 0).
Podobně, složené zobrazení s ◦ o má vyjádření
[x; y; z] → [−x; −y; z] → [x + 2c; y; −z] ,
což je pro c = 0 opět symetrie podle roviny xy. Pro c ̸= 0 je to posunutá symetrie
podle roviny xy složená ze symetrie podle roviny xy a posunutím ve směru osy x
o vektor (2c; 0; 0).
2. Shodná a podobná zobrazení 15
Odpověď tedy je: Složením středové symetrie se středem symetrie v bodě S
a symetrie podle přímky o je, v případě, že S ∈ o, symetrie podle roviny vedené
bodem S kolmo na přímku o. Pokud S ̸∈ o je složené zobrazení posunutá symetrie
podle roviny, která je složením symetrie podle roviny, která je kolmá na přímku o
a prochází bodem S, a posunutí o vektor ±2
−→
PS, kde P je pata kolmice spuštěné
z S na o. Orientace posunutí závisí na pořadí skládání daných zobrazení.
2.15. V prostoru E3 je dána symetrie podle roviny rρ rovinou ρ. Určete její rovnice,
je-li dáno:
a) ρ1 ≡ x + y + z + 2 = 0;
b) ρ2 ≡ x − y + z − 1 = 0.
{ rρ1 ≡


x′
y′
z′

 = 1
3


1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1




x
y
z

 + 1
3


−4
−4
−4

;
rρ2 ≡


x′
y′
z′

 = 1
3


1 2 −2
2 1 2
−2 2 1




x
y
z

 + 1
3


2
−2
2

. }
2.16. V prostoru E3 je dána symetrie podle roviny rρ3 , která zobrazí bod A =
[1; 0; −2] na bod A′
= [3; 2; 0]. Určete její rovnice.
{ rρ3 ≡


x′
y′
z′

 = 1
3


1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1




x
y
z

 + 1
3


4
4
4

. }
2.17. Určete rovnice rρi
◦ rρj
, i ̸= j; i, j = 1, 2, 3, pro všechny rovinné symetrie z
Úloh 2.15 a 2.16. Klasifikujte složené zobrazení.
{Víme, že složením dvou rovinných symetrií je posunutí (v případě rovnoběžných
rovin symetrie) nebo otočení kolem společné přímky o úhel,
jehož velikost je dvojnásobná, než je odchylka různoběžných rovin symetrie.
Kontrolu správnosti můžete udělat tak, že pro složené zobrazení
spočtete množinu samodružných bodů a kořeny charakteristické rovnice.
V případě různoběžných rovin symetrie je množina samodružných bodů
právě průnik rovin symetrie a pro komplexně sdružené kořeny charakteristické
rovnice platí λ23 = cos(α)±sin(α), kde α je dvojnásobek velikosti
odchylky rovin symetrie.
Dostaneme rρ2 ◦ rρ1 ≡


x′
y′
z′

 = 1
9


1 4 −8
−4 −7 −4
−8 4 1




x
y
z

 + 1
9


2
−26
2

;
zobrazení je otočení kolem přímky ρ1 ∩ ρ2 o úhel ϕ = 2 arccos(1/3).
2. Shodná a podobná zobrazení 16
Opravdu, pro roviny ρ1 , ρ2 dostaneme odchylku splňující cos(α) = 1
3
, tj.
α = arccos(1/3) a velikost otočení je ϕ = 2 arccos(1/3). Na druhé straně
má charakteristická rovnice zobrazení rρ2 ◦ rρ1 kořeny 1, −7
9
±
√
128
9
i,
tj. cos(ϕ) = −7
9
, kde ϕ velikost úhlu otáčení. Tedy ϕ = arccos(−7/9)
a musí být ϕ = 2α, tj. arccos(−7/9) = 2 arccos(1/3). Opravdu, z
vlastnosti funkce kosinus, dostaneme cos(2α) = cos(2 arccos(1/3)) =
2 cos2
(arccos(1/3)) − 1 = 2.1
9
− 1 = −7
9
= cos(ϕ).
Podobně rρ1 ◦rρ2 ≡


x′
y′
z′

 = 1
9


1 −4 −8
4 −7 4
−8 −4 1




x
y
z

−1
3


2
6
2

; zobrazení
je otočení kolem přímky ρ1 ∩ ρ2 o úhel α = 2 arccos(1/3). Smysl otáčení
je opačný než v případě rρ2 ◦ rρ1 .
rρ3 ◦ rρ2 ≡


x′
y′
z′

 = 1
9


1 −4 −8
4 −7 4
−8 −4 1




x
y
z

 + 1
9


14
2
14

; zobrazení je
otočení kolem přímky ρ3 ∩ ρ2 o úhel α = 2 arccos(1/3). Rovina ρ3 je
rovina symetrie bodů A , A′
, tj. ρ3 ≡ 2x + 2y + 2z − 4 = 0.
rρ2 ◦ rρ3 ≡


x′
y′
z′

 = 1
9


1 4 −8
−4 −7 −4
−8 4 1




x
y
z




x
y
z

 + 1
9


10
14
10

; zobrazení
je otočení kolem přímky ρ3 ∩ ρ2 o úhel α = 2 arccos(1/3). Rovina ρ3 je
rovina symetrie bodů A , A′
, tj. ρ3 ≡ 2x+2y +2z −4 = 0. Smysl otáčení
je opačný než v případě rρ3 ◦ rρ2 .
rρ3 ◦ rρ1 ≡


x′
y′
z′

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z

 + 1
9


20
20
20

; zobrazení je posunutí o
vektor u = 1
9
(20; 20; 20).
rρ1 ◦ rρ3 ≡


x′
y′
z′

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z

 − 1
9


20
20
20

; zobrazení je posunutí o
vektor u = −1
9
(20; 20; 20). }
2.18. V euklidovském prostoru E3 je dána přímka o ≡ X = [1; 1; 1] + t (1; −1; 1).
Určete rovnice symetrie o podle přímky o.
{Návod: Víme, že body přímky o jsou samodružné, směrový vektor
přímky o je vlastní vektor pro vlastní číslo 1 a všechny vektory kolmé
na přímku o jsou vlastní vektory pro vlastní číslo −1. Rovnice potom
určíme stejně, jako v Úloze 1.9.
o ≡


x′
y′
z′

 = 1
3


−1 −2 2
−2 −1 −2
2 −2 −1




x
y
z

 + 1
3
1
9


4
8
4

. }
2. Shodná a podobná zobrazení 17
2.19. V euklidovském prostoru je dána osová symetrie o s osou symetrie o a
nenulový vektor u. Jaké zobrazení vznikne složením osové symetrie o a posunutí
tu (v libovolném pořadí)?
Řešení: Úlohu vyřešíme ve vhodně zvoleném kartézském repéru, který zvolíme
tak, že osa symetrie je osa z a vektor u = (a; b; c) ̸= (0; 0; 0). Potom vyjádření
o je možno zapsat jako [x; y; z] → [−x; −y; z] a posunutí tu jako [x; y; z] → [x +
a; y + b; z + c]. Potom složené zobrazení o ◦ tu má vyjádření
[x; y; z] → [x + a; y + b; z + c] → [−x − a; −y − b; z + c] .
Soustava pro výpočet samodružných bodů má tvar −2x − a = 0 , −2y − b =
0 , c = 0. Pro c = 0, tj. vektor u kolmý na osu o, dostaneme přímku samodružných
bodů a složené zobrazení je osová symetrie s osou x = −1
2
a , y = −1
2
b. Pro c ̸= 0
nemá složené zobrazení samodružné body a jedná se o posunutou osovou symetrii,
tj. shodnost složenou z osové symetrie s osou x = −1
2
a , y = −1
2
b složenou s
posunutím ve směru osy o vektor (0; 0; c).
Pro zobrazení tu ◦ o dostaneme
[x; y; z] → [−x; −y; z] → [−x + a; −y + b; z + c] .
Soustava pro výpočet samodružných bodů má tvar −2x + a = 0 , −2y + b =
0 , c = 0. Pro c = 0, tj. vektor u kolmý na osu o, dostaneme přímku samodružných
bodů a složené zobrazení je osová symetrie s osou x = 1
2
a , y = 1
2
b. Pro c ̸= 0 nemá
složené zobrazení samodružné body a jedná se o posunutou osovou symetrii, tj.
shodnost složenou z osové symetrie s osou x = 1
2
a , y = 1
2
b složenou s posunutím
ve směru osy o vektor (0; 0; c).
Předchozí úvahy tedy můžeme shrnout do následujícího tvrzení:
Složením osové symetrie s osou o a posunutí o nenulový vektor u je pro u ⊥ o
osová symetrie s osou o′
, která vznikne posunutím osy o o vektor ±1
2
u (orientace
posunutí je dána pořadím skládání zobrazení). Pro u ̸⊥ o je složené zobrazení
posunutá osová symetrie složená z osové symetrie s osou o′
a posunutím ve směru
osy o′
(jedná se o vektor, který je ortogonální projekcí vektoru u na zaměření osy
o).
2.20. V euklidovském prostoru je dána krychle ABCDEFGH o délce hrany a.
Jaké zobrazení vznikne složením dvou osových symetrií, je-li:
a) první osa je přímka o1 = AE a druhá osa je přímka o2 = BF;
b) první osa je přímka o1 = AB a druhá osa je přímka o2 = AD;
c) první osa je přímka o1 = AB a druhá osa je přímka o2 = EH.
Řešení: Označme jako oi osovou symetrii s osou oi. Zkuste si situaci zakreslit
ve volném rovnoběžném promítání.
2. Shodná a podobná zobrazení 18
a) Obě osy symetrie jsou rovnoběžné. Jestliže zúžíme osové symetrie na roviny
kolmé na osy, dostaneme v těchto rovinách dvě středové symetrie, jejichž složením
je posunutí o vektor, který je dvojnásobkem vektoru určeného středy symetrie.
V prostoru tak dostaneme posunutí o vektor ±2
−→
AB. Znaménko záleží na pořadí,
v jakém osové symetrie skládáme, o2 ◦ o1 ≡ t2
−→
AB
a o1 ◦ o2 ≡ t−2
−→
AB
. Ověříme si
naši "geometrickou"představu analyticky. Zvolme kartézský repér tak, že bod A
je jeho počátek, osa x je přímka AB, osa y je přímka AD a osa z je přímka AE.
Potom osová symetrie o1 je symetrie podle osy z, která má vyjádření [x; y; z] →
[−x; −y; z]. Osová symetrie o2 je symetrie podle přímky, která je posunutá osa z
o vektor
−→
AB = (a; 0; 0). Tato symetrie má vyjádření [x; y; z] → [−x + 2a; −y; z].
Potom o2 ◦ o1 je dáno jako
[x; y; z] → [−x; −y; z] → [x + 2a; y; z] ,
tj. X′
= X + 2
−→
AB. Podobně o1 ◦ o2 je dáno jako
[x; y; z] → [−x + 2a; −y; z] → [x − 2a; y; z],
tj. X′
= X − 2
−→
AB.
b) Provedeme ve zvoleném kartézském repéru z případu a). První osová symetrie
je symetrie podle osy x, tj. [x; y; z] → [x; −y; −z], a druhá je symetrie podle
osy y, tj. [x; y; z] → [−x; y; −z]. Potom o2 ◦ o1 je dáno jako
[x; y; z] → [x; −y; −z] → [−x; −y; z],
tj. jde o symetrii podle osy z. Podobně o1 ◦ o2 je dáno jako
[x; y; z] → [−x; y; −z] → [−x; −y; z],
tj. jedná se opět o symetrii podle osy z.
c) První osová symetrie je symetrie podle osy x, tj. [x; y; z] → [x; −y; −z], a
druhá je symetrie podle přímky, která je posunutá osa y o vektor
−→
AE = (0; 0; a),
tato symetrie má vyjádření [x; y; z] → [−x; y; −z +2a]. Potom o2 ◦o1 je dáno jako
[x; y; z] → [x; −y; −z] → [−x; −y; z + 2a],
tj. jde o symetrii podle osy z složenou s posunutím o vektor 2
−→
AE. Podobně o1 ◦o2
je dáno jako
[x; y; z] → [−x; y; −z + 2a] → [−x; −y; z − 2a],
tj. jedná se o symetrii podle osy z složenou s posunutím o vektor −2
−→
AE.
2. Shodná a podobná zobrazení 19
2.21. Situaci z předchozí Úlohy 2.20 zobecníme takto. Jaké zobrazení v euklidovském
prostoru dimenze 3 vznikne složením dvou osových symetrií, jsou-li osy
o1, o2
a) rovnoběžné různé,
b) různoběžné kolmé (svírající úhel α),
c) mimoběžné kolmé (svírající úhel α).
{Návod: řešte konstrukčně ve volném rovnoběžném promítání.
a) Posunutí o vektor, který leží na kolmé příčce rovnoběžek a jeho velikost
je dvojnásobek vzdálenosti rovnoběžek. Orientace závisí na pořadí
skládání symetrií.
b) Osová symetrie podle osy o3 kolmé na obě osy o1, o2 a procházející
jejich průsečíkem (svírají-li osy o1, o2 úhel α, je složením osových symetrií
otočení kolem osy o3 o úhel 2 α - orientace otáčení závisí na pořadí
skládání symetrií).
c) Osová symetrie podle osy mimoběžek složená s posunutím ve směru osy
mimoběžek o vektor, jehož velikost je dvojnásobek vzdáleností mimoběžek
a orientace závisí na pořadí skládání symetrií (svírají-li mimoběžné
osy o1, o2 úhel α, je složením osových symetrií otočení o úhel 2 α - orientace
otáčení závisí na pořadí skládání symetrií - složená s posunutím o
vektor určující směr osy mimoběžek, jehož velikost je dvojnásobek vzdáleností
mimoběžek a orientace posunutí závisí na pořadí skládání symetrií).
}
2.22. Dokažte, že zobrazení, které je dáno obrazy čtyř bodů v obecné poloze je
shodnost a rozložte ji na souměrnosti podle rovin
a) [3; 3; 3] → [−1; 3; 3] , [6; 0; 0] → [−2; 4; −2] , [3; 0; 3] → [1; 4; 1] , [2; 1; 0] →
[0; 1; 0] ,
b) [0; 0; 3] → [1; 5; 1] , [3; 0; 0] → [1; 2; −2] , [1; 1; 0] → [0; 2; 0] , [0; 1; 1] →
[0; 3; 1] .
{ Možný rozklad: a) h1 :


x′
y′
z′

 =


−1 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z

 +


2
0
0


h2 :


x′
y′
z′

 =
1
3


2 −2 1
−2 −1 2
1 2 2




x
y
z

 +
1
3


2
4
−2


f = h2 ◦ h1;
2. Shodná a podobná zobrazení 20
b) Možný rozklad: h1 :


x′
y′
z′

 =
1
15


14 −5 2
−5 −10 10
2 10 11




x
y
z

+
1
15


9
45
−18


h2 :


x′
y′
z′

 =
1
5


−3 0 −4
0 5 0
−4 0 3




x
y
z

 +
1
5


12
0
6


h3 :


x′
y′
z′

 =


−1 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z

 +


2
0
0


f = h3 ◦ h2 ◦ h1 . }
2.23. Určete parametry p, q, r tak, aby zobrazení E3 → E3 byla shodnost.
a)


x′
y′
z′

 =
1
15


2 11 p
5 −10 q
14 2 r




x
y
z

 +


2
1
14


b)


x′
y′
z′

 =
1
15


2 10 p
5 10 q
14 −5 r




x
y
z

 +


0
1
1


{ a) (p, q, r) = (∓10, ∓10, ±5); b) (p, q, r) = (±11, ∓10, ±2). }
2.24. Určete parametry p, q, r tak, aby zobrazení E3 → E3 byla shodnost.
a)


x′
y′
z′

 =
1
15


2 11 p
p −2p 2p
14 2 p




x
y
z

 +


r
1
q


b)


x′
y′
z′

 =
1
15


2 11 2p
p −2p 2p
14 2 −p




x
y
z

 +


r
1
q


{ a) Nelze; b) p = 5, r, q libovolné. }
2.25. Určete parametry p, q, r tak, aby zobrazení E3 → E3 byla podobnost.

x′
y′
z′

 =


1 −2 2
p 2 1
q r 2




x
y
z

+


4
−2
−2

. Určete koeficient podobnosti, samodružné
body a vlastní směry.
{ k = 3, p = 2, r = 1, q = −2, samodružný bod S = [0; 2; 0], charakteristická
rovnice λ3
− 5 λ2
+ 15 λ − 27 = 0, jeden reálný kořen λ = 3 a jemu
odpovídající vlastní vektor u = (0; 1; 1). }
2.26. V E3 je dána podobnost f. Rozložte ji na stejnolehlost a shodnost, je-li f
dáno maticově

x′
y′
z′

 =


1 −2 2
2 2 1
−2 1 2




x
y
z

 +


4
−2
−2

.
2. Shodná a podobná zobrazení 21
{Koeficient podobnosti f je k = 3, potom jeden z možných rozkladů je
f = h ◦ g, kde h je stejnolehlost s koeficientem 3 a středem v počátku
zadaná maticově

x′
y′
z′

 =


3 0 0
0 3 0
0 0 3




x
y
z

 .
Potom g je shodnost g = h−1
◦ f s maticovou rovnicí

x′
y′
z′

 = 1
3


1 −2 2
2 2 1
−2 1 2




x
y
z

 + 1
3


4
−2
−2

 . }
2.27. V E2 je dán útvar U o ploše 2cm2
. Jaký bude obsah obrazu U′
v zobrazení,
které je:
a) nepřímá shodnost;
b) přímá podobnost s koeficientem 2;
c) stejnolehlost s koeficientem −3.
{ a) 2cm2
; b) 8cm2
; c) 18cm2
. }
2.28. V E3 je dána krychle o délce hrany 2cm. Jaký bude objem obrazu krychle
v zobrazení, které je:
a) elací;
b) přímá podobnost s koeficientem 1/2;
c) stejnolehlost s koeficientem −2.
{ a) 8cm3
; b) 1cm3
; c) 64cm3
. }
2.29. Jaký koeficient musí mít podobnost, která zobrazí krychli o délce hrany
1 cm na krychli o objemu:
a) 2 cm3
(delfský problém "zdvojení" krychle);
b) 8 cm3
;
b) 27 cm3
?
Řešení: a) k = 3
√
2; b) k = 2; c) k = 3.
2.30. Je dán komolý kužel s poloměry řídících kružnic r1 a r2 = 1
2
r1.
a) Jaký obsah bude mít plášť tohoto komolého kužele, jestliže obsah pláště
"odříznutého" kužele je 2 cm2
?
b) Jaký bude mít tento komolý kužel objem, jestliže objem "odříznutého"
kužele je 1 cm3
?
Řešení: Návod: Komolý kužel vznikve z kužele "odříznutím" části kužele,
která je obrazem původního kužele ve stejnolehlosti se středem ve vrcholu kužele
a koeficientem k = r2
r1
, r1 > r2. Objem (obsah pláště) komolého kužele je potom
objem (obsah pláště) původního kužele mínus objem (obsah pláště) odříznuté
části.
a) P = 6 cm2
; b) V = 7 cm3
.
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 22
3 Kruhové křivky a kruhová inverze
3.1. Jsou dány body A = [0; 0], B = [8; 4], C = [3; 9], P = [1; 1], Q = [−1; −1],
R = [3; −1]. Určete rovnici kružnice určené body A, B, C a určete mocnost bodů
P, Q, R vzhledem k této kružnici.
{ k : x2
+ y2
− 6x − 8y = 0, mocnost K(P) = −12, tj. P je vnitřní bod,
K(Q) = 16, tj. Q je vnější bod, K(R) = 0, tj. R ∈ k. }
3.2. Je dána přímka p ≡ x − 2y − 8 = 0 a kružnice k(S, 5cm), S = [4; 3]. Určete
průsečíky p a k, pokud je p sečnou k, určete jejich odchylku.
{ k ≡ x2
+ y2
− 8x − 6y = 0; p ∩ k = {[4; −2], [8; 0]}, cos(φ) = 2
√
5
5
. }
3.3. Je dána kružnice k(S, r). Určete množinu bodů P, pro které je jejich mocnost
ke kružnici k rovna r2
. Co platí pro tečny sestrojené z bodů P ke kružnici k?
Řešení: Protože r2
> 0, jsou hledané body P vnější body kružnice k, jejichž
mocnost je dána jako druhá mocnina vzdálenosti bodu P od bodu dotyku T tečny
sestrojené z P ke kružnici k. Je tedy |PT| = r. Protože tečna je kolmá na poloměr
ST, dostaneme pravoúhlý trojúhelník STP (viz Obrázek 3.2), jehož délky odvěsen
jsou r a odtud |SP| =
√
2 r. Hledaná množina bodů je tedy kružnice soustředná
s kružnicí k o poloměru
√
2 r (na Obrázku 3.2 nakreslena modře).
Obrázek 3.2: K Úloze 3.3
Z obrázku je jasné, že ∢(SPT) = π
4
, a tedy tečny PT a PT′
jsou na sebe kolmé.
Množina bodů, jejichž hodnost ke kružnici k(S, r) je r2
, je totožná s množinou
bodů, ve kterých jsou tečny sestrojené ke kružnici k na sebe kolmé.
3.4. Jsou dány dvě různé nesoustředné kružnice k1, k2. Sestrojte jejich chordálu.
Úlohu řešte pro všechny polohy kružnic k1, k2.
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 23
3.5. Jsou dány dvě kružnice k1 ≡ x2
+ y2
+ 16x + 10y + 64 = 0 a k2(S; 5cm),
S = [−4; 3]. Určete chordálu kružnic, pokud se kružnice protínají, určete jejich
společné body a odchylku.
{ k2 ≡ x2
+ y2
+ 8x − 6y = 0, chordála je ch ≡ x + 2y + 8 = 0;
k1 ∩ k2 = {[−8; 0], [−4; −2]}, cos(φ) = 3
5
. }
3.6. Jsou dány tři různé kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2) a k3(S3, r3), takové, že
S1, S2 a S3 neleží na přímce. Sestrojte jejich chordický střed. Úlohu řešte pro
všechny polohy kružnic k1, k2, k3.
3.7. Jsou dány 3 kružnice k1(S1, 5cm), S1 = [−8; −5], k2 ≡ x2
+ y2
+ 8x − 6y = 0
a k3(S3, 5cm), S3 = [4; 3]. Pokud existuje, určete jejich chordický střed.
{ Chordály jsou ch12 ≡ x + 2y + 8 = 0, ch13 ≡ 3x + 2y + 8 = 0,
ch23 ≡ x = 0; chordický střed ch12 ∩ ch13 ∩ ch23 = [0; −4]. }
3.8. Jsou dány dva různé body A, B a reálné číslo k > 0. Dokažte, že množina
bodů X takových, že |AX|
|BX|
= k je nenulová kruhová křivka.
Důkaz: Provedeme analyticky. Zvolíme kartézský repér tak, že A = [−a, 0],
B = [a, 0] a X = [x, y], a > 0. Potom podmínka |AX| = k·|BX| má souřadnicové
vyjádření
(x + a)2 + y2 = k (x − a)2 + y2 ,
kterou umocněním upravíme na
(x + a)2
+ y2
= k2
(x − a)2
+ y2
,
tj.
(1 − k2
) x2
+ (1 − k2
) y2
+ 2 a (1 + k2
) x + (1 − k2
) a2
= 0 .
Pro k = 1 dostaneme rovnici x = 0, tj. hledaná množina bodů je osa úsečky AB
(nestředová kruhová křivka).
Pro k ̸= 1 rovnici upravíme na
x2
+ y2
+ 2
a (1 + k2
)
(1 − k2)
x + a2
= 0 ,
tj.
x +
a (1 + k2
)
(1 − k2)
2
+ y2
+ a2
−
a2
(1 + k2
)2
(1 − k2)2
= 0 ,
kterou dále upravíme na
x +
a (1 + k2
)
(1 − k2)
2
+ y2
=
4 a2
k2
(1 − k2)2
,
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 24
což je rovnice kružnice se středem v bodě S = [−a (1+k2)
(1−k2)
, 0] a poloměrem r =
| 2 a k
(1−k2)
|. Tato kružnice se nazývá Apolloniova kružnice.
Narýsujte Apolloniovu kružnici pro k = 2 a k = 1
2
a |AB| = 6.
3.9. Je dána kružnice k(S, r) a její vnější bod A. Sestrojte kružnici, která má
střed v bodě A a kolmo protíná kružnici k.
Návod řešení: Dvě kružnice se kolmo protínají, jestliže tečny ve společných
bodech ke každé kružnici prochází středem druhé kružnice. Společné body tedy
leží na Thaletově3
kružnici sestrojené nad středy těchto kružnic.
3.10. Jsou dány dvě nesoustředné neprotínající se kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2).
Sestrojte nulové body svazku kružnic určeného těmito kružnicemi.
Návod řešení: Sestrojíme libovolné dvě kruhové křivky v duálním svazku.
Jedna z nich je centrála c = S1S2. Druhá je libovolná kružnice se středem na
chordále daných kružnic, která kolmo protíná např. k1.
3.11. Kruhová inverze s kladnou mocností je dána kružnicí inverze k(S, r). Sestrojte
obraz:
a) bodu A, který je vnějším bodem k;
b) bodu B, který je vnitřním bodem k;
c) přímky p, která kružnici k protíná ve dvou bodech;
d) přímky p, která kružnici k neprotíná;
e) kružnice l, která kružnici k protíná ve dvou bodech;
e) kružnice l, která kružnici k neprotíná a leží ve vnější oblasti k.
3.12. Úlohu 3.11 řešte pro kruhovou inverzi se zápornou mocností.
3.13. V jaký útvar převede kruhová inverze kružnici a její dvě tečny, které jsou
a) různoběžné, b) rovnoběžné?
3.14. Inverze v Möbiově rovině jsou osová symetrie a kruhová inverze s kladnou
mocností. Jsou dány 3 různé body A, B, C. Určete inverzi, ve které se body A a
B zobrazí na sebe a C je samodružný bod. Úlohu řešte pro:
a) Nekolineární body A, B, C.
b) Kolineární body A, B, C takové, že C je vnitřní bod úsečky AB.
3
Thalés z Milétu (okolo 624 př. n. l. Milétos – okolo 548 př. n. l.) byl předsókratovský řecký
filosof, geometr a astronom.
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 25
Obrázek 3.3: K Úloze 3.14
Rozbor řešení: a) Kružnice opsaná trojúhelníku ABC je samodružná. Je-li
tečna k této kružnici v bodě C rovnoběžná s přímkou AB, tj. bod C leží na
ose úsečky AB, jedná se o osovou symetrii. Pokud C neleží na ose úsečky AB
(viz Obrázek 3.3 vlevo) je hledaná inverze kruhová inverze, jejíž střed S leží
na přímce AB a tečně kružnice opsané trojúhelníku ABC v bodě C, poloměr
kružnice inverze je |SC|.
b) Je-li C středem úsečky AB, je hledaná inverze osová symetrie podle osy
úsečky AB. Předpokládejme nyní, že C není středem úsečky AB. Potom jeho dělící
poměr vzhledem k bodům A, B je λ = (C; A, B), kde λ < 0, λ ̸= −1. Odtud
dostaneme |AC| = |λ| · |BC|, tj. C leží na Apolloniově kružnici i pro k = |λ| (viz
Úloha 3.8). Apolloniovu kružnici sestrojíme tak, že na přímce AB nalezneme bod
D takový, že (D; A, B) = |λ|. Nad průměrem CD potom sestrojíme Apolloniovu
kružnici, která je kružnicí hledané kruhové inverze. Na Obrázku 3.3 vpravo je
situace nakreslena pro λ = −1/2. V tomto případě je A střed úsečky BD i úsečky
SC, navíc |SB| = 2|SC| a dostaneme |SA| · |SB| = 1
2
|SC| · 2|SC| = |SC|2
, tj.
Apolloniova kružnice i je kružnice inverze, která zobrazuje body A, B na sebe a
bod C je samodružný.
3.15. Je dána kružnice k(S, r) a přímka p. Určete kružnice inverzí, které zobrazují
p na k. Úlohu řešte pro všechny možné polohy p a k.
Rozbor řešení: Střed kružnice inverze leží na kolmici l spuštěné z bodu S na
přímku p a musí ležet na kružnici k. Průsečík R = p ∩ l se zobrazí na jeden z
průsečíků {P, Q} = k ∩ l a druhý je tedy střed inverze. Pro zjištění poloměru
kružnice inverze situaci rozdělíme na následující možnosti:
a) p je sečna k a body A, B jsou průsečíky, které jsou v hledané inverzi
samodružné. Hledané kružnice inverze tedy jsou i1(P, |PA|) nebo i2(Q, |QA|).
b) p je tečna, např. v bodě P. Potom hledaná kružnice inverze je i(Q, |QP|).
c) p kružnici k neprotíná. Označme body P, Q tak, že P leží mezi body R, Q.
Kruhová inverze, která má střed v bodě Q, má kladnou mocnost (R, P leží na
stejné polopřímce). Poloměr kružnice inverze se středem v bodě Q potom zjistíme
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 26
z euklidovy4
věty o odvěsně r2
= |QR| · |QP|. Kruhová inverze, která má střed v
bodě P, má zápornou mocnost (R, Q leží na opačných polopřímkách). Poloměr
kružnice inverze se středem v bodě P potom zjistíme z euklidovy věty o výšce
r2
= |PR| · |PQ|.
3.16. Jsou dány kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2). Určete kružnice inverzí, které
zobrazují k1 na k2. Úlohu řešte pro všechny možné polohy k1 a k2.
Návod řešení: Střed inverze musí být ve středu stejnolehlosti daných kružnic.
Pro soustředné kružnice je to tedy jejich společný střed a poloměr kružnice inverze
musí splňovat r2
= r1 ·r2. Z euklidovy věty o odvěsně dostaneme poloměr kružnice
inverze s kladnou mocností a z euklidovy věty o výšce poloměr kružnice inverze
se zápornou mocností.
Pro nesoustředné kružnice jsou středy inverzí na přímce S1S2 a poloměry
kružnic inverzí získáme euklidovými větami z faktu, že průsečíky S1S2 a k1, k2 se
zobrazují na sebe. Kolik takových inverzí je v závislosti na poloměrech r1, r2?
3.17. Určete střed kruhové inverze s kladnou mocností κ, která zobrazí bod A
na bod B je-li
a) κ = 2, A = [0, 1], B = [0, 2];
b) κ = 2, A = [2, 0], B = [3, 0];
c) κ = 4, A = [1, 1], B = [2, 2];
d) κ = 4, A = [2, 3], B = [3, 4].
Řešení: Úloha má vždy dvě řešení.
a) S1 = [0, 0] , S2 = [0, 3]; b) S1 = [1, 0] , S2 = [4, 0];
c) S1 = [0, 0] , S2 = [3, 3]; d) S1 = [1, 2] , S2 = [4, 5].
3.18. Určete střed kruhové inverze se zápornou mocností κ, která zobrazí bod A
na bod B je-li
a) κ = −2, A = [−1, 0], B = [2, 0];
b) κ = −2, A = [0, 0], B = [0, 3];
c) κ = −4, A = [0, −1], B = [0, 4];
d) κ = −4, A = [0, 0], B = [4, 0].
Řešení: a) Úloha má dvě řešení S1 = [0, 0] , S2 = [1, 0]; b) Úloha má dvě
řešení S1 = [0, 1] , S2 = [0, 2]; c) Úloha má dvě řešení S1 = [0, 0] , S2 = [0, 3]; d)
Úloha má jedno řešení S1 = [2, 0].
3.19. Určete středy všech kruhových inverzí takových, že |κ| = 1 a:
a) Převádí body A = [1; 0] a A′
= [3; 0] na sebe.
b) Převádí body A = [0; 0] a A′
= [0; 3] na sebe.
4
Eukleidés též Euklides nebo Euklid (žil asi 325 př. n. l. – asi 260 př. n. l) byl řecký matematik
a geometr.
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 27
{Návod řešení: Střed kruhové inverze leží na přímce AA′
a platí pro něj
|SA| · |SA′
| = 1. Pro uvedená zadání:
a) S1 = [2 +
√
2; 0] a S2 = [2 −
√
2; 0] pro κ = 1, S3 = [2; 0] pro κ = −1;
b) S1 = [0; 3+
√
13
2
] a S2 = [0; 3−
√
13
2
] pro κ = 1, S3 = [0; 3+
√
5
2
] a S4 =
[0; 3−
√
5
2
] pro κ = −1. }
3.20. Určete mocnost a střed kruhové inverze takové, že bod A se zobrazí na bod
B a bod C je samodružný:
a) A = [1; 0], B = [4; 0], C = [2; 0].
b) A = [1; 0], B = [4; 0], C = [0; 2].
c) A = [1; 0], B = [4; 0], C = [0; 3].
d) A = [1; 0], B = [4; 0], C = [−2; −3].
e) A = [0; 0], B = [2; 1], C = [1; 0].
f) A = [0; 0], B = [1; 2], C = [0; 1].
g) A = [2; 1], B = [4; 2], C = [3; −1].
h) A = [2; 3], B = [3; 6], C = [5; 2].
{Návod řešení: Hledaná kruhová inverze má kladnou mocnost. Pokud
jsou body A, B , C kolineární, leží střed kružnice inverze na přímce AB
a platí |SA| · |SB| = |SC|2
= κ. Pokud nejsou body A, B, C kolineární,
je kružnice k určená body A, B , C samodružná. Střed inverze určíme
buďto jako průsečík přímky AB a tečny kružnice k v bodě C nebo na
přímce AB z rovnosti |SA| · |SB| = |SC|2
= κ. Pro uvedená zadání:
a) κ = 4, S = [0; 0]; b) κ = 4, S = [0; 0]; c) κ = 10, S = [−1; 0];
d) κ = 10, S = [−1; 0]; e) κ = 10, S = [−2; −1]; f) κ = 10, S = [−1; −2];
g) κ = 10, S = [0; 0]; h) κ = 20, S = [1; 0]. }
3.21. Určete střed a koeficient kruhové inverze s kladnou mocností, ve které jsou
body [2, 0] a [−2, 0] samodružné a bod [0, 0] se zobrazí na bod [0, −2].
Řešení: κ = 8, S = [0, 2].
3.22. Určete střed a koeficient kruhové inverze s kladnou mocností, ve které se
bod A = [0, 1] zobrazí na bod B = [0, 9] a dále bod C = [2, 0] se zobrazí do bodu
na ose x.
Řešení: Střed hledané inverze musí ležet na ose y. Bod C ∈ x je buďto samodružný
nebo se zobrazí na jiný bod na ose x. V prvním případě má střed
inverze souřadnice S1 = [0, s] , s ̸= 0. Z podmínky, že bod C je samodružný dostaneme
podmínku |S1A| · |S1B| = |S1C|2
a odtud s = 1/2. Potom S1 = [0, 1/2]
a κ1 = 4, 25. Ve druhém případě musí být středem inverze bod S2 = [0, 0] a z
podmínky |SA| · |SB| = κ2 dostaneme κ2 = 9. Bod C se potom zobrazí na bod
[9/2, 0].
3. Kruhové křivky a kruhová inverze 28
3.23. V kruhové inverzi s kladnou mocností 1 a středem inverze v počátku určete
rovnice obrazů:
a) bodů A = [−1; 0], B = [1; −2] a C = [1
2
; 1
2
];
b) přímky p ≡ y = 2x;
c) přímky q ≡ y − 1 = 0;
d) kružnice k1 ≡ x2
+ y2
+ 8x − 6y = 0;
e) kružnice k2 ≡ x2
+ y2
− 2x − 2y − 7 = 0.
{ Rovnice kruhové inverze je x′
= x
x2+y2 , y′
= y
x2+y2 ;
a) A′
= [−1; 0], B′
= [1
5
; −2
5
], C′
= [1; 1];
b) p′
≡ p, tj. p je samodružná;
c) q′
≡ x2
+ y2
− y = 0, tj. kružnice procházející počátkem;
d) k′
1 ≡ 8x − 6y + 1 = 0, tj. přímka neprocházející počátkem;
e) k2 ≡ x2
+ y2
+ 2
7
x + 2
7
y − 1
7
= 0, tj. kružnice se středem [−1
7
; −1
7
] a
poloměrem 3
7
. }
3.24. ♠ Jsou dány dvě nesoustředné neprotínající se kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2).
Nalezněte kruhovou inverzi, která zobrazí dané kružnice na soustředné kružnice.
Obrázek 3.4: K Úloze 3.24
Návod řešení: Kruhová inverze zobrazuje duální svazky kruhových křivek na
duální svazky. Svazek protínajících se kruhových křivek se volbou středu inverze
do jednoho společného bodu všech křivek svazku zobrazí do svazku různoběžných
přímek. Duální svazek neprotínajících se kruhových křivek se tedy zobrazí
do svazku soustředných kružnic. Střed inverze tedy volíme do nulové kruhové
4. Konstrukční úlohy 29
křivky daného svazku. Nulové body nalezneme jako společné body dvou nenulových
křivek duálního svazku. Jedna z kruhových křivek duálního svazku je přímka
S1S2, druhá je jakákoliv kružnice, která má střed na chordále kružnic k1(S1, r1)
a k2(S2, r2) a kolmo je protíná.
Řešení je zobrazeno na Obrázku 3.4, kde jsou nulové body svazku neprotínajících
se kružnic, který je určen kružnicemi k1(S1, r1) a k2(S2, r2), označeny
jako O1 a O2. Tyto body jsou sestrojeny jako průsečíky dvou kruhových křivek
l1 = S1S2 a l2 v duálním svazku (na obrázku nakresleny modře - l2 má střed v
průsečíku centrály a chordály prvního svazku). Střed kružnice inverze i je nulový
bod O1 a poloměr kružnice inverze (na obrázku nakreslena červeně) je volen tak,
aby procházela druhým nulovým bodem O2. V této kruhové inverzi se zobrazí k1
a k2 do soustředných kružnic k′
1 a k′
2 (na obrázku nakresleny zeleně) se společným
středem O2.
4 Úlohy řešené konstrukčně s využitím geometrických
zobrazení
4.1. V rovině je dána přímka p, trojúhelník ABC, A ̸∈ p, a bod A′
̸∈ p. Sestrojte
trojúhelník A′
B′
C′
, který je obrazem trojúhelníka ABC v osové afinitě s osou p,
která převádí A na A′
. Sestrojte obrazy bodů A, B, C také v případě, že A′
∈ p.
4.2. V rovině je dán čtverec ABCD. Sestrojte obraz čtverce:
a) V osové afinitě s osou o ≡ AB, která zobrazuje bod D na střed čtverce.
Určete charakteristiku této afinity.
b) V osové afinitě s osou o ≡ BC, která zobrazuje bod A na bod D. Určete
charakteristiku této afinity.
c) V zobrazení, ve kterém jsou body A, B samodružné a bod D se zobrazí na
bod B. O jaké zobrazení se jedná?
4.3. V rovině jsou dány dva trojúhelníky ABC a A′
B′
C′
. Rozložte afinitu, která
převádí trojúhelník ABC na trojúhelník A′
B′
C′
, na osové afinity.
4.4. V rovině jsou dány dva shodné trojúhelníky ABC a A′
B′
C′
. Rozložte shodnost,
která převádí trojúhelník ABC na trojúhelník A′
B′
C′
, na osové symetrie.
Rozbor řešení: Uvědomme se, že v případě přímo shodných trojúhelníků jsou v
rozkladu právě dvě osové symetrie. Pro rovnoběžné osy symetrie je daná shodnost
posunutí a pro různoběžné osy symetrie je daná shodnost otočení kolem průsečíků
os. Rozklad přitom není jednoznačný, záleží ale jen na pořadí, v jakém převádíme
dané body na sebe. V prvním případě (posunutí) jsou osy vždy rovnoběžné a mají
stejnou vzdálenost. Ve druhém případě se vždy osy protínají ve středu otočení a
4. Konstrukční úlohy 30
odchylka os je stejná. Na Obrázku 4.5 a) je nejdříve zobrazen bod A na A′
. V
této symetrii se zobrazí △ABC na △A′
B1C1 (nakreslen zeleně). Osová symetrie
převádějící B1 na B′
už převede i C1 na C′
. △A′
B′
C′
je zobrazen červeně.
V případě nepřímo shodných trojúhelníků je v rozkladu buďto jedna osová
symetrie nebo 3 osové symetrie. V Obrázku 4.5 b) je nejdříve zobrazen bod A
na A′
. V této symetrii se zobrazí △ABC na △A′
B1C1 (nakreslen zeleně). Osová
symetrie převádějící C1 na C′
zobrazí B1 na B2 (△A′
B2C′
je zobrazen modře).
Konečně osová symetrie převádějící B2 na B′
zobrazí △A′
B2C′
na △A′
B′
C′
, který
je zobrazen červeně.
Obrázek 4.5: K Úloze 4.4
4.5. Jsou dány dvě různé přímky p, q a bod S. Sestrojte čtverec ABCD se
středem S takový, že A ∈ p a B ∈ q. Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem
k poloze přímek p, q.
Návod řešení úloh 4.5 – 4.7: Otočení o úhel π/2 kolem bodu S převede vrchol
A na vrchol B.
4.6. Je dána přímka p, kružnice k a bod S. Sestrojte čtverec ABCD se středem
S takový, že A ∈ p a B ∈ k. Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k poloze
p, k.
4.7. Jsou dány dvě různé kružnice k1, k2 a bod S. Sestrojte čtverec ABCD se
středem S takový, že A ∈ k1 a B ∈ k2. Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem
k poloze kružnic k1, k2.
4.8. Úlohy 4.4 – 4.6 řešte pro bod C místo bodu B.
Návod řešení: Středová symetrie se středem S převede vrchol A na vrchol C.
4.9. Jsou dány dvě různé přímky p, q a bod A. Sestrojte rovnostranný trojúhelník
ABC takový, že B ∈ p a C ∈ q. Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k
poloze přímek p, q. Úlohu řešte také pro zadanou přímku a kružnici nebo dvě
kružnice.
4. Konstrukční úlohy 31
Návod řešení: Otočení o úhel π/3 kolem bodu A převede vrchol B na vrchol
C.
4.10. Jsou dány dvě různé přímky p, q a bod T. Sestrojte rovnostranný trojúhelník
ABC s těžištěm v bodě T takový, že A ∈ p a B ∈ q. Proveďte diskusi
na počet řešení vzhledem k poloze přímek p, q. Úlohu řešte také pro zadanou
přímku a kružnici nebo dvě kružnice.
Návod řešení: Otočení o úhel 2π
3
kolem bodu T převede vrchol A na vrchol B.
4.11. Jsou dány dvě různé přímky p, q a bod A. Sestrojte čtverec ABCD takový,
že B ∈ p a C ∈ q. Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k poloze přímek
p, q. Úlohu řešte také pro zadanou přímku a kružnici nebo dvě kružnice.
Návod řešení: Použijeme spirální podobnost složenou z otočení o úhel π/4
kolem bodu A a stejnolehlost se středem A a koeficientem
√
2, která převede
vrchol B na vrchol C.
4.12. Jsou dány dvě různé přímky p, q a bod A. Sestrojte pravidelný 5-úhelník
ABCDE takový, že B ∈ p a
a) C ∈ q;
b) D ∈ q.
Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k poloze přímek p, q. Úlohu řešte
také pro zadanou přímku a kružnici nebo dvě kružnice.
Návod řešení: Použijeme spirální podobnost s(A; α, k), kde α a k určíme z
vlastností pravidelného 5-úhelníka.
4.13. Jsou dány dvě různé přímky p, q a bod A. Sestrojte pravidelný 6-úhelník
ABCDEF takový, že B ∈ p a
a) C ∈ q;
b) D ∈ q;
c) E ∈ q.
Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k poloze přímek p, q. Úlohu řešte
také pro zadanou přímku a kružnici nebo dvě kružnice.
Návod řešení: Použijeme spirální podobnost s(A; α, k), kde α a k určíme z
vlastností pravidelného 6-úhelníka.
4.14. Je dána kružnice k a její vnější bod P. Sestrojte tečny vedené z bodu P ke
kružnici k.
4.15. Je dána kružnice k(S, r) a její vnější bod P. Bodem P sestrojte přímky,
které protínají kružnici k s odchylkou α = π/4. Tato úloha je řešitelná i pro
některé vnitřní body k, určete pro které.
4. Konstrukční úlohy 32
Obrázek 4.6: K Úloze 4.15
Rozbor řešení: V libovolném bodě T kružnice k(S, r) sestrojíme přímku, která
s tečnou v tomto bodě svírá odchylku π/4. Tuto přímku otočíme kolem středu S
tak, aby otočená přímka procházela bodem P, viz Obrázek 4.6.
Nalezené přímky se dotýkají kružnice k′
soustředné s k a poloměrem r′
=
r cos(α). Úloha je řešitelná pro všechny body ležící na k′
(jedno řešení) a její
vnější body (dvě řešení).
4.16. Je dána kružnice k(S, r) a bod P ̸≡ S. Sestrojte kružnice procházející
bodem P, které protínají kružnici k s odchylkou α = π/4 a jejichž středy leží na
přímce PS.
Obrázek 4.7: K Úloze 4.16
Návod řešení: Kruhová inverze se středem v bodě P (na Obrázku 4.7 je nakreslena
kružnice inverze zeleně a její poloměr je volen tak, aby byla kružnice k
samodružná) zobrazí hledané kružnice na přímky, které jsou kolmé na přímku PS
a protínají k′
s odchylkou π/4, tj. dotýkají se kružnice k′′
soustředné s k′
sestrojené
jako v Úloze 4.15. Obrazy těchto přímek jsou řešením dané úlohy (zakresleny
červeně).
4. Konstrukční úlohy 33
4.17. Je dána kružnice k(S, r) a bod P ̸≡ S. Sestrojte kružnice se středem v
bodě P, které protínají kružnici k s odchylkou α = π/4.
Návod řešení: Tečny ve společném bodě T dané a hledané kružnice mají odchylku
α. Potom úhel ∡STP má velikost α nebo π − α (rozmyslete si, ve kterých
případech tyto možnosti nastávají). Bod T tedy leží na kružnici pro obvodový
úhel (ekvigonále) pro úhel α nebo π − α sestrojené nad úsečkou PS.
4.18. Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1 a k2. Sestrojte jejich společné tečny.
Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k poloze kružnic k1 a k2.
4.19. Jsou dány dvě různoběžné přímky p, q, jejichž průsečík V je nedostupný
(mimo papír). Dále je dán bod A, který neleží na daných přímkách. Sestrojte
přímku m = AV .
a) Úlohu řešte pomocí tužky, pravítka a pravoúhlého trojúhelníka.
b) Úlohu řešte pomocí tužky, pravítka a kružítka.
Rozbor řešení: a) Ve stejnolehlosti se středem v bodě V a libovolným koeficientem
se bod A zobrazí do bodu A′
. Přímka m = AA′
. Bod A′
nalezneme tak, že
sestrojíme libovolný trojúhelník ABC, B ∈ p, C ∈ q. Potom sestrojíme trojúhelník
A′
B′
C′
takový, že B′
∈ p, C′
∈ q a B′
C′
∥ BC, AB ∥ A′
B′
, AC ∥ A′
C′
(viz
Obrázek 4.8 a)).
Obrázek 4.8: K Úloze 4.19
b) V případě, že máme k dispozici tužku, pravítko a kružítko, je výhodnější
využít kruhové inverze se středem v bodě A. V této inverzi se přímky p, q zobrazí
na kružnice p′
, q′
, které se protínají v bodech A a V ′
, který je obrazem bodu V .
Přímka AV ′
je v kruhové inverzi samodružná a prochází bodem V . V Obrázku
4.8 b) je poloměr kružnice inverze volen tak, aby protínala přímky p, q, obrazy p′
4. Konstrukční úlohy 34
(q′
) jsou potom kružnice určené bodem A a průsečíky kružnice inverze s přímkou
p (q), která se snadno sestrojí pomocí kružítka a pravítka.
4.20. Je dána kružnice k(S, 3cm) a bod P takový, že |SP| = 6cm. Sestrojte
kružnici l(O, 5cm) takovou, že P ∈ l a k ∩ l jsou diametrálně položené body
A, B.
Návod řešení: I. metoda: Trojúhelník ABO je rovnoramenný, tj. trojúhelník
ASO je pravoúhlý a můžeme určit | SO |= 4cm.
II. metoda: Zvolíme libovolné diametrálně položené body A′
, B′
∈ k a nad
tětivou A′
, B′
sestrojíme kružnici o poloměru 5cm. Tuto kružnici otočíme kolem
středu S tak, aby procházela bodem P.
III. metoda: V kruhové inverzi se zápornou mocností s kružnici inverze k je
hledaná kružnice samodružná. V této inverzi sestrojíme obraz P′
bodu P a nad
tětivou PP′
kružnici o poloměru 5cm.
4.21. Jsou dány dvě různé kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2) a bod A, A ̸∈ ki a
A ̸≡ Si. Sestrojte nenulovou kruhovou křivku, která prochází bodem A a kolmo
protíná obě kružnice k1, k2, tj. patří do duálního svazku kruhových křivek určených
kružnicemi k1, k2. Úlohu řešte pro všechny polohy kružnic.
Rozbor řešení: Úlohu rozdělíme podle vzájemné polohy kružnic k1, k2:
1. k1, k2 jsou soustředné. Hledaná kruhová křivka je přímka AS, kde S je
společný střed k1, k2.
2. Viz Obrázek 4.9 a). Kružnice k1, k2 se dotýkají v bodě T, potom společná
tečna t v bodě T je chordála svazku kruhových křivek určený kružnicemi k1, k2.
Na ní leží střed hledané kružnice l. Tento střed také leží na tečně v bodě A kružnice
v daném svazku (nakreslena modře), která prochází bodem A. Tato kružnice
má střed na centrále S1S2 prvního svazku a ose o úsečky AT. Poznamenejme, že
pokud A ∈ S1S2 je hledaná kruhová křivka centrála c = S1S2. Pokud A ∈ ch, je
hledaná kružnice sestrojena nad průměrem AT.
Obrázek 4.9: K Úloze 4.21
4. Konstrukční úlohy 35
3. Viz Obrázek 4.9 b). Kružnice k1, k2 se protínají ve dvou bodech O1, O2.
Přímka O1O2 je chordála ch daného svazku kruhových křivek a střed hledané
kružnice l na ní leží. Dále leží na tečně t v bodě A kružnice v daném svazku, která
prochází bodem A. Tato kružnice je určena body A, O1 a O2. Poznamenejme,
že pokud A ∈ S1S2 je hledaná kruhová křivka centrála c = S1S2. Pokud A ∈
ch ≡ O1O2 musíme na přímce O1O2 najít druhý průsečík B hledané kružnice s
přímkou O1O2. Označíme-li O průsečík centrály a chordály daného svazku, platí
| OO1 |2
=| OA | · | OB | a z euklidovy věty o odvěsně sestrojíme bod B.
Obrázek 4.10: K Úloze 4.21
4. Viz Obrázek 4.10. Kružnice k1, k2 se reálně neprotínají a nejsou soustředné.
Opět, pokud A ∈ S1S2, je hledaná kruhová křivka centrála S1S2. V ostatních
případech využijeme kruhové inverze. Hledaná kružnice l je samodružná v kruhové
inverzi s kladnou mocností a kružnici inverze ki, i = 1, 2. Sestrojíme body A1, A2,
které jsou obrazy bodu A v těchto inverzích, a hledaná kružnice je dána body
A, A1 a A2. Poznamenejme, že metoda použitá v tomto případě je použitelná i
ve všech předchozích případech.
4.22. Jsou dány dvě různé kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2) a bod A, A ̸∈ ki. Sestrojte
nenulovou kruhovou křivku, která prochází bodem A a patří do svazku
kruhových křivek určených kružnicemi k1, k2. Úlohu řešte pro všechny polohy
kružnic.
5. Apolloniovy úlohy 36
Obrázek 4.11: K Úloze 4.22
Rozbor řešení: V případě, že kružnice k1 a k2 jsou soustředné, protínají se ve
dvou bodech nebo se dotýkají, je úloha jednoduchá. Na Obrázku 4.11 je situace
pro dotýkající se a protínající se kružnice. Rozebereme si ji podrobněji pro případ
nesoustředných kružnic bez společných bodů, viz Obrázek 4.12. Bodem A sestrojíme
kružnici duálního svazku (nakreslena modře), která kolmo protíná kružnice
k1 a k2, viz Úloha 4.21. Střed hledané kružnice l (nakreslena červeně) je potom
průsečík centrály c = S1S2 a tečny t pomocné kružnice v bodě A. Pokud je tato
tečna s přímkou S1S2 rovnoběžná, je hledaná kruhová křivka chordála k1 a k2.
Obrázek 4.12: K Úloze 4.22
5 Apolloniovy úlohy
Připomeňme, že Apolloniovy úlohy se dají formulovat jedinou formulací: "Jsou
dány tři různé kruhové křivky. Nalezněte nenulovou kruhovou křivku, která se
všech tří daných křivek dotýká. Jako dotyk nulové a nenulové křivky přitom rozumíme
to, že nulová křivka na nenulové leží". Speciální situace Apolloniových
úloh jsou takzvané Pappovy úlohy, kdy je dána právě jedna nulová křivka, která
5. Apolloniovy úlohy 37
leží na jedné ze zbývajících dvou nenulových křivek a je bodem dotyku s hledanými
nenulovými křivkami.
Apolloniovy úlohy je možno řešit celou řadou metod. U některých úloh, nebo
ve speciálních polohách, si vystačíme pouze se znalostí středoškolské geometrie.
V některých případech se dá použít mocnost bodu ke kružnici. Velice efektivní
metoda je u většiny Apolloniových úloh využití kruhové inverze. V textu uvádíme
především metody založené na užití geometrických zobrazení - otáčení, posunutí,
stejnolehlost a kruhová inverze. Pro srovnání uvádíme u některých úloh více metod
řešení, např. i použití mocnosti bodu ke kružnici.
V Apolloniových úlohách se předpokládá dotyk daných a hledaných nenulových
kruhových křivek. Jako zobecněné Apolloniovy úlohy nazýváme úlohy, kdy
hledané nenulové kruhové křivky protínají dané nenulové kruhové křivky pod
danou odchylkou. Takto zobecnit se nedá Apolloniova úloha BBB, máme tedy
celkem 9 zobecněných Apolloniových úloh.
5.1. (Pappovy úlohy) Jsou dány dvě nenulové kruhové křivky (přímky nebo kružnice)
a na první z nich bod T. Sestrojte nenulovou kruhovou křivku, která se
dotýká daných křivek a přitom první z nich v bodě T.
Rozbor řešení: a) Obě dané kruhové křivky jsou přímky p, q. Potom hledané
kruhové křivky jsou kružnice, jejichž středy leží na ose p, q a na kolmici k k
přímce p v bodě T. Na Obrázku 5.13 a) je situace zakreslena pro různoběžné
přímky. Jaká situace nastane pro přímky rovnoběžné?
Obrázek 5.13: K Úloze 5.1
b) První kruhová křivka je přímka p s bodem dotyku T a druhá je kružnice
k(S, r). Bod dotyku hledané kružnice a kružnice k je středem stejnolehlosti těchto
kružnic. V této stejnolehlosti se přímka p zobrazí na tečnu p′
s bodem dotyku
5. Apolloniovy úlohy 38
T′
. Hledaný střed stejnolehlosti je potom průsečík přímky TT′
a kružnice k.
Na Obrázku 5.13 b) je situace zakreslena pro obecnou polohu. Proveďte diskusi
vzhledem ke všem polohám přímky p a kružnice k.
c) První kruhová křivka je kružnice k s bodem dotyku T a druhá je přímka
p. Kružnici k nahradíme tečnou ke kružnici k s bodem dotyku T a úlohu tak
převedeme na případ a).
d) Obě dané kruhové křivky jsou kružnice. První nahradíme tečnou v bodě
dotyku T a úlohu tak převedeme na případ b).
5.2. (Apolloniova úloha BBB ≡ ABC) Jsou dány tři různé body A, B a C.
Sestrojte nenulové kruhové křivky, které procházejí všemi třemi body.
5.3. (Apolloniova úloha BBB pro dva nedostupné body) V omezené nákresně
sestrojte kružnici k procházející nepřístupnými body A = x ∩ y, B = u ∩ v a
přístupným bodem C (x, y, u, v jsou dané přístupné přímky).
Řešení: (Viz Obrázek 5.14, zadání nakresleno modře) Kruhová inverze se středem
v bodě C (kružnice inverze i zakreslena červeně) zobrazí přímky x, y, u, v
na kružnice x′
, y′
, u′
, v′
(nakresleny zeleně), které se všechny protínají v bodě C.
Druhý průsečík kružnic x′
a y′
je bod A′
, druhý průsečík kružnic u′
a v′
je bod
B′
. Hledaná kružnice se zobrazí na přímku k′
= A′
B′
(nakreslena fialově), jejiž
obraz v dané inverzi je hledaná kružnice k (nakreslena fialově).
Obrázek 5.14: K Úloze 5.3
5.4. V omezené nákresně je dána přímka t a na ní přístupný bod T. Dále je dán
nepřístupný bod M = p ∩ q; p, q jsou různoběžné přímky. Sestrojte kružnici k,
která prochází bodem M a přímky t se dotýká v bodě T.
Řešení: (Viz Obrázek 5.15) Kruhová inverze se středem v bodě T nechá přímku
t samodružnou a přímky p a q zobrazí na kružnice p′
a q′
, které se protínají v bodě
T a dalším bodě K. Hledaná kružnice se zobrazí do přímky k′
procházející bodem
5. Apolloniovy úlohy 39
K rovnoběžně s přímkou t. Obraz k této přímky ve zvolené kruhové inverzi je
řešení úlohy. V Obrázku 5.15 je zadání nakresleno modře, kružnice inverze černě,
kružnice p′
a q′
zeleně, přímka k′
a její obraz k (řešení) červeně.
Obrázek 5.15: K Úloze 5.4
5.5. (Apolloniova úloha BBP ≡ ABp) Je dána přímka p a body A, B ̸∈ p.
Sestrojte nenulové kruhové křivky, které se dotýkají p a prochází body A, B.
Proveďte diskusi na počet řešení vzhledem k poloze zadaných útvarů.
Rozbor řešení: Viz Obrázek 5.16 pro A, B ležící ve stejné polorovině určené
přímkou p.
Obrázek 5.16: K Úloze 5.5
I. metoda - užití mocnosti bodů ke kružnici: Označme jako P průsečík přímek
p a AB. Potom mocnost bodu P vzhledem k hledaným kružnicím je |PA| · |PB|.
To znamená, že vzdálenost bodu dotyku T přímky p a hledané kružnice od bodu
P splňuje |PT|2
= |PA| · |PB| a určíme ji pomocí euklidovy věty o odvěsně.
II. metoda - užití stejnolehlosti: Středy všech kružnic, které obsahují body A a
B, leží na ose o úsečky AB. Sestrojíme libovolnou pomocnou kružnici (nakreslena
5. Apolloniovy úlohy 40
modře), jejíž střed leží na o a dotýká se p. Stejnolehlostí se středem v bodě
V ≡ o ∩ p tuto kružnici zobrazíme tak, aby obraz procházel body A a B.
Jak úlohu vyřešíte, pokud přímka AB je rovnoběžná (kolmá) s přímkou p?
5.6. (Apolloniova úloha BPP ≡ Apq) Jsou dány dvě přímky p, q a bod A ̸∈ p, q.
Sestrojte kružnice, které se dotýkají p, q a prochází bodem A. Proveďte diskusi
na počet řešení vzhledem k poloze zadaných útvarů.
Obrázek 5.17: K Úloze 5.6
Rozbor řešení: V případě různoběžných přímek a A ̸∈ p, q sestrojíme libovolnou
kružnici, která se dotýká přímek p, q (její střed leží na ose úhlu, obsahujícího
bod A, na Obrázku 5.17 nakreslena modře). Stejnolehlostí se středem v bodě
V = p ∩ q zobrazíme tuto kružnici na kružnice procházející bodem A (nakresleny
červeně).
Vyřešte úlohu i pro rovnoběžné přímky.
5.7. (Apolloniova úloha PPP ≡ pqr) Jsou dány tři různé přímky p, q a r. Sestrojte
kružnice, které se dotýkají všech tří přímek. Proveďte diskusi na počet
řešení vzhledem k poloze zadaných útvarů.
Návod řešení: Středy kružnic, které se dotýkají dvou přímek, leží na ose úhlu
pro různoběžné přímky a ose rovnoběžných přímek.
Poznamenejme, že pro tři rovnoběžné přímky neexistuje kružnice, která splňuje
zadání, ale existuje nekonečně mnoho nenulových kruhových křivek splňujících
zadání. Jsou to všechny rovnoběžky s danými přímkami.
5.8. (Apolloniova úloha PPK ≡ pqk) Jsou dány dvě různoběžné přímky p, q a
kružnice k(S, r). Sestrojte kružnice, které se dotýkají p, q i k. Proveďte diskusi
na počet řešení vzhledem k poloze zadaných útvarů.
5. Apolloniovy úlohy 41
Obrázek 5.18: K Úloze 5.8
Rozbor řešení: Bod dotyku hledané kružnice a kružnice k je středem stejnolehlosti
těchto kružnic. Přímky p, q se v této stejnolehlosti zobrazí na tečny p′
, q′
ke
kružnici k rovnoběžné s přímkami p, q. Rozbor provedeme pro různoběžné přímky
p, q. Označme V průsečík přímek p, q, potom průsečík přímek p′
, q′
označíme
V ′
. Průsečík přímky V V ′
a kružnice k je potom bod dotyku s hledanou kružnicí.
Střed této kružnice je potom průsečík osy úhlu přímek p, q a spojnice středu S s
bodem dotyku. Na Obrázku 5.18 je nakreslena jen jedna z možných poloh přímek
p′
, q′
. Proveďte diskusi na počet řešení pro všechny možné polohy p, q a k.
5.9. Udělat Appoloniovu úlohu PPK pro rovnoběžné přímky.
5.10. (Apolloniova úloha BBK ≡ ABk) Je dána kružnice k(S, r) a dva body
A, B ̸∈ k. Sestrojte nenulovou kruhovou křivku, která prochází body A, B a
dotýká se k.
Obrázek 5.19: K Úloze 5.10
5. Apolloniovy úlohy 42
Návod řešení: Pro body A, B ležící ve vnější oblasti k.
I. metoda - užití mocnosti bodu vzhledem ke kružnici: Viz Obrázek 5.19 vlevo.
Sestrojme libovolnou kružnici k′
procházející body AB a protínající kružnici k v
bodech P, Q. Průsečík R přímek AB a PQ je chordický střed hledané kružnice
a kružnic k, k′
. Pro bod dotyku T hledané kružnice a kružnice k platí |RT|2
=
|RP|·|RQ|. Z euklidovy věty o odvěsně určíme |RT| a body Ti. Hledané kružnice
jsou určeny body A, B a Ti.
II. metoda - užití kruhové inverze: Viz Obrázek 5.19 vpravo. Volba kruhové
inverze se středem například v bodě A převede úlohu ABk na nalezení tečen
kružnice k′
procházející bodem B′
. Kružnice inverze je zakreslena zeleně a poloměr
inverze je volen tak, aby byla kružnice k samodružná. Obrazy tečen ti vedených
z bodu B′
v této inverzi jsou kružnice li (nakresleny červeně), které jsou řešení
dané úlohy.
5.11. (Apolloniova úloha BPK ≡ Apk a BKK ≡ Ak1k2) Je dána kružnice
k(S, r), přímka p a bod A ̸∈ k, p. Sestrojte nenulovou kruhovou křivku, která
prochází bodem A a dotýká se k1 a p. Úlohu řešte i pro dvě kružnice k1, k2 a bod
A.
Návod řešení: Pokud mají přímka p a kružnice k (případně dvě kružnice
k1, k2) společný bod, převede kruhová inverze se středem v tomto společném
bodě na Apolloniovu úlohu BPP ≡ A′
p′
k′
(případně BPP ≡ A′
k′
1k′
2), viz Úloha
5.6.
Obrázek 5.20: K Úloze 5.11
Pokud přímka p a kružnice k (případně dvě kružnice k1, k2) nemají společné
body, volíme kruhovou inverzi se středem v bodě A, která převede úlohu Akp (případně
Ak1k2) na nalezení společných tečen dvou kružnic k′
, p′
(případně k′
1, k′
2).
Na Obrázku 5.21 b) je zakresleno jedno řešení pro soustředné kružnice k1 a k2.
Pro nesoustředné kružnice se úloha řeší stejně, viz Obrázek 5.20, kde je poloměr
5. Apolloniovy úlohy 43
kružnice inverze (nakreslena zeleně) volen tak, aby byla kružnice k1 samodružná.
Červeně je zakresleno jen jedno řešení úlohy.
5.12. (Apolloniova úloha BKK ≡ Ak1k2 pro soustředné kružnice) Jsou dány dvě
soustředné kružnice k1(S, r1), k2(S, r2), r1 > r2, a bod A, který leží v mezikruží.
Sestrojte kružnice, které prochází bodem A a dotýkají se kružnic k1 a k2.
Obrázek 5.21: K Úloze 5.12
Rozbor řešení: I. metoda (viz Obrázek 5.21 a)): Sestrojíme libovolné dvě kružnice
l′
1(O1, r1−r2
2
) a l′
2(O2, r1+r2
2
), které se dotýkají kružnic k1 a k2 (na Obrázku
5.21 nakresleny zeleně). Připomeňme, že body O1 a O2 leží na kružnicích se středem
S a poloměry r1+r2
2
a r1−r2
2
. Kružnice l′
1 a l′
2 potom otočíme kolem středu
S tak, aby otočené kružnice (na Obrázku 5.21 a) nakresleny červeně) procházely
bodem A. Na Obrázku 5.21 a) otáčíme o úhly AiSA, kde body Ai dostaneme jako
průsečíky kružnic l′
1 a l′
2 s kružnicí m(S, |SA|) (na Obrázku 5.21 a) nakreslena
modře).
Poznamenejme, že středy hledaných kružnic jsme mohli nalézt také tak, že
leží na kružnicích se středem v bodě A a poloměrech r1±r2
2
.
II. metoda (viz Obrázek 5.21 b)): Úlohu je možno také vyřešit pomocí kruhové
inverze se středem v bodě A, viz návod v Úloze 5.11. V této inverzi se hledané
kružnice zobrazí na společné tečny kružnic k′
1 a k′
2. Na Obrázku 5.21 b) je poloměr
kružnice inverze i volen tak, aby byla kružnice k2 samodružná a je zakresleno
(červeně) jen jedno z možných řešení.
5.13. (Apolloniova úloha KKK ≡ k1k2k3 pro protínající se kružnice) Jsou dány
tři kružnice k1, k2, k3, které se navzájem protínají a všechny procházejí bodem
O. Sestrojte kružnici k, která se dotýká kružnic k1, k2, k3.
5. Apolloniovy úlohy 44
Návod: Kruhová inverze se středem v bodě O zobrazí dané kružnice na tři
přímky, které určují trojúhelník. Obrazy kružnice vepsané a kružnic připsaných
tomuto trojúhelníku jsou řešením dané úlohy. Úloha má tedy 4 řešení.
Obrázek 5.22: K Úloze 5.13
Rozmyslete si, jak se bez použití kruhové inverze úloha vyřeší ve speciální
situaci, kdy jsou všechny dané kružnice shodné a jejich vrcholy jsou vrcholy rovnostranného
trojúhelníka, viz Obrázek 5.22 (dané kružnice jsou zakresleny modře,
řešení červeně).
5.14. (Apolloniova úloha KKK ≡ k1k2k3 pro dotýkající se kružnice) Jsou dány
tři kružnice k1, k2, k3, z nichž se každé dvě zvenku dotýkají. Sestrojte kružnici k,
dotýkající se daných kružnic.
Návod: Kruhová inverze se středem v jednom z bodů dotyku, např. kružnic
k1 a k2, zobrazí tato kružnice na rovnoběžné přímky a třetí kružnici na kružnici,
která se těchto přímek dotýká. Obrazy kružnic, které se dotýkají rovnoběžných
přímek k′
1, k′
2 a kružnice k′
3 jsou řešením dané úlohy. Úloha má tedy 2 řešení.
Rozmyslete si, jak se bez použití kruhové inverze úloha vyřeší ve speciální
situaci, kdy jsou všechny dané kružnice shodné a jejich vrcholy jsou vrcholy rovnostranného
trojúhelníka, viz Obrázek 5.23 (dané kružnice jsou zakresleny modře,
řešení červeně).
5.15. (Apolloniova úloha KKK ≡ k1k2k3 pro dvě soustředné kružnice) Jsou
dány dvě soustředné kružnice k1(S, r1), k2(S, r2), r2 > r1, a kružnice k3(S3, r3)
nesoustředná s ki. Sestrojte kružnice, které se dotýkají všech tří kružnic. Proveďte
diskusi na počet řešení vzhledem k poloze kružnice k3 vůči kružnicím k1, k2.
5. Apolloniovy úlohy 45
Obrázek 5.23: K Úloze 5.14
Obrázek 5.24: K Úloze 5.15
Rozbor řešení: Středy všech kružnic, které se dotýkají kružnic k1 a k2 leží na
kružnicích m1(S, r1+r2
2
) (vnější dotyk s k2) a m2(S, r1−r2
2
) (vnitřní dotyk s k2) a
mají poloměry r1−r2
2
a r1+r2
2
- v tomto pořadí (na Obrázku 5.24 jsou nakresleny
modře čerchovaně). Kružnice o těchto poloměrech se dotýkají kružnice k3, jestliže
mají středy na kružnicích soustředných s kružnicí k3 o poloměrech |r3 ± r1±r2
2
|. Na
Obrázku 5.24 jsou nakresleny jen kružnice n1 a n2 (na Obrázku 5.24 jsou nakresleny
modře čárkovaně), které dávají řešení. Středy hledaných kružnic (nakresleny
červeně) jsou průsečíky kružnic mi a ni, i = 1, 2.
5.16. (Apolloniova úloha PKK ≡ pk1k2 pro soustředné kružnice) Jsou dány dvě
soustředné kružnice k1(S, r1), k2(S, r2), r1 > r2, a přímka p. Sestrojte kružnice,
které se dotýkají kružnic k1(S, r1), k2(S, r2) a přímky p. Proveďte diskusi na počet
řešení vzhledem k poloze přímky p vůči kružnicím k1, k2.
5. Apolloniovy úlohy 46
Návod řešení: I. metoda: Středy hledaných kružnic leží na kružnicích m1 a m2
popsaných v rozboru řešení Úlohy 5.15 a na rovnoběžkách s přímkou p vzdálených
od přímky p o r1±r2
2
.
II. metoda: Pokud přímka p neprotíná kružnici k1, nemá úloha řešení. Stačí
tedy diskutovat případ, kdy p a k1 mají společný bod. Volbou středu inverze do
společného bodu přímky p a kružnice k1 převedeme úlohu na ekvivalentní úlohu
nalezení kružnice, která se dotýká dvou přímek (rovnoběžných, je-li p tečna k1, a
různoběžných, je-li p sečna k1) a kružnice, viz Úloha 5.8.
5.17. (Apolloniova úloha KKK ≡ k1k2k3 pro protínající se kružnice) Jsou dány
tři kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2) a k3(S3, r3) takové, že k1 a k2 mají neprázdný
průnik. Sestrojte nenulové kruhové křivky, které se dotýkají všech tří kružnic.
Návod řešení: Volbou středu inverze do společného bodu kružnic k1 a k2 převedeme
úlohu na Apolloniovu úlohu PPK ≡ k′
1k′
2k′
3, kterou vyřešíme metodou z
Úlohy 5.8 a řešení zobrazíme na řešení dané úlohy.
5.18. ♠ (Apolloniova úloha KKK ≡ k1k2k3 pro neprotínající se kružnice) Jsou
dány tři kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2) a k3(S3, r3), r1 > r2 > r3, takové, že každé
dvě leží ve vnější oblasti třetí. Sestrojte nenulové kruhové křivky, které se dotýkají
všech tří kružnic.
Návod řešení: I. metoda: Inverzí popsanou v Úloze 3.24 převedeme úlohu
na ekvivalentní Úlohu 5.15 pro soustředné kružnice, kterou vyřešíme a řešení
převedeme kruhovou inverzí na řešení původní úlohy.
Obrázek 5.25: K Úloze 5.18
II. metoda - metoda dilatace (viz Obrázek 5.25): Představme si, že kružnice
l je řešením dané úlohy. Jestliže poloměr kružnice l zvětšíme (pro vnější dotyk s
5. Apolloniovy úlohy 47
k3) nebo zmenšíme (pro vnitřní dotyk s k3), dostaneme kružnici, která prochází
bodem S3 a dotýká se kružnic k′
1 a k′
2 soustředných s k1 a k2 a poloměrech r1 ±r3 a
r2 ±r3. Podle návodu Úlohy 5.11 vyřešíme úlohu S3k′
1k′
2 a poloměr řešení zvětšíme
nebo zmenšíme o r3. Na Obrázku 5.25 jsou modře zobrazeny k′
1(S1, r1 − r3) a
k′
2(S2, r2 − r3) a jedno řešení l′
úlohy S3k′
1k′
2, které dává řešení l úlohy k1k2k3.
Poznamenejme, že v některých situacích může být řešením i přímka. To je
tehdy, pokud existuje společná tečna všech tří kružnic.
5.19. ♠ (Apolloniova úloha PKK ≡ pk1k2 pro neprotínající se kružnice) Jsou
dány dvě nesoustředné neprotínající se kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), r1 > r2, a
přímka p. Sestrojte nenulové kruhové křivky, které se dotýkají obou kružnic a
přímky p.
Návod řešení: Pokud má přímka p společný bod s některou z kružnic ki,
např. k1, zvolíme společný bod jako střed inverze a úlohu pk1k2 převedeme na
ekvivalentní úlohu PPK ≡ pk′
1k′
2 nalezení kružnice, která se dotýká dvou přímek
a kružnice, řešení viz Úloha 5.8. V ostatních případech můžeme použít jednu z
následujících metod.
I. metoda: Inverzí popsanou v Úloze 3.24 převedeme úlohu pk1k2 na ekvivalentní
úlohu KKK ≡ k′
1k′
2p′
, viz Úloha 5.15, pro soustředné kružnice k′
1k′
2, kterou
vyřešíme a řešení převedeme kruhovou inverzí na řešení původní úlohy.
Obrázek 5.26: K Úloze 5.19
II. metoda - metoda dilatace (viz Obrázek 5.26): Představme si, že kružnice
l je řešením dané úlohy. Jestliže poloměr kružnice l zvětšíme (pro vnější dotyk s
k2) nebo zmenšíme (pro vnitřní dotyk s k2), dostaneme kružnici, která prochází
5. Apolloniovy úlohy 48
bodem S2 a dotýká se kružnic k′
1 soustředné s k1 a poloměru r1 ± r2 a dotýká se
přímek p′
rovnoběžných s p posunutých o r2 (na obě strany od p). Vyřešíme úlohu
BPK ≡ S2p′
k′
1 a poloměr řešení zvětšíme nebo zmenšíme o r2. Úloha S2p′
k′
1 se
řeší metodou popsanou v Úloze 5.11. Na Obrázku 5.26 je modře zobrazena jedna
z voleb pro úlohu BPK ≡ S2p′
k′
1 a jedno její řešení l′
nalezené metodou z Úlohy
5.11.
Poznamenejme, že v některých situacích může být řešením i přímka. To je
tehdy, pokud existuje společná tečna kružnic k1(S1, r1) a k2(S2, r2) rovnoběžná s
p, protože v Möbiově rovině se rovnoběžky dotýkají v nevlastním bodě.
5.20. ♠ Jsou dány dvě dotýkající se kružnice k1, k2 a přímka p. Sestrojte kružnici
se středem na přímce p, která se dotýká kružnic k1, k2.
Obrázek 5.27: K Úloze 5.20
Řešení: V Obrázku 5.27 je zadání nakresleno modře. Hledaná kružnice se bude
dotýkat také obrazů k′
1, k′
2 (nakresleny fialově) kružnic k1 a k2 v osové symetrii
s osou p. Volbou kruhové inverze se středem v bodě dotyku O daných kružnic
(kružnice inverze zakreslena červeně) se dané kružnice k1 a k2 zobrazí do rovnoběžek
m1 a m2 a kružnice k′
1 a k′
2 se zobrazí do dvou dotýkajících se kružnic (vše
zakresleno zeleně, obrazy kružnic k′
1 a k′
2 nejsou označeny). Nalezneme kružnice,
které se dotýkají těchto dvou rovnoběžek m1 a m2 a obrazů kružnic k′
1 a k′
2 (řešení
této úlovy viz úloha XXX - udělat, kružnice zakresleny hnědě a nejsou označeny).
Jejich obrazy l1 a l2 v dané kruhové inverzi jsou řešením dané úlohy (zakresleny
hnědě).
5.21. S aplikací Apolloniových úloh v praxi se můžete setkat na kružbách gotických
oken (na Obrázku 5.28 jsou dvě okna katedrály v Miláně). Jeden ze základních
typů takové kružby je "kapička", viz Obrázek 5.29 a). Lomený oblouk
je dán kruhovými oblouky k a l se středy v bodech A a B. Kruhové oblouky
m, n, p a q mají středy v bodech A, B a C. Rozmyslete si, jak sestrojit kružnici
5. Apolloniovy úlohy 49
i. Na Obrázku 5.29 b) je do menších lomených oblouků nakreslena kružba typu
"mniška" a do kružnice sestrojen "trojlístek".
Obrázek 5.28: K Úloze 5.21
Obrázek 5.29: K Úloze 5.21
5.22. Nad úsečkou AB jsou dány dva kruhové oblouky k1, k2 a kružnice l maximálního
poloměru, která se k1 a k2 dotýká. Sestrojte kružnici l1, která se dotýká
k1, k2 a l, l2 různou od l, která se dotýká k1, k2 a l1, a tak dále.
Návod řešení: Viz Obrázek 5.30. Kruhová inverze se středem v bodě A a poloměrem
|AB| (kružnice inverze i nakreslena zeleně) zobrazí k1 a k2 na různoběžné
přímky k′
1 a k′
2, které se protínají v bodě B, a kružnici l na l′
, která se dotýká k′
1 a
5. Apolloniovy úlohy 50
k′
2 (zakresleny modře). Stejnolehlostí se středem v bodě B sestrojíme kružnice l′
1,
l′
2, ..., a jejich obrazy jsou řešení dané úlohy (první 3 kružnice zakresleny červeně).
Obrázek 5.30: K Úloze 5.22
5.23. (Zobecněná Apolloniova úloha BBPα ≡ ABp) Je dána přímka p a dva
různé body A, B ̸∈ p. Sestrojte nenulové kruhové křivky, které prochází body
A, B a protínají přímku p s odchylkou α = π/4.
Obrázek 5.31: K Úloze 5.23
Návod řešení: Všechny kružnice, které prochází body A, B, mají střed na ose
o úsečky A, B. Sestrojíme libovolnou kružnici k′
se středem na o, která protíná p s
5. Apolloniovy úlohy 51
odchylkou α a stejnolehlostí se středem v bodě V = o∩p ji zobrazíme na hledanou
kružnici. Na Obrázku 5.31 je kružnice k′
sestrojena tak, že na přímce p zvolíme
libovolný bod, tím proložíme tečnu t kružnice k′
, jejíž střed je na průsečíku osy
o a kolmice k t ve zvoleném bodě.
Poznamenejme, že pokud je odchylka přímek AB a p rovna α, je jedno řešení
přímka AB.
5.24. (Zobecněná Apolloniova úloha BBKα ≡ ABk) Je dána kružnice k(S, r)
a dva různé body A, B ̸∈ k. Sestrojte nenulové kruhové křivky, které prochází
body A, B a protínají kružnici k s odchylkou α = π/4.
Návod řešení: Inverze se středem v bodě A převede danou úlohu na nalezení
přímek, které protínají obraz k′
kružnice k s danou odchylkou a prochází bodem
B′
. Tyto přímky nelezneme podle Úlohy 4.15 a jejich obrazy jsou řešení dané
úlohy.
Poznamenejme, že stejnou metodou můžeme řešit i zobecněnou Apolloniovu
úlohu BBPα, které se ovšem dá řešit i pomocí stejnolehlosti, viz Úloha 5.23.
5.25. (Zobecněná Apolloniova úloha BKα1 Kα2 ≡ Ak1k2) Jsou dány dvě kružnice
k1(S1, r1), k2(S2, r2) a bod A ̸∈ k1, k2. Sestrojte nenulové kruhové křivky, které
prochází bodem A a protínají kružnice k1 a k2 s odchylkou α1 = π/4 a α2 = π/3.
Návod řešení: Inverze se středem v bodě A převede danou úlohu na nalezení
přímek, které protínají obrazy k′
1 a k′
2 kružnic k1 a k2 s danými odchylkami. Podle
návodu Úlohy 4.15 se tyto přímky dotýkají kružnic k′′
1 a k′′
2 soustředných s k′
1 a k′
2,
jejichž poloměr sestrojíme podle Obrázku 4.6. Obrazy těchto přímek jsou řešení
dané úlohy.
Poznamenejme, že stejnou metodou můžeme řešit i zobecněné Apolloniovy
úlohy BPα1 Pα2 a BPα1 Kα2 .